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- 2021-11-11 发布
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2020年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题(本题共12个小题,每小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1. 在实数-1,-2,0,14中,最小的实数是( )
A.-1 B.14 C.0 D.-2
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
3. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=65∘,点D是BC边上任意一点,过点D作DF // AB交AC于点E,则∠FEC的度数是( )
A.120∘ B.130∘ C.145∘ D.150∘
4. 下列计算正确的是( )
A.a2⋅a3=a6 B.a6÷a-2=a-3
C.(-2ab2)3=-8a3b6 D.(2a+b)2=4a2+b2
5. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识,某校开展疫情防控知识竞赛.来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示,这些成绩的中位数和众数分别是( )
成绩/分
84
88
92
96
100
人数/人
2
4
9
10
5
A.92分,96分 B.94分,96分 C.96分,96分 D.96分,100分
6. 计算45÷33×35的结果正确的是( )
A.1 B.53 C.5 D.9
7. 如图,在4×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB的值为( )
A.355 B.175 C.35 D.45
8. 用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是( )
A.(x-34)2=1716 B.(x-34)2=12 C.(x-32)2=134 D.(x-32)2=114
9. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M,连接OC,DB.如果OC // DB,OC=23,那么图中阴影部分的面积是( )
A.π B.2π C.3π D.4π
10. 如图,有一块半径为1m,圆心角为90∘的扇形铁皮,要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计),那么这个圆锥形容器的高为( )
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A.14m B.34m C.154m D.32m
11. 人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成,如图中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖,把第n个图形用图ⓝ表示,那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是( )
A.150 B.200 C.355 D.505
12. 如图,在Rt△ABC中,AB=2,∠C=30∘,将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C',使点B的对应点B'落在AC上,在B'C'上取点D,使B'D=2,那么点D到BC的距离等于( )
A.2(33+1) B.33+1 C.3-1 D.3+1
二、填空题(本题共5个小题,每小题3分,共15分.只要求填写最后结果)
13. 因式分解:x(x-2)-x+2=________.
14. 如图,在⊙O中,四边形OABC为菱形,点D在AmC上,则∠ADC的度数是________.
15. 计算:(1+a1-a)÷1a2-a=________.
16. 某校开展读书日活动,小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本,抽到同一类书籍的概率是________.
17. 如图,在直角坐标系中,点A(1, 1),B(3, 3)是第一象限角平分线上的两点,点C的纵坐标为1,且CA=CB,在y轴上取一点D,连接AC,BC,AD,BD,使得四边形ACBD的周长最小,这个最小周长的值为________.
三、解答题(本题共8个小题,共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
18. 解不等式组12x+1<7-32x,3x-23≥x3+x-44, 并写出它的所有整数解.
19. 为了提高学生的综合素养,某校开设了五门手工活动课,按照类别分为:A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”.为了了解学生对每种活动课的喜爱情况,随机抽取了部分同学进行调查,将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
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根据以上信息,回答下列问题:
(1)本次调查的样本容量为________;统计图中的a=________,b=________;
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)该校共有2500名学生,请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数.
20. 今年植树节期间,某景观园林公司购进一批成捆的A,B两种树苗,每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵,每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元,而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍.
(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元?
(2)如果购进的这批树苗共5500棵,A种树苗至多购进3500棵,为了使购进的这批树苗的费用最低,应购进A种树苗和B种树苗各多少棵?并求出最低费用.
21. 如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
22. 如图,小莹在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量,先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m,后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45∘,居民楼AB的顶端B的仰角为55∘,已知居民楼CD的高度为16.6m,小莹的观测点N距地面1.6m.求居民楼AB的高度(精确到lm).(参考数据:sin55∘≈0.82,cos55∘≈0.57,tan55∘≈l.43).
23. 如图,已知反比例函数y=kx的图象与直线y=ax+b相交于点A(-2, 3),B(1, m).
(1)求出直线y=ax+b的表达式;
(2)在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18,求出点P的坐标.
24. 如图,在△ABC中,AB=BC,以△ABC的边AB为直径作⊙O,交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.
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(1)试证明DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,AC=610,求此时DE的长.
25. 如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1, 0),B(4, 0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.
