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  • 2021-11-11 发布

2020九年级数学下册 第27章 切线长定理及三角形的内切圆同步练习 (新版)华东师大版

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‎27.2.3 切线 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆 知|识|目|标 ‎1.经历折叠纸片的操作过程,归纳得出切线长定理并掌握切线长定理.‎ ‎2.经历教材中“试一试”的实践操作,理解三角形的内切圆及相关知识.‎ 目标一 能探索并掌握切线长定理 例1 教材补充例题 如图27-2-12,已知⊙O的切线PA,PB,A,B为切点,把⊙O沿着直线OP对折,你能发现什么?请证明你所发现的结论.‎ 结论:PA=________,∠OPA=________.‎ 图27-2-12‎ 证明:如图27-2-13,连结OA,OB.‎ ‎∵PA,PB与⊙O相切,A,B是切点,‎ ‎∴OA⊥________,OB⊥________,‎ 即∠OAP=________=90°.‎ ‎∵__________________________,‎ ‎∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.),‎ ‎∴PA=________,∠OPA=________. 图27-2-13‎ 试用文字语言叙述你所发现的结论.‎ 例2 高频考题 如图27-2-14,PA,PB分别切⊙O于A,B两点,∠OAB=30°.‎ ‎(1)求∠APB的度数;‎ ‎(2)当OA=3时,求AP的长.‎ 图27-2-14‎ 6‎ ‎【归纳总结】切线长定理中的基本图形:‎ 如图27-2-15,PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点,此图形中含有: ‎ 图27-2-15‎ ‎(1)两个等腰三角形 (△PAB,△OAB);‎ ‎(2)一条特殊的角平分线( OP平分 ∠APB和∠AOB); ‎ ‎(3)三个垂直关系 (OA ⊥ PA, OB⊥PB,OP⊥AB).‎ 目标二 理解三角形的内切圆 例3 教材补充例题 如图27-2-16,已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D,E,F,则点O是△DEF的(  )‎ ‎ 图27-2-16‎ A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 例4 教材补充例题 △ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.‎ 6‎ ‎【归纳总结】三角形“四心”的区别:‎ 外心 三角形外接圆的圆心,即三角形三边垂直平分线的交点 内心 三角形内切圆的圆心,即三角形三条角平分线的交点 重心 三角形三条中线的交点 垂心 三角形三条高的交点 提示:(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形某顶点的连线平分这个顶点处的内角;三角形的内心都在三角形内部.‎ ‎(2)三角形的内切圆有且只有一个,而圆有无数个外切三角形.‎ ‎(3)常用S△ABC=(a+b+c)r(其中a,b,c为△ABC的三边长)求三角形的内切圆的半径r.‎ ‎(4)若△ABC为直角三角形(不妨设∠C=90°),则△ABC内切圆的半径r=或r=(其中a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边).‎ 知识点一 切线长及切线长定理 ‎(1)圆的切线上某一点与________之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.‎ ‎(2)过圆外一点所画的圆的两条切线,________相等.这一点和圆心的连线平分____________________.‎ 知识点二 三角形的内切圆 ‎(1)与三角形________________叫做这个三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的________,这个三角形叫做这个圆的外切三角形.‎ ‎(2)三角形的内心就是三角形______________,三角形的内心到____________的距离相等.‎ 6‎ 如图27-2-17是切线长定理的一个基本图形(PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点),由切线长定理可以推出很多的结论,如:‎ ‎(1)垂直:OA⊥________,OB⊥________,AB⊥________;‎ ‎(2)角相等:∠1=∠________=∠________=∠________,∠5=∠________=∠________=∠________;‎ ‎(3)线段相等:PA=________,AC=________;‎ ‎(4)弧相等:=________,=________.‎ 图27-2-17‎ 6‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1 解:PB ∠OPB PA PB ∠OBP OA=OB,OP=OP PB ∠OPB 用文字语言叙述结论:过圆外一点所画的圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.‎ 例2 [解析] (1)方法一:根据切线的性质可知:∠OAP=∠OBP=90°.根据三角形的内角和为180°可求出∠AOB的度数,再根据四边形的内角和为360°可求出∠APB的度数;方法二:证明△ABP为等边三角形,从而可求出∠APB的度数.‎ ‎(2)方法一:作辅助线,连结OP.在Rt△OAP中,利用三角函数可求出AP的长;方法二:作辅助线,过点O作OD⊥AB于点D.在Rt△OAD中,求出AD的长,从而求出AB的长,即为AP的长.‎ 解:(1)方法一:∵在△ABO中,OA=OB,∠OAB=30°,‎ ‎∴∠AOB=180°-2×30°=120°.‎ ‎∵PA,PB是⊙O的切线,‎ ‎∴OA⊥PA,OB⊥PB,‎ ‎∴∠OAP=∠OBP=90°,‎ ‎∴在四边形OAPB中,‎ ‎∠APB=360°-120°-90°-90°=60°.‎ 方法二:∵PA,PB是⊙O的切线,‎ ‎∴PA=PB,OA⊥PA.‎ ‎∵∠OAB=30°,‎ ‎∴∠BAP=90°-30°=60°,‎ ‎∴△ABP是等边三角形,‎ ‎∴∠APB=60°.‎ ‎(2)方法一:如图①,连结OP.‎ ‎∵PA,PB是⊙O的切线,‎ ‎∴PO平分∠APB,‎ 即∠APO=∠APB=30°.‎ 又∵在Rt△OAP中,OA=3,‎ ‎∴AP==3 .‎ 方法二:如图②,过点O作OD⊥AB于点D.‎ ‎∵在△OAB中,OA=OB,‎ ‎∴AD=AB.‎ ‎∵在Rt△AOD中,OA=3,∠OAD=30°,‎ 6‎ ‎∴AD=OA·cos30°=,‎ ‎∴AB=2AD=3 ,‎ ‎∴AP=AB=3 .‎ 例3 [答案] D 例4 解:如图,设△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于点D,E,F,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF,则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.‎ 所以S=S△AOB+S△AOC+S△BOC=AB·OD+AC·OF+BC·OE=lr.‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点一 (1)切点 ‎ ‎(2)它们的切线长 这两条切线的夹角 知识点二 (1)各边都相切的圆 内心 ‎ ‎(2)三条角平分线的交点 三角形三边 ‎[反思] (1)PA PB PO (2)2 3 4 6 7 8‎ ‎(3)PB BC (4)  6‎