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  • 2021-11-11 发布

中考数学总复习四边形压轴题专题练习(pdf,含解析)

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2020 年中考数学总复习四边形压轴题专题练习 1.如图,四边形 ABCD 是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,且 AB=AD+BC, E 是 DC 的中点,连结 BE 并延长交 AD 的延长线于 G. (1)求证:DG=BC; (2)F 是 AB 边上的动点,当 F 点在什么位置时,FD∥BG;说明理由. (3)在(2)的条件下,连结 AE 交 FD 于 H,FH 与 HD 长度关系如何?说明 理由. (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠DGE=∠CBE,∠GDE=∠BCE, ∵E 是 DC 的中点,即 DE=CE, ∴△DEG≌△CEB(AAS), ∴DG=BC. (2)解:当 F 运动到 AF=AD 时,FD∥BG. 理由:由(1)知 DG=BC, ∵AB=AD+BC,AF=AD, ∴BF=BC=DG, ∴AB=AG, ∵∠BAG=90°, ∴∠AFD=∠ABG=45°, ∴FD∥BG. (3)解:结论:FH=HD. 理由:由(1)知 GE=BG,又由(2)知△ABG 为等腰直角三角形,所以 AE⊥BG, ∵FD∥BG, ∴AE⊥FD, ∵△AFD 为等腰直角三角形, ∴FH=HD. 2.如图,在矩形 ABCD 中,过 BD 的中点 O 作 EF⊥BD,分别与 AB、CD 交于 点 E、F.连接 DE、BF. (1)求证:四边形 BEDF 是菱形; (2)若 M 是 AD 中点,联结 OM 与 DE 交于点 N,AD=OM=4,则 ON 的 长是多少? (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB∥CD, ∴∠DFO=∠BEO, ∵∠DOF=∠EOB,OD=OB, ∴△DOF≌△BOE(AAS), ∴DF=BE, ∴四边形 BEDF 是平行四边形, ∵EF⊥BD, ∴四边形 BEDF 是菱形. (2)解:∵DM=AM,DO=OB, ∴OM∥AB,AB=2OM=8, ∴DN=EN,ON= BE,设 DE=EB=x, 在 Rt△ADE 中,则有 x2=42+(8﹣x)2, 解得 x=5, ∴ON= . 3.(1)如图 1,四边形 EFGH 中,FE=EH,∠EFG+∠EHG=180°,点 A,B 分别在边 FG,GH 上,且∠AEB= ∠FEH,求证:AB=AF+BH. (2)如图 2,四边形 EFGH 中,FE=EH,点 M 在边 EH 上,连接 FM,EN 平分∠FEH 交 FM 于点 N,∠ENM=α,∠FGH=180°﹣2α,连接 GN,HN. ①找出图中与 NH 相等的线段,并加以证明; ②求∠NGH 的度数(用含α的式子表示). (1)证明:如图 1 中,延长 BH 到 M,使得 HM=FA,连接 EM. ∵∠F+∠EHG=180°,∠EHG+∠EHM=180°, ∴∠F=∠EHM, ∵AE=HE,FA=HM, ∴△EFA≌△EHM(SAS), ∴EA=EM,∠FEA=∠HEM, ∵∠EAB= ∠FEH, ∴∠FEA+∠BEH=∠HEM+∠BEH=∠BEM= ∠FEH, ∴∠AEB=∠BEM, ∵BE=BE,EA=EM, ∴△AEB≌△MEB(SAS), ∴AB=BM, ∵BM=BH+HM=BH+AF, ∴AB=AF+BH. (2)解:①如图 2 中,结论:NH=FN. 理由:∵NE 平分∠FEH, ∴∠FEN=∠HEN, ∵EF=EH,EN=EN, ∴△ENF≌△ENH(SAS), ∴NH=FN. ②∵△ENF≌△ENH, ∴∠ENF=∠ENH, ∵∠ENM=α, ∴∠ENF=∠ENH=180°﹣α, ∴∠MNH=180°﹣α﹣α=180°﹣2α, ∵∠FGH=180°﹣2α, ∴∠MNH=∠FGH, ∵∠MNH+∠FNH=180°, ∴∠FGH+∠FNH=180°, ∴F,G,H,N 四点共圆, ∵NH=NF, ∴ = , ∴∠NGH=∠NGF= ∠FGH=90°﹣α. 4.