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- 2021-11-11 发布
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2017年山东省淄博市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)
1.(4分)﹣的相反数是( )
A. B. C. D.﹣
2.(4分)C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机,其零部件总数超过100万个,请将100万用科学记数法表示为( )
A.1×106 B.100×104 C.1×107 D.0.1×108
3.(4分)下列几何体中,其主视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
4.(4分)下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6 B.(﹣a2)3=﹣a5
C.a10÷a9=a(a≠0) D.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=﹣b2c2
5.(4分)若分式的值为零,则x的值是( )
A.1 B.﹣1 C.±1 D.2
6.(4分)若a+b=3,a2+b2=7,则ab等于( )
A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣1
7.(4分)将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是( )
A.y=(x+3)2﹣2 B.y=(x+3)2+2 C.y=(x﹣1)2+2 D.y=(x﹣1)2﹣2
8.(4分)若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<﹣1 D.k<﹣1或k=0
9.(4分)如图,半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.2+π B.2+2π C.4+π D.2+4π
10.(4分)在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足|m﹣n|≤1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )
A. B. C. D.
11.(4分)小明做了一个数学实验:将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内,看作一个容器,然后,小明对准玻璃杯口匀速注水,如图所示,在注水过程中,杯底始终紧贴鱼缸底部,则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是( )
A. B. C. D.
12.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13.(4分)分解因式:2x3﹣8x= .
14.(4分)已知α,β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根,则α2+αβ﹣3α的值为 .
15.(4分)运用科学计算器(如图是其面板的部分截图)进行计算,按键顺序如下:
则计算器显示的结果是 .
16.(4分)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= .
17.(4分)设△ABC的面积为1.
如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点F1,得到四边形CD1F1E1,其面积S1=.
如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2=;
如图3,分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3
是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3=;
…
按照这个规律进行下去,若分别将AC,BC边(n+1)等分,…,得到四边形CDnEnFn,其面积S= .
三、解答题(本大题共7小题,共52分)
18.(5分)解不等式:≤.
19.(5分)已知:如图,E,F为▱ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF,连接BE,DF,求证:BE=DF.
20.(8分)某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略,促进经济发展,增强对外贸易的竞争力,把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路,结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%,行驶时间缩短了2h,求汽车原来的平均速度.
21.(8分)为了“天更蓝,水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度,经过几年的努力,空气质量明显改善,现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本,整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图:
空气污染指数(ω)
30
40
70
80
90
110
120
140
天数(t)
1
2
3
5
7
6
4
2
说明:环境空气质量指数(AQI)技术规定:ω≤50时,空气质量为优;51≤ω≤100时,空气质量为良;101≤ω≤150时,空气质量为轻度污染;151≤ω≤
200时,空气质量为中度污染,…
根据上述信息,解答下列问题:
(1)直接写出空气污染指数这组数据的众数 ,中位数 ;
(2)请补全空气质量天数条形统计图:
(3)根据已完成的条形统计图,制作相应的扇形统计图;
(4)健康专家温馨提示:空气污染指数在100以下适合做户外运动,请根据以上信息,估计该市居民一年(以365天计)中有多少天适合做户外运动?
22.(8分)如图,在直角坐标系中,Rt△ABC的直角边AC在x轴上,∠ACB=90°,AC=1,反比例函数y=(k>0)的图象经过BC边的中点D(3,1)
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)若△ABC与△EFG成中心对称,且△EFG的边FG在y轴的正半轴上,点E在这个函数的图象上.
①求OF的长;
②连接AF,BE,证明四边形ABEF是正方形.
23.(9分)如图,将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,顶点B恰好与CD边上的动点P重合(点P不与点C,D重合),折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC上,连接MB,MP,BP,BP与MN相交于点F.
(1)求证:△BFN∽△BCP;
(2)①在图2中,作出经过M,D,P三点的⊙O(要求保留作图痕迹,不写做法);
②设AB=4,随着点P在CD上的运动,若①中的⊙O恰好与BM,BC同时相切,求此时DP的长.
24.(9分)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;
(3)如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2017年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)
1.(4分)(2017•淄博)﹣的相反数是( )
A. B. C. D.﹣
【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论.
