2016年海南省中考数学试卷 19页

‎2016年海南省中考数学试卷 一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）‎ ‎1．2016的相反数是（　　）‎ A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．‎ ‎【解答】解：2016的相反数是﹣2016，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．若代数式x+2的值为1，则x等于（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3‎ ‎【考点】解一元一次方程．‎ ‎【专题】计算题；一次方程（组）及应用．‎ ‎【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+2=1，‎ 解得：x=﹣1，‎ 故选B ‎【点评】此题考查了解一元一次方程方程，根据题意列出方程是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．‎ ‎　‎ ‎4．某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（　　）‎ A．74 B．44 C．42 D．40‎ ‎【考点】众数．‎ ‎【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．‎ ‎【解答】解：∵数据中42出现了2次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数是42，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了众数，一组数据中出现次数做多的数叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．‎ ‎　‎ ‎5．下列计算中，正确的是（　　）‎ A．（a3）4=a12B．a3•a5=a15C．a2+a2=a4D．a6÷a2=a3‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、（a3）4=a3×4=a12，故A正确；‎ B、a3•a5=a3+5=a8，故B错误；‎ C、a2+a2=2a2，故C错误；‎ D、a6÷a2=a6﹣2=a4，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．省政府提出2016年要实现180 000农村贫困人口脱贫，数据180 000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.8×103B．1.8×104C．1.8×105D．1.8×106‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：180000用科学记数法表示为1.8×105，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎7．解分式方程，正确的结果是（　　）‎ A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解 ‎【考点】解分式方程．‎ ‎【专题】计算题；分式方程及应用．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：1+x﹣1=0，‎ 解得：x=0，‎ 故选A ‎【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．‎ ‎　‎ ‎8．面积为2的正方形的边长在（　　）‎ A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 ‎【考点】估算无理数的大小．‎ ‎【分析】面积为3的正方形边长是2的算术平方根，再利用夹逼法求得的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：解：面积为2的正方形边长是，‎ ‎∵1＜2＜4，‎ ‎∴‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）‎ A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷 ‎【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．‎ ‎【分析】解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A，B错误，‎ 再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，D．‎ ‎【解答】解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∴A，B错误，‎ 设y=（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，‎ ‎∴y=，‎ 把y=2代入上式得：x=25，‎ ‎∴C错误，‎ 把x=1代入上式得：y=，‎ ‎∴D正确，‎ 故答案为：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，图象，求函数值与自变量的值，根据图象找出正确信息是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（　　）‎ A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】根据题意可得，点B和点B的对应点B1关于原点对称，据此求出B1的坐标即可．‎ ‎【解答】解：∵△A1OB1是将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到图形，‎ ‎∴点B和点B1关于原点对称，‎ ‎∵点B的坐标为（2，1），‎ ‎∴B1的坐标为（﹣2，﹣1）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．‎ ‎　‎ ‎11．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，‎ ‎∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎12．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．40° D．50°‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．‎ ‎【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，‎ ‎∴∠PAO=90°．‎ 又∵∠P=40°，‎ ‎∴∠∠PAO=50°，‎ ‎∴∠ABC=∠PAO=25°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎　‎ ‎13．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎【考点】矩形的性质；平行线的性质．‎ ‎【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：过点D作DE∥a，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠BAD=∠ADC=90°，‎ ‎∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴DE∥a∥b，‎ ‎∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，‎ ‎∴∠2=90°﹣30°=60°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（　　）‎ A．6 B．6C．2D．3‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．