如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点 M、N 分别是 边 AC、AB 上的动点,连接 MN,将△AMN 沿 MN 所在直线翻折,翻折后 点 A 的对应点为 A′. (1)如图 1,若点 A′恰好落在边 AB 上,且 AN= AC,求 AM 的长; (2)如图 2,若点 A′恰好落在边 BC 上,且 A′N∥AC. ①试判断四边形 AMA′N 的形状并说明理由; ②求 AM、MN 的长; (3)如图 3,设线段 NM、BC 的延长线交于点 P,当 且 时,求 CP 的长. 解:(1)如图 1 中, 在 Rt△ABC 中,∵∠C=9 0°,AC=4,BC=3, ∴AB= = =5, ∵∠A=∠A,∠ANM=∠C=90°, ∴△ANM∽△ACB, ∴ = , ∴ = , ∴AM= . (2)①如图 2 中, ∵NA′∥AC, ∴∠AMN=∠NMA′, 由翻折可知:MA=MA′,∠AMN=∠NMA′, ∴∠MNA′=∠A′MN, ∴A′N=A′M, ∴AM=A′N,∵AM∥A′N, ∴四边形 AMA′N 是平行四边形, ∵MA=MA′, ∴四边形 AMA′N 是菱形. ②连接 AA′交 MN 于 O.设 AM=MA′=x, ∵MA′∥AB, ∴ = , ∴ = , 解得 x= , ∴AM= , ∴CM= , ∴CA′= = = , ∴AA′= = = , ∵四边形 AMA′N 是菱形, ∴AA′⊥MN,OM=ON,OA=OA′= , ∴OM= = = , ∴MN=2OM= . (3)如图 3 中,作 NH⊥BC 于 H. ∵NH∥AC, ∴ = = ∴ = = ∴NH= ,BH= , ∴CH=BC﹣BH=3﹣ = , ∴AM= AC= , ∴CM=AC﹣AM=4﹣ = , ∵CM∥NH, ∴ = , ∴ = , ∴PC=1. 5.如图,四边形 ABCD 为平行四边形,AD=1,AB=3,∠DAB=60°,点 E 为边 CD 上一动点,过点 C 作 AE 的垂线交 AE 的延长线于点 F. (1)求∠D 的度数; (2)若点 E 为 CD 的中点,求 EF 的值; (3)当点 E 在线段 CD 上运动时, 是否存在最大值?若存在,求出该最大 值;若不存在,请说明理由. 解:(1)如图 1 中, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CB, ∠ADC+∠DAB=180°, ∵∠DAB=60°, ∴∠ADC=120°. (2)如图 1 中,作 AH⊥CD 交 CD 的延长线于 H. 在 Rt△ADH 中,∵∠H=90°,∠ADH=60°,AD=2, ∴AH=AD•sin60°= ,DH=AD•cos60°= , ∵DE=EC= , ∴EH=DH+DE=2, ∴AE= = = , ∵CF⊥AF, ∴∠F=∠H=90°, ∵∠AEH=∠CEF, ∴△AEH∽△CEF, ∴ = , ∴ = , ∴EF= . (3)如图 2 中,作△AFC 的外接圆⊙O,作 AH⊥CD 交 CD 的郯城县于 H, 作 OK⊥CD 于 K,交⊙O 于 M,作 FP∥CD 交 AD 的延长线于 P,作 MN∥ CD 交 AD 的延长线于 M,作 NQ⊥CD 于 Q. ∵DE∥PF, ∴ = , ∵AD 是定值, ∴PA 定值最大时, 定值最大, 观察图象可知,当点 F 与点 M 重合时 ,PA 定值最大,最大值=AN 的长, 由(2)可知,AH= ,CH= ,∠H=90°, ∴AC= = = , ∴OM= AC= , ∵OK∥AH,AO=OC, ∴KH=KC, ∴OK= = , ∴MK=NQ= ﹣ , 在 Rt△NDQ 中,DN= = = ﹣ , ∴AN=AD+DN= + , ∴ 的最大值= = + . 6.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 P 是射线 BC 上 一动点(点 P 不 与点 B 重合),连接 AP、DP,点 E 是线段 AP 上一点,且∠ADE=∠APD, 连接 BE. (1)求证:AD2=AE•AP; (2)求证 BE⊥AP; (3)直接写出 的最小值. (1)证明:∵∠DAE=∠PAD,∠ADE=∠APD, ∴△ADE∽△APD, ∴ = , ∴AD2=AE•AP (2)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=AB,∠ABC=90°, ∴AB2=AE•AP, ∴ = , ∵∠BAE=∠PAB, ∴△ABE∽△APB, ∴∠AEB=∠ABP=90°, ∴BE⊥AP. (3)∵△ADE∽△APD, ∴ = , ∴ = , ∵AD=2, ∴DE 最小时, 的值最小, 如图,作△ABE 的外接圆 ⊙O,连接 OD,OE,易知 OE=1,OD= , ∴DE≥OD﹣OE= ﹣1, ∴DE 的最小值为 ﹣1, ∴ 的最小值= . 