中考数学复习：三角形、四边形的有关计算与证明课件-45张 45页

三角形、四边形的有关计算与证明 类型一　有关三角形的计算与证明 　　 三角形的有关知识的综合主要围绕三角形全等展开 , 先通过其他的条件得出判断三角形全等的边、角条件 , 再利用全等三角形的性质得出边或角之间的关系 . 1 . [2019· 绍兴 ] 如图 Z3-1 ①是实验室中的一种摆动装置 , BC 在地面上 , 支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形 , 摆动臂 AD 可绕点 A 旋转 , 摆动臂 DM 可绕点 D 旋转 , AD =30, DM =10 . (1) 在旋转过程中 : ①当 A , D , M 三点在同一直线上时 , 求 AM 的长 ; ②当 A , D , M 三点在同一直角三角形的顶点时 , 求 AM 的长 . (2) 若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°, 点 D 的位置由 △ ABC 外的点 D 1 转到其内的点 D 2 处 , 连接 D 1 D 2 , 如图 Z3-1 ② , 此时∠ AD 2 C =135°, CD 2 =60, 求 BD 2 的长 . ① ② 图 Z3-1 1 . [2019· 绍兴 ] 如图 Z3-1 ①是实验室中的一种摆动装置 , BC 在地面上 , 支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形 , 摆动臂 AD 可绕点 A 旋转 , 摆动臂 DM 可绕点 D 旋转 , AD =30, DM =10 . (2) 若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°, 点 D 的位置由 △ ABC 外的点 D 1 转到其内的点 D 2 处 , 连接 D 1 D 2 , 如图 Z3-1 ② , 此时∠ AD 2 C =135°, CD 2 =60, 求 BD 2 的长 . ① ② 图 Z3-1 2 . 如图 Z3-2, 在 △ ABC 中 , ∠ ABC =45°, CD ⊥ AB , BE ⊥ AC , 垂足分别为 D , E , F 为 BC 的中点 , BE 与 DF , DC 分别交于点 G , H , ∠ ABE = ∠ CBE. (1) 线段 BH 与 AC 相等吗 ? 若相等 , 给予证明 ; 若不相等 , 请说明理由 . (2) 求证 : BG 2 - GE 2 = EA 2 . 图 Z3-2 2 . 如图 Z3-2, 在 △ ABC 中 , ∠ ABC =45°, CD ⊥ AB , BE ⊥ AC , 垂足分别为 D , E , F 为 BC 的中点 , BE 与 DF , DC 分别交于点 G , H , ∠ ABE = ∠ CBE. (2) 求证 : BG 2 - GE 2 = EA 2 . 图 Z3-2 3 . 已知两个共顶点的等腰直角三角形 ABC 和 CEF , ∠ ABC = ∠ CEF =90°, 连接 AF , M 是 AF 的中点 , 连接 MB , ME. (1) 如图 Z3-3 ① , 当 CB 与 CE 在同一条直线上时 , 求证 : MB ∥ CF ; (2) 在 (1) 的条件下 , 若 AB = a , CE =2 a , 求 BM , ME 的长 ; (3) 如图② , 当∠ BCE =45° 时 , 求证 : BM = ME. 图 Z3-3 解 :(1) 证明 : 如图① , 连接 CM. ∵ △ ABC 与 △ CEF 都是等腰直角三角形 , ∴∠ ACF =2×45°=90° . 又∵ M 是 AF 的中点 , ∴ CM = AM = MF. 又∵ AB = CB , BM = BM , ∴ △ ABM ≌△ CBM , ∴∠ 1= ∠ 2, ∴∠ AMC =2 ∠ 1 . ∵ CM = MF , ∴∠ 3= ∠ 4, ∴∠ AMC =2 ∠ 3, ∴∠ 1= ∠ 3, ∴ BM ∥ CF. 3 . 已知两个共顶点的等腰直角三角形 ABC 和 CEF , ∠ ABC = ∠ CEF =90°, 连接 AF , M 是 AF 的中点 , 连接 MB , ME. (2) 在 (1) 的条件下 , 若 AB = a , CE =2 a , 求 BM , ME 的长 ; 图 Z3-3 3 . 已知两个共顶点的等腰直角三角形 ABC 和 CEF , ∠ ABC = ∠ CEF =90°, 连接 AF , M 是 AF 的中点 , 连接 MB , ME. (3) 如图② , 当∠ BCE =45° 时 , 求证 : BM = ME. 