‎ ‎【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，‎ ‎∴∠CDE=∠BDE=90°，‎ ‎∵BD=CD，BC=6，‎ ‎∴BD=ED=3，‎ 即△EDB是等腰直角三角形，‎ ‎∴BE=BD=×3=3，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）‎ ‎15．因式分解：ax﹣ay=　a（x﹣y）　．‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法．‎ ‎【分析】通过提取公因式a进行因式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=a（x﹣y）．‎ 故答案是：a（x﹣y）．‎ ‎【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．‎ ‎　‎ ‎16．某工厂去年的产值是a万元，今年比去年增加10%，今年的产值是　（1+10%）a　万元．‎ ‎【考点】列代数式．‎ ‎【专题】增长率问题．‎ ‎【分析】今年产值=（1+10%）×去年产值，根据关系列式即可．‎ ‎【解答】解：根据题意可得今年产值=（1+10%）a万元，‎ 故答案为：（1+10%）a．‎ ‎【点评】本题考查了增长率的知识，增长后的收入=（1+10%）×增长前的收入．‎ ‎　‎ ‎17．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=　5.5　．‎ ‎【考点】圆周角定理；垂径定理．‎ ‎【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径，‎ ‎∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，‎ 又∵DE⊥AC，‎ ‎∴OP∥BC，‎ ‎∴△AOP∽△ABC，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴OP=1.5．‎ ‎∴DP=OP+OP=5.5，‎ 故答案为：5.5．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是　①②③④　（只填写序号）‎ ‎【考点】菱形的判定；全等三角形的判定；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．‎ ‎【解答】解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，‎ 则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，‎ 则∠2=∠4，‎ ‎∴AD=DC，‎ 同理可得：AB=AD=BC=DC，‎ 所以四边形ABCD是菱形．‎ 根据菱形的性质，可以得出以下结论：‎ 所以①AC⊥BD，正确；‎ ‎②AD∥BC，正确；‎ ‎③四边形ABCD是菱形，正确；‎ ‎④在△ABD和△CDB中 ‎∵‎ ‎∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．‎ 故答案为：①②③④．‎ ‎【点评】此题考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分62分）‎ ‎19．计算：‎ ‎（1）6÷（﹣3）+﹣8×2﹣2；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂．‎ ‎【分析】（1）根据实数的运算顺序，先计算除法、开方、乘方，再计算乘法，最后计算加减可得；‎ ‎（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：（1）原式=﹣2+2﹣8×=﹣2；‎ ‎（2）解不等式x﹣1＜2，得：x＜3，‎ 解不等式≥1，得：x≥1，‎ ‎∴不等式组的解集为：1≤x＜3．‎ ‎【点评】本题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．‎ ‎　‎ ‎20．世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．‎ ‎【考点】一元一次方程的应用．‎ ‎【分析】设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元．根据“购书价格=《汉语成语大词典》的标价×折率+《中华上下五千年》的标价×折率”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元，‎ 依题意得：50%x+60%（150﹣x）=80，‎ 解得：x=100，‎ ‎150﹣100=50（元）．‎ 答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x+60%（150﹣x）=80．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．‎ ‎　‎ ‎21．在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表：‎ ‎“宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个）‎ ‎　频数（株）‎ ‎　频率 ‎25≤x＜35‎ ‎6‎ ‎0.1‎ ‎35≤x＜45‎ ‎　12‎ ‎0.2‎ ‎45≤x＜55‎ ‎　a ‎0.25‎ ‎55≤x＜65‎ ‎18‎ b ‎65≤x＜75‎ ‎9‎ ‎0.15　‎ 请结合图表中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）统计表中，a=　15　，b=　0.3　；‎ ‎（2）将频数分布直方图补充完整；‎ ‎（3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为　72　°；‎ ‎（4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有　300　株．‎ ‎【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．‎ ‎【专题】统计与概率．‎ ‎【分析】（1）根据题意可以求得a的值、b的值；‎ ‎（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；‎ ‎（3）根据挂果数量在“35≤x＜45”所对应的频率，可以求得挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数；‎ ‎（4）根据频数分布直方图可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄的株数．‎ ‎【解答】解：（1）a=60×0.25=15，b==0.3．‎ 故答案是：15，0.3；‎ ‎（2）补全的频数分布直方图如右图所示，‎ ‎（3）由题意可得，‎ 挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为：360°×0.2=72°，‎ 故答案为：72；‎ ‎（4）由题意可得，‎ 挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有：1000×0.3=300（株），‎ 故答案为：300．‎ ‎【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形圆心角的度数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．‎ ‎（1）求斜坡CD的高度DE；‎ ‎（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【专题】应用题；解直角三角形及其应用．