7.在正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE. (1)如图 1,点 F 为 AE 的中点,连接 CF.已知 tan∠FBE= ,BF=5,求 CF 的长; (2)如图 2,过点 E 作 AE 的垂线交 CD 于点 G,交 AB 的延长线于点 H, 点 O 为对角线 AC 的中点,连接 GO 并延长交 AB 于点 M,求证:AM+BH =BE. 解:(1)Rt△ABE 中,BF 为中线,BF=5, ∴AE=10,FE=5, 作 FP⊥BC 于点 P, Rt△BFP 中, , ∴BP=3,FP=4, 在等腰三角形△BFE 中,BE=2BP=6, 由勾股定理求得 , ∴CP=8﹣3=5, ∴ ; (2)∵∠ACD=∠BAC=45°,AO=CO,∠AOM=∠COG, ∴证明△AMO≌△CGO(ASA), ∴AM=GC, 过 G 作 GP 垂直 AB 于点 P,得矩形 BCGP, ∴CG=PB, ∵AB=PG,∠AEB=∠H,∠ABE=∠GPH, ∴△ABE≌△GPH(ASA), ∴BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH. 8.阅读理解:如图 1,若一个四边形的两条对角线互相垂直,则称这个四边形 为垂美四边形. (1)概念理解:如图 2,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,问四边 形 ABCD 是垂美四边形吗?请说明理由; (2)性质探究:如图 1,试在垂美四边形 ABCD 中探究 AB2,CD2,AD2, BC2 之间的关系,并说明理由; (3)解决问题:如图 3,分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外 作正方形 ACFG 和正方形 ABDE,连结 CE、BG、GE、CE 交 BG 于点 N, 交 AB 于点 M.已知 AC= ,AB=2,求 GE 的长. 解:(1)如图 2,四边形 ABCD 是垂美四边形; 理由如下: 连接 AC、BD 交于点 E, ∵AB=AD, ∴点 A 在线段 BD 的垂直平分线上, ∵CB=CD, ∴点 C 在线段 BD 的垂直平分线上, ∴直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线, ∴AC⊥BD,即四边形 ABCD 是垂美四边形; (2)猜想结论:AB2+CD2=AD2+BC2, 证 明:如图 1,在四边形 ABCD 中, ∵AC⊥BD, ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°, 由 勾 股 定 理 得 : AB2+CD2 = AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2 = AO2+BO2+OD2+OC2 ∴AB2+CD2=AD2+BC2, (3)如图 3,连接 CG,BE, ∵∠CAG=∠BAE=90°, ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE, 在△GAB 和△CAE 中, FMNG 图 3EDCAB ∴△GAB≌△CAE(SSS), ∴∠ABG=∠AEC, ∵∠AEC+∠AME=90°, ∴∠ABG+∠BMN=90°, ∴∠BNC=90°,即 BG⊥CE, ∴四边形 CGEB 是垂美四边形, 由(2)得:EG2+BC2=CG2+BE2 ∵ ,AB=2, ∴BC=1, , , ∴EG2=CG2+BE2﹣BC2=6+8﹣2=13, ∴ . 9.已知:如图,长方形 ABCD 中,∠A=∠B=∠B=∠D=90°,AB=CD=4 米,AD=BC=8 米,点 M 是 BC 边的中点,点 P 从点 A 出发,以 1 米/秒的 速度沿 AB 方向运动再过点 B 沿 BM 方向运动,到点 M 停止运动,点 O 以同 样的速度同时从点 D 出发沿着 DA 方向运动,到点 A 停止运动,设点 P 运动 的时间为 x 秒. (1)当 x=2 秒时,线段 AQ 的长是 6 米; (2)当点 P 在线段 AB 上运动时,图中阴影部分的面积发生改变吗?