图 Z3-3 解 : (3) 证明 :( 方法一 ) 如图② , 延长 BM 交 CF 于点 D , 连接 BE , DE. ∵∠ BCE =45°, ∴∠ BCF = ∠ BCE + ∠ ECF =45°+45°=90° . ∵∠ ABC =90°, ∴∠ ABC = ∠ BCF , ∴ AB ∥ CF , ∴∠ 1= ∠ 2, ∠ ABM = ∠ FDM. 又∵ AM = FM , ∴ △ ABM ≌△ FDM , ∴ AB = DF , ∴ BC = DF. 又∵∠ BCE = ∠ DFE =45°, CE = FE , ∴ △ BCE ≌△ DFE , ∴∠ 3= ∠ 4, ∴∠ BED = ∠ 3+ ∠ CED = ∠ 4+ ∠ CED =90° . 又由 △ ABM ≌△ FDM 可知 , BM = DM , ∴ EM 是 Rt△ BED 的斜边 BD 上的中线 , ∴ BM = ME. 类型二　有关四边形的计算与证明 ( 2018,19/2016,23/2015,21/2014, 22/2013,22 ) 　　 证明平行四边形及特殊平行四边形时 , 通常要先看题中已知条件的特点 , 再根据条件选择合适的判定方法加以证明 . 图 Z3-4 图 Z3-4 解 : (2) 如图 , 连接 OB. ∵∠ BEF =2 ∠ BAC , ∠ BEF = ∠ BAC + ∠ AOE , ∴∠ BAC = ∠ AOE , ∴ △ EAO 为等腰三角形 , AE = OE. 由 (1) 知 ,△ FCO ≌△ EAO , ∴ △ FCO 为等腰三角形 , ∴ OF = CF = AE = OE , ∴ O 为 EF 的中点 . ∵ BE = BF , ∴ BO 垂直平分 EF , ∴ Rt△ BCF ≌ Rt△ BOF ≌ Rt△ BOE (HL), ∴∠ CBF = ∠ OBF = ∠ OBE =30° . ∵ BC =2, ∴ CF = AE =2, ∴ BF = BE =4, ∴ AB = AE + BE =2+4=6 . 2 . [2018· 鄂尔多斯 19 题 ] 如图 Z3-5, 在 △ ABC 中 , ∠ BAC =45°, AD ⊥ BC 于点 D , BD =6, DC =4 . 求 AD 的长 . 小明同学利用翻折 , 巧妙地解答了此题 , 按小明的思路探究并解答下列问题 : (1) 分别以 AB , AC 为对称轴 , 画出 △ ABD 和 △ ACD 的对称图形 , 点 D 的对称点分别为点 E , F , 延长 EB 和 FC 相交于点 G , 求证 : 四边形 AEGF 是正方形 . (2) 设 AD = x , 建立关于 x 的方程模型 , 求出 AD 的长 . 图 Z3-5 解 :(1) 证明 : ∵ △ AEB 与 △ ADB 关于 AB 对称 , △ ADC 与 △ AFC 关于 AC 对称 , ∴∠ EAB = ∠ DAB , ∠ FAC = ∠ DAC , ∠ E = ∠ ADC = ∠ F =90°, AE = AD = AF , BD = BE , CD = CF. 又∵∠ DAC + ∠ DAB =45°, ∴∠ EAB + ∠ FAC =45°, ∴∠ EAF =90°, ∴四边形 AEGF 是矩形 , 又 AE = AF , ∴四边形 AEGF 是正方形 . 2 . [2018· 鄂尔多斯 19 题 ] 如图 Z3-5, 在 △ ABC 中 , ∠ BAC =45°, AD ⊥ BC 于点 D , BD =6, DC =4 . 求 AD 的长 . 小明同学利用翻折 , 巧妙地解答了此题 , 按小明的思路探究并解答下列问题 : (2) 设 AD = x , 建立关于 x 的方程模型 , 求出 AD 的长 . 图 Z3-5 解 : (2) ∵ BD =6, CD =4, ∴ BE =6, CF =4 . 又∵ AD = x , ∴ AE = EG = GF = x , ∴ BG = x -6, CG = x -4 . 在 Rt△ BCG 中 ,( x -6) 2 +( x -4) 2 =10 2 , 解得 x 1 =12, x 2 =-2( 舍去 ), ∴ AD 的长为 12 . 图 Z3-6 解 :(1) 证明 : 由折叠知 , ∠ EFA = ∠ DFA , EG = GD , EF = DF. ∵ EG ∥ DC , ∴∠ DFA = ∠ EGF , ∴∠ EFA = ∠ EGF , ∴ EF = EG , ∴ EF = EG = FD = GD. ∴四边形 EFDG 是菱形 . 