2010年辽宁省大连市中考数学试卷 20页

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2010•湛江）﹣2的绝对值是（　　）‎ ‎ A、﹣2 B、2‎ ‎ C、﹣‎1‎‎2‎ D、‎‎1‎‎2‎ 考点：绝对值。‎ 分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．‎ 解答：解：∵﹣2＜0，‎ ‎∴|﹣2|=﹣（﹣2）=2．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以﹣2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为﹣2的绝对值是‎﹣‎‎1‎‎2‎，而选择C．‎ ‎2、（2010•大连）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、a2•a3=a6 B、（﹣a）4=a4‎ ‎ C、a2+a3=a5 D、（a2）3=a5‎ 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。‎ 分析：根据幂的运算性质和合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、应为a2•a3=a5，故本选项错误；‎ B、（﹣a）4=a4，正确；‎ C、a2和a3不是同类项不能合并，故本选项错误；‎ D、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查：合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握法则和运算性质是解题的关键，要注意不是同类项的不能合并．‎ ‎3、（2010•大连）下列四个几何体中，其左视图为圆的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单几何体的三视图。‎ 分析：左视图是从侧面看到的图形，可根据各立体图形的特点进行判断．‎ 解答：解：A、此立体图形的左视图是圆，故A符合题意；‎ B、此立体图形的左视图是等腰梯形，故B不符合题意；‎ C、圆锥的左视图是等腰三角形，故C不符合题意；‎ D、圆柱的左视图是矩形，故D不符合题意；‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握各立体图形的特点及三视图的定义是解答此类题的关键．‎ ‎4、（2010•大连）与‎10‎最接近的两个整数是（　　）‎ ‎ A、1和2 B、2和3‎ ‎ C、3和4 D、4和5‎ 考点：估算无理数的大小。‎ 专题：应用题。‎ 分析：先找到距离10最近的两个完全平方数，即可找到与‎10‎最接近的两个整数．‎ 解答：解：∵32=9，42=16，9＜10＜16‎ ‎∴与‎10‎最接近的两个整数是3和4 ．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了利用平方来计较无理数的大小关系．要熟练掌握平方与二次根式之间的计算．‎ ‎5、（2010•大连）已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（　　）‎ ‎ A、内含 B、内切 ‎ C、相交 D、外切 考点：圆与圆的位置关系。‎ 分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．‎ 解答：解：根据题意，得 R﹣r=7﹣4=3=圆心距，‎ ‎∴两圆内切．故选B．‎ 点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．‎ ‎6、（2010•大连）在一个不透明的盒里，装有10个红色球和5个蓝色球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，它为蓝色球的概率是（　　）‎ ‎ A、‎2‎‎3‎ B、‎‎1‎‎2‎ ‎ C、‎1‎‎3‎ D、‎‎1‎‎5‎ 考点：概率公式。‎ 分析：让蓝色球的个数除以球的总个数即为所求的概率．‎ 解答：解：球共有15个，蓝色球有5个，从中随机摸出一个球，它为蓝色球的概率是：‎5‎‎15‎=‎1‎‎3‎．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎7、（2010•大连）如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是（　　）‎ ‎ A、35° B、45°‎ ‎ C、55° D、65°‎ 考点：三角形内角和定理。‎ 分析：根据对顶角相等和三角形的内角和定理，知∠D=∠A．‎ 解答：解：∵∠B=∠C=90°，∠AOB=∠COD，‎ ‎∴∠D=∠A=35°．‎ 故选A．‎ 点评：此题综合考查了三角形的内角和定理和对顶角相等的性质．‎ ‎8、（2010•大连）如图，反比例函数y‎1‎‎=‎k‎1‎x和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、﹣1＜x＜0 B、﹣1＜x＜1‎ ‎ C、x＜﹣1或0＜x＜1 D、﹣1＜x＜0或x＞1‎ 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。‎ 分析：易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例函数的另一交点，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值即可．