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- 2021-11-11 发布
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2020 年中考数学总复习四边形压轴题专题练习
1.如图,四边形 ABCD 是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,且 AB=AD+BC,
E 是 DC 的中点,连结 BE 并延长交 AD 的延长线于 G.
(1)求证:DG=BC;
(2)F 是 AB 边上的动点,当 F 点在什么位置时,FD∥BG;说明理由.
(3)在(2)的条件下,连结 AE 交 FD 于 H,FH 与 HD 长度关系如何?说明
理由.
(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠DGE=∠CBE,∠GDE=∠BCE,
∵E 是 DC 的中点,即 DE=CE,
∴△DEG≌△CEB(AAS),
∴DG=BC.
(2)解:当 F 运动到 AF=AD 时,FD∥BG.
理由:由(1)知 DG=BC,
∵AB=AD+BC,AF=AD,
∴BF=BC=DG,
∴AB=AG,
∵∠BAG=90°,
∴∠AFD=∠ABG=45°,
∴FD∥BG.
(3)解:结论:FH=HD.
理由:由(1)知 GE=BG,又由(2)知△ABG 为等腰直角三角形,所以
AE⊥BG,
∵FD∥BG,
∴AE⊥FD,
∵△AFD 为等腰直角三角形,
∴FH=HD.
2.如图,在矩形 ABCD 中,过 BD 的中点 O 作 EF⊥BD,分别与 AB、CD 交于
点 E、F.连接 DE、BF.
(1)求证:四边形 BEDF 是菱形;
(2)若 M 是 AD 中点,联结 OM 与 DE 交于点 N,AD=OM=4,则 ON 的
长是多少?
(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠DFO=∠BEO,
∵∠DOF=∠EOB,OD=OB,
∴△DOF≌△BOE(AAS),
∴DF=BE,
∴四边形 BEDF 是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形 BEDF 是菱形.
(2)解:∵DM=AM,DO=OB,
∴OM∥AB,AB=2OM=8,
∴DN=EN,ON= BE,设 DE=EB=x,
在 Rt△ADE 中,则有 x2=42+(8﹣x)2,
解得 x=5,
∴ON= .
3.(1)如图 1,四边形 EFGH 中,FE=EH,∠EFG+∠EHG=180°,点 A,B
分别在边 FG,GH 上,且∠AEB= ∠FEH,求证:AB=AF+BH.
(2)如图 2,四边形 EFGH 中,FE=EH,点 M 在边 EH 上,连接 FM,EN
平分∠FEH 交 FM 于点 N,∠ENM=α,∠FGH=180°﹣2α,连接 GN,HN.
①找出图中与 NH 相等的线段,并加以证明;
②求∠NGH 的度数(用含α的式子表示).
(1)证明:如图 1 中,延长 BH 到 M,使得 HM=FA,连接 EM.
∵∠F+∠EHG=180°,∠EHG+∠EHM=180°,
∴∠F=∠EHM,
∵AE=HE,FA=HM,
∴△EFA≌△EHM(SAS),
∴EA=EM,∠FEA=∠HEM,
∵∠EAB= ∠FEH,
∴∠FEA+∠BEH=∠HEM+∠BEH=∠BEM= ∠FEH,
∴∠AEB=∠BEM,
∵BE=BE,EA=EM,
∴△AEB≌△MEB(SAS),
∴AB=BM,
∵BM=BH+HM=BH+AF,
∴AB=AF+BH.
(2)解:①如图 2 中,结论:NH=FN.
理由:∵NE 平分∠FEH,
∴∠FEN=∠HEN,
∵EF=EH,EN=EN,
∴△ENF≌△ENH(SAS),
∴NH=FN.
②∵△ENF≌△ENH,
∴∠ENF=∠ENH,
∵∠ENM=α,
∴∠ENF=∠ENH=180°﹣α,
∴∠MNH=180°﹣α﹣α=180°﹣2α,
∵∠FGH=180°﹣2α,
∴∠MNH=∠FGH,
∵∠MNH+∠FNH=180°,
∴∠FGH+∠FNH=180°,
∴F,G,H,N 四点共圆,
∵NH=NF,
∴ = ,
∴∠NGH=∠NGF= ∠FGH=90°﹣α.
