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2020 年四川省成都市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只 有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（3 分） 2 的绝对值是 ( ) A． 2 B．1 C．2 D． 1 2 2．（3 分）如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方块搭成，其左视图是 ( ) A． B． C． D． 3．（3 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发 射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导 航系统全面建成．该卫星距离地面约 36000 千米，将数据 36000 用科学记数法表示为 ( ) A． 33.6 10 B． 43.6 10 C． 53.6 10 D． 436 10 4．（3 分）在平面直角坐标系中，将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 ( ) A． (3,0) B． (1,2) C． (5,2) D． (3,4) 5．（3 分）下列计算正确的是 ( ) A．3 2 5a b ab  B． 3 2 6a a a C． 3 2 6 2( )a b a b  D． 2 3 3a b a b  6．（3 分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青 羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12， 5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A．5 人，7 人 B．5 人，11 人 C．5 人，12 人 D．7 人，11 人 7．（3 分）如图，在 ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和 C 为圆心，以大于 1 2 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N ；②作直线 MN 交 AC 于点 D ，连接 BD ．若 6AC  ， 2AD  ，则 BD 的长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．6 8．（3 分）已知 2x  是分式方程 3 11 k x x x   的解，那么实数 k 的值为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 9．（3 分）如图，直线 1 2 3/ / / /l l l ，直线 AC 和 DF 被 1l ， 2l ，3l 所截， 5AB  ， 6BC  ， 4EF  ， 则 DE 的长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．10 3 10．（3 分）关于二次函数 2 2 8y x x   ，下列说法正确的是 ( ) A．图象的对称轴在 y 轴的右侧 B．图象与 y 轴的交点坐标为 (0,8) C．图象与 x 轴的交点坐标为 ( 2,0) 和 (4,0) D． y 的最小值为 9 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上） 11．（4 分）分解因式： 2 3x x  ． 12．（4 分）一次函数 (2 1) 2y m x   的值随 x 值的增大而增大，则常数 m 的取值范围为 ． 13．（4 分）如图， A ， B ，C 是 O 上的三个点， 50AOB   ， 55B  ，则 A 的度数 为 ． 14．（4 分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了 完整的体系．其中卷八方程[ 七 ] 中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金 八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5 头牛、2 只羊共值金 10 两．2 头牛、5 只羊共 值金 8 两．每头牛、每只羊各值金多少两？设 1 头牛值金 x 两，1 只羊值金 y 两，则可列方 程组为 ． 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上） 15．（12 分）（1）计算： 212sin60 ( ) | 2 3 | 92      ； （2）解不等式组：  4 1 2, 2 1 13 x x x x        ① ② … ． 16．（6 分）先化简，再求值： 2 1 2(1 )3 9 x x x    ，其中 3 2x   ． 17．（8 分）2021 年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综 合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团 随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根 据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有 人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列 表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 18．（8 分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游 打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一 建筑物楼项 D 处测得塔 A 处的仰角为 45，塔底部 B 处的俯角为 22．已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值． （结果精确到 1 米；参考数据： sin 22 0.37  ， cos22 0.93  ， tan 22 0.40)  19．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 (3,4)A ，过 点 A 的直线 y kx b  与 x 轴、 y 轴分别交于 B ， C 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若 AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍，求此直线的函数表达式． 