‎ ‎【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；‎ ‎（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，‎ ‎∴DE=DC=2米；‎ ‎（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，‎ ‎∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，‎ ‎∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，‎ 设BF=DF=x米，‎ ‎∵四边形DEAF为矩形，‎ ‎∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，‎ 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，‎ ‎∴BC====米，‎ BD=BF=x米，DC=4米，‎ ‎∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，‎ ‎∴∠DCB=90°，‎ 在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，‎ 解得：x=4+或x=4﹣，‎ 则AB=（6+）米或（6﹣）米．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．‎ ‎（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；‎ ‎（2）若KD=KG，BC=4﹣．‎ ‎①求KD的长度；‎ ‎②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S△PMN=时，求m的值．‎ ‎【考点】四边形综合题；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）①先根据AAS判定△DOK≌△BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；‎ ‎（2）①先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；②先过点G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM 的表达式，最后根据等量关系S平行四边形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM，列出关于m的方程，求得m的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC ‎∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO ‎∵点O是BD的中点 ‎∴DO=BO ‎∴△DOK≌△BOG（AAS）‎ ‎②∵四边形ABCD是矩形 ‎∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC 又∵AF平分∠BAD ‎∴∠BAF=∠BFA=45°‎ ‎∴AB=BF ‎∵OK∥AF，AK∥FG ‎∴四边形AFGK是平行四边形 ‎∴AK=FG ‎∵BG=BF+FG ‎∴BG=AB+AK ‎（2）①由（1）得，四边形AFGK是平行四边形 ‎∴AK=FG，AF=KG 又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG ‎∴AF=KG=KD=BG 设AB=a，则AF=KG=KD=BG=a ‎∴AK=4﹣﹣a，FG=BG﹣BF=a﹣a ‎∴4﹣﹣a=a﹣a 解得a=‎ ‎∴KD=a=2‎ ‎②过点G作GI⊥KD于点I 由（2）①可知KD=AF=2‎ ‎∴GI=AB=‎ ‎∴S△DKG=×2×=‎ ‎∵PD=m ‎∴PK=2﹣m ‎∵PM∥DG，PN∥KG ‎∴四边形PMGN是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN ‎∴，即S△DPN=（）2‎ 同理S△PKM=（）2‎ ‎∵S△PMN=‎ ‎∴S平行四边形PMGN=2S△PMN=2×‎ 又∵S平行四边形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM ‎∴2×=﹣（）2﹣（）2，即m2﹣2m+1=0‎ 解得m1=m2=1‎ ‎∴当S△PMN=时，m的值为1‎ ‎【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解，难度较大，具有一定的综合性．‎ ‎　‎ ‎24．如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．‎ ‎（1）求该抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；‎ ‎（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．‎ ‎①若∠APE=∠CPE，求证：；‎ ‎②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；‎ ‎（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；‎ ‎（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出=；‎ ‎②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=x2+5x，则x2+5x=（x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．‎ ‎【解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），‎ 把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1，‎ 所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5；‎ ‎（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，‎ 把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，‎ 作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），‎ ‎∴PQ=3﹣（﹣3）=6，‎ ‎∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=•PQ•5=×6×5=15；‎ ‎（3）①证明：∵∠APE=∠CPE，‎ 而PH⊥AD，‎ ‎∴△PAD为等腰三角形，‎ ‎∴AH=DH，‎ 设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，‎ ‎∵PH∥OC，‎ ‎∴△PHD∽△COD，‎ ‎∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），‎ ‎∴DH=﹣x﹣，‎ 而AH+OH=5，‎ ‎∴﹣x﹣x﹣=5，‎ 整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去），‎ ‎∴OH=，‎ ‎∴AH=5﹣=，‎ ‎∵HE∥OC，‎ ‎∴===；‎ ‎②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），‎ 当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；‎ 当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）；‎ 当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=，此时P点坐标为（，﹣7﹣6），‎ 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．‎ ‎　‎