（鄂尔多斯专版）中考数学复习：矩形、菱形、正方形课件-54张 54页

矩形、菱形、正方形 第五单元　四边形 【 考情分析 】 考点 2015 中考 相关题 2016 中考 相关题 2017 中考 相关题 2018 中考 相关题 2019 中考 相关题 2020 中考 预测 矩形的性质及判定 6 题 ,3 分 14 题 ,3 分 9 题 ,3 分 ★★★★★ 菱形的性质及判定 10 题 ,3 分 16 题 ,3 分 22 题 ,8 分 9 题 ,3 分 ★★★★ 正方形 的 性质 及判定 15 题 ,3 分 23 题 ,11 分 19 题 ,8 分 4 题 ,3 分 23 题 ,11 分 ★★★★ 定义 　 有一个角是 ① 　　 　 的平行四边形叫做矩形   性质 (1) 矩形具有平行四边形的所有性质 (2) 矩形的四个角都是 ② 　　 　 , 对角线互相平分并且 ③ 　　 　   (3) 矩形是轴对称图形 , 它有两条对称轴 ; 又是中心对称图形 , 它的对称中心就是 ④ 　　　 　　   考点一　矩形 考点聚焦 直角 直角 相等 对角线的交点 判定 (1) 定义法 (2) 有三个角是直角的四边形是矩形 (3) ⑤ 　　 　　　 的平行四边形是矩形   有关计算 (1) 周长 C =2( a + b )( 其中 a 为长 , b 为宽 ); (2) 面积 S = ab ( 其中 a 为长 , b 为宽 ) ( 续表 ) 对角线相等 定义 　 有一组 ⑥ 　 　　　　 的平行四边形叫做菱形   性质 (1) 菱形具有平行四边形的所有性质 (2) 菱形的四条边 ⑦ 　　　 , 对角线互相 ⑧ 　　　 　 , 并且每条对角线平分一组对角   (3) 菱形既是轴对称图形也是中心对称图形 , 对称轴是两条对角线所在的直线 , 对称中心是 ⑨ 　　 　   (4) 菱形的面积等于对角线乘积的 ⑩ 　 　   考点二　菱形 邻边相等 相等 垂直平分 对角线的交点 一半 判定 (1) 定义法 (2) 四条边 ⑪ 　 　　 的四边形是菱形   (3) 对角线 ⑫ 　 　 的平行四边形是菱形   有关 计算 (1) 周长 C =4 a ( 其中 a 为边长 ); (2) 面积 S = ah = 对角线乘积的一半 ( 其中 a 为边长 , h 为此边上的高 ) ( 续表 ) 相等 互相垂直 定义 　 四条边都相等 , 四个角都是直角的四边形叫做正方形 性质 (1) 正方形四条 边 ⑬ 　　　　 ;  (2) 正方形四个角 都是 ⑭ 　　　　 ;  (3) 正方形的对角线相等且 互相 ⑮ 　 　　 , 每条对角线平分一组对角 ;  (4) 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 , 对称轴有四条 , 对称中心是对角线的 交点 相等 直角 垂直平分 考点三　正方形 ( 续表 ) 判定 (1) 有一组邻边相等 的 ⑯ 　　 　 是正方形 ;  (2) 有一个角是直角 的 ⑰ 　　 　 是正方形 ;  (3) 对角线相等 的 ⑱ 　　 　 是正方形 ;  (4) 对角线 ⑲ 　　 　　 的矩形是正方形   矩形 菱形 菱形 互相垂直 考点四　平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 直角 互相垂直 相等 互相垂直 相等 直角 考点五　中点四边形 顺次连接四边形各边中点所得的四边形 , 我们称之为中点四边形 . 中点四边形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理 . 常见结论如下 : 原四边形的形状 中点四边形的形状 任意四边形 ㉖ 　　 　   平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 ㉗ 　　 　   正方形 ㉘ 　　 　   平行四边形 矩形 正方形 1 . [2019· 赤峰 ] 如图 24-1, 菱形 ABCD 周长为 20, 对角线 AC , BD 相交于点 O , E 是 CD 的中点 , 则 OE 的长是 ( 　　 ) A . 2 . 5 B . 3 C . 4 D . 5 题组一　必会题 对点演练 图 24-1 A 2 . [2019· 娄底 ] 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是 ( 　　 ) A . 平行四边形 B . 菱形 C . 矩形 D . 正方形 C 图 24-2 [ 答案 ] B 　 4 . [2019· 镇江 ] 将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置 ( 如图 24-3), 使得点 D 落在对角线 CF 上 , EF 与 AD 相交于点 H , 则 HD = 　　　 . ( 结果保留根号 )  图 24-3 【 失分点 】 混淆矩形、菱形、正方形的性质与判定 ; 存在多种情况未分类讨论 . 题组二　易错题 5 . [2019· 无锡 ] 下列结论中 , 矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( 　　 ) A . 内角和为 360° B . 对角线互相平分 C . 对角线相等 D . 对角线互相垂直 C 6 . 顺次连接矩形 ABCD 各边的中点 , 所得四边形必定是 ( 　　 ) A . 邻边不等的平行四边形 B . 矩形 C . 正方形 D . 菱形 D 7 . 