20．（10 分）如图，在 ABC 的边 BC 上取一点 O ，以 O 为圆心，OC 为半径画 O ， O 与边 AB 相切于点 D ， AC AD ，连接 OA 交 O 于点 E ，连接 CE ，并延长交线段 AB 于 点 F ． （1）求证： AC 是 O 的切线； （2）若 10AB  ， 4tan 3B  ，求 O 的半径； （3）若 F 是 AB 的中点，试探究 BD CE 与 AF 的数量关系并说明理由． 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上） 21．（4 分）已知 7 3a b  ，则代数式 2 26 9a ab b  的值为 ． 22．（4 分）关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m    有实数根，则实数 m 的取值范围 是 ． 23．（4 分）如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 叫做“正六边形的渐 开线”， 1FA ， 1 1A B ， 1 1B C ， 1 1C D ， 1 1D E ， 1 1E F ， 的圆心依次按 A ，B ，C ，D ，E ， F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当 1AB  时，曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 的长度是 ． 24．（4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ( 0)y mx m  与双曲线 4y x  交于 A ，C 两 点（点 A 在第一象限），直线 ( 0)y nx n  与双曲线 1y x   交于 B ， D 两点．当这两条直 线互相垂直，且四边形 ABCD 的周长为10 2 时，点 A 的坐标为 ． 25．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， 4AB  ， 3BC  ，E ，F 分别为 AB ，CD 边的中点．动 点 P 从点 E 出发沿 EA 向点 A 运动，同时，动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动，连接 PQ ， 过点 B 作 BH PQ 于点 H ，连接 DH ．若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍，在点 P 从点 E 运动至点 A 的过程中，线段 PQ 长度的最大值为 ，线段 DH 长度的最小值为 ． 五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上） 26．（8 分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月 获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为 10 元 / 件，拟采取 线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 y （单位：件）与线下售价 x（单 位：元 / 件，12 24)x „ 满足一次函数的关系，部分数据如下表： x （元 / 件） 12 13 14 15 16 y （件 ) 1200 1100 1000 900 800 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件．试问：当 x 为 多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 27．（10 分）在矩形 ABCD 的CD 边上取一点 E ，将 BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处． （1）如图 1，若 2BC BA ，求 CBE 的度数； （2）如图 2，当 5AB  ，且 10AF FD  时，求 BC 的长； （3）如图 3，延长 EF ，与 ABF 的角平分线交于点 M ，BM 交 AD 于点 N ，当 NF AN FD  时，求 AB BC 的值． 28．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于 ( 1,0)A  ， (4,0)B 两点，与 y 轴交于点 (0, 2)C  ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD ，BC 交于点 E ，连接 BD ，记 BDE 的面积为 1S ， ABE 的面积为 2S ，求 1 2 S S 的最大值； （3）如图 2，连接 AC ， BC ，过点 O 作直线 / /l BC ，点 P ， Q 分别为直线 l 和抛物线上 的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 P ，Q ，使 PQB CAB ∽ ．若存在，请求出 所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2020 年四川省成都市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只 有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（3 分） 2 的绝对值是 ( ) A． 2 B．1 C．2 D． 1 2 【解答】解： 2 的绝对值为 2． 故选： C ． 2．（3 分）如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方块搭成，其左视图是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：从左面看是一列 2 个正方形． 故选： D ． 3．（3 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发 射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导 航系统全面建成．该卫星距离地面约 36000 千米，将数据 36000 用科学记数法表示为 ( ) A． 33.6 10 B． 43.6 10 C． 53.6 10 D． 436 10 【解答】解： 436000 3.6 10  ， 故选： B ． 