请你作 出判断并说明理由. (3)在点 P,Q 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得 BP= DQ?若存 在,求出点 P 的运动时间 x 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC=8, ∵DQ=2, ∴AQ=AD﹣DQ=8﹣2=6, 故答案为 6. (2)结论:阴影部分的面积不会发生改变. 理由:连结 AM,作 MH⊥AD 于 H.则四边形 ABMH 是矩形,MH=AB=4. ∵S 阴=S△APM+S△AQM= ×x×4+ (8﹣x)×4=16, ∴阴影面积不变; (3)当点 P 在线段 AB 上时,BP=4﹣x,DQ=x. ∵BP= DQ, ∴4﹣x= x, ∴x=3. 当点 P 在线段 BM 上时,BP=x﹣4,DQ=x. ∵BP= DQ, ∴x﹣4= x, ∴x=6. 所以当 x=3 或 6 时,BP= DQ. 10.A,B,C,D 是长方形纸片的四个顶点,点 E、F、H 分别 是边 AB、BC、 AD 上的三点,连结 EF、FH. (1)将长方形纸片 ABCD 按图①所示的方式折叠,FE、FH 为折痕,点 B、 C、D 折叠后的对应点分别为 B'、C'、D',点 B'在 FC'上,则∠EFH 的度数为 90° ; (2)将长方形纸片 ABCD 按图②所示的方式折叠,FE、FH 为折痕,点 B、 C、D 折叠后的对应点分别为 B'、C'、D',若∠B'FC'=18°,求∠EFH 的度 数; (3)将长方形纸片 ABCD 按图③所示的方式折叠,FE、FH 为折痕 ,点 B、 C、D 折叠后的对应点分别为 B'、C'、D',若∠EFH=m°,求∠B'FC'的度数 为 180°﹣2m° . 解:(1)∵沿 EF,FH 折叠, ∴∠BFE=∠B'FE,∠CFH=∠C'FH, ∵点 B′在 FC′上, ∴∠EFH= (∠BFB'+∠CFC')= ×180°=90°, 故答案为:90°; (2)∵沿 EF,FH 折叠, ∴可设∠BFE=∠B'FE=x,∠C'FH=∠CFH=y, ∵2x+18°+2y=180°, ∴x+y=81°, ∴∠EFH=x+18°+y=99°; (3)∵沿 EF,FH 折叠, ∴可设∠BFE=∠B'FE=x,∠C'FH=∠CFH=y, ∴∠EFH=180°﹣∠BFE﹣∠CFH=180°﹣(x+y), 即 x+y=180°﹣m°, 又∵∠EFH=∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH=x﹣∠B'FC'+y, ∴∠B'FC'=(x+y)﹣∠EFH=180°﹣m°﹣m°=180°﹣2m°, 故答案为:180°﹣2m°. 11.勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在 2000 多年以前,人们就开 始对它进行研究,至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证 明勾股定理的方法如下,请同学们仔细阅读并解答相关问题: 如图,分别以 Rt△ABC 的三边为边长,向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI. (1)连接 BI、CE,求证:△ABI≌△AEC; (2)过点 B 作 AC 的垂线,交 AC 于点 M,交 IH 于点 N. ①试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等; ②请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四边形. (3)由第(2)题可得: 正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积= 正方形 ACHI 的面积,即在 Rt△ABC 中,AB2+BC2= AC2 . (1)证明:∵四边形 ABDE、四边形 ACHI 是正方形, ∴AB=AE,AC=AI,∠BAE=∠CAI=90°, ∴∠EAC=∠BAI, 在△ABI 和△AEC 中, , ∴△ABI≌△AEC(SAS); (2)①证明:∵BM⊥AC,AI⊥AC, ∴BM∥AI, ∴四边形 AMNI 的面积=2△ABI 的面积, 同理:正方形 ABDE 的面积=2△AEC 的面积, 