2020九年级数学上册 第3章 圆心角 第2课时 圆心角定理的逆定理同步练习 （新版）浙教版 5页

第2课时　圆心角定理的逆定理 知识点　圆心角定理的逆定理 在同圆或等圆中，如果两个________、________、________、____________中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．‎ ‎1．一条弦将圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角为(　　)‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎2．如图3－4－6，A，B，C，D均为⊙O上的点，且AB＝CD，则下列说法不正确 的是(　　)‎ 图3－4－6‎ A．∠AOB＝∠COD ‎ B．∠AOC＝∠BOD 5‎ C．AC＝BD ‎ D．OC＝CD 类型一　运用圆心角定理的逆定理进行几何证明或计算 例1 [教材例4变式] 如图3－4－7，△ABC是等边三角形，以BC为直径画⊙O，交AB，AC于点D，E.求证：BD＝CE.‎ 图3－4－7‎ ‎【归纳总结】证明两条弦相等的方法 在证明圆的两条弦相等时，常考虑证两条弦的弦心距相等或所对的两个圆心角相等或所对的两条弧相等．有时也考虑利用全等三角形、等腰三角形、等边三角形、两条线段都等于第三条线段等方法来证明．‎ 类型二　通过构造弦心距进行几何证明 例2 [教材补充例题] 如图3－4－8，P为⊙O的直径EF的延长线上一点，PA交⊙O于点B，A，PC交⊙O于点D，C，∠1＝∠2.‎ 求证：PB＝PD.‎ 5‎ 图3－4－8‎ ‎【归纳总结】在解决圆的相关问题时，常过圆心作弦的垂线段，利用弦心距相等证弦相等．今后证明此类问题时，注意作此辅助线，可简化证明过程．‎ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等吗？为什么？‎ 5‎ 详解详析 ‎【学知识】‎ 知识点　圆心角　两条弧　两条弦　两个弦心距 ‎1．[解析] C　一条弦将圆分成1∶3的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系可知劣弧所对的圆心角为周角的，然后根据周角的定义计算即可．‎ ‎2．[答案] D ‎【筑方法】‎ 例1　[解析] BD，CE是⊙O的两条弦，根据圆心角定理的逆定理，可以考虑证明两弦的弦心距相等或两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等．‎ 证明：证法1：过点O分别作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，则∠BFO＝∠CGO＝90°.‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.‎ 又∵OB＝OC，∴△BOF≌△COG，‎ ‎∴OF＝OG，∴BD＝CE.‎ 证法2：连结OD，OE.‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.‎ 又∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，‎ ‎∴∠BOD＝60°.同理∠COE＝60°.‎ ‎∴∠BOD＝∠COE，∴BD＝CE.‎ 例2　[解析] 由O为∠APC的平分线上一点，联想到O到PA，PC的距离相等，即过点O作OG⊥PA于点G，OH⊥PC于点H，则OG＝OH，而OG，OH恰为弦AB和CD的弦心距，故AB＝CD，BG＝DH，又易证△POG≌△POH，得PG＝PH，于是可得PB＝PD.‎ 证明：如图，过点O作OG⊥PA于点G，OH⊥PC于点H，则BG＝AB，DH＝CD.‎ 5‎ ‎∵∠1＝∠2，∴OG＝OH，‎ ‎∴AB＝CD，即BG＝DH.‎ ‎∵∠PGO＝∠PHO＝90°，∠1＝∠2，PO＝PO，‎ ‎∴△POG≌△POH，‎ ‎∴PG＝PH，‎ ‎∴PB＝PD.‎ ‎【勤反思】‎ ‎[反思] 不一定，因为每条弦所对的弧有优弧和劣弧两条，所以只有它们所对的劣弧和优弧分别相等．‎ 5‎