【解答】解:∵﹣与是只有符号不同的两个数,
∴﹣的相反数是.
故选C.
【点评】本题考查的是相反数的定义,熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解答此题的关键.
2.(4分)(2017•淄博)C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机,其零部件总数超过100万个,请将100万用科学记数法表示为( )
A.1×106 B.100×104 C.1×107 D.0.1×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将100万用科学记数法表示为:1×106.
故选:A.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.(4分)(2017•淄博)下列几何体中,其主视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
【分析】找出四个选项中几何体的主视图,由此即可得出结论.
【解答】解:A、圆柱的主视图为矩形,
∴A不符合题意;
B、正方体的主视图为正方形,
∴B不符合题意;
C、球体的主视图为圆形,
∴C不符合题意;
D、圆锥的主视图为三角形,
∴D符合题意.
故选D.
【点评】本题考查了简单几何体的三视图,牢记圆锥的主视图为三角形是解题的关键.
4.(4分)(2017•淄博)下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6 B.(﹣a2)3=﹣a5
C.a10÷a9=a(a≠0) D.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=﹣b2c2
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可.
【解答】解:A、a2•a3=a5,故A错误;
B、(﹣a2)3=﹣a6,故B错误;[来源:学科网]
C、a10÷a9=a(a≠0),故C正确;
D、(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2,故D错误;
故选C.
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方,掌握运算法则是解题的关键.
5.(4分)(2017•淄博)若分式的值为零,则x的值是( )
A.1 B.﹣1 C.±1 D.2
【分析】直接利用分式的值为零,则分子为零,分母不为零,进而得出答案.
【解答】解:∵分式的值为零,
∴|x|﹣1=0,x+1≠0,
解得:x=1.
故选:A.
【点评】此题主要考查了分式的值为零,正确把握相关定义是解题关键.
6.(4分)(2017•淄博)若a+b=3,a2+b2=7,则ab等于( )
A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣1
【分析】根据完全平方公式得到(a+b)2=9,再将a2+b2=7整体代入计算即可求解.
【解答】解:∵a+b=3,
∴(a+b)2=9,
∴a2+2ab+b2=9,
∵a2+b2=7,
∴7+2ab=9,
∴ab=1.
故选:B.
【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
7.(4分)(2017•淄博)将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是( )
A.y=(x+3)2﹣2 B.y=(x+3)2+2 C.y=(x﹣1)2+2 D.y=(x﹣1)2﹣2
【分析】根据题目中的函数解析式,可以先化为顶点式,然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式.
【解答】解:∵y=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2,
∴二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是:y=(x+1﹣2)2﹣2=(x﹣1)2﹣2,
故选D.
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换,解答本题的关键是明确二次函数平移的特点,左加右减、上加下减,注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移.
8.(4分)(2017•淄博)若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<﹣1 D.k<﹣1或k=0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=(﹣2)2﹣4k•(﹣1)>0,然后其出两个不等式的公共部分即可.
【解答】解:根据题意得k≠0且△=(﹣2)2﹣4k•(﹣1)>0,
解得k>﹣1且k≠0.
故选B.
【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
9.(4分)(2017•淄博)如图,半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.2+π B.2+2π C.4+π D.2+4π
【分析】如图,连接CD,OD,根据已知条件得到OB=2,∠B=45°,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:如图,连接CD,OD,
∵BC=4,
∴OB=2,
∵∠B=45°,
∴∠COD=90°,
∴图中阴影部分的面积=S△BOD+S扇形COD=2×2+=2+π,
故选A.
【点评】本题考查了扇形的面积的计算,等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
10.(4分)(2017•淄博)在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足|m﹣n|≤1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】画出树状图列出所有等可能结果,由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数,根据概率公式求解可得.
【解答】解:画树状图如下:
由树状图可知,共有16种等可能结果,其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果,
∴两人“心领神会”的概率是=,
故选:B.