又∵△ABI≌△AEC, ∴四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等. ②解:四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等,理由如下: ∵Rt△ABC 中,AB2+BC2=AC2, ∴正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积=正方形 ACHI 的面积, 由①得:四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等, ∴四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等; (3)解:由(2)得:正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积=正方形 ACHI 的面积; 即在 Rt△ABC 中,AB2+BC2=AC2; 故答案为:正方形 ACHI,AC2. 12.在长方形纸片 ABCD 中,点 E 是边 CD 上的一点,将△AED 沿 AE 所在的 直线折叠,使点 D 落在点 F 处. (1)如图 1,若点 F 落在对角线 AC 上,且∠BAC=54°,则∠DAE 的度数 为 18 °. (2)如图 2,若点 F 落在边 BC 上,且 AB=6,AD=10,求 CE 的长. (3)如图 3,若点 E 是 CD 的中点,AF 的沿长线交 BC 于点 G,且 AB=6, AD=10,求 CG 的长. 解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD=90°, ∵∠BAC=54°, ∴∠DAC=90°﹣54°=36°, 由折叠的性质得:∠DAE=∠FAE, ∴∠DAE= ∠DAC=18°; 故答案为:18; (2)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠B=∠C=90°,BC=AD=10,CD=AB=6, 由折叠的性质得:AF=AD=10,EF=ED, ∴BF= = =8, ∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2, 设 CE=x,则 EF=ED=6﹣x, 在 Rt△CEF 中,由勾股定理得:22+x2=(6﹣x)2, 解得:x= , 即 CE 的长为 ; (3)连接 EG,如图 3 所示: ∵点 E 是 CD 的中点, ∴DE=CE, 由折叠的性质得:AF=AD=10,∠AFE=∠D=90°,FE=DE, ∴∠EFG=90°=∠C, 在 Rt△CEG 和△FEG 中, , ∴Rt△CEG≌△FEG(HL), ∴CG=FG, 设 CG=FG=y, 则 AG=AF+FG=10+y,BG=BC﹣CG=10﹣y, 在 Rt△ABG 中,由勾股定理得:62+(10﹣y)2=(10+y)2, 解 得:y= , 即 CG 的长为 . 13.如图,矩形 ABCD 中,AB=6cm,AD=8cm,点 P 从点 A 出发,以每秒 一个单位的速度沿 A→B→C 的方向运动;同时点 Q 从点 B 出发,以每秒 2 个单位的速度沿 B→C→D 的方向运动,当其中一点到达终点后两点都停止运 动.设两点运动的时间为 t 秒. (1)当 t= 7 时,两点停止运动; (2)设△BPQ 的面积面积为 S(平方单位) ①求 S 与 t 之间的函数关系式; ②求 t 为何值时,△BPQ 面积最大,最大面积是多少? 解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC=8cm,AB=CD=6cm, ∴BC+AD=14cm, ∴t=14÷2=7, 故答案为 7. (2)①当 0<t<4 时,S= •(6﹣t)×2t=﹣t2+6t. 当 4≤t<6 时,S= •(6﹣t)×8=﹣4t+24. 当 6<t≤7 时,S= (t﹣6)•(2t﹣8)=t2﹣10t+24. ②当 0<t<4 时,S= •(6﹣t)×2t=﹣t2+6t=﹣(t﹣3)2+9, ∵﹣1<0, ∴t=3 时,△PBQ 的面积最大,最小值为 9. 当 4≤t<6 时,S= •(6﹣t)×8=﹣4t+24, ∵﹣4<0, ∴t=4 时,△PBQ 的面积最大,最大值为 8, 当 6<t≤7 时,S= (t﹣6)•(2t﹣8)=t2﹣10t+24=(t﹣5)2﹣1, t=7 时,△PBQ 的面积最大,最大值为 3, 综上所述,t=3 时,△PBQ 的面积最大,最大值为 9. 