‎ 解答：解：易得另一交点坐标为（1，﹣2），‎ 由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值；‎ ‎∴﹣1＜x＜0或x＞1，故选D．‎ 点评：用到的知识点为：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；求自变量的取值范围应该从交点入手思考．‎ 二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）‎ ‎9、（2010•无锡）﹣5的相反数是 ．‎ 考点：相反数。‎ 分析：根据相反数的定义直接求得结果．‎ 解答：解：﹣5的相反数是5．‎ 点评：本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．‎ ‎10、（2010•大连）不等式x+3＞5的解集为 ．‎ 考点：解一元一次不等式。‎ 分析：移项即可．‎ 解答：解：x＞2．‎ 点评：本题主要考查了一元一次不等式的解法．‎ ‎11、（2010•大连）为了参加市中学生篮球比赛，某校篮球队准备购买10双运动鞋，尺码（单位：厘米）如下：25、25、27、25.5、25.5、25.5、26.5、25.5、26、26．则这10双运动鞋尺码的众数是 ．‎ 考点：众数。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：根据众数的概念直接求解即可．‎ 解答：解：数据25.5出现了4次，次数最多，所以众数是25.5．‎ ‎∴这10双运动鞋尺码的众数是25.5．‎ 故填25.5．‎ 点评：考查了众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎12、（2010•大连）方程‎2xx﹣1‎‎=1‎的解是x= ．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：两边同时乘以分母（x﹣1），可把方程化为整式方程．‎ 解答：解：两边同时乘以（x﹣1），得2x=x﹣1，解得x=﹣1．‎ 经检验：x=﹣1是原方程的解．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎13、（2010•大连）如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2= 度．‎ 考点：平行线的性质；角平分线的定义。‎ 分析：根据平行线的性质得到∠EFD=∠1，再由FG平分∠EFD即可得到．‎ 解答：解：∵AB∥CD ‎∴∠EFD=∠1=60°‎ 又∵FG平分∠EFD．‎ ‎∴∠2=‎1‎‎2‎∠EFD=30°．‎ 点评：本题主要考查了两直线平行，同位角相等．‎ ‎14、（2010•大连）如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．‎ 考点：圆的认识。‎ 分析：图中阴影部分的面积为一个半圆，根据圆的面积公式计算即可．‎ 解答：解：由题意可得：OE=1，‎ 阴影面积=‎1‎‎2‎π×1‎=‎1‎‎2‎π．‎ 点评：本题主要考查了圆的面积公式．‎ ‎15、（2010•大连）投掷一个质地均匀的骰子，向上的面的点数是6的概率为 ．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：‎ ‎①符合条件的情况数目；‎ ‎②全部情况的总数．‎ 二者的比值就是其发生的概率的大小．‎ 解答：解：投掷一个质地均匀的骰子，向上的面的点数可能是1，2，3，4，5，6．‎ 向上的面的点数是6的概率为‎1‎‎6‎．‎ 点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎16、（2010•大连）如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（9﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根据底面积是12cm2即可列出方程．‎ 解答：解：设剪去的正方形边长为xcm，‎ 依题意得（9﹣2x）•（5﹣2x）=12，‎ 故填空答案：（9﹣2x）•（5﹣2x）=12．‎ 点评：此题首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．‎ ‎17、（2010•大连）如图，直线1：y=﹣‎3‎x+‎‎3‎与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线l对称，则点C的坐标为 ．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：过点C作CE⊥x轴与点E，先根据直角三角形的性质求出OA，OB的长度，根据直角三角形特殊角的三角函数值可求得有关角的度数．利用轴对称性和直角三角函数值可求得AE，CE的长度，从而求得点A的坐标．‎ 解答：解：过点C作CE⊥x轴与点E 由直线AB的解析式可知 当x=0时，y=‎3‎，即OB=‎‎3‎ 当y=0时，x=1，即OA=1‎ ‎∵∠AOB=∠C=90°，tan∠3=OB：OA=‎‎3‎ ‎∴∠3=60°‎ ‎∵△AOB与△ACB关于直线l对称 ‎∴∠2=∠3=60°，AC=OA=1‎ ‎∴∠1=180°﹣∠2﹣∠3=60°‎ 在RT△ACE中 AE=cos60°×AC=‎1‎‎2‎‎×‎1=‎‎1‎‎2‎ CE=sin60°×AC=‎‎3‎‎2‎ ‎∴OE=1+‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎ ‎∴点C的坐标是（‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎）．