4.如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点 M、N 分别是
边 AC、AB 上的动点,连接 MN,将△AMN 沿 MN 所在直线翻折,翻折后
点 A 的对应点为 A′.
(1)如图 1,若点 A′恰好落在边 AB 上,且 AN= AC,求 AM 的长;
(2)如图 2,若点 A′恰好落在边 BC 上,且 A′N∥AC.
①试判断四边形 AMA′N 的形状并说明理由;
②求 AM、MN 的长;
(3)如图 3,设线段 NM、BC 的延长线交于点 P,当 且 时,求
CP 的长.
解:(1)如图 1 中,
在 Rt△ABC 中,∵∠C=9 0°,AC=4,BC=3,
∴AB= = =5,
∵∠A=∠A,∠ANM=∠C=90°,
∴△ANM∽△ACB,
∴ = ,
∴ = ,
∴AM= .
(2)①如图 2 中,
∵NA′∥AC,
∴∠AMN=∠NMA′,
由翻折可知:MA=MA′,∠AMN=∠NMA′,
∴∠MNA′=∠A′MN,
∴A′N=A′M,
∴AM=A′N,∵AM∥A′N,
∴四边形 AMA′N 是平行四边形,
∵MA=MA′,
∴四边形 AMA′N 是菱形.
②连接 AA′交 MN 于 O.设 AM=MA′=x,
∵MA′∥AB,
∴ = ,
∴ = ,
解得 x= ,
∴AM= ,
∴CM= ,
∴CA′= = = ,
∴AA′= = = ,
∵四边形 AMA′N 是菱形,
∴AA′⊥MN,OM=ON,OA=OA′= ,
∴OM= = = ,
∴MN=2OM= .
(3)如图 3 中,作 NH⊥BC 于 H.
∵NH∥AC,
∴ = =
∴ = =
∴NH= ,BH= ,
∴CH=BC﹣BH=3﹣ = ,
∴AM= AC= ,
∴CM=AC﹣AM=4﹣ = ,
∵CM∥NH,
∴ = ,
∴ = ,
∴PC=1.
5.如图,四边形 ABCD 为平行四边形,AD=1,AB=3,∠DAB=60°,点 E
为边 CD 上一动点,过点 C 作 AE 的垂线交 AE 的延长线于点 F.
(1)求∠D 的度数;
(2)若点 E 为 CD 的中点,求 EF 的值;
(3)当点 E 在线段 CD 上运动时, 是否存在最大值?若存在,求出该最大
值;若不存在,请说明理由.
解:(1)如图 1 中,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CB,
∠ADC+∠DAB=180°,
∵∠DAB=60°,
∴∠ADC=120°.
(2)如图 1 中,作 AH⊥CD 交 CD 的延长线于 H.
在 Rt△ADH 中,∵∠H=90°,∠ADH=60°,AD=2,
∴AH=AD•sin60°= ,DH=AD•cos60°= ,
∵DE=EC= ,
∴EH=DH+DE=2,
∴AE= = = ,
∵CF⊥AF,
∴∠F=∠H=90°,
∵∠AEH=∠CEF,
∴△AEH∽△CEF,
∴ = ,
∴ = ,
∴EF= .
(3)如图 2 中,作△AFC 的外接圆⊙O,作 AH⊥CD 交 CD 的郯城县于 H,
作 OK⊥CD 于 K,交⊙O 于 M,作 FP∥CD 交 AD 的延长线于 P,作 MN∥
CD 交 AD 的延长线于 M,作 NQ⊥CD 于 Q.
∵DE∥PF,
∴ = ,
∵AD 是定值,
∴PA 定值最大时, 定值最大,
观察图象可知,当点 F 与点 M 重合时 ,PA 定值最大,最大值=AN 的长,
由(2)可知,AH= ,CH= ,∠H=90°,
∴AC= = = ,
∴OM= AC= ,
∵OK∥AH,AO=OC,
∴KH=KC,
∴OK= = ,
∴MK=NQ= ﹣ ,
在 Rt△NDQ 中,DN= = = ﹣ ,
∴AN=AD+DN= + ,
∴ 的最大值= = + .
