2020九年级数学下册 第二十七章 相似本章中考演练同步练习 8页

第二十七章 相似 ‎ 一、选择题 ‎1．2018·内江已知△ABC与△A1B‎1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B‎1C1的面积比为(　　)‎ A．1∶1 B．1∶3‎ C．1∶6 D．1∶9‎ ‎2．2018·绍兴学校门口的栏杆如图1所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝‎4 m，AB＝‎1.6 m，CO＝‎1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　)‎ 图1‎ A．‎0.2 m B．‎0.3 m C．‎0.4 m D．‎‎0.5 m ‎3．2018·临沂如图2，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高‎1.2 m，测得AB＝‎1.6 m，BC＝‎12.4 m，则建筑物CD的高是(　　)‎ ‎　‎ 图2‎ A．‎9.3 m B．‎‎10.5 m C．‎12.4 m D．‎‎14 m ‎4．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(　　)‎ A．(‎2m，2n)‎ B．(‎2m，2n)或(－‎2m，－2n)‎ C．(m，n)‎ 8‎ D．(m，n)或(－m，－n)‎ ‎5．2018·宜宾如图3，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于(　　)‎ 图3‎ A．2 B．‎3 C. D. ‎6．2018·泰州如图4，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是(　　)‎ 图4‎ A．线段PQ始终经过点(2，3)‎ B．线段PQ始终经过点(3，2)‎ C．线段PQ始终经过点(2，2)‎ D．线段PQ不可能始终经过某一定点 二、填空题 ‎7．2018·嘉兴如图5，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝________．‎ 图5‎ ‎8．2018·南充如图6，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．‎ ‎　‎ 图6‎ ‎9．2018·岳阳《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“如图7，今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)‎ 8‎ 长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．‎ 图7‎ 三、解答题 ‎10．2018·杭州如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.‎ ‎(1)求证：△BDE∽△CAD；‎ ‎(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．‎ 图8‎ ‎11．2018·安徽如图9，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．‎ ‎(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；‎ ‎(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；‎ ‎(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B‎1A2的面积是________个平方单位．‎ 图9‎ ‎12．2018·衢州如图10，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取 8‎ 的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H.‎ ‎(1)求证：△HBE∽△ABC；‎ ‎(2)若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．‎ 图10‎ ‎13．2018·宁波若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．‎ ‎(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；‎ ‎(2)如图11①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形；‎ ‎(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．‎ 图11‎ 8‎ 详解详析 ‎1．[解析] D　∵△ABC与△A1B‎1C1相似，且相似比为1∶3，∴＝()2＝.故选D.‎ ‎2．[解析] C　由题意可知△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质可得＝，又AO＝‎4 m，AB＝‎1.6 m，CO＝‎1 m，∴＝，解得CD＝0.4(m)．故选C.‎ ‎3．[解析] B　由题意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，解得CD＝10.5(m)．故选B.‎ ‎4．[解析] B　当放大后的△A′O′B′与△AOB在原点O的同侧时，点P的对应点的坐标为(‎2m，2n)；当放大后的△A′O′B′与△AOB在原点O的异侧时，点P的对应点的坐标为(－‎2m，－2n)．故选B.‎ ‎5．[解析] A　如图，∵S△ABC＝9，S△A′EF＝4，且AD为BC边上的中线，‎ ‎∴S△A′DE＝S△A′EF＝2，S△ABD＝S△ABC＝.‎ ‎∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A′B′C′，‎ ‎∴A′E∥AB，‎ ‎∴△DA′E∽△DAB，∴＝，‎ 即＝，‎ 解得A′D＝2或A′D＝－(舍去)．