‎ 点评：本题主要考查了一次函数与直角三角形的综合运用和有关轴对称的性质．要熟练掌握根据函数解析式求得有关线段的长度的方法，灵活的运用数形结合的知识解题．‎ 三、解答题（共9小题，满分99分）‎ ‎18、（2010•大连）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=DC，AE∥DF，AE=DF．‎ 求证：EC=FB．‎ 考点：全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：因为AB=DC，AE∥DF，所以∠EAC=∠FDB，AC=DB．又因为AE=DF，故△EAC≌△FDB，则EC=FB．‎ 解答：证明：∵AE∥DF，‎ ‎∴∠EAC=∠FDB．‎ ‎∵AB=DC，BC=BC，‎ ‎∴AC=DB．‎ ‎∵AE=DF，‎ ‎∴△EAC≌△FDB．‎ ‎∴EC=FB．‎ 点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．‎ ‎19、（2010•大连）先化简，再求值：‎（1﹣‎1‎a+1‎）﹣‎aa‎2‎‎+2a+1‎，其中a=‎3‎﹣1‎．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先对‎1﹣‎‎1‎a+1‎通分，a2+2a+1分解因式，再通分，进行化简求值．‎ 解答：解：原式=‎aa+1‎‎﹣‎a‎（a+1）‎‎2‎ ‎=a（a+1）﹣a‎（a+1）‎‎2‎，‎ ‎=a‎2‎‎（a+1）‎‎2‎，‎ 当a=‎3‎﹣1时 原式=‎4﹣2‎‎3‎‎3‎．‎ 点评：本题主要考查分式的化简求值，比较简单．‎ ‎20、（2010•大连）某品牌电器生产商为了了解某市顾客对其商品售后服务的满意度，随机调查了部分使用该品牌电器的顾客，将调查结果按非常满意、基本满意、说不清楚、不满意四个选项进行统计，并绘制成不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）此次调查的顾客总数是 人，其中对此品牌电器售后服务“非常满意”的顾客有 人，“不满意”的顾客有 人；‎ ‎（2）该市约有6‎ 万人使用此品牌电器，请你估计此品牌电器售后服务非常满意的顾客的人数．‎ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）由扇形统计图可知“基本满意”占50%，条形统计图中“基本满意”有200人，即可求出调查总人数；用调查总人数乘以“非常满意”所占百分比即可求解；“说不清楚”有80人，所占百分比分20%，则“不满意”所占百分比为4%，故“不满意”人数可求；‎ ‎（2）用使用此品牌电器的总人数乘以“非常满意”所占百分比即可求解．‎ 解答：解：（1）总数是200÷50%=400（人），‎ ‎“非常满意”的顾客有400×26%=104（人），‎ ‎“不满意”的顾客有400×4%=16（人）；‎ ‎（2）60000×26%=15600（人），‎ ‎∴估计此品牌电器售后服务非常满意的顾客15600人．‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ ‎21、（2010•大连）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，∠A=∠D=30°．‎ ‎（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；‎ ‎（2）证明：△AOC≌△DBC．‎ 考点：切线的判定；全等三角形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）因为C点在圆上，所以只需证明OC⊥CD即可．可先求出∠ACD=120°，∠ACO=∠A=30°，所以∠OCD=90°．得证；‎ ‎（2）证明△OBC为等边三角形，运用“SSS”判定全等．‎ 解答：（1）解：DC是⊙O的切线．‎ ‎∵∠A=∠D=30°，‎ ‎∴AC=CD，∠ACD=120°．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OCA=∠A=30°，‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ ‎∴DC是⊙O的切线．‎ ‎（2）证明：∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠BCD=120°﹣90°=30°=∠D，‎ ‎∴BC=BD．‎ ‎∵∠CBO=2∠D=60°，OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，则BC=OC，‎ ‎∴△AOC≌△DBC．（SSS）‎ 点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定及等腰三角形的判定等知识点，难度中等．‎ ‎22、（2010•大连）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．‎ ‎（1）求灯塔C到航线AB的距离；‎ ‎（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）‎ ‎（参考数据：‎2‎‎≈1.41‎，‎3‎‎≈1.73‎）‎ 考点：解直角三角形的应用-方向角问题。