6.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 P 是射线 BC 上 一动点(点 P 不
与点 B 重合),连接 AP、DP,点 E 是线段 AP 上一点,且∠ADE=∠APD,
连接 BE.
(1)求证:AD2=AE•AP;
(2)求证 BE⊥AP;
(3)直接写出 的最小值.
(1)证明:∵∠DAE=∠PAD,∠ADE=∠APD,
∴△ADE∽△APD,
∴ = ,
∴AD2=AE•AP
(2)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=AB,∠ABC=90°,
∴AB2=AE•AP,
∴ = ,
∵∠BAE=∠PAB,
∴△ABE∽△APB,
∴∠AEB=∠ABP=90°,
∴BE⊥AP.
(3)∵△ADE∽△APD,
∴ = ,
∴ = ,
∵AD=2,
∴DE 最小时, 的值最小,
如图,作△ABE 的外接圆 ⊙O,连接 OD,OE,易知 OE=1,OD= ,
∴DE≥OD﹣OE= ﹣1,
∴DE 的最小值为 ﹣1,
∴ 的最小值= .
7.在正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE.
(1)如图 1,点 F 为 AE 的中点,连接 CF.已知 tan∠FBE= ,BF=5,求
CF 的长;
(2)如图 2,过点 E 作 AE 的垂线交 CD 于点 G,交 AB 的延长线于点 H,
点 O 为对角线 AC 的中点,连接 GO 并延长交 AB 于点 M,求证:AM+BH
=BE.
解:(1)Rt△ABE 中,BF 为中线,BF=5,
∴AE=10,FE=5,
作 FP⊥BC 于点 P,
Rt△BFP 中, ,
∴BP=3,FP=4,
在等腰三角形△BFE 中,BE=2BP=6,
由勾股定理求得 ,
∴CP=8﹣3=5,
∴ ;
(2)∵∠ACD=∠BAC=45°,AO=CO,∠AOM=∠COG,
∴证明△AMO≌△CGO(ASA),
∴AM=GC,
过 G 作 GP 垂直 AB 于点 P,得矩形 BCGP,
∴CG=PB,
∵AB=PG,∠AEB=∠H,∠ABE=∠GPH,
∴△ABE≌△GPH(ASA),
∴BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH.
8.阅读理解:如图 1,若一个四边形的两条对角线互相垂直,则称这个四边形
为垂美四边形.
(1)概念理解:如图 2,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,问四边
形 ABCD 是垂美四边形吗?请说明理由;
(2)性质探究:如图 1,试在垂美四边形 ABCD 中探究 AB2,CD2,AD2,
BC2 之间的关系,并说明理由;
(3)解决问题:如图 3,分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外
作正方形 ACFG 和正方形 ABDE,连结 CE、BG、GE、CE 交 BG 于点 N,
交 AB 于点 M.已知 AC= ,AB=2,求 GE 的长.
解:(1)如图 2,四边形 ABCD 是垂美四边形;
理由如下:
连接 AC、BD 交于点 E,
∵AB=AD,
∴点 A 在线段 BD 的垂直平分线上,
∵CB=CD,
∴点 C 在线段 BD 的垂直平分线上,
∴直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线,
∴AC⊥BD,即四边形 ABCD 是垂美四边形;
(2)猜想结论:AB2+CD2=AD2+BC2,
证 明:如图 1,在四边形 ABCD 中,
∵AC⊥BD,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,
由 勾 股 定 理 得 : AB2+CD2 = AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2 =
AO2+BO2+OD2+OC2
∴AB2+CD2=AD2+BC2,
(3)如图 3,连接 CG,BE,
∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
在△GAB 和△CAE 中,
FMNG 图 3EDCAB
∴△GAB≌△CAE(SSS),
∴∠ABG=∠AEC,
∵∠AEC+∠AME=90°,
∴∠ABG+∠BMN=90°,
∴∠BNC=90°,即 BG⊥CE,
∴四边形 CGEB 是垂美四边形,
由(2)得:EG2+BC2=CG2+BE2
∵ ,AB=2,
∴BC=1, , ,
∴EG2=CG2+BE2﹣BC2=6+8﹣2=13,
∴ .