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
11.(4分)(2017•淄博)小明做了一个数学实验:将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内,看作一个容器,然后,小明对准玻璃杯口匀速注水,如图所示,在注水过程中,杯底始终紧贴鱼缸底部,则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是( )
A. B. C. D.
【分析】
根据用一注水管沿大容器内壁匀速注水,即可分段求出小水杯内水面的高度h(cm)与注水时间t(min)的函数图象.
【解答】解:一注水管向小玻璃杯内注水,水面在逐渐升高,当小杯中水满时,开始向大桶内流,这时水位高度不变,
当桶水面高度与小杯一样后,再继续注水,水面高度在升高,升高的比开始慢.
故选:D.
【点评】此题主要考查了函数图象,关键是问题的过程,能够通过图象得到函数是随自变量的增大,知道函数值是增大还是减小.
12.(4分)(2017•淄博)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为( )
A. B. C. D.
【分析】延长FE交AB于点D,作EG⊥BC、作EH⊥AC,由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形,由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE,从而知四边形BDEG是正方形,再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH,设BD=BG=x,则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x,由AC=10可得x=2,即BD=DE=2、AD=4,再证△ADF∽△ABC可得DF=,据此得出EF=DF﹣DE=.
【解答】解:如图,延长FE交AB于点D,作EG⊥BC于点G,作EH⊥AC于点H,
∵EF∥BC、∠ABC=90°,
∴FD⊥AB,
∵EG⊥BC,
∴四边形BDEG是矩形,
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB,
∴ED=EH=EG,∠DAE=∠HAE,
∴四边形BDEG是正方形,
在△DAE和△HAE中,
∵,
∴△DAE≌△HAE(SAS),
∴AD=AH,
同理△CGE≌△CHE,
∴CG=CH,
设BD=BG=x,则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x,
∵AC===10,
∴6﹣x+8﹣x=10,
解得:x=2,
∴BD=DE=2,AD=4,
∵DF∥BC,
∴△ADF∽△ABC,
∴=,即=,
解得:DF=,
则EF=DF﹣DE=﹣2=,
故选:C.
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质,熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13.(4分)(2017•淄博)分解因式:2x3﹣8x= 2x(x﹣2)(x+2) .
【分析】先提取公因式2x,再对余下的项利用平方差公式分解因式.
【解答】解:2x3﹣8x,
=2x(x2﹣4),
=2x(x+2)(x﹣2).
【点评】本题考查因式分解,因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征:(1)二项式;(2)两项的符号相反;(3)每项都能化成平方的形式.
14.(4分)(2017•淄博)已知α,β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根,则α2+αβ﹣3α的值为 0 .
【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3,再把原式变形得到a(α+β)﹣3α,然后利用整体代入的方法计算即可.
【解答】解:根据题意得α+β=3,αβ=﹣4,
所以原式=a(α+β)﹣3α
=3α﹣3α
=0.
故答案为0.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠
0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.
15.(4分)(2017•淄博)运用科学计算器(如图是其面板的部分截图)进行计算,按键顺序如下:
则计算器显示的结果是 ﹣7 .
【分析】根据计算器的按键顺序,写出计算的式子.然后求值.
【解答】解:根据题意得:(3.5﹣4.5)×32+=﹣7,
故答案为:﹣7.
【点评】本题目考查了计算器的应用,根据按键顺序正确写出计算式子是关键.[来源:学科网]
16.(4分)(2017•淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= 2 .
【分析】作AG⊥BC于G,根据等边三角形的性质得出∠B=60°,解直角三角形求得AG=2,根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2.
【解答】解:如图,作AG⊥BC于G,[来源:学科网ZXXK]
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
∴AG=AB=2,
连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴AB•DE+AC•DF=BC•AG,
∵AB=AC=BC=4,
∴DE+DF=AG=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查了等边三角形的性质,解直角三角函数以及三角形面积等,根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG是解题的关键.
17.(4分)(2017•淄博)设△ABC的面积为1.
如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点F1,得到四边形CD1F1E1,其面积S1=.
如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2=;
如图3,分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3=;
…
按照这个规律进行下去,若分别将AC,BC边(n+1)等分,…,得到四边形CDnEnFn,其面积S= .