‎ 分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，CD即为所求的距离；易知：∠CAD=30°，即可在Rt△ACD中，通过解直角三角形，求出CD、AD的长，由此得解；‎ ‎（2）在Rt△BCD中，由已知得：∠BCD=45°，根据CD的长，即可求得BD的长；‎ 由AB=AD+BD可求出AB的长．再根据时间=路程÷速度可求出海轮从A到B所用的时间．‎ 解答：解：（1）过C作CD⊥AB于D．‎ 由已知可知：∠A=30°，∠BCD=45°．‎ Rt△ACD中，AC=80，∠A=30°，‎ 则CD=40，AD=40‎3‎．‎ ‎∴灯塔C到AB的距离为40海里；‎ ‎（2）Rt△BCD中，∠BCD=45°，则BD=CD=40．‎ ‎∴AB=AD+BD=40+40‎3‎≈109.2（海里）．‎ 故海轮所用的时间为：109.2÷20≈5.5（小时）．‎ 答：灯塔C到航线AB的距离为40海里；海轮从A处到B处所用的时间约为5.5小时．‎ 点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．‎ ‎23、（2010•大连）如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．‎ 说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．‎ ‎（1）m=1（如图2）‎ ‎（2）m=1，k=1（如图3）‎ 考点：平行线分线段成比例；勾股定理。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：过点E作EM⊥AB，EN⊥CD，根据CD⊥AB和EF⊥BE先证明△EFM与△EGN相似，得到EF：EG=EM：EN，再根据平行线分线段成比例定理求出EM：CG=AE：AC，EN：AD=CE：AC，结合CE=kEA即可用CD、AD表示出EM与EN，再利用∠A的正切值即可求出．‎ 解答：‎ 解：过E作EM⊥AB，EN⊥CD，‎ ‎∵CD⊥AB，∴EM∥CD，EN∥AB，‎ ‎∵EF⊥BE，∴∠EFM+∠EBF=90°，‎ ‎∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGN（对顶角相等）‎ ‎∴∠EFM=∠EGN，‎ ‎∴△EFM∽△EGN，‎ ‎∴EFEG‎=‎EMEN，‎ 在△ADC中，‎ ‎∵EM∥CD，‎ ‎∴EMCD‎=‎AEAC，‎ 又CE=kEA，∴CD=（k+1）EM，‎ 同理ENAD‎=‎CEAC，∴AD=k+1‎kEN，‎ ‎∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=mBC tanA=CDAD‎=‎BCAC=‎1‎m，‎ 即‎（k+1）EMk+1‎KEN=‎1‎m，‎ ‎∴EMEN‎=‎‎1‎km，‎ ‎∴EF=‎1‎kmEG．‎ 点评：本题难度较大，主要利用相似三角形对应边成比例求解，正确作出辅助线是解本题的关键，这就要求同学们在平时的学习中不断积累经验，开拓视野．‎ ‎24、（2010•大连）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点A出发沿AB向点B移动，（点P与点A、B不重合），作PD∥BC交AC于点D，在DC上取点E，以DE、DP为邻边作平行四边形PFED，使点F到PD的距离FH=‎1‎‎6‎PD，连接BF，设AP=x．‎ ‎（1）△ABC的面积等于 ；‎ ‎（2）设△PBF的面积为y，求y与x的函数关系，并求y的最大值；‎ 考点：二次函数的最值；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题；数形结合。‎ 分析：（1）根据题意，易得△ABC的高，再由三角形面积公式可得答案；‎ ‎（2）根据平行线的性质，可得PD、PM的值，进而可得AN的值，再由图示可得：y=S梯形PBCD﹣S▱PFED﹣S梯形PFCE；代入数据可得答案．‎ 解答：解：（1）根据题意，作AH⊥BC，交BC于点H，‎ 易得：BH=3，由勾股定理，易得AH=4；‎ 则S△ABC=‎1‎‎2‎×6×4=12；‎ ‎（2）设AH与PD交与点M，与EF交与点N；‎ PD∥BC，且AP=x，AB=5，BC=6，‎ 可得：PD=‎6‎‎5‎x，PM=‎3‎‎5‎x；‎ 易得AM=‎4‎‎5‎x，则AN=AM+MN=AM+HF=x，‎ 根据图示，‎ 易得y=S梯形PBCD﹣S▱PFED﹣S梯形PFCE=﹣‎3‎‎25‎（x﹣‎5‎‎2‎）2+‎3‎‎4‎；‎ 故当x=‎5‎‎2‎时，y取得最大值，为‎3‎‎4‎．‎ 点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数综合运用以及矩形的性质等知识点．‎ ‎25、（2010•大连）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途径配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地，图是甲、乙两车间的距离y（千米）与乙车出发x（时）的函数的部分图象．‎ ‎（1）A、B两地的距离是 千米，甲车出发 小时到达C地；‎ ‎（2）求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，y与x的函数关系式及x的取值范围，并在图中补全函数图象；‎ ‎（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 分析：（1）观察图形，直接回答问题；‎ ‎（2）理解点（1.5，30）及（2，0）的含义，即此时甲不运动，乙运动，由此可求乙运动速度，再求甲的速度，其图象关于直线x=2对称，根据对称点求分段函数．