9.已知:如图,长方形 ABCD 中,∠A=∠B=∠B=∠D=90°,AB=CD=4
米,AD=BC=8 米,点 M 是 BC 边的中点,点 P 从点 A 出发,以 1 米/秒的
速度沿 AB 方向运动再过点 B 沿 BM 方向运动,到点 M 停止运动,点 O 以同
样的速度同时从点 D 出发沿着 DA 方向运动,到点 A 停止运动,设点 P 运动
的时间为 x 秒.
(1)当 x=2 秒时,线段 AQ 的长是 6 米;
(2)当点 P 在线段 AB 上运动时,图中阴影部分的面积发生改变吗?请你作
出判断并说明理由.
(3)在点 P,Q 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得 BP= DQ?若存
在,求出点 P 的运动时间 x 的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC=8,
∵DQ=2,
∴AQ=AD﹣DQ=8﹣2=6,
故答案为 6.
(2)结论:阴影部分的面积不会发生改变.
理由:连结 AM,作 MH⊥AD 于 H.则四边形 ABMH 是矩形,MH=AB=4.
∵S 阴=S△APM+S△AQM= ×x×4+ (8﹣x)×4=16,
∴阴影面积不变;
(3)当点 P 在线段 AB 上时,BP=4﹣x,DQ=x.
∵BP= DQ,
∴4﹣x= x,
∴x=3.
当点 P 在线段 BM 上时,BP=x﹣4,DQ=x.
∵BP= DQ,
∴x﹣4= x,
∴x=6.
所以当 x=3 或 6 时,BP= DQ.
10.A,B,C,D 是长方形纸片的四个顶点,点 E、F、H 分别 是边 AB、BC、
AD 上的三点,连结 EF、FH.
(1)将长方形纸片 ABCD 按图①所示的方式折叠,FE、FH 为折痕,点 B、
C、D 折叠后的对应点分别为 B'、C'、D',点 B'在 FC'上,则∠EFH 的度数为
90° ;
(2)将长方形纸片 ABCD 按图②所示的方式折叠,FE、FH 为折痕,点 B、
C、D 折叠后的对应点分别为 B'、C'、D',若∠B'FC'=18°,求∠EFH 的度
数;
(3)将长方形纸片 ABCD 按图③所示的方式折叠,FE、FH 为折痕 ,点 B、
C、D 折叠后的对应点分别为 B'、C'、D',若∠EFH=m°,求∠B'FC'的度数
为 180°﹣2m° .
解:(1)∵沿 EF,FH 折叠,
∴∠BFE=∠B'FE,∠CFH=∠C'FH,
∵点 B′在 FC′上,
∴∠EFH= (∠BFB'+∠CFC')= ×180°=90°,
故答案为:90°;
(2)∵沿 EF,FH 折叠,
∴可设∠BFE=∠B'FE=x,∠C'FH=∠CFH=y,
∵2x+18°+2y=180°,
∴x+y=81°,
∴∠EFH=x+18°+y=99°;
(3)∵沿 EF,FH 折叠,
∴可设∠BFE=∠B'FE=x,∠C'FH=∠CFH=y,
∴∠EFH=180°﹣∠BFE﹣∠CFH=180°﹣(x+y),
即 x+y=180°﹣m°,
又∵∠EFH=∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH=x﹣∠B'FC'+y,
∴∠B'FC'=(x+y)﹣∠EFH=180°﹣m°﹣m°=180°﹣2m°,
故答案为:180°﹣2m°.
11.勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在 2000 多年以前,人们就开
始对它进行研究,至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证
明勾股定理的方法如下,请同学们仔细阅读并解答相关问题:
如图,分别以 Rt△ABC 的三边为边长,向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI.
(1)连接 BI、CE,求证:△ABI≌△AEC;
(2)过点 B 作 AC 的垂线,交 AC 于点 M,交 IH 于点 N.
①试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等;
②请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四边形.
(3)由第(2)题可得:
正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积= 正方形 ACHI 的面积,即在
Rt△ABC 中,AB2+BC2= AC2 .