4．（3 分）在平面直角坐标系中，将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 ( ) A． (3,0) B． (1,2) C． (5,2) D． (3,4) 【解答】解：将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度所得到的点坐标为 (3,2 2) ，即 (3,0) ， 故选： A ． 5．（3 分）下列计算正确的是 ( ) A．3 2 5a b ab  B． 3 2 6a a a C． 3 2 6 2( )a b a b  D． 2 3 3a b a b  【解答】解： A 、 3a 与 2b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B 、 3 2 5a a a ，原计算错误，故此选项不符合题意； C 、 3 2 6 2( )a b a b  ，原计算正确，故此选项符合题意； D 、 2 3 3a b a ab  ，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选： C ． 6．（3 分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青 羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12， 5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A．5 人，7 人 B．5 人，11 人 C．5 人，12 人 D．7 人，11 人 【解答】解：5 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 5 人； 把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是 7，则中位数是 7 人． 故选： A ． 7．（3 分）如图，在 ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和 C 为圆心，以大于 1 2 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N ；②作直线 MN 交 AC 于点 D ，连接 BD ．若 6AC  ， 2AD  ，则 BD 的长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．6 【解答】解：由作图知， MN 是线段 BC 的垂直平分线， BD CD  ， 6AC  ， 2AD  ， 4BD CD   ， 故选： C ． 8．（3 分）已知 2x  是分式方程 3 11 k x x x   的解，那么实数 k 的值为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：把 2x  代入分式方程得： 1 12 k   ， 解得： 4k  ． 故选： B ． 9．（3 分）如图，直线 1 2 3/ / / /l l l ，直线 AC 和 DF 被 1l ， 2l ，3l 所截， 5AB  ， 6BC  ， 4EF  ， 则 DE 的长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．10 3 【解答】解：直线 1 2 3/ / / /l l l ，  AB DE BC EF  ， 5AB  ， 6BC  ， 4EF  ，  5 6 4 DE ， 10 3DE  ， 故选： D ． 10．（3 分）关于二次函数 2 2 8y x x   ，下列说法正确的是 ( ) A．图象的对称轴在 y 轴的右侧 B．图象与 y 轴的交点坐标为 (0,8) C．图象与 x 轴的交点坐标为 ( 2,0) 和 (4,0) D． y 的最小值为 9 【解答】解：二次函数 2 22 8 ( 1) 9 ( 4)( 2)y x x x x x         ， 该函数的对称轴是直线 1x   ，在 y 轴的左侧，故选项 A 错误； 当 0x  时， 8y   ，即该函数与 y 轴交于点 (0, 8) ，故选项 B 错误； 当 0y  时， 2x  或 4x   ，即图象与 x 轴的交点坐标为 (2,0) 和 ( 4,0) ，故选项 C 错误； 当 1x   时，该函数取得最小值 9y   ，故选项 D 正确； 故选： D ． 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上） 11．（4 分）分解因式： 2 3x x  ( 3)x x  ． 【解答】解： 2 3 ( 3)x x x x   ． 12．（4 分）一次函数 (2 1) 2y m x   的值随 x 值的增大而增大，则常数 m 的取值范围为 1 2m  ． 【解答】解：一次函数 (2 1) 2y m x   中，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大， 2 1 0m   ，解得 1 2m  ． 故答案为： 1 2m  ． 13．（4 分）如图， A ， B ，C 是 O 上的三个点， 50AOB   ， 55B  ，则 A 的度数 为 30 ． 【解答】解： OB OC ， 55B  ， 180 2 70BOC B       ， 50AOB   ， 70 50 120AOC AOB BOC          ， OA OC ， 180 120 302A OCA         ， 故答案为： 30 ． 14．（4 分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了 完整的体系．其中卷八方程[ 七 ] 中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金 八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5 头牛、2 只羊共值金 10 两．2 头牛、5 只羊共 值金 8 两．每头牛、每只羊各值金多少两？设 1 头牛值金 x 两，1 只羊值金 y 两，则可列方 程组为 5 2 10 2 5 8 x y x y      ． 【解答】解：设 1 头牛值金 x 两，1 只羊值金 y 两， 由题意可得， 5 2 10 2 5 8 x y x y      ， 故答案为： 5 2 10 2 5 8 x y x y      ． 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上） 15．