‎ 解答：解：（1）由图形可知，A、B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；‎ ‎（2）由图象可知，乙的速度为v乙=30÷（2﹣1.5）=60，设甲的速度为v甲，‎ 依题意，得（v甲+60）×1.5=300﹣30，解得v甲=120，‎ 当2≤x≤2.5时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，‎ 把点（2，0），（2.5，30）代入，得y=60x﹣120，‎ 当2.5＜x≤4时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，‎ 把点（2.5，30），（4，300）代入，得y=180x﹣420，‎ 即y=‎&60x﹣120（2≤x≤2.5）‎‎&180x﹣420（2.5＜x≤4）‎；‎ 把y=150代入y=180x﹣420中，得x=3‎1‎‎6‎，‎ 根据对称性可知，相遇前，相距150千米的时间为2﹣（3‎1‎‎6‎﹣2）=‎5‎‎6‎，‎ 即乙车出发‎5‎‎6‎小时或3‎1‎‎6‎小时，两车相距150千米．‎ 点评：本题考查了对函数图象的理解能力，分段函数的求法．‎ ‎26、（2010•大连）如图，抛物线F：y=ax2+bx+c（a＞0）与y轴相交于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t个单位得到直线L2，设L1与抛物线F的交点为C、D，L2与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC．‎ ‎（1）当a=‎‎1‎‎2‎，b=﹣‎‎3‎‎2‎，c=1，t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题；压轴题。‎ 分析：（1）根据a、b、c的值，可确定抛物线的解析式，进而可求出C点的坐标；根据t的值，可确定直线L2的解析式，联立抛物线的解析式即可得到A、B的坐标；根据A、B、C三点的坐标，可求出直线AC、BC的斜率，此时发现两条直线的斜率的乘积为﹣1，所以它们互相垂直，由此可判定△ABC是直角三角形；‎ ‎（2）根据抛物线的解析式可知：C点坐标为（0，c），那么直线L2的解析式为c+t，联立抛物线的解析式可得到关于x的方程，那么方程的两根即为A、B的横坐标，可由根与系数的的关系求出AB的长；设抛物线的对称轴与L2的交点为F，根据抛物线的对称性知AF=BF即F是AB中点，若△ABC是直角三角形，则AB=2CF，由此可得到CF的表达式；设L2与y轴的交点为E，那么CE的长即为E、C纵坐标差的绝对值，EF的长即为抛物线对称轴方程的绝对值，在Rt△CEF中，根据勾股定理即可求出t的值；‎ ‎（3）若A′恰好在抛物线的对称轴上，那么AB=2AA′；而A、A′关于y轴对称，那么AA′=2A′E，即AB=2A′B=4A′E；根据抛物线的对称性易知CD=2A′E，那么A′B平行且相等于CD，即四边形A′BDC是平行四边形，由AB=4EA′可求出b的值，而CD=A′B=﹣ba，平行四边形的高为t，根据平行四边形的面积计算方法即可求出四边形A′CDB的面积．‎ 解答：解：（1）当a=‎‎1‎‎2‎，b=﹣‎‎3‎‎2‎，c=1，‎ y=‎1‎‎2‎x2﹣‎3‎‎2‎x+1，‎ 当t=2时，‎ A、B纵坐标为3，‎ 令y=3，解得x=﹣1或x=4，‎ 故A（﹣1，3），B（4，3），C（0，1），‎ 直线AC斜率k1=﹣2，直线BC斜率k2=﹣‎1‎‎2‎，‎ ‎∴k1•k2=﹣1，‎ ‎∴AC与BC垂直，‎ 故△ABC是直角三角形．‎ ‎（2）设AB交y轴于E，交抛物线对称轴于F，则F为AB中点，连接CF；‎ 由方程c+t=ax2+bx+c得ax2+bx﹣t=0，‎ 设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得：‎ x1+x2=﹣ba，x1x2=﹣ta；‎ AB=|x1﹣x2|=‎（x‎1‎+x‎2‎）‎‎2‎‎﹣4‎x‎1‎x‎2‎=b‎2‎‎+4ata；‎ ‎∴CF=‎1‎‎2‎AB=b‎2‎‎+4at‎2a；‎ 在Rt△CEF中，CE=t，EF=|﹣b‎2a|；‎ ‎∴t2+|﹣b‎2a|2=（b‎2‎‎+4at‎2a）2，‎ 解得t=‎1‎a；‎ ‎（3）因为点A关于y轴的对称点A′恰好在抛物线F的对称轴上，‎ 所以b＜0，且AB=4EA′；‎ ‎∴b‎2‎‎+4ata=﹣b‎2a×4，‎ 解得b=﹣‎2‎‎3‎‎3‎；‎ ‎∴CD=A′B=﹣ba，‎ ‎∴四边形A′CDB是平行四边形，‎ 则它的面积为﹣ba×t=‎2‎‎3‎‎3‎a‎2‎．‎ 点评：此题主要考查了函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定和性质、抛物线的对称性、勾股定理以及平行四边形的判定和性质等重要知识点，综合性强，难度较大．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhangchao；MMCH；Linaliu；lanyuemeng；张伟东；hbxglhl；路斐斐；CJX；py168；kuaile；shenzigang；lzhzkkxx；haoyujun；zhxl；mama258；zhehe；zxw；zhangCF；lanchong。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日