(1)证明:∵四边形 ABDE、四边形 ACHI 是正方形,
∴AB=AE,AC=AI,∠BAE=∠CAI=90°,
∴∠EAC=∠BAI,
在△ABI 和△AEC 中, ,
∴△ABI≌△AEC(SAS);
(2)①证明:∵BM⊥AC,AI⊥AC,
∴BM∥AI,
∴四边形 AMNI 的面积=2△ABI 的面积,
同理:正方形 ABDE 的面积=2△AEC 的面积,
又∵△ABI≌△AEC,
∴四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等.
②解:四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等,理由如下:
∵Rt△ABC 中,AB2+BC2=AC2,
∴正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积=正方形 ACHI 的面积,
由①得:四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等,
∴四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等;
(3)解:由(2)得:正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积=正方形
ACHI 的面积;
即在 Rt△ABC 中,AB2+BC2=AC2;
故答案为:正方形 ACHI,AC2.
12.在长方形纸片 ABCD 中,点 E 是边 CD 上的一点,将△AED 沿 AE 所在的
直线折叠,使点 D 落在点 F 处.
(1)如图 1,若点 F 落在对角线 AC 上,且∠BAC=54°,则∠DAE 的度数
为 18 °.
(2)如图 2,若点 F 落在边 BC 上,且 AB=6,AD=10,求 CE 的长.
(3)如图 3,若点 E 是 CD 的中点,AF 的沿长线交 BC 于点 G,且 AB=6,
AD=10,求 CG 的长.
解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵∠BAC=54°,
∴∠DAC=90°﹣54°=36°,
由折叠的性质得:∠DAE=∠FAE,
∴∠DAE= ∠DAC=18°;
故答案为:18;
(2)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠B=∠C=90°,BC=AD=10,CD=AB=6,
由折叠的性质得:AF=AD=10,EF=ED,
∴BF= = =8,
∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2,
设 CE=x,则 EF=ED=6﹣x,
在 Rt△CEF 中,由勾股定理得:22+x2=(6﹣x)2,
解得:x= ,
即 CE 的长为 ;
(3)连接 EG,如图 3 所示:
∵点 E 是 CD 的中点,
∴DE=CE,
由折叠的性质得:AF=AD=10,∠AFE=∠D=90°,FE=DE,
∴∠EFG=90°=∠C,
在 Rt△CEG 和△FEG 中, ,
∴Rt△CEG≌△FEG(HL),
∴CG=FG,
设 CG=FG=y,
则 AG=AF+FG=10+y,BG=BC﹣CG=10﹣y,
在 Rt△ABG 中,由勾股定理得:62+(10﹣y)2=(10+y)2,
解 得:y= ,
即 CG 的长为 .
13.如图,矩形 ABCD 中,AB=6cm,AD=8cm,点 P 从点 A 出发,以每秒
一个单位的速度沿 A→B→C 的方向运动;同时点 Q 从点 B 出发,以每秒 2
个单位的速度沿 B→C→D 的方向运动,当其中一点到达终点后两点都停止运
动.设两点运动的时间为 t 秒.
(1)当 t= 7 时,两点停止运动;
(2)设△BPQ 的面积面积为 S(平方单位)
①求 S 与 t 之间的函数关系式;
②求 t 为何值时,△BPQ 面积最大,最大面积是多少?
解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC=8cm,AB=CD=6cm,
∴BC+AD=14cm,
∴t=14÷2=7,
故答案为 7.
(2)①当 0<t<4 时,S= •(6﹣t)×2t=﹣t2+6t.
当 4≤t<6 时,S= •(6﹣t)×8=﹣4t+24.
当 6<t≤7 时,S= (t﹣6)•(2t﹣8)=t2﹣10t+24.
②当 0<t<4 时,S= •(6﹣t)×2t=﹣t2+6t=﹣(t﹣3)2+9,
∵﹣1<0,
∴t=3 时,△PBQ 的面积最大,最小值为 9.
当 4≤t<6 时,S= •(6﹣t)×8=﹣4t+24,
∵﹣4<0,
∴t=4 时,△PBQ 的面积最大,最大值为 8,
当 6<t≤7 时,S= (t﹣6)•(2t﹣8)=t2﹣10t+24=(t﹣5)2﹣1,
t=7 时,△PBQ 的面积最大,最大值为 3,
综上所述,t=3 时,△PBQ 的面积最大,最大值为 9.