（12 分）（1）计算： 212sin60 ( ) | 2 3 | 92      ； （2）解不等式组：  4 1 2, 2 1 13 x x x x        ① ② … ． 【解答】解：（1）原式 32 4 2 3 32       3 4 2 3 3     3 ； （2）  4 1 2, 2 1 13 x x x x        ① ② … ， 由①得， 2x… ； 由②得， 4x  ， 故此不等式组的解集为： 2 4x „ ． 16．（6 分）先化简，再求值： 2 1 2(1 )3 9 x x x    ，其中 3 2x   ． 【解答】解：原式 3 1 ( 3)( 3) 3 2 x x x x x       3x  ， 当 3 2x   时， 原式 2 ． 17．（8 分）2021 年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综 合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团 随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根 据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有 180 人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列 表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【解答】解：（1）根据题意得： 54 30% 180  （人 ) ， 答：这次被调查的学生共有 180 人； 故答案为：180； （2）根据题意得： 360 (1 20% 15% 30%) 126      ， 答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126 ， 故答案为：126 ； （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 一 （乙，甲）（丙，甲）（丁，甲） 乙 （甲，乙） 一 （丙，乙）（丁，乙） 丙 （甲，丙）（乙，丙） 一 （丁，丙） 丁 （甲，丁）（乙，丁）（丙，丁） 一 共有 12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种， P （选中甲、乙） 2 1 12 6   ． 18．（8 分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游 打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一 建筑物楼项 D 处测得塔 A 处的仰角为 45，塔底部 B 处的俯角为 22．已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值． （结果精确到 1 米；参考数据： sin 22 0.37  ， cos22 0.93  ， tan 22 0.40)  【解答】解：过点 D 作 DE AB 于点 E ， 根据题意可得四边形 DCBE 是矩形， DE BC  ， 61BE DC  ， 在 Rt ADE 中， 45ADE   ， AE DE  ， AE DE BC   ， 在 Rt BDE 中， 22BDE   ， 61 152.5tan22 0.40 BEDE    ， 152.5 61 214AB AE BE DE CD        （米 ) ． 答：观景台的高 AB 的值约为 214 米． 19．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 (3,4)A ，过 点 A 的直线 y kx b  与 x 轴、 y 轴分别交于 B ， C 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若 AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍，求此直线的函数表达式． 【解答】解：（1）反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 (3,4)A ， 3 4 12k    ， 反比例函数的表达式为 12y x  ； （2）直线 y kx b  过点 A ， 3 4k b   ， 过点 A 的直线 y kx b  与 x 轴、 y 轴分别交于 B ， C 两点， ( bB k   ， 0) ， (0, )C b ， AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍，  1 14 | | 2 | | | |2 2 b b bk k         ， 2b   ， 当 2b  时， 2 3k  ， 当 2b   时， 2k  ， 直线的函数表达式为： 2 23y x  ， 2 2y x  ． 20．（10 分）如图，在 ABC 的边 BC 上取一点 O ，以 O 为圆心，OC 为半径画 O ， O 与边 AB 相切于点 D ， AC AD ，连接 OA 交 O 于点 E ，连接 CE ，并延长交线段 AB 于 点 F ． （1）求证： AC 是 O 的切线； （2）若 10AB  ， 4tan 3B  ，求 O 的半径； （3）若 F 是 AB 的中点，试探究 BD CE 与 AF 的数量关系并说明理由． 【解答】解：（1）如图，连接 OD ， O 与边 AB 相切于点 D ， OD AB  ，即 90ADO  ， AO AO ， AC AD ， OC OD ， ( )ACO ADO SSS   ， 90ADO ACO     ， 又 OC 是半径， AC 是 O 的切线； （2） 4tan 3 ACB BC   ， 设 4AC x ， 3BC x ， 2 2 2AC BC AB  ， 2 216 9 100x x   ， 2x  ， 6BC  ， 8AC AD  ， 10AB  ， 2BD  ， 2 2 2OB OD BD  ， 2 2(6 ) 4OC OC    ， 8 3OC  ， 故 O 的半径为 8 3 ； （3）连接 OD ， DE ， 由（1）可知： ACO ADO   ， 90ACO ADO     ， AOC AOD   ， 又 CO DO ， OE OE ， ( )COE DOE SAS   ， OCE OED   ， OC OE OD  ， OCE OEC OED ODE       ， 180 180 2DEF OEC OED OCE           ， 点 F 是 AB 中点， 90ACB   ， CF BF AF   ， FCB FBC   ， 180 180 2DFE BCF CBF OCE           ， DEF DFE   ， DE DF CE   ， AF BF DF BD CE BD      ． 