初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第七章 图形变化 聚焦中考、第31讲图形的旋转 36页

人教 数 学 第七章　图形的变化 第 31 讲　图形的旋转 要点梳理 1 ． 把一个图形绕着某一个点 O 转动一定角度的图形变换叫做 ， 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ′ ， 那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2 ． 旋转变换的性质 (1) 对应点到旋转中心的距离 ； (2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ； (3) 旋转前、后的图形全等． 旋转 相等 旋转角 要点梳理 3 ． 把一个图形绕着某一个点旋转 ， 如果它能够与另一个图形重合 ， 那么就说这两个图形关于这个点成中心对称 ， 这个点叫做 ， 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 关于中心对称的两个图形 ， 对称点所连线段都经过对称中心 ， 而且被对称中心平分．关于中心对称的两个图形是 ． 180 ° 对称中心 全等图形 要点梳理 4 ． 把一个图形绕着某一个点旋转 180° ， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合 ， 那么这个图形叫做 ， 这个点就是它的 ． 5 ． 确定一个旋转运动的条件是要确定 ． 中心对称图形 对称中心 旋转中心、旋转方向和旋转角度 中心对称与中心对称图形 中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系 ， 必须涉及两个图形 ， 中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转 180° 后 ， 两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转 180° ， 与原图形重合． 中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起 ， 看成一个整体 ， 那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形 ， 那么这两个图形成中心对称． 中心对称与轴对称 中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心 —— 点；图形绕中心旋转 180° ， 旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴 —— 直线．图形沿直线翻折 180° ， 翻折后与另一个图形重合． 中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴 ， 那么它必是中心对称图形 ， 这两条对称轴的交点就是它的对称中心 ， 但中心对称图形不一定是轴对称图形． 方法技巧 图形的旋转方向可以是顺时针也可以是逆时针 ， 经过旋转 ， 图形的位置可能发生改变 ， 也可能不发生改变． ( 当图形旋转 360° 时 ， 图形的位置没有改变 ) 旋转作图 (1) 旋转作图的依据是旋转的特征． (2) 旋转作图的步骤如下： ① 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； ② 确定图形的关键点 ( 如三角形的三个顶点 ) ， 并标上相应字母； ③ 将这些关键点沿旋转方向转动一定的角度； ④ 按照原图形的连接方式 ， 顺次连接这些对应点 ， 得到旋转后的图形 ， 写出结论． 1 ． ( 2014 · 遵义 ) 观察下列图形 ， 是中心对称图形的是 ( ) C 2 ． ( 2014 · 济南 ) 下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) D 3 ． ( 2014 · 随州 ) 在等边 △ ABC 中 ， D 是边 AC 上一点 ， 连接 BD ， 将 △ BCD 绕点 B 逆时针旋转 60° ， 得到 △ BAE ， 连接 ED ， 若 BC ＝ 5 ， BD ＝ 4. 则下列结论错误的是 ( ) A ． AE ∥ BC 　　　　　　 B ． ∠ ADE ＝ ∠ BDC C ． △ BDE 是等边三角形 D ． △ ADE 的周长是 9 B 4 ． ( 2014· 哈尔滨 ) 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90 ° ， ∠ B ＝ 60 ° ， BC ＝ 2 ， △ A ′ B ′ C 可以由 △ ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 ， 其中点 A? 与点 A 是对应点 ， 点 B ′ 与点 B 是对应点 ， 连接 AB ′ ， 且 A ， B ′ ， A ′ 在同一条直线 上 ， 则 AA ′ 的长为 ( ) A ． 6 B ． 4 3 C ． 3 3 D ． 3 A 5 ． ( 2014 · 绵阳 ) 如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， E ， F 分别是边 BC ， CD 上的点 ， ∠ EAF ＝ 45° ， △ ECF 的周长为 4 ， 则正方形 ABCD 的边长为 ． 2 识别中心对称图形 【 例 1】 　 ( 2014 · 绵阳 ) 下列四个图案中 ，属于中心对称图形的是 ( ) D 【 点评 】 　把一个图形绕着某一个点旋转 180° ， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合 ， 这样的图形才是中心对称图形． 1 ． ( 2014· 安顺 ) 下列四个图形中 ， 既是轴对称图形又是中 心对称图形的是 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B 根据旋转的性质解决问题 【 例 2 】 (1) ( 2014· 兰州 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90 ° ， ∠ ABC ＝ 30 ° ， AB ＝ 2. 