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  • 2021-11-11 发布

2010年广东省梅州市中考数学试卷

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一、选择题(共5小题,每小题3分,满分15分)‎ ‎1、(2010•黄石)﹣2的相反数是(  )‎ ‎ A、﹣2 B、﹣‎‎1‎‎2‎ ‎ C、‎1‎‎2‎ D、2‎ 考点:相反数。‎ 分析:一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.‎ 解答:解:﹣2的相反数是2.‎ 故选D.‎ 点评:本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.‎ ‎2、(2010•广东)图中所示几何体的正视图是(  )‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点:简单组合体的三视图。‎ 分析:找到从正面看所得到的图形即可,注意所有看到的棱都应表现在主视图中.‎ 解答:解:从正面看易得第一层有2个正方形,第二层有一个正方形.故选A.‎ 点评:此题需注意的是三视图的特征:主视图体现物体的长和高,左视图体现物体的高和宽,俯视图体现物体的长和宽.它们之间的关系是“主左高相等,主俯长相等,左俯宽相等”.‎ ‎3、(2010•河源)如图是广州市某一天内的气温变化图,根据图,下列说法中错误的是(  )‎ ‎ A、这一天中最高气温是24℃ B、这一天中最高气温与最低气温的差为16℃‎ ‎ C、这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D、这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低 考点:函数的图象。‎ 分析:根据广州市某一天内的气温变化图,分析变化趋势和具体数值,即可求出答案.‎ 解答:解:0时至2时之间和14时至24时之间的气温在逐渐降低,剩下时段气温逐渐上升,所以其中A、B、C的说法都是正确的,故选D.‎ 点评:本题考查的是统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.‎ ‎4、(2010•江津区)在函数y=x+1‎中,自变量x的取值范围是(  )‎ ‎ A、x>1 B、x≠1‎ ‎ C、x>﹣1 D、x≥﹣1‎ 考点:函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件。‎ 分析:根据二次根式的性质,被开方数大于等于0可求自变量x的取值范围.‎ 解答:解:根据题意得:x+1≥0,‎ 解得:x≥﹣1.‎ 故选D.‎ 点评:函数自变量的范围一般从三个方面考虑:‎ ‎(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;‎ ‎(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;‎ ‎(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.‎ ‎5、(2010•河源)下列图形中,是轴对称图形而不是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A、圆 B、正方形 ‎ C、矩形 D、正三角形 考点:中心对称图形;轴对称图形。‎ 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.‎ 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.‎ 解答:解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;‎ B、是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;‎ C、是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意.‎ 故选D.‎ 点评:掌握中心对称图形与轴对称图形的概念.‎ 判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;‎ 判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图形重合.‎ 二、填空题(共9小题,满分31分)‎ ‎6、(2010•广东)已知△ABC中,BC=6cm,E、F分别是AB、AC的中点,那么EF长是 cm.‎ 考点:三角形中位线定理。‎ 分析:利用三角形的中位线定理,知EF是BC的一半,可求出EF.‎ 解答:解:∵△ABC中,E、F分别是AB、AC的中点,‎ ‎∴EF是△ABC的中位线,‎ ‎∵BC=6cm,‎ ‎∴EF=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎×6=3cm.‎ 故答案为3.‎ 点评:本题考查了三角形中位线的性质,本题考查了中位线的性质,三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段,中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半.