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上） 21．（4 分）已知 7 3a b  ，则代数式 2 26 9a ab b  的值为 49 ． 【解答】解： 7 3a b  ， 3 7a b   ， 2 26 9a ab b   2( 3 )a b  27 49 ， 故答案为：49． 22．（4 分）关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m    有实数根，则实数 m 的取值范围是 7 2m„ ． 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m    有实数根， △ 2 3( 4) 4 2 ( ) 16 8 12 02m m         … ， 解得： 7 2m„ ， 故答案为： 7 2m„ ． 23．（4 分）如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 叫做“正六边形的渐 开线”， 1FA ， 1 1A B ， 1 1B C ， 1 1C D ， 1 1D E ， 1 1E F ， 的圆心依次按 A ，B ，C ，D ，E ， F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当 1AB  时，曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 的长度是 7 ． 【解答】解： 1FA 的长 60 1 180 3     ， 1 1A B 的长 60 2 2 180 3     ， 1 1B C 的长 60 3 3 180 3     ， 1 1C D 的长 60 4 4 180 3     ， 1 1D E 的长 60 5 5 180 3     ， 1 1E F 的长 60 6 6 180 3     ， 曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 的长度 2 6 21 73 3 3 3          ， 故答案为 7 ． 24．（4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ( 0)y mx m  与双曲线 4y x  交于 A ，C 两 点（点 A 在第一象限），直线 ( 0)y nx n  与双曲线 1y x   交于 B ， D 两点．当这两条直 线互相垂直，且四边形 ABCD 的周长为10 2 时，点 A 的坐标为 ( 2 ， 2 2) 或 (2 2 ， 2) ． 【解答】解：联立 ( 0)y mx m  与 4y x  并解得： 2 2 x m y m       ，故点 A 的坐标为 2( m ，2 )m ， 联立 ( 0)y nx n  与 1y x   同理可得：点 1(D n  ， )n  ， 这两条直线互相垂直，则 1mn   ，故点 (D m ， 1 ) m  ，则点 (B m ， 1 ) m ， 则 2 2 22 1 5( ) (2 ) 5AD m m mmm m       ， 同理可得： 2 25 5AB m ADm    ， 则 1 10 24AB   ，即 2 25 5 52AB mm    ， 解得： 2m  或 1 2 ， 故点 A 的坐标为 ( 2 ， 2 2) 或 (2 2 ， 2) ， 故答案为： ( 2 ， 2 2) 或 (2 2 ， 2) ． 25．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， 4AB  ， 3BC  ，E ，F 分别为 AB ，CD 边的中点．动 点 P 从点 E 出发沿 EA 向点 A 运动，同时，动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动，连接 PQ ， 过点 B 作 BH PQ 于点 H ，连接 DH ．若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍，在点 P 从点 E 运动至点 A 的过程中，线段 PQ 长度的最大值为 3 2 ，线段 DH 长度的最小值为 ． 【解答】解：连接 EF 交 PQ 于 M ，连接 BM ，取 BM 的中点 O ，连接 OH ，OD ，过点 O 作 ON CD 于 N ． 四边形 ABCD 是矩形， DF CF ， AE EB ， 四边形 ADFE 是矩形， 3EF AD   ， / /FQ PE ， MFQ MEP ∽ ，  MF FQ ME PE  ， 2PE FQ ， 2EM MF  ， 2EM  ， 1FM  ， 当 点 P 与 A 重 合 时 ， PQ 的 值 最 大 ， 此 时 2 2 2 22 2 2 2PM AE ME     ， 2 2 2 21 1 2MQ FQ MF     ， 3 2PQ  ， / / / /MF ON BC ， MO OB ， 1FN CN   ， 3DN DF FN   ， 1 ( ) 22ON FM BC   ， 2 2 2 23 2 13OD DN ON      ， BH PQ ， 90BHM  ， OM OB ， 2 21 1 2 2 22 2OH BM      ， DH OD OH … ， 13 2DH … ， DH 的最小值为 13 2 ， 故答案为 3 2 ， 13 2 ． 五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上） 26．（8 分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月 获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为 10 元 / 件，拟采取 线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 y （单位：件）与线下售价 x（单 位：元 / 件，12 24)x „ 满足一次函数的关系，部分数据如下表： x （元 / 件） 12 13 14 15 16 y （件 ) 1200 1100 1000 900 800 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件．