将 △ ABC 绕直角顶点 C 逆 时针旋转 60 ° 得 △ A?B?C ， 则点 B 转过的路径长为 ( ) A. π 3 B. 3 π 3 C. 2π 3 D ． π B (2) 如图 ， 在 △ ABC 和 △ CDE 中 ， AB ＝ AC ＝ CE ， BC ＝ DC ＝ DE ， AB ＞ BC ， ∠ BAC ＝ ∠ DCE ＝ ∠ α ， 点 B ， C ， D 在直线 l 上 ， 按下列要求画图： ( 保留画图痕迹 ) ① 画出点 E 关于直线 l 的对称点 E ′ ， 连接 CE ′ ， DE ′ ； ② 以点 C 为旋转中心 ， 将 (1) 中所得 △ CDE ′ 按逆时针方向旋转 ， 使得 CE ′ 与 CA 重合 ， 得到 △ CD ′ E ″( A ) ， 画出 △ CD ′ E ″( A ) ， 解决下面问题： 线段 AB 和线段 CD ′ 的位置关系是 ， 并说明理由． AB ∥ CD′ 【 点评 】 　 (1) 抓住旋转中的 “ 变 ” 与 “ 不变 ” ； (2) 找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等； (3) 充分利用旋转过程中线段、角之间的关系． 2 ． (1) ( 2014 · 海南 ) 如图 ， △ COD 是 △ AOB 绕点 O 顺时针旋转 40° 后得到的图形 ， 若点 C 恰好落在 AB 上 ， 且 ∠ AOD 的度数为 90° ， 则 ∠ B 的度数是 ． 60 ° (2) ( 2013 · 福州 ) 如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 点 A 的坐标为 ( － 2 ， 0) ， 等边三角形 AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到 △ OBD. ①△ AOC 沿 x 轴向右平移得到 △ OBD ， 则平移的距离是 个单位长度； △ AOC 与 △ BOD 关于直线对称 ， 则对称轴是 ； △ AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到 △ DOB ， 则旋转角度可以是 度； 2 ； y 轴； 120 　解析： ①∵ 点 A 的坐标为 ( － 2 ， 0 ) ， ∴△ AOC 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到 △ OBD ； ∴△ AOC 与 △ BOD 关于 y 轴对称； ∵△ AOC 为等边三角形 ， ∴∠ AOC ＝ ∠ BOD ＝ 60 ° ， ∴∠ AOD ＝ 120 ° ， ∴△ AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120 ° 得到 △ DOB 2 y 轴 120 ② 连接 AD ， 交 OC 于点 E ， 求 ∠ AEO 的度数． ② 如图 ， ∵ 等边 △ AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120 ° 得到 △ DOB ， ∴ OA ＝ OD ， ∵∠ AOC ＝ ∠ BOD ＝ 60 ° ， ∴∠ DOC ＝ 60 ° ， 即 OE 为等腰 △ AOD 的顶角的平分线 ， ∴ OE 垂直平分 AD ， ∴∠ AEO ＝ 90 ° 与旋转有关的作图 【 例 3】 　 ( 2014 · 宁夏 ) 在平面直角坐标系中 ， △ ABC 的三个顶点坐标分别为 A( － 2 ， 1) ， B( － 4 ， 5) ， C( － 5 ， 2) ． (1) 画出 △ ABC 关于 y 轴对称的 △ A 1 B 1 C 1 ； (2) 画出 △ ABC 关于原点 O 成中心对称的 △ A 2 B 2 C 2 . 【 点评 】 　本题考查了利用旋转变换作图 ， 利用轴对称变换作图 ， 熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 3 ． ( 2013 · 眉山 ) 如图 ， 在 11 × 11 的正方形网格中 ， 每个小正方形的边长都为 1 ， 网格中有一个格点 △ ABC( 即三角形的顶点都在格点上 ) ． (1) 在图中作出 △ ABC 关于直线 l 对称的 △ A 1 B 1 C 1 ； ( 要求 A 与 A 1 ， B 与 B 1 ， C 与 C 1 相对应 ) (2) 作出 △ ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 90° 后得到的 △ A 2 B 2 C ； (3) 在 (2) 的条件下直接写出点 B 旋转到 B 2 所经过的路径的长． ( 结果保留 π ) 试题　如图 ， 正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 ， 将 △ AEF 绕其顶点 A 旋转 ， 在旋转过程中 ， 当 BE ＝ DF 时 ， ∠ BAE 的大小是 ____ ． 错解　 15° 　解析： ∵ 正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 ， BE ＝ DF ， ∴ AB ＝ AD ， AE ＝ AF ， ∴△ ABE ≌△ ADF (SSS) ， ∴∠ BAE ＝ ∠ FAD . ∵∠ EAF ＝ 60° ， ∴∠ BAE ＋ ∠ FAD ＝ 30° ， ∴∠ BAE ＝ ∠ FAD ＝ 15°. 剖析 　正三角形 AEF 可以在正方形的内部也可以在正方形的外部 ， 所以要分两种情况分别求解． 正解 　 15° 或 165° 解析： (1) 当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时 ， 如图 ① ， ∵ 正方形 ABCD 与 正三角形 AEF 的顶点 A 重合 ， BE ＝ DF ， ∴ AB ＝ AD ， AE ＝ AF ， ∴△ ABE ≌△ ADF ( SSS ) ， ∴∠ BAE ＝ ∠ FAD . ∵∠ EAF ＝ 60 ° ， ∴∠ BAE ＋ ∠ FAD ＝ 30 ° ， ∴∠ BAE ＝ ∠ FAD ＝ 15 ° . (2) 当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部时 ， 如图 ② ， ∵ 正方形 ABCD 与正三角 形 AEF 的顶点 A 重合 ， BE ＝ DF ， AB ＝ AD ， AE ＝ AF ， ∴△ ABE ≌△ ADF ( SSS ) ， ∴∠ BAE ＝ ∠ FAD ， ∵∠ EAF ＝ 60 ° ， ∴ 2 ∠ BAE － ∠ EAF ＋ 90 ° ＝ 360 ° ， ∴∠ BAE ＝ 165 ° . 故答案为 15 ° 或 165 ° .