‎ ‎7、(2010•河源)已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,﹣1),则k= .‎ 考点:反比例函数图象上点的坐标特征。‎ 专题:计算题。‎ 分析:把点(1,﹣1)代入反比例函数解析式即可求得k的值.‎ 解答:解:把点(1,﹣1)代入得:k=1×(﹣1)=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ 点评:本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数的比例系数等于在函数图象上面的点的横纵坐标的乘积.‎ ‎8、(2010•宿迁)因式分解:a2﹣1= .‎ 考点:因式分解-运用公式法。‎ 分析:‎ 考查了对平方差公式的理解,本题属于基础题.本题中两个平方项的符号相反,直接运用平方差公式分解因式.‎ 解答:解:a2﹣1=a2﹣12=(a+1)(a﹣1).‎ 点评:本题考查了公式法分解因式,熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征,即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法.‎ ‎9、(2010•河源)甲,乙,丙,丁四支足球队在世界杯预选赛中的进球数分别为:9,9,11,7,则这组数据的:①众数为 ;②中位数为 ;③平均数为 .‎ 考点:众数;算术平均数;中位数。‎ 分析:根据平均数,中位数,众数的概念求解即可.‎ 解答:解:①数据9出现2次,次数最多,所以众数是9;‎ ‎②数据按从小到大排列:7,9,9,11,所以中位数是(9+9)÷2=9;‎ ‎③平均数=(9+9+11+7)÷4=9.‎ 故填9;9;9.‎ 点评:本题考查了平均数,中位数,众数的意义.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两个数的平均数.‎ ‎10、(2010•广东)为支援玉树灾区,我市党员捐款近600万元,600万用科学记数法表示为 .‎ 考点:科学记数法—表示较大的数。‎ 专题:应用题。‎ 分析:应先把600万元整理为用元表示的数,进而整理为a×10n的形式.‎ 解答:解:600万元=6 000 000元=6×106元.‎ 点评:将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时,其中1≤|a|<10,n为比整数位数少1的数.注意万字相当于把原数扩大10 000倍.‎ ‎11、(2010•河源)若x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则x1+x2的值等于 .‎ 考点:根与系数的关系。‎ 分析:一元二次方程中,根与系数的关系是x1+x2=﹣ba,x1•x2=ca.‎ 解答:解:根据一元二次方程的根与系数的关系,得 x1+x2=﹣‎﹣2‎‎1‎,即x1+x2=2.‎ 点评:本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系.‎ ‎12、(2010•广东)已知一个圆锥的母线长为2cm ‎,它的侧面展开图恰好是一个半圆,则这个圆锥的侧面积等于 cm2(用含π的式子表示).‎ 考点:圆锥的计算。‎ 分析:圆锥的侧面积等于母线长乘底面周长的一半.依此公式计算即可.‎ 解答:解:底面周长=2×2×π÷2=2πcm 侧面积=2π×2÷2=2πcm2.‎ 点评:本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式.‎ ‎13、(2010•河源)平面内不过同一点的n条直线两两相交,它们的交点个数记作an,并且规定a1=0.那么:①a2= ;②a3﹣a2= ;③an﹣an﹣1= .(n≥2,用含n的代数式表示).‎ 考点:直线、射线、线段。‎ 专题:规律型。‎ 分析:n条直线相交,最多有1+2+3+…+(n﹣1)=‎1‎‎2‎n(n﹣1)‎个交点.‎ 解答:解:①a2=‎1‎‎2‎n(n﹣1)‎=1;‎ ‎②∵a3=3,a2=1‎ ‎∴a3﹣a2=3﹣1=2;‎ ‎③an﹣an﹣1=‎1‎‎2‎n(n﹣1)‎﹣‎1‎‎2‎(n﹣1)(n﹣2)=‎1‎‎2‎(n﹣1)(n﹣n+2)=n﹣1.‎ 点评:此题在相交线的基础上,着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力,掌握从特殊项一般猜想的方法.‎ ‎14、(2010•河源)Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2.按以下步骤作图:‎ ‎①以A为圆心,以小于AC长为半径画弧,分别交AC、AB于点E、D ‎②分别以D、E为圆心,以大于‎1‎‎2‎DE长为半径画弧,两弧相交于点P ‎③连接AP交BC于点F.‎ 那么:(1)AB的长等于 ;(直接填写答案)‎ ‎(2)∠CAF= 度.(直接填写答案).‎ 考点:含30度角的直角三角形;全等三角形的判定与性质。‎ 专题:作图题。‎ 分析:(1)根据30°所对的直角边是斜边的一半进行求解;‎ ‎(2)根据作图的步骤易证明AF是∠BAC的平分线,即可求解.‎ 解答:解:(1)∵,∠C=90°,∠A=60°,AC=2,‎ ‎∴AB=2AC=4.‎ ‎(2)根据作图,得 AD=AE,PD=PE,AP=AP,‎ 则△AEP≌△ADP.‎ ‎∴∠CAF=30°.‎ 点评:本题考查了全等三角形的性质与判定;综合运用了30°的直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.