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- 2021-11-11 发布
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1.1 反比例函数
第1章 反比例函数
湘教版九年级数学上册教学课件
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念,能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
学习目标
??
导入新课
情境引入
新学期伊始,小明想买一些笔记本为以
后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱,小
明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢?
笔记本单价
x/元
1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记
本数量y/本
通过填表,你发现 x,y 之间具有怎样的关系?
你还能举出这样的例子吗?
20 15 12 10 6 4
?
反比例函数的概念一
下列问题中,变量间具有函数关系吗?如果有,
请写出它们的解析式.
合作探究
(1) 京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速
度v (单位:km/h) 随此次列车的全程运行时间 t
(单位:h) 的变化而变化;
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草
坪,草坪的长 y (单位:m) 随宽 x (单位:m)的
变化而变化;
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ,人均占
有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位:人) 的
变化而变化.
观察以上三个解析式,你觉得它们有什么共
同特点?
问题:
都具有 的形式,其中 是常数.分式 分子
(k为常数,k ≠ 0) 的函数,
叫做反比例函数,其中 x 是自变量,y 是函数.
一般地,形如
反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范
围是什么?
思考:
因为 x 作为分母,不能等于零,因此自变量 x
的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中,应根据具体情况来确定反比例
函数自变量的取值范围.
例如,在前面得到的第一个解析式
中,t 的取值范围是 t>0,且当 t 取每一个确定的
值时,v 都有唯一确定的值与其对应.
反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式
表示,还有没有其他表达方式?
想一想:
反比例函数的三种表达方式:(注意 k ≠ 0)
下列函数是不是反比例函数?若是,请指出 k 的值.
是,k = 3
不是
不是
不是
练一练
是,
解:因为 是反比例函数
所以 4-k2=0,
k-2≠0.
解得 k =-2.
所以该反比例函数的解析式为
方法总结:已知某个函数为反比例函数,只需要根
据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.
例1 若函数 是反比例函数,求 k
的值,并写出该反比例函数的解析式.
1. 已知函数 是反比例函数,则
k 必须满足 .
2. 当m= 时, 是反比例函数.
k≠2 且 k≠-1
±1
练一练
确定反比例函数的解析式二
例2 已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x=2时,y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式;
提示:因为 y 是 x 的反比例函数,所以设 .
把 x=2 和 y=6 代入上式,就可求出常数 k 的值.
解:设 . 因为当 x=2时,y=6,所以有
解得 k =12.
因此
(2) 当 x=4 时,求 y 的值.
解:把 x=4 代入 ,得
方法总结:用待定系数法求反比例函数解析式的一
般步骤:①设出含有待定系数的反比例函数解析式,
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,
得到关于待定系数的方程;③解方程,求出待定系
数; ④写出反比例函数解析式.
练一练
已知变量 y 与 x 成反比例,且当 x=3时,y=-4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式;
(2) 当 y=6 时,求 x 的值.
解:(1) 设 . 因为当 x=3时,y=-4,所以有
解得 k =-12.
因此
(2) 把 y=6 代入 ,得
解得 x =-2.
例3:在压力不变的情况下,某物体承受的压强p Pa
是它的受力面积S m2的反比例函数,如图.
(1)求p与S之间的函数表达式;
(2)当S=0.5时,求p的值.
解:(1)设 (k≠0),
因为函数图象过点(0.1,1000),
代入上式,得
解得k=100.
所以p与S的函数表达式是 ;
(2)当S=0.5时,
p
sO 0.1
1000
建立简单的反比例函数模型三
例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大,行驶中司机
在驾驶室内观察前方物体是动态的,车速增加,视野
变窄. 当车速为 50km/h 时,视野为 80 度,如果视野 f
(度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数,求 f 关于 v 的函数
解析式,并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
当 v=100 时,f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
解:设 . 由题意知,当 v =50时,f =80,所以
解得 k =4000.
因此
如图所示,已知菱形 ABCD 的面积为180,设它
的两条对角线 AC,BD的长分别为x,y. 写出变量 y
与 x 之间的关系式,并指出它是什么函数. A
B
C
D
练一练
解:因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半,
所以
所以变量 y与 x 之间的关系式为 ,
它是反比例函数.
当堂练习
1. 生活中有许多反比例函数的例子,在下面的实例中,
x 和 y 成反比例函数关系的有 (
) ① x人共饮水10 kg,平均每人饮水 y kg;②底面半
径为 x m,高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3;
③用铁丝做一个圆,铁丝的长为 x cm,做成圆的
半径为 y cm;④在水龙头前放满一桶水,出水的
速度为 x,放满一桶水的时间 y
A. 1个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
B
A. B.
C. D.
2. 下列函数中,y是x的反比例函数的是 ( )A
3. 填空
(1) 若 是反比例函数,则 m 的取值范围
是 .