14.综合实践: 问题情境 数学活动课上,老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系 探究过程如下所示:如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 为边 BC 的中点.将 △DCE 以点 D 为旋转中心,顺时针方向旋转,当点 E 的对应点 E'落在边 AB 上时,连接 CE'. “兴趣小组”发现的结论是:①AE'=C'E'; “卓越小组”发现的结论是:②DE=CE',DE⊥CE'. 解决问题 (1)请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论; 拓展探究 证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后,“智慧小组”提出如下问 题:如图 2,连接 CC',若正方形 ABCD 的边长为 2,求出 CC'的长度. (2)请你帮助智慧小组写出线段 CC'的长度.(直接写出结论即可) (1)证明:①∵△DE'C'由△DEC 旋转得到, ∴DC'=DC,∠C'=∠DCE=90°. 又∵四边形 ABCD 是正方形, ∴DA=DC,∠A=90°, ∴DA=DC', ∵DE'=DE', ∴Rt△DAE≌Rt△DC'E′(HL), ∴AE'=C'E'. ②∵点 E 为 BC 中点,C'E'=AE'=CE, ∴点 E'为 AB 的中点. ∴BE′=CE, 又∵DC=BC,∠DCE=∠CBE'=90°, ∴△DCE≌△CBE'(SAS), ∴DE=CE',∠CDE=∠E'CB, ∵∠CDE+∠DEC=90°, ∴∠E'CB+∠CED=90°, ∴DE⊥CE'. (2)解:如图 2 中,作 C′M⊥CD 于 M,交 AB 于 N. ∵AB∥CD,C′M⊥CD, ∴C′M⊥AB, ∴∠DMC′=∠C′NE′=∠DC′E′=90°, ∴∠MDC′+∠DC′M=90°,∠DC′M+∠E′CN=90°, ∴∠MDC′=∠E′C′N, ∴△DMC′∽△C′NE′, ∴ = = =2,设 NE′=x, 则 AM=AN=1+x,C′M=2x,C′N= (1+x), ∵MN=AD=2, ∴2x+ (1+x)=2, 解得 x= , ∴CM=2﹣(1+ )= ,MC= , ∴CC′= = = . 15.在△ABC 中,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,∠MDN 的两边分别与 AB,AC 相交于 M,N 两点,且 DM=DN. (1)如图甲,若∠C=90°,∠BAC=60°,AC=9,∠MDN=120°, ND∥AB. ①写出∠MDA= 90 °,AB 的长是 18 . ②求四边形 AMDN 的周长. (2)如图乙,过 D 作 DF⊥AC 于 F,先补全图乙再证明 AM+AN=2AF. 解:(1)①∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°, ∵ND∥AB, ∴∠NDA=∠BAD=30°, ∴∠MDA=∠MDN﹣∠NDA=120°﹣30°=90°, ∵∠C=90°,∠BAC=60°, ∴∠ABC=30°, ∴AC = AB, ∴AB=2AC=18, 故答案为:90,18; ②∵∠ABC=30°,ND∥AB, ∴∠NDC=30°, 又∵∠MDN=120°, ∴∠MDB=30°, ∴∠MAD=∠NAD=∠ADN=∠MBD=30°, ∴BM=MD,DN=AN, ∵DM=DN, ∴BM=MD=DN=AN, 在 Rt△ADM 中,设 MD=x,则 AM=2x, BM=MD=DN=AN=x, ∵AB=18, ∴3x=18, ∴x=6, ∴AM=12, MD=DN=AN=6, ∴四边形 AMDN 的周长=AM+MD+DN+AN=12+6+6+6=30; (2)补全图如图乙所示: 证明:过点 D 作 DE⊥AB 于 E,如图丙所示: ∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD 平分∠BAC, ∴∠DEM=∠DFN=90°,DE=DF, 在 Rt△DEA 和 Rt△DFA 中, , ∴Rt△DEA≌Rt△DFA(HL), ∴AE=AF, 在 Rt△DEM 和 Rt△DFN 中, , ∴Rt△DEM≌Rt△DFN(HL), ∴EM=FN, ∴AM+AN=AE+EM+AF﹣NF=2AF.