【分析】先连接D1E1,D2E2,D3E3,依据D1E1∥AB,D1E1=AB,可得△CD1E1∽△CBA,且==,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方,即可得到S△CD1E1=S△ABC=,依据E1是BC的中点,即可得出S△D1E1F1=S△BD1E1=×
=,据此可得S1=;运用相同的方法,依次可得S2=,S2=;根据所得规律,即可得出四边形CDnEnFn,其面积Sn=+×n×,最后化简即可.
【解答】解:如图所示,连接D1E1,D2E2,D3E3,
∵图1中,D1,E1是△ABC两边的中点,
∴D1E1∥AB,D1E1=AB,
∴△CD1E1∽△CBA,且==,
∴S△CD1E1=S△ABC=,
∵E1是BC的中点,
∴S△BD1E1=S△CD1E1=,
∴S△D1E1F1=S△BD1E1=×=,
∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1=+=,
同理可得:
图2中,S2=S△CD2E2+S△D2E2F2=+=,
图3中,S3=S△CD3E3+S△D3E3F3=+=,
以此类推,将AC,BC边(n+1)等分,得到四边形CDnEnFn,
其面积Sn=+×n×=,
故答案为:.
【点评】
本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算,解决问题的关键作辅助线构造相似三角形,依据相似三角形的性质进行计算求解.解题时注意:相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
三、解答题(本大题共7小题,共52分)
18.(5分)(2017•淄博)解不等式:≤.
【分析】不等式去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解集.
【解答】解:去分母得:3(x﹣2)≤2(7﹣x),
去括号得:3x﹣6≤14﹣2x,
移项合并得:5x≤20,
解得:x≤4.
【点评】此题考查了解一元一次不等式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19.(5分)(2017•淄博)已知:如图,E,F为▱ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF,连接BE,DF,求证:BE=DF.
【分析】证明△AEB≌△CFD,即可得出结论.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC.
∴∠BAE=∠DCF.
在△AEB和△CFD中,,
∴△AEB≌△CFD(SAS).
∴BE=DF.
【点评】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
20.(8分)(2017•淄博)某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略,促进经济发展,增强对外贸易的竞争力,把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路,结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%,行驶时间缩短了2h,求汽车原来的平均速度.
【分析】求的汽车原来的平均速度,路程为420km,一定是根据时间来列等量关系,本题的关键描述语是:从甲地到乙地的时间缩短了2h.等量关系为:原来时间﹣现在时间=2.
【解答】解:设汽车原来的平均速度是x km/h,
根据题意得:﹣=2,
解得:x=70
经检验:x=70是原方程的解.
答:汽车原来的平均速度70km/h.
【点评】本题考查了分式方程的应用.应用题中一般有三个量,求一个量,明显的有一个量,一定是根据另一量来列等量关系的.本题考查分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
21.(8分)(2017•淄博)为了“天更蓝,水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度,经过几年的努力,空气质量明显改善,现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本,整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图:
空气污染指数(ω)
30
40
70
80
90
110
120
140
天数(t)
1
2
3
5
7
6
4
2
说明:环境空气质量指数(AQI)技术规定:ω≤50时,空气质量为优;51≤ω≤100时,空气质量为良;101≤ω≤150时,空气质量为轻度污染;151≤ω≤200时,空气质量为中度污染,…
根据上述信息,解答下列问题:[来源:Z+xx+k.Com]
(1)直接写出空气污染指数这组数据的众数 90 ,中位数 90 ;
(2)请补全空气质量天数条形统计图:
(3)根据已完成的条形统计图,制作相应的扇形统计图;
(4)健康专家温馨提示:空气污染指数在100以下适合做户外运动,请根据以上信息,估计该市居民一年(以365天计)中有多少天适合做户外运动?
【分析】(1)根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为90,由30各数据中排在第15和第16两个数的平均数就可以得出中位数为90;
(2)根据统计表的数据分别计算出,优、良及轻度污染的时间即可;
(3)由条形统计图分别计算出优、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可;
(4)先求出30天中空气污染指数在100以下的比值,再由这个比值乘以365天就可以求出结论.