如图 24-4, 四边形 ABCD 的对角线互相平分 , 要使它成为矩形 , 那么需要添加的条件是 ( 　　 ) A .AB = CD B .AD = BC C .AB = BC D .AC = BD D 图 24-4 [ 答案 ] 3 或 5 考向一　矩形的性质与判定 图 24-5 例 1 [2018· 青岛 ] 如图 24-5, 在▱ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 E , 点 G 为 AD 的中点 , 连接 CG , CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F , 连接 FD. (1) 求证 : AB = AF. (2) 若 AG = AB , ∠ BCD =120°, 判断四边形 ACDF 的形状 , 并证明你的结论 . 解 :(1) 证明 : 在平行四边形 ABCD 中 , AF ∥ CD , AB = CD , ∴∠ FAD = ∠ CDG. ∵ G 为 AD 的中点 , ∴ AG = DG. 又∵∠ AGF = ∠ DGC , ∴ △ AGF ≌△ DGC (ASA), ∴ AF = CD. 又∵ AB = CD , ∴ AB = AF. 解 :(2) 四边形 ACDF 为矩形 . 证明如下 : ∵∠ BCD =120°, ∴∠ BAG =120°, ∴∠ FAG =60° . 又∵ AG = AB , AB = AF , ∴ AG = AF , ∴ △ AGF 为等边三角形 . ∴ AG = FG. ∵ AF ∥ CD , AF = CD , ∴四边形 ACDF 为平行四边形 , ∴ AD =2 AG , CF =2 FG , ∴ AD = CF , ∴四边形 ACDF 为矩形 . 图 24-5 例 1 [2018· 青岛 ] 如图 24-5, 在▱ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 E , 点 G 为 AD 的中点 , 连接 CG , CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F , 连接 FD. (2) 若 AG = AB , ∠ BCD =120°, 判断四边形 ACDF 的形状 , 并证明你的结论 . 【 方法点析 】 (1) 矩形是特殊的平行四边形 , 它具有平行四边形的所有性质 , 同时矩形的四个角都是直角 , 对角线相等 , 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形 ; (2) 判定矩形的方法也是多样的 , 可以先判定这个四边形是平行四边形 , 再判定其是矩形 . | 考向精练 | 1 . [2015· 鄂尔多斯 6 题 ] 如图 24-6, P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 , E 是 AD 的中点 . 若 AB =6, AD =8, 则四边形 ABPE 的周长为 ( 　　 ) A . 14 B . 16 C . 17 D . 18 图 24-6 [ 答案 ] D 2 . [2016· 鄂尔多斯 14 题 ] 如图 24-7, 在一张矩形纸片 ABCD 中 , AB =3, 点 P , Q 分别是 AB 和 CD 的中点 , 现将这张纸片折叠 , 使点 D 落到 PQ 上的点 G 处 , 折痕为 CH. 若 HG 的延长线恰好经过点 B , 则 AD 的长为 　　　　 .  图 24-7 3 . [2014· 鄂尔多斯 22 题 ] 如图 24-8 ① , 在▱ ABCD 中 , 点 E 是 BC 边的中点 , 连接 AE 并延长 , 交 DC 的延长线于点 F , 且∠ AEC =2 ∠ ABE , 连接 BF , AC. (1) 求证 : 四边形 ABFC 是矩形 . (2) 在图①中 , 若点 M 是 BF 上一点 , 沿 AM 折叠 △ ABM , 使点 B 恰好落在线段 DF 上的点 B' 处 ( 如图② ), AB =13, AC =12, 求 MF 的长 . 图 24-8 3 . [2014· 鄂尔多斯 22 题 ] 如图 24-8 ① , 在▱ ABCD 中 , 点 E 是 BC 边的中点 , 连接 AE 并延长 , 交 DC 的延长线于点 F , 且∠ AEC =2 ∠ ABE , 连接 BF , AC. (2) 在图①中 , 若点 M 是 BF 上一点 , 沿 AM 折叠 △ ABM , 使点 B 恰好落在线段 DF 上的点 B' 处 ( 如图② ), AB =13, AC =12, 求 MF 的长 . 图 24-8 考向二　菱形的性质与判定 图 24-9 解 :(1) 证明 : ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AD ∥ CE , ∴∠ DAF = ∠ EBF. 又∵∠ AFD = ∠ EFB , AF = FB , ∴ △ AFD ≌△ BFE , ∴ AD = EB. 又∵ AD ∥ EB , ∴四边形 AEBD 是平行四边形 . 又∵ BD = AD , ∴四边形 AEBD 是菱形 . 图 24-9 | 考向精练 | 1 . [2014· 鄂尔多斯 9 题 ] 如图 24-10, 在菱形 ABCD 中 , AB 的垂直平分线 EF 交对角线 AC 于点 F , 垂足为 E , 连接 DF , 若∠ CDF =24°, 则∠ DAB 等于 ( 　　 ) A . 100° B . 104° C . 105° D . 110° 图 24-10 [ 答案 ] B 　 [ 解析 ] 如图 , 连接 BD , BF. ∵四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AD = CD , ∴∠ DAC = ∠ DCA. ∵ EF 垂直平分 AB , AC 垂直平分 BD , ∴ AF = BF , BF = DF , ∴ AF = DF , ∴∠ FAD = ∠ FDA , ∴∠ DAC + ∠ FDA + ∠ DCA + ∠ CDF =180°, 即 3 ∠ DAC + ∠ CDF =180° . ∵∠ CDF =24°, ∴ 3 ∠ DAC +24°=180°, ∴∠ DAC =52°, ∴∠ DAB =2 ∠ DAC =104° . 