试问：当 x 为 多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【解答】解：（1） y 与 x 满足一次函数的关系， 设 y kx b  ， 将 12x  ， 1200y  ； 13x  ， 1100y  代入得： 1200 12 1100 13 k b k b      ， 解得： 100 2400 k b     ， y 与 x 的函数关系式为： 100 2400y x   ； （2）设线上和线下月利润总和为 m 元， 则 2400( 2 10) ( 10) 400 4800 ( 100 2400)( 10) 100( 19) 7300m x y x x x x x               ， 当 x 为 19 元 / 件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为 7300 元． 27．（10 分）在矩形 ABCD 的CD 边上取一点 E ，将 BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处． （1）如图 1，若 2BC BA ，求 CBE 的度数； （2）如图 2，当 5AB  ，且 10AF FD  时，求 BC 的长； （3）如图 3，延长 EF ，与 ABF 的角平分线交于点 M ，BM 交 AD 于点 N ，当 NF AN FD  时，求 AB BC 的值． 【解答】解：（1）将 BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处， BC BF  ， FBE EBC   ， 2BC AB ， 2BF AB  ， 30AFB  ， 四边形 ABCD 是矩形， / /AD BC ， 30AFB CBF     ， 1 152CBE FBC     ； （2）将 BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处， 90BFE C    ， CE EF ， 又矩形 ABCD 中， 90A D     ， 90AFB DFE    ， 90DEF DFE     ， AFB DEF   ， FAB EDF ∽ ，  AF AB DE DF  ， AF DF AB DE   ， 10AF DF   ， 5AB  ， 2DE  ， 5 2 3CE DC DE      ， 3EF  ， 2 2 2 23 2 5DF EF DE      ， 10 2 5 5 AF   ， 2 5 5 3 5BC AD AF DF       ． （3）过点 N 作 NG BF 于点 G ， NF AN FD  ， 1 1 2 2NF AD BC   ， BC BF ， 1 2NF BF  ， NFG AFB   ， 90NGF BAF    ， NFG BFA ∽ ，  1 2 NG FG NF AB FA BF    ， 设 AN x ， BN 平分 ABF ， AN AB ， NG BF ， AN NG x   ， 设 FG y ，则 2AF y ， 2 2 2AB AF BF  ， 2 2 2(2 ) (2 ) (2 )x y x y    ， 解得 4 3y x ． 4 102 3 3BF BG GF x x x      ．  2 3 10 5 3 AB AB x BC BF x    ． 28．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于 ( 1,0)A  ， (4,0)B 两点，与 y 轴交于点 (0, 2)C  ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD ，BC 交于点 E ，连接 BD ，记 BDE 的面积为 1S ， ABE 的面积为 2S ，求 1 2 S S 的最大值； （3）如图 2，连接 AC ， BC ，过点 O 作直线 / /l BC ，点 P ， Q 分别为直线 l 和抛物线上 的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 P ，Q ，使 PQB CAB ∽ ．若存在，请求出 所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ( 1)( 4)y a x x   ． 将 (0, 2)C  代入得： 4 2a  ，解得 1 2a  ， 抛物线的解析式为 1 ( 1)( 4)2y x x   ，即 21 3 22 2y x x   ． （2）过点 D 作 DG x 轴于点G ，交 BC 于点 F ，过点 A 作 AK x 轴交 BC 的延长线于点 K ， / /AK DG ， AKE DFE ∽ ，  DF DE AK AE  ，  1 2 BDE ABE S S DE DF S S AE AK      ， 设直线 BC 的解析式为 y kx b  ，  4 0 2 k b b      ，解得 1 2 2 k b      ， 直线 BC 的解析式为 1 22y x  ， ( 1,0)A  ， 1 522 2y      ， 5 2AK  ， 设 21 3( , 2)2 2D m m m  ，则 1( , 2)2F m m  ， 2 21 1 3 12 2 22 2 2 2DF m m m m m         ．  2 2 21 2 1 2 1 4 1 42 ( 2)5 5 5 5 5 2 m mS m m mS           ． 当 2m  时， 1 2 S S 有最大值，最大值是 4 5 ． （3）符合条件的点 P 的坐标为 68 34( , )9 9 或 6 2 41 3 41( , )5 5   ． / /l BC ， 直线 l 的解析式为 1 2y x ， 设 ( , )2 aP a ， ①当点 P 在直线 BQ 右侧时，如图 2，过点 P 作 PN x 轴于点 N ，过点 Q 作 QM  直线 PN 于点 M ， ( 1,0)A  ， (0, 2)C  ， (4,0)B ， 5AC  ， 5AB  ， 2 5BC  ， 2 2 2AC BC AB  ， 90ACB   ， PQB CAB  ∽ ，  1 2 PQ AC PB BC   ， 90QMP BNP     ， 90MQP MPQ     ， 90MPQ PBN     ， MQP PBN   ， QPM PBN ∽ ，  1 2 QM PM PQ PN BN PB    ， 4 aQM  ， 1 1( 4) 22 2PM a a    ， 2MN a   ， 34 44 4 aBN QM a a      ， 3(4Q a ， 2)a  ， 将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得 21 3 3 3( ) 2 22 4 2 4a a a      ， 解得 0a  （舍去）或 68 9a  ． 68 34( , )9 9P ． ②当点 P 在直线 BQ 左侧时， 由①的方法同理可得点 Q 的坐标为 5(4 a ， 2) ． 此时点 P 的坐标为 6 2 41 3 41( , )5 5   ．