‎ 三、解答题(共9小题,满分74分)‎ ‎15、(2010•河源)计算:|﹣2|﹣(‎1‎‎2‎)﹣1+(π﹣3.14)0+‎8‎×cos45°‎ 考点:特殊角的三角函数值;零指数幂;负整数指数幂。‎ 专题:计算题。‎ 分析:本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值5个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.‎ 解答:解:原式=2﹣2+1+2‎2‎×‎‎2‎‎2‎ ‎=1+2=3 .‎ 点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值,特殊角的三角函数值等考点的运算.‎ ‎16、(2010•河源)解方程:‎1‎x‎2‎‎﹣x=‎‎2‎x‎2‎‎﹣2x+1‎ 考点:解分式方程。‎ 专题:计算题。‎ 分析:把各分母因式分解后可得本题的最简公分母是x(x﹣1)2,方程两边都乘最简公分母,可把分式方程转换为整式方程求解.‎ 解答:解:方程两边都乘x(x﹣1)2,得:x﹣1=2x 移项及合并得x=﹣1,‎ 经检验x=﹣1是原分式方程的解,‎ ‎∴x=﹣1.‎ 点评:(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,方程两边都乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解.‎ ‎(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根.‎ ‎17、(2010•河源)在平面直角坐标系中,点M的坐标为(a,﹣2a).‎ ‎(1)当a=﹣1时,点M在坐标系的第 象限;(直接填写答案)‎ ‎(2)将点M向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到点N,当点N在第三象限时,求a的取值范围.‎ 考点:坐标与图形变化-平移。‎ 分析:(1)当a=﹣1时点M的坐标为(﹣1,2),所以M在第二象限;‎ ‎(2)根据平移方法,可得到N点坐标,N在第三象限,所以横坐标小于0,纵坐标小于0解不等式组可得a的取值范围.‎ 解答:解:(1)当a=﹣1时点M的坐标为(﹣1,2),所以M在第二象限,所应填“二”;‎ ‎(2)将点M向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到点N,点M的坐标为(a,﹣2a),所以N点坐标为(a﹣2,﹣2a+1),因为N点在第三象限,所以‎&a﹣2<0‎‎&﹣2a+1<0‎,解得‎1‎‎2‎<a<2,所以a的取值范围为‎1‎‎2‎<a<2.‎ 点评:本题考查图形的平移变换.关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变,而上下平移时点的横坐标不变.‎ ‎18、(2010•河源)(1)如图1,PA,PB分别与圆O相切于点A,B.求证:PA=PB;‎ ‎(2)如图2,过圆O外一点P的两条直线分别与圆O相交于点A、B和C、D.则当 时,PB=PD.(不添加字母符号和辅助线,不需证明,只需填上符合题意的一个条件)‎ 考点:切线的性质;全等三角形的判定与性质。‎ 专题:证明题;开放型。‎ 分析:(1)连接OA、OB.则OA⊥PA,OB⊥PB.根据HL证明△POA≌△POB,得证;‎ ‎(2)若PB=PD,则易证△POB≌△POD,有∠BPO=∠DPO.所以可填∠BPO=∠DPO.‎ 解答:(1)证明:连接OA、OB.‎ ‎∵PA、PB是切线,‎ ‎∴OA⊥PA,OB⊥PB.‎ ‎∵OA=OB,OP公共,‎ ‎∴△POA≌△POB,‎ ‎∴PA=PB.‎ ‎(2)当∠BPO=∠DPO时,PB=PD.‎ 证明:作⊥AB于M,ON⊥CD于N.‎ ‎∵∠BPO=∠DPO,‎ ‎∴OM=ON.‎ ‎∴AB=CD.则BM=DN.‎ ‎∵OM=ON,OP公共,‎ ‎∴△POM≌△PON,‎ ‎∴PM=PN.‎ ‎∴PB=PD.‎ 点评:此题考查了切线的性质,拓展题难度也不大.‎ ‎19、(2010•河源)如图,东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园,矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆.设矩形的宽为x,面积为y.‎ ‎(1)求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围;‎ ‎(2)生物园的面积能否达到210平方米?说明理由.‎ 考点:二次函数的应用。‎ 分析:(1)设矩形的宽为x,则长为40﹣2x,根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式.‎ ‎(2)令y=210,看函数方程有没有解?‎ 解答:解:(1)设矩形的宽为x,则长为40﹣2x,‎ y=x(40﹣2x)=﹣2x2+40x又要围成矩形,则40﹣2x>0,x<20‎ x的取值范围:0<x<20‎ ‎(2)令y=210,则﹣2x2+40x=210变形得:‎ ‎2x2﹣40x+210=0‎ 又∵△=40×40﹣4×2×210<0‎ ‎∴方程无解,‎ ‎∴生物园的面积达不到210平方米.‎ 点评:本题考查的是函数关系式的求法及最值的求法,同学们应该掌握.