(2) 若 是反比例函数,则m的取值范
围是 .
(3) 若 是反比例函数,则m的取值范围
是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ -2
m = -1
4. 已知 y 与 x+1 成反比例,并且当 x = 3 时,y =
4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式;
(2) 当 x = 7 时,求 y 的值.
解:(1) 设 ,因为当 x = 3 时,y =4 ,
所以有 ,解得 k =16,因此 .
(2) 当 x = 7 时,
5. 小明家离学校 1000 m,每天他往返于两地之间,有
时步行,有时骑车.假设小明每天上学时的平均速
度为 v ( m/min ),所用的时间为 t ( min ).
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式;
解: (t>0).
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min,星期三骑自行
车上学用了 8 min,那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少?
125-40=85 ( m/min ).
答:他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
解:当 t=25 时, ;
当 t=8 时, .
能力提升:
6. 已知 y = y1+y2,y1与 (x-1) 成正比例,y2 与 (x + 1)
成反比例,当 x = 0 时,y =-3;当 x =1 时,y = -1
,
求:(1) y 关于 x 的关系式;
解:设 y1 = k1(x-1) (k1≠0), (k2≠0),
则 .
∵ x = 0 时,y =-3;x =1 时,y = -1,
-3=-k1+k2 ,
∴k1=1,k2=-2.∴
∴
(2) 当 x = 时,y 的值.
解:把 x = 代入 (1) 中函数关系式,得 y =
课堂小结
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数:定义/三种表达方式
反
比
例
函
数
1.2 反比例函数的图象与性质
第1章 反比例函数
第1课时 反比例函数 的图象与性质
湘教版九年级数学上册精品教学课件
学习目标
1.了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制
简单的反比例函数图象.
2.了解并学会应用反比例函数 图象的基
本性质.(重点、难点)
导入新课
我们已经学习过的函数有哪些?你还记得画这些函
数图象时的方法吗?
写出一个反比例函数,你能画出它的图象吗?
复习引入
反比例函数的图象和性质一
例1 画反比例函数 与 的图象.
合作探究
提示:画函数的图象步骤一般分为:列表
→描点→连线. 需要注意的是在反比例函
数中自变量 x 不能为 0.
解:列表如下:
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
-1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1
-2 -2.4 -3 -4 -6 6 4 3 2.4 2
O-2
描点:以表中各组对
应值作为点的坐标,
在直角坐标系内描绘
出相应的点.
5
6
x
y
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6-3-4 -1-5-6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
连线:用光滑的曲线
顺次连接各点,即可
得 的图象.
方法归纳
绘制反比例函数的图象与绘制一次函数
的图象的步骤基本一致,不同之处在于反比
例函数图象为曲线,连线时应该尽量保证线
条自然,图象是延伸的,注意不要画成有明
确端点.曲线的发展趋势只能靠近
坐标轴,但不能和坐标轴相交.
观察这两个函数图象,回答问题:思考:
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限?
(2) 在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化?
你能由它们的解析式说明理由吗?
(3) 对于反比例函数 (k>0),考虑问题(1)(2)
,
你能得出同样的结论吗?
●由两条曲线组成,且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交;
●在每个象限内,y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k>0) 的图象和性质:
1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C
y
A. x
y
o B. x
o
D. x
y
o
C. x
y
o
练一练
2. 已知反比例函数 的图象过点(-2,-3),函
数图象上有两点 A( ,y1),B(5,y2),则 y1与y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2 B. y1 = y2
C. y1 < y2 D. 无法确定
C
提示:由题可知反比例函数的解析式为 ,因
为6>0,且 A,B 两点均在该函数图象的第一象限
部分,根据 >5,可知y1,y2的大小关系.
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2,6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如
何变化?
解:因为点 A (2,6) 在第一象限,所以这个函数的
图象位于第一、三象限;
在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.
(2) 点B(3,4),C( , ),D(2,5)是否在这个
函数的图象上?
解:设这个反比例函数的解析式为 ,因为点
A (2,6)在其图象上,所以有 ,解得 k =12.
因为点 B,C 的坐标都满足该解析式,而点 D
的坐标不满足,所以点 B,C 在这个函数的图
象上,点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围
是什么?
O x
y
例2 如图,是反比例函数 图象的一支. 根据
图象,回答下列问题:
解:因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限,所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限,所以m-5>0,
解得m>5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和
点B (x2,y2). 如果x1>x2,那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系?
解:因为 m-5 > 0,所以在这个函数图象的任一支
上,y 都随 x 的增大而减小,因此当x1>x2时,
y1<y2.
2.已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内,则m的取值范围是________.