图 Z3-6 图 Z3-6 4 . [2016· 鄂尔多斯 23 题 ] 如图 Z3-7 ① , 在正方形 ABCD 中 , 点 O 是对角线 AC 的中点 , 点 P 是线段 AO 上 ( 不与 A , O 重合 ) 的一个动点 , 过点 P 作 PE ⊥ PB , 且 PE 交边 CD 于点 E. (1) 求证 : PB = PE. (2) 如图② , 若正方形 ABCD 的边长为 2, 过点 E 作 EF ⊥ AC 于点 F , 在点 P 运动的过程 中 , PF 的长度是否发生变化 ? 若不变 , 试求出这个不变的值 ; 若变化 , 请说明理由 . (3) 如图① , 用等式表示线段 PC , PA , EC 之间的数量关系 . 图 Z3-7 解 :(1) 证明 : 如图① , 过点 P 作 MN ∥ AD , 交 AB 于 M , 交 CD 于点 N. ∵ PB ⊥ PE , ∴∠ BPE =90°, ∴∠ MPB + ∠ EPN =90° . ∵四边形 ABCD 是正方形 , ∴∠ BAD = ∠ D =90° . ∵ AD ∥ MN , ∴∠ BMP = ∠ BAD = ∠ PNE = ∠ D =90°, ∴∠ MPB + ∠ MBP =90°, ∴∠ EPN = ∠ MBP. 在 Rt△ PNC 中 , ∠ PCN =45°, ∴ △ PNC 是等腰直角三角形 , ∴ PN = CN. ∵∠ BMP = ∠ PNC = ∠ ABC =90°, ∴四边形 MBCN 是矩形 , ∴ BM = CN , ∴ BM = PN , ∴ △ BMP ≌△ PNE (ASA), ∴ PB = PE. 4 . [2016· 鄂尔多斯 23 题 ] 如图 Z3-7 ① , 在正方形 ABCD 中 , 点 O 是对角线 AC 的中点 , 点 P 是线段 AO 上 ( 不与 A , O 重合 ) 的一个动点 , 过点 P 作 PE ⊥ PB , 且 PE 交边 CD 于点 E. (2) 如图② , 若正方形 ABCD 的边长为 2, 过点 E 作 EF ⊥ AC 于点 F , 在点 P 运动的过程 中 , PF 的长度是否发生变化 ? 若不变 , 试求出这个不变的值 ; 若变化 , 请说明理由 . 图 Z3-7 4 . [2016· 鄂尔多斯 23 题 ] 如图 Z3-7 ① , 在正方形 ABCD 中 , 点 O 是对角线 AC 的中点 , 点 P 是线段 AO 上 ( 不与 A , O 重合 ) 的一个动点 , 过点 P 作 PE ⊥ PB , 且 PE 交边 CD 于点 E. (3) 如图① , 用等式表示线段 PC , PA , EC 之间的数量关系 . 图 Z3-7 5 . 猜想与证明 : 如图 Z3-8 ① , 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF , 使 B , C , G 三点在一条直线上 , CE 在边 CD 上 , 连接 AF , 若 M 为 AF 的中点 , 连接 DM , ME , 试猜想 DM 与 ME 的数量关系 , 并证明你的结论 . 图 Z3-8 拓展与延伸 : (1) 若将 “ 猜想与证明 ” 中的纸片换成正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF , 其他条件不变 , 则 DM 和 ME 的关系为 　　　　 ;  (2) 如图 Z3-8 ② , 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF , 使点 F 在边 CD 上 , 点 M 仍为 AF 的中点 , 试证明 (1) 中的结论仍然成立 . 图 Z3-8 解 : 猜想与证明 猜想 DM 与 ME 的数量关系是 DM = ME. 证明 : 如图① , 延长 EM 交 AD 于点 H. ∵四边形 ABCD , 四边形 ECGF 都是矩形 , ∴ AD ∥ BG , EF ∥ BG , ∠ HDE =90° . ∴ AD ∥ EF. ∴∠ AHM = ∠ FEM. 又∵ AM = FM , ∠ AMH = ∠ FME , ∴ △ AMH ≌△ FME. ∴ HM = EM. 又∵∠ HDE =90°, ∴ DM = ME. 5 . 拓展与延伸 : (1) 若将 “ 猜想与证明 ” 中的纸片换成正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF , 其他条件不变 , 则 DM 和 ME 的关系为 　　　　 ;  图 Z3-8 DM = ME , DM ⊥ ME 5 . 拓展与延伸 : (2) 如图 Z3-8 ② , 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF , 使点 F 在边 CD 上 , 点 M 仍为 AF 的中点 , 试证明 (1) 中的结论仍然成立 . 图 Z3-8