‎ ‎20、(2010•河源)某校九年级有200名学生参加了全国初中数学联合竞赛的初赛,为了了解本次初赛的成绩情况,从中抽取了50名学生,将他们的初赛成绩(得分为整数,满分为100分)分成五组:第一组49.5~59.5;第二组59.5~69.5;第三组69.5~79.5;第四组79.5~89.5;第五组89.5~100.5.统计后得到图所示的频数分布直方图(部分).‎ 观察图形的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)第四组的频数为 ;(直接填写答案)‎ ‎(2)若将得分转化为等级,规定:得分低于59.5分评为“D”,59.5~69.5分评为“C”,69.5~89.5分评为“B”,89.5~100.5分评为“A”.那么这200名参加初赛的学生中,参赛成绩评为“D”的学生约有 个.(直接填写答案)‎ ‎(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组,再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛.用列表法或画树状图法求:挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率.‎ 考点:频数(率)分布直方图;用样本估计总体;列表法与树状图法。‎ 专题:图表型。‎ 分析:(1)用样本容量50分别减去其它各组的人数,既得第四组的频数;‎ ‎(2)根据频数分布直方图可知,50个人中参赛成绩评为“D”的学生有16,求出所占的百分比,再乘以200即可;‎ ‎(3)由题意可知第四组的频数是2,第五组的频数也是2,设第四组的2名学生分别为A1、A2第五组的2名学生为B1、B2,列表(或画树状图),通过图表确定恰好都是在90分以上的概率.‎ 解答:解:(1)第四组的频数为:50﹣16﹣20﹣10﹣2=2;‎ ‎(2)参赛成绩评为“D”的学生约有:200×‎16‎‎50‎=64(人);‎ ‎(3)依题得第四组的频数是2,第五组的频数也是2,设第四组的2名学生分别为A1、A2第五组的2名学生为B1、B2,列表(或画树状图)如下:(5‎ 由上表可知共有12种结果,其中两个都是90分以上的有两种结果,所以恰好都是在90分以上的概率为‎1‎‎6‎.‎ 点评:本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.用到的知识点为:各小组频数之和等于样本总数;概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎21、(2010•河源)东艺中学初三(1)班学生到雁鸣湖春游,有一项活动是划船.游船有两种,甲种船每条船最多只能坐4个人,乙种船每条船最多只能坐6个人.已知初三(1)班学生的人数是5的倍数,若仅租甲种船,则不少于12条;若仅租乙种船,则不多于9条.‎ ‎(1)求初三(1)班学生的人数;‎ ‎(2)如果甲种船的租金是每条船10元,乙种船的租金是每条船12元.应怎样租船,才能使每条船都坐满,且租金最少?说明理由.‎ 考点:一元一次不等式组的应用。‎ 专题:应用题。‎ 分析:(1)设初三(1)班学生的人数为5x人,根据实际人数不小于12×4人,不大于9×6人,列不等式组即可求解;‎ ‎(2)租乙种船能使每条船坐满而且租金最少.因为甲种船每条10元,一条船最多坐四个人,初三(1)50个人须要13条船租金就是130元.而乙种船租金12元,一条船最多坐六个人,50个人须要9条船租金就是108元,而使用8条乙船,1条甲船的租金为106元.‎ 解答:解:设初三(1)班学生的人数为5x人,则 ‎&5x≥12×4‎‎&5x≤9×6‎ 解得9‎3‎‎5‎≤x≤10‎‎4‎‎5‎ 因为x是整数,所以x=10‎ 即5x=50 .‎ 答:初三(1)班学生的人数为50人.‎ ‎(2)设租金为w元,租甲船x条,乙船y条,则 ‎4x+6y=50‎ w=10x+12y 所以w=﹣3y+125‎ w随着y的增大而减小,故当y取最大值时,w最小 因为50÷6=8‎1‎‎3‎,所以取y=8,x=1时租金最少为 w=﹣3×7+125=104(元) .‎ 即使用8条乙船,1条甲船的租金最少为104元.‎ 点评:本题考查一元一次不等式组的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题列出不等式关系式即可求解.要注意根据实际问题来求租金的最小值.‎ ‎22、(2010•河源)如图,△ABC中,点P是边AC上的一个动点,过P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.‎ ‎(1)求证:PE=PF;‎ ‎(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能是矩形吗?说明理由;‎ ‎(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且APBC‎=‎‎3‎‎2‎.求此时∠A的大小.‎ 考点:菱形的判定;平行线的性质;正方形的判定。‎ 专题:动点型。‎ 分析:(1)可证明PE=PC,PF=PC,从而得到PE=PF;‎ ‎(2)由一对邻补角的平分线互相垂直,得出∠ECF=90°,故要使四边形AECF是矩形,只需四边形AECF是平行四边形即可.由(1)知PE=PF,则点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形.‎ ‎(3)由正方形的对角线相等且互相垂直,可知AC⊥EF,AC=2AP.