【解答】解:(1)在这组数据中90出现的次数最多7次,故这组数据的众数为90;在这组数据中排在最中间的两个数是90,90,这两个数的平均数是90,所以这组数据的中位数是90;
故答案为:90,90.
(2)由题意,得
轻度污染的天数为:30﹣3﹣15=12天.
(3)由题意,得
优所占的圆心角的度数为:3÷30×360=36°,
良所占的圆心角的度数为:15÷30×360=180°,
轻度污染所占的圆心角的度数为:12÷30×360=144°
(4)该市居民一年(以365天计)中有适合做户外运动的天数为:18÷30×365=219天.
【点评】本题是一道数据分析试题,考查了中位数,众数的运用,条形统计,扇形统计图的运用,样本数据估计总体数据的运用,解答时根据图表数据求解是关键.
22.(8分)(2017•淄博)如图,在直角坐标系中,Rt△ABC的直角边AC在x轴上,∠ACB=90°,AC=1,反比例函数y=(k>0)的图象经过BC边的中点D(3,1)
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)若△ABC与△EFG成中心对称,且△EFG的边FG在y轴的正半轴上,点E在这个函数的图象上.
①求OF的长;
②连接AF,BE,证明四边形ABEF是正方形.
【分析】(1)由D点坐标可求得k的值,可求得反比例函数的表达式;
(2)①由中心对称的性质可知△ABC≌△EFG,由D点坐标可求得B点坐标,从而可求得BC和AC的长,由全等三角形的性质可求得GE和GF,则可求得E点坐标,从而可求得OF的长;②由条件可证得△AOF≌△FGE,则可证得AF=EF=AB,且∠EFA=∠FAB=90°,则可证得四边形ABEF为正方形.
【解答】解:
(1)∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D(3,1),
∴k=3×1=3,
∴反比例函数表达式为y=;[来源:学科网]
(2)①∵D为BC的中点,
∴BC=2,
∵△ABC与△EFG成中心对称,
∴△ABC≌△EFG,
∴GF=BC=2,GE=AC=1,
∵点E在反比例函数的图象上,
∴E(1,3),即OG=3,
∴OF=OG﹣GF=1;
②如图,连接AF、BE,
∵AC=1,OC=3,
∴OA=GF=2,
在△AOF和△FGE中
∴△AOF≌△FGE(SAS),
∴∠GFE=∠FAO=∠ABC,
∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°,
∴EF∥AB,且EF=AB,
∴四边形ABEF为平行四边形,
∴AF=EF,
∴四边形ABEF为菱形,
∵AF⊥EF,
∴四边形ABEF为正方形.
【点评】本题为反比例函数的综合应用,涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)①中求得E点坐标是解题的关键,在(2)②中证得△AOF≌△FGE是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.
23.(9分)(2017•淄博)如图,将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,顶点B恰好与CD边上的动点P重合(点P不与点C,D重合),折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC上,连接MB,MP,BP,BP与MN相交于点F.
(1)求证:△BFN∽△BCP;
(2)①在图2中,作出经过M,D,P三点的⊙O(要求保留作图痕迹,不写做法);
②设AB=4,随着点P在CD上的运动,若①中的⊙O恰好与BM,BC同时相切,求此时DP的长.
【分析】(1)根据折叠的性质可知,MN垂直平分线段BP,即∠BFN=90°,由矩形的性质可得出∠C=90°=∠BFN,结合公共角∠FBN=∠CBP,即可证出△BFN∽△BCP;
(2)①在图2中,作MD、DP的垂直平分线,交于点O,以OD为半径作圆即可;
②设⊙O与BC的交点为E,连接OB、OE,由△MDP为直角三角形,可得出AP为⊙O的直径,根据BM与⊙O相切,可得出MP⊥BM,进而可得出△BMP为等腰直角三角形,根据同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA,结合∠A=∠PMD=90°、BM=MP,即可证出△ABM≌△DMP(AA
S),根据全等三角形的性质可得出DM=AB=4、DP=AM,设DP=2a,根据勾股定理结合半径为直径的一半,即可得出关于a的方程,解之即可得出a值,再将a代入OP=2a中求出DP的长度.