(1)求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式;
(2)在动直线l移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标;
(3)连接CP,CD,在动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与△DCE相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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参考答案与试题解析
2020年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题(本题共12个小题,每小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.A
7.D
8.A
9.B
10.C
11.C
12.D
二、填空题(本题共5个小题,每小题3分,共15分.只要求填写最后结果)
13.(x-2)(x-1)
14.60∘
15.-a
16.13
17.4+25
三、解答题(本题共8个小题,共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
18.12x+1<7-32x3x-23≥x3+x-44 ,
解不等式①,x<3,
解不等式②,得x≥-45,
∴ 原不等式组的解集为-45≤x<3,
它的所有整数解为0,1,2.
19.120,12,36
该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人
20.这一批树苗平均每棵的价格是20元;
购进A种树苗3500棵,BA种树苗2000棵时,能使得购进这批树苗的费用最低,最低费用为111000元
21.证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB // CD,AB=CD,
∴ ∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,
∵ E为BC的中点,
∴ EB=EC,
∴ △ABE≅△FCE(AAS),
∴ AB=CF.
∵ AB // CF,
∴ 四边形ABFC是平行四边形,
∵ BC=AF,
∴ 四边形ABFC是矩形.
22.居民楼AB的高度约为30米
23.将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得:k=-2×3=-6,
故反比例函数表达式为:y=-6x,
将点B的坐标代入上式并解得:m=-6,故点B(1, -6),
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得3=-2a+b-6=a+b ,解得a=-3b=-3 ,
故直线的表达式为:y=-3x-3;
设直线与x轴的交点为E,当y=0时,x=-1,故点E(-1, 0),
分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,
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则S△PAB=12PE⋅CA+12PE⋅BD=32PE+62PE=92PE=18,解得:PE=4,
故点P的坐标为(3, 0)或(-5, 0).
24.证明:连接OD、BD,
∵ AB是⊙O直径,
∴ ∠ADB=90∘,
∴ BD⊥AC,
∵ AB=BC,
∴ D为AC中点,
∵ OA=OB,
∴ OD // BC,
∵ DE⊥BC,
∴ DE⊥OD,
∵ OD为半径,
∴ DE是⊙O的切线;
由(1)知BD是AC的中线,
∴ AD=CD=12AC=310,
∵ O的半径为5,
∴ AB=6,
∴ BD=AB2-AD2=102-(310)2=10,
∵ AB=AC,
∴ ∠A=∠C,
∵ ∠ADB=∠CED=90∘,
∴ △CDE∽△ABD,
∴ CDAB=DEBD,即31010=DE10,
∴ DE=3.
25.将点A(-1, 0),B(4, 0),代入y=ax2+bx+4,
得:0=a-b+40=16a+4b+4 ,
解得:a=-1b=3 ,
∴ 二次函数的表达式为:y=-x2+3x+4,
当x=0时,y=4,
∴ C(0, 4),
设BC所在直线的表达式为:y=mx+n,
将C(0, 4)、B(4, 0)代入y=mx+n,
得:4=n0=4m+n ,
解得:m=-1n=4 ,
∴ BC所在直线的表达式为:y=-x+4;
∵ DE⊥x轴,PF⊥x轴,
∴ DE // PF,
只要DE=PF,四边形DEFP即为平行四边形,
∵ y=-x2+3x+4=-(x-32)2+254,
∴ 点D的坐标为:(32, 254),
将x=32代入y=-x+4,即y=-32+4=52,
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∴ 点E的坐标为:(32, 52),
∴ DE=254-52=154,
设点P的横坐标为t,
则P的坐标为:(t, -t2+3t+4),F的坐标为:(t, -t+4),
∴ PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,
由DE=PF得:-t2+4t=154,
解得:t1=32(不合题意舍去),t2=52,
当t=52时,-t2+3t+4=-(52)2+3×52+4=214,
∴ 点P的坐标为(52, 214);
存在,理由如下:
如图2所示:
由(2)得:PF // DE,
∴ ∠CED=∠CFP,
又∵ ∠PCF与∠DCE有共同的顶点C,且∠PCF在∠DCE的内部,
∴ ∠PCF≠∠DCE,
∴ 只有∠PCF=∠CDE时,△PCF∽△CDE,
∴ PFCE=CFDE,
∵ C(0, 4)、E(32, 52),
∴ CE=(32)2+(4-52)2=322,
由(2)得:DE=154,PF=-t2+4t,F的坐标为:(t, -t+4),
∴ CF=t2+[4-(-t+4)]2=2t,
∴ -t2+4t322=2t154,
∵ t≠0,
∴ 154(-t+4)=3,
解得:t=165,
当t=165时,-t2+3t+4=-(165)2+3×165+4=8425,
∴ 点P的坐标为:(165, 8425).
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