当堂练习
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
3.在反比例函数 (k>0)的图象上有两点A( x1 , y1 ),
B( x2 , y2 ) 且x1>x2>0,则y1-y2的值为 ( )
A.正数 B.负数
C.非正数 D.非负数
B
4. 已知反比例函数 y = mxm²-5,它的两个分支分别在
第一、第三象限,求 m 的值.
解:因为反比例函数 y = mxm²-5 的两个分支分别在第
一、第三象限,
所以有
m2-5=-1
,m>0,
解得 m=2.
5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2,3).
(1) 求这个函数的表达式;
解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2,3),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
(2) 判断点 B (-1,6),C(3,2) 是否在这个函数的
图象上,并说明理由;
解:分别把点 B,C 的坐标代入反比例函数的解析
式,因为点 B 的坐标不满足该解析式,点 C
的坐标满足该解析式,
所以点 B 不在该函数的图象上,点 C 在该函
数的图象上.
(3) 当 -3< x <-1 时,求 y 的取值范围.
解:∵ 当 x = -3时,y =-2;
当 x = -1时,y =-6,且 k > 0,
∴ 当 x < 0 时,y 随 x 的增大而减小,
∴ 当 -3 < x < -1 时,-6 < y < -2.
性质:在每个象限内,y随x的增大
而减小
图象:分别位于第一、三象限
课堂小结
图象的画法(描点法):列表、
描点、连线
1.2 反比例函数的图象与性质
第1章 反比例函数
第2课时 反比例函数 的图象与性质
湘教版九年级数学上册精品教学课件
学习目标
1.了解反比例函数 的相关性质.
(重点、难点)
2.理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系.
(重点、难点)
3.利用双曲线的性质解决简单的数学问题.
观察与思考
问题 下表是一个反比例函数的部分取值,想一想这
些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢?可
以试着动手画一画.
x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6
y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1
反比例函数 图象与性质一
例1:画反比例函数 的图象.
解析:通过上节课学习可知画图象的三个步骤为
列表 描点 连线
需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0.
解:列表如下
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 …
描点:以表中各组对应
值作为点的坐标,在直
角坐标系内描绘出相应
的点.
连线:用光滑的曲线
顺次连接各点,即可
得 的图象.
1 2 3 4 5 6-1-3 -2-4-5-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-6
-5
5
6
y
x
y = x4
O
图象的画法
与 图象的画法
类似,但在解题的时候要注
意图象所在的象限.
方法归纳
观察与思考
当 k =-2,-4,-6时,反比例函数 的图
象,有哪些共同特征?回顾上面我们利用函数图象,
从特殊到一般研究反比例函数 (k>0) 的性质
的过程,你能用类似的方法研究反比例函数
(k<0)的图象和性质吗?
y
xO
y
xO
y
xO
反比例函数 (k<0) 的图象和性质:
●由两条曲线组成,且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交;
●在每个象限内,y随x的增大而增大.
归纳:
归纳:
(1) 当 k > 0 时,双曲线的两支分别位于第一、三
象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小;
(2) 当 k < 0 时,双曲线的两支分别位于第二、四
象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.
一般地,反比例函数 的图象是双曲线,
它具有以下性质:
k 的正负决定反比例函
数所在的象限和增减性
点(2,y1)和(3,y2)在函数 上,则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).
<
练一练
例2:反比例函数 的图象大致是(
) y
A. x
y
o B. x
o
D.
x
y
o
C. x
y
o
典例精析
D
例3:如图是反比例函数 的图象,根据
图像,回答下列问题:
(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;
x
y
o
由图可知,反比例函数的图像的
两支双曲线分别位于第一三象限
内,在每个象限内,函数值y随自
变量x的增大而减小,因此,k>0
(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该
函数上的两点,试比较y1、y2的大小.
x
y
o
因为点A(-3,y1),B(-2,y2)
是该图像上的两点,且-3<0,-2<0,
所以点A,B都位于第三象限.又因为
-3<-2,由反比例函数图像的性质
可知:y1>y2
例4:若双曲线y = 的两个分支分别在第二、
四象限,则 k 的取值范围是( )
A. k> B. k<
C. k= D.不存在
解析:反比例函数图象的两个分支分别在第二、四
象限,则必有2k-1<0,解得k< .故选B.
B
例5 已知反比例函数 ,y 随 x 的增
大而增大,求a的值.
解:由题意得a2+a-7=-1,且a-1<0.
解得 a=-3.
双曲线的概念及性质二
问题:观察前面绘制出来的图象,想一想它们有什么
样的共同点与特征呢?
x
y
x
y
双曲线
是轴对称图形,也是
以原点为对称中心的中
心对称图形.