又EF∥BC,得出AC⊥BC,在直角△ABC 中,根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求出∠A的大小.‎ 解答:解:(1)∵CE平分∠BCA,‎ ‎∴∠BCE=∠ECP,‎ 又∵MN∥BC,‎ ‎∴∠BCE=∠CEP,‎ ‎∴∠ECP=∠CEP,‎ ‎∴PE=PC;‎ 同理PF=PC,‎ ‎∴PE=PF;‎ ‎(2)当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:‎ 由(1)可知PE=PF,‎ ‎∵P是AC中点,‎ ‎∴AP=PC,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形.‎ ‎∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,‎ 且∠BCA+∠ACD=180°,‎ ‎∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=‎1‎‎2‎(∠BCA+∠ACD)=‎1‎‎2‎×180°=90°,‎ ‎∴平行四边形AECF是矩形;‎ ‎(3)证明:若四边形AECF是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP.‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴AC⊥BC,‎ ‎∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,‎ ‎∴cot∠A=ACBC‎=‎2APBC=2×‎‎3‎‎2‎=‎3‎,‎ ‎∴∠A=30°.‎ 点评:此题综合考查了平行线的性质,等腰三角形的判定,矩形的判定,正方形的性质,锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值等知识点,难度较大.‎ ‎23、(2010•河源)如图,直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于E,D两点(D点在E点右方).‎ ‎(1)求点E,D的坐标;‎ ‎(2)求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式;‎ ‎(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.‎ 考点:二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理的逆定理;直角梯形;圆周角定理。‎ 专题:压轴题。‎ 分析:(1)设以BC为直径的圆的圆心为M,由于⊙M过点D,由圆周角定理可得∠BDC=90°;即可证得△ABD∽△ODC,可用OD表示出DA,根据相似三角形得到的比例线段,即可求得OD的长,由此可得到点D、E的坐标;‎ ‎(2)用待定系数法求解即可求出该抛物线的解析式;‎ ‎(3)首先求出直线CD的解析式;由于CD⊥BD,且点C在抛物线的图象上,因此C点就是符合条件的Q点;同理可先求出过B点且平行于CD的直线l的解析式,直线l与抛物线的交点(B点除外)也应该符合Q点的要求.‎ 解答:解:(1)取BC的中点M,过M作MN⊥x轴于N;则M点即为以BC为直径的圆的圆心;‎ ‎∵点D是⊙M上的点,且BC是直径,‎ ‎∴∠BDC=90°;‎ ‎∴∠OCD=∠BDA=90°﹣∠ODC;‎ 又∵∠COD=∠OAB,‎ ‎∴△OCD∽△ADB;‎ ‎∴ABOD‎=‎ADOC;‎ ‎∵OC=3,AB=1,OA=OD+DA=4,‎ ‎∴3×1=OD×(4﹣OD),‎ 解得OD=1,OD=3;‎ ‎∵点D在点E右边,‎ ‎∴OD=3,OE=1;‎ 即D(3,0),E(1,0);‎ ‎(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,(a≠0),依题意,‎ 有:‎&c=3‎‎&16a+4b+c=1‎‎&9a+3b+c=0‎,‎ 解得‎&a=‎‎1‎‎2‎‎&b=﹣‎‎5‎‎2‎‎&c=3‎;‎ ‎∴y=‎1‎‎2‎x2﹣‎5‎‎2‎x+3;‎ ‎(3)假设存在这样的Q点;‎ ‎①△BDQ以D为直角顶点;‎ 由于CD⊥BD,且C点在抛物线的图象上,‎ 所以C点符合Q点的要求;‎ 此时Q(0,3);‎ ‎②△BDQ以B为直角顶点;‎ 易知直线AC的解析式为:y=﹣x+3;‎ 作过B的直线l,且l∥CD;‎ 设l的解析式为y=﹣x+h,由于l经过点B(4,1),‎ 则有:﹣4+h=1,h=5;‎ ‎∴直线l的解析式为y=﹣x+5;‎ 联立抛物线的解析式有:‎ ‎&y=‎1‎‎2‎x‎2‎﹣‎5‎‎2‎x+3‎‎&y=﹣x+5‎‎,‎ 解得‎&x=4‎‎&y=1‎,‎&x=﹣1‎‎&y=6‎;‎ ‎∴Q(﹣1,6);‎ 综上所述,存在符合条件的Q点,且Q点坐标为(0,3)或(﹣1,6).‎ 点评:此题主要考查的圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定等知识的综合应用,综合性强,难度较大.‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:‎ wangcen;CJX;Linaliu;huangling;py168;张伟东;lanchong;zxw;nhx600;算术;zhjh;lanyuemeng;kuaile;zhangchao;wdxwwzy;HJJ;MMCH;hnaylzhyk;wdxwzk;郭静慧。(排名不分先后)‎ ‎2011年2月17日