故选A.‎ ‎6．[解析] B　解法一：如图，连接AO交PQ于点C，过点C作CD⊥AB于点D，‎ ‎∵AB⊥y轴，‎ ‎∴AB∥x轴，‎ ‎∴∠A＝∠COP，∠AQC＝∠OPC，‎ ‎∴△AQC∽△OPC，‎ ‎∴＝＝2，‎ ‎∴＝.‎ 同理可得CD＝BO＝4，AD＝AB＝6.‎ ‎∵点A的坐标为(9，6)，‎ ‎∴点C的坐标为(3，2)．‎ 即线段PQ始终经过点(3，2)．故选B.‎ 解法二：当OP＝t时，点P的坐标为(t，0)，点Q的坐标为(9－2t，6)．‎ 8‎ 设直线PQ的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，‎ 将P(t，0)，Q(9－2t，6)代入y＝kx＋b，‎ 得解得 ‎∴直线PQ的解析式为y＝x＋.‎ 当x＝3时，y＝2，‎ ‎∴直线PQ始终经过点(3，2)．‎ 故选B.‎ ‎7．[答案] 2‎ ‎[解析] 由＝得＝＝，则＝2.‎ 因为直线l1∥l2∥l3，所以＝＝2.‎ 故答案为2.‎ ‎8．[答案] ‎[解析] ∵DE∥BC，AD＝1，BD＝2，BC＝4，∴＝，即＝，解得DE＝.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.又∵DE∥BC，∴∠FBC＝∠F，∴∠ABF＝∠F，∴BD＝DF＝2.∵DF＝DE＋EF，∴EF＝2－＝.故答案为：.‎ ‎9．[答案] ‎[解析] 如图．‎ 设该直角三角形能容纳的正方形边长为x，则AD＝12－x，FC＝5－x.‎ 根据题意，得△ADE∽△EFC，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，解得x＝.‎ 故答案为.‎ ‎10．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.‎ ‎∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，AD⊥BC.‎ 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，‎ ‎∴△BDE∽△CAD.‎ ‎(2)∵BC＝10，∴BD＝BC＝5.‎ 在Rt△ABD中，有AD2＋BD2＝AB2，‎ ‎∴AD＝＝12.‎ 8‎ ‎∵△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，∴DE＝.‎ ‎11．解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求．‎ ‎(2)如图所示，线段A2B1即为所求．‎ ‎(3)由图可得，四边形AA1B‎1A2为正方形，‎ ‎∴四边形AA1B1A2的面积是()2＝()2＝20.‎ 故答案为：20.‎ ‎12．[解析] (1)根据切线的性质可证明∠CAB＝∠EHB，由此即可解决问题；‎ ‎(2)连接AF.由△CAF∽△CBA，推出AC2＝CF·CB＝36，可得AC＝6，AB＝＝3 ，AF＝＝2 ，由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF＝AH＝2 .设EF＝EH＝x.在Rt△EHB中，可得(5－x)2＝x2＋()2，解方程即可解决问题．‎ 解：(1)证明：∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB.‎ ‎∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB.‎ 又∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC.‎ ‎(2)如图，连接AF.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.‎ ‎∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠AFC，‎ ‎∴△CAF∽△CBA，∴＝，‎ ‎∴AC2＝CF·CB＝36，‎ ‎∴AC＝6，AB＝＝3 ，AF＝＝2 .‎ ‎∵＝，∴∠EAF＝∠EAH.‎ ‎∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH.‎ 又∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，‎ ‎∴AF＝AH＝2 .设EF＝EH＝x.‎ 在Rt△EHB中，(5－x)2＝x2＋()2，‎ ‎∴x＝2，∴EH＝2.‎ ‎13．解：(1)AC的长为或或.‎ ‎(2)证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ACB＝∠CAD.‎ 又∵∠BAC＝∠ADC，‎ ‎∴△ABC∽△DCA，‎ ‎∴＝，即CA2＝BC·AD.‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB＝∠CBD.‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ 8‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD，‎ ‎∴∠ADB＝∠ABD，‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∴CA2＝BC·AB，‎ ‎∴△ABC是比例三角形．‎ ‎(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H.‎ ‎∵AB＝AD，‎ ‎∴BH＝BD.‎ ‎∵AD∥BC，∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠BHA＝∠BCD＝90°.‎ 又∵∠ABH＝∠DBC，‎ ‎∴△ABH∽△DBC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB·BC＝DB·BH，‎ ‎∴AB·BC＝BD2.‎ 又∵AB·BC＝AC2，‎ ‎∴BD2＝AC2，‎ ‎∴＝.‎ 8‎