【解答】(1)证明:∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,顶点B恰好与CD边上的动点P重合,
∴MN垂直平分线段BP,
∴∠BFN=90°.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠C=90°.
∵∠FBN=∠CBP,
∴△BFN∽△BCP.
(2)解:①在图2中,作MD、DP的垂直平分线,交于点O,以OD为半径作圆即可.如图所示.
②设⊙O与BC的交点为E,连接OB、OE,如图3所示.
∵△MDP为直角三角形,
∴AP为⊙O的直径,
∵BM与⊙O相切,
∴MP⊥BM.
∵MB=MP,
∴△BMP为等腰直角三角形.
∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°,∠MBA+∠AMB=90°,
∴∠PMD=∠MBA.
在△ABM和△DMP中,,
∴△ABM≌△DMP(AAS),
∴DM=AB=4,DP=AM.
设DP=2a,则AM=2a,OE=4﹣a,
BM==2.
∵BM=MP=2OE,
∴2=2×(4﹣a),
解得:a=,
∴DP=2a=3.
【点评】本题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理,解题的关键是:(1)根据矩形的性质结合翻折的性质,找出∠C=90°=∠BFN;(2)①利用尺规作图,画出⊙O;②根据全等三角形的判定定理AAS证出△ABM≌△DMP.
24.(9分)(2017•淄博)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;
(3)如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)由直线解析式可求得B点坐标,由A、B坐标,利用待定系数法可求得抛物线的表达式;
(2)过C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF⊥CD于点F,可设出C点坐标,利用C点坐标可表示出CD的长,从而可表示出△BOC的面积,由条件可得到关于C点坐标的方程,可求得C点坐标;
(3)设MB交y轴于点N,则可证得△ABO≌△NBO,可求得N点坐标,可求得直线BN的解析式,联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标,过M作MG⊥y轴于点G,由B、C的坐标可求得OB和OC的长,由相似三角形的性质可求得的值,当点P在第一象限内时,过P作PH⊥x轴于点H,由条件可证得△MOG∽△POH,由==的值,可求得PH和OH,可求得P点坐标;当P点在第三象限时,同理可求得P点坐标.
【解答】解:
(1)∵B(2,t)在直线y=x上,
∴t=2,
∴B(2,2),
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x;
(2)如图1,过C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF⊥CD于点F,
∵点C是抛物线上第四象限的点,
∴可设C(t,2t2﹣3t),则E(t,0),D(t,t),
∴OE=t,BF=2﹣t,CD=t﹣(2t2﹣3t)=﹣2t2+4t,
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=(﹣2t2+4t)(t+2﹣t)=﹣2t2+4t,
∵△OBC的面积为2,
∴﹣2t2+4t=2,解得t1=t2=1,
∴C(1,﹣1);
(3)存在.
设MB交y轴于点N,如图1,
∵B(2,2),
∴∠AOB=∠NOB=45°,
在△AOB和△NOB中
∴△AOB≌△NOB(ASA),
∴ON=OA=,
∴N(0,),
∴可设直线BN解析式为y=kx+,
把B点坐标代入可得2=2k+,解得k=,
∴直线BN的解析式为y=x+,
联立直线BN和抛物线解析式可得,解得或,
∴M(﹣,),
∵C(1,﹣1),
∴∠COA=∠AOB=45°,且B(2,2),
∴OB=2,OC=,
∵△POC∽△MOB,
∴==2,∠POC=∠BOM,
当点P在第一象限时,如图3,过M作MG⊥y轴于点G,过P作PH⊥x轴于点H,
∵∠COA=∠BOG=45°,
∴∠MOG=∠POH,且∠PHO=∠MGO,
∴△MOG∽△POH,
∴===2,
∵M(﹣,),
∴MG=,OG=,
∴PH=MG=,OH=OG=,
∴P(,);
当点P在第三象限时,如图4,过M作MG⊥y轴于点G,过P作PH⊥y轴于点H,
同理可求得PH=MG=,OH=OG=,
∴P(﹣,﹣);
综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(,)或(﹣,﹣).
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键,在(3)中确定出点P的位置,构造相似三角形是解题的关键,注意分两种情况.本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.
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