故选 B . 图 24-11 考向三　正方形的性质与判定 例 3 [2017· 湖州 ] 已知正方形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O. (1) 如图 24-12 ① , E , G 分别是 OB , OC 上的点 , CE 与 DG 的延长线相交于点 F. 若 DF ⊥ CE , 求证 : OE = OG. (2) 如图② , H 是 BC 上的点 , 过点 H 作 EH ⊥ BC , 交线段 OB 于点 E , 连接 DH 交 CE 于点 F , 交 OC 于点 G. 若 OE = OG , ①求证 : ∠ ODG = ∠ OCE. ②当 AB =1 时 , 求 HC 的长 . 图 24-12 解 :(1) 证明 : ∵四边形 ABCD 是正方形 , ∴ AC ⊥ BD , OD = OC , ∴∠ DOG = ∠ COE =90°, ∴∠ OEC + ∠ OCE =90° . ∵ DF ⊥ CE , ∴∠ OEC + ∠ ODG =90°, ∴∠ OCE = ∠ ODG , ∴ △ DOG ≌△ COE (ASA), ∴ OE = OG. 例 3 [2017· 湖州 ] 已知正方形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O. (2) 如图② , H 是 BC 上的点 , 过点 H 作 EH ⊥ BC , 交线段 OB 于点 E , 连接 DH 交 CE 于点 F , 交 OC 于点 G. 若 OE = OG , ①求证 : ∠ ODG = ∠ OCE. ②当 AB =1 时 , 求 HC 的长 . 图 24-12 | 考向精练 | 图 24-13 [ 答案 ] C 2 . [2017· 鄂尔多斯 16 题 ] 如图 24-14, M , N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点 , 满足 AM = BN , 连接 AC 交 BN 于点 E , 连接 DE 交 AM 于点 F , 连接 CF , 若正方形的边长为 4, 则线段 CF 的最小值是 　　　　 .  图 24-14 考向四　特殊四边形的综合运用 例 4 (1) 如图 24-15 ① , 在平行四边形纸片 ABCD 中 , AD =5, S ▱ ABCD =15, 过点 A 作 AE ⊥ BC , 垂足为 E , 沿 AE 剪下 △ ABE , 将它平移至 △ DCE' 的位置 , 拼成四边形 AEE'D , 则四边形 AEE'D 的形状为 ( 　　 ) A . 梯形 B . 菱形 C . 矩形 D . 正方形 (2) 如图② , 在 (1) 中的四边形纸片 AEE'D 中 , 在 EE' 上取一点 F , 使 EF =4, 剪下 △ AEF , 将它平移至 △ DE'F' 的位置 , 拼成四边形 AFF'D. ①求证 : 四边形 AFF'D 是菱形 . ②求四边形 AFF'D 的两条对角线的长 . 图 24-15 C 例 4 (2) 如图② , 在 (1) 中的四边形纸片 AEE'D 中 , 在 EE' 上取一点 F , 使 EF =4, 剪下 △ AEF , 将它平移至 △ DE'F' 的位置 , 拼成四边形 AFF'D. ①求证 : 四边形 AFF'D 是菱形 . ②求四边形 AFF'D 的两条对角线的长 . 图 24-15 | 考向精练 | [2019· 北京 ] 在矩形 ABCD 中 , M , N , P , Q 分别为边 AB , BC , CD , DA 上的点 ( 不与端点重合 ) . 对于任意矩形 ABCD , 下面四个结论中 , ①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形 ; ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形 ; ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形 ; ④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形 . 所有正确结论的序号是 　　　　 .  [ 答案 ] ①②③ 　 [ 解析 ] 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , 连接 AC , BD 交于 O , 过点 O 的直线 MP 和 QN 分别交 AB , BC , CD , AD 于 M , N , P , Q , 则四边形 MNPQ 是平行四边形 , 存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形 , 故①正确 ; 如图 , 当 PM = QN 时 , 四边形 MNPQ 是矩形 , 存在无数个四边形 MNPQ 是矩形 ; 故②正确 ; 如图 , 当 PM ⊥ QN 时 , 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形 ; 故③正确 ; 当四边形 MNPQ 是正方形时 , MQ = PQ , 则 △ AMQ ≌△ DQP , ∴ AM = QD , AQ = PD , 易知 △ PDQ ≌△ MBN , ∴ PD = BM , ∴ AB = AD , ∴四边形 ABCD 是正方形与任意矩形 ABCD 矛盾 , 故④错误 . 填①②③ .