14.综合实践:
问题情境
数学活动课上,老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系
探究过程如下所示:如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 为边 BC 的中点.将
△DCE 以点 D 为旋转中心,顺时针方向旋转,当点 E 的对应点 E'落在边 AB
上时,连接 CE'.
“兴趣小组”发现的结论是:①AE'=C'E';
“卓越小组”发现的结论是:②DE=CE',DE⊥CE'.
解决问题
(1)请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论;
拓展探究
证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后,“智慧小组”提出如下问
题:如图 2,连接 CC',若正方形 ABCD 的边长为 2,求出 CC'的长度.
(2)请你帮助智慧小组写出线段 CC'的长度.(直接写出结论即可)
(1)证明:①∵△DE'C'由△DEC 旋转得到,
∴DC'=DC,∠C'=∠DCE=90°.
又∵四边形 ABCD 是正方形,
∴DA=DC,∠A=90°,
∴DA=DC',
∵DE'=DE',
∴Rt△DAE≌Rt△DC'E′(HL),
∴AE'=C'E'.
②∵点 E 为 BC 中点,C'E'=AE'=CE,
∴点 E'为 AB 的中点.
∴BE′=CE,
又∵DC=BC,∠DCE=∠CBE'=90°,
∴△DCE≌△CBE'(SAS),
∴DE=CE',∠CDE=∠E'CB,
∵∠CDE+∠DEC=90°,
∴∠E'CB+∠CED=90°,
∴DE⊥CE'.
(2)解:如图 2 中,作 C′M⊥CD 于 M,交 AB 于 N.
∵AB∥CD,C′M⊥CD,
∴C′M⊥AB,
∴∠DMC′=∠C′NE′=∠DC′E′=90°,
∴∠MDC′+∠DC′M=90°,∠DC′M+∠E′CN=90°,
∴∠MDC′=∠E′C′N,
∴△DMC′∽△C′NE′,
∴ = = =2,设 NE′=x,
则 AM=AN=1+x,C′M=2x,C′N= (1+x),
∵MN=AD=2,
∴2x+ (1+x)=2,
解得 x= ,
∴CM=2﹣(1+ )= ,MC= ,
∴CC′= = = .
15.在△ABC 中,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,∠MDN 的两边分别与 AB,AC
相交于 M,N 两点,且 DM=DN.
(1)如图甲,若∠C=90°,∠BAC=60°,AC=9,∠MDN=120°,
ND∥AB.
①写出∠MDA= 90 °,AB 的长是 18 .
②求四边形 AMDN 的周长.
(2)如图乙,过 D 作 DF⊥AC 于 F,先补全图乙再证明 AM+AN=2AF.
解:(1)①∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°,
∵ND∥AB,
∴∠NDA=∠BAD=30°,
∴∠MDA=∠MDN﹣∠NDA=120°﹣30°=90°,
∵∠C=90°,∠BAC=60°,
∴∠ABC=30°,
∴AC = AB,
∴AB=2AC=18,
故答案为:90,18;
②∵∠ABC=30°,ND∥AB,
∴∠NDC=30°,
又∵∠MDN=120°,
∴∠MDB=30°,
∴∠MAD=∠NAD=∠ADN=∠MBD=30°,
∴BM=MD,DN=AN,
∵DM=DN,
∴BM=MD=DN=AN,
在 Rt△ADM 中,设 MD=x,则 AM=2x,
BM=MD=DN=AN=x,
∵AB=18,
∴3x=18,
∴x=6,
∴AM=12,
MD=DN=AN=6,
∴四边形 AMDN 的周长=AM+MD+DN+AN=12+6+6+6=30;
(2)补全图如图乙所示:
证明:过点 D 作 DE⊥AB 于 E,如图丙所示:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD 平分∠BAC,
∴∠DEM=∠DFN=90°,DE=DF,
在 Rt△DEA 和 Rt△DFA 中, ,
∴Rt△DEA≌Rt△DFA(HL),
∴AE=AF,
在 Rt△DEM 和 Rt△DFN 中, ,
∴Rt△DEM≌Rt△DFN(HL),
∴EM=FN,
∴AM+AN=AE+EM+AF﹣NF=2AF.
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