O O
例6:如图,已知直线y=mx与双曲线 的一个
交点坐标为(-1,3),则它们的另一个交点坐标是
( )
A. (1,3) B. (3,1)
C. (1,-3) D. (-1,3) x
yC
O
例7:点(2,y1)和(3,y2)在函数 上,
则 y1 y2.(填“>”“<”或“=”)<
解析:由题意知该反比例函数位于第二、
四象限,且y随着自变量x的增大而增大,
故y1 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、
三象限
图象位于第二、
四象限
在每个象限内,y 随
x 的增大而减小
在每个象限内,y 随
x 的增大而增大
课堂小结
1.2 反比例函数的图象与性质
第1章 反比例函数
第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用
湘教版九年级数学上册精品教学课件
学习目标
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义,并将其灵活
运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重
点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化,学习数形结合的思想
方法,进一步提高对反比例函数相关知识的综合运
用能力. (重点、难点)
导入新课
反比例函数的图象是什么?
反比例函数的性质与 k 有怎样的关系?
反比例函数的图象是双曲线
当 k > 0 时,两条曲线分别位于第一、三
象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小;
当 k < 0 时,两条曲线分别位于第二、四
象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.
复习引入
问题1
问题2
反比例函数解析式中 k 的几何意义一
1. 在反比例函数 的图象上分别取点P,Q 向
x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形,
填写下页表格:
合作探究
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
SS11 SS22
P (2,2)
Q (4,1)
S1的值
S2的值
S1与S2
的关系
猜想 S1
,S2 与
k的关
系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
-5-4-3-2 1 432
-3
-2
-4
-5
-1
Q
S1的值 S2的值 S1与S2
的关系
猜想与 k 的关系
P (-1,4)
Q (-2,2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P,Q
两点,填写表格:
4 4 S1=S2 S1=S2=-k
y
xO
P
Q SS11
SS22
由前面的探究过程,可以猜想:
若点P是 图象上的任意一点,作 PA 垂直
于 x 轴,作 PB 垂直于 y 轴,矩形 AOBP 的面积与k
的关系是S矩形 AOBP=|k|.
y
xO
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明:
设点 P 的坐标为 (a,b)
A
B
∵点 P (a,b) 在函数 的图
象上,∴ ,即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k;
若点 P 在第二象限,则 a<0,b>0,
若点 P 在第四象限,则 a>0,b<0, ∴ S矩形 AOBP=PB·PA
=a· (-b)=-ab=-k.
B P
A
综上,S矩形 AOBP=|k|.
点 Q 是其图象上的任意
一
点,作 QA 垂直于 y 轴,
作
QB 垂直于x 轴,矩形
AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= .
推理:△QAO与△QBO
的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
Q
对于反比例函数
,
A
B
|k|
y
xO
归纳:
反比例函数的
面积不变性
A. SA >SB>SC B.
SA0) 图像上的任意两点,
过点 P 作 x 轴的垂线 PA,垂足为 A,过点 C 作 x 轴的
垂线 CD,垂足为 D,连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1,则 S1= ;梯形CEAD
的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2;△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
典例精析
2
S1
S2
>
=
S3
如图所示,直线与双曲线交于 A,B 两点,P 是
AB 上的点,△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、
△ POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 < S3
练一练
解析:由反比例函数面积的不变
性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一
支交于点 F,连接 OF,易知,
S△OFE = S1 = S2,而 S3>S△OFE,
所以 S1,S2,S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
FS1
S2
S3
y
D
B A
C x
例2 如图,点 A 是反比例函数 (x>0)的图象
上
任意一点,AB//x 轴交反比例函数 (x<0) 的
图象于点 B,以 AB 为边作平行四边形 ABCD,其中
点 C,D 在 x 轴上,则 S平行四边形ABCD =___.
3 2
5
如图所示,在平面直角坐标系中,过点 的直线
与 x 轴平行,且直线分别与反比例函数 (x>0)
和 (x<0)的图象交于点P,Q,若△POQ 的面
积为 8,则k =______.
Q P
O x
M
y-10
练一练
例3 如图所示,点A (x1,y1),B(x2,y2)都在双曲
线
上,且 x2-x1 = 4,y1-y2 =2. 分别过点 A,
B 向 x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为 C,D,E,F
,
AC 与 BF 相交于 G 点,四边形 FOCG 的面积为 2
,五边形 AEODB 的面积为 14,那么双曲线的解析
式
为 .
解得 k = 6.
∴双曲线的解析式为 .
解析:∵ x2-x1 = 4,y1-y2 =2
,
∴BG = 4,AG =5,
∴S△ABG =4×5÷2=10.
由反比例函数面积的不变
性可知,
S长方形ACOE = S长方形BDOF = k .
∴ S五边形 AEODB = S四边形ACOE +
S四边形BDOF- S四边形FOCG+ S△ABG
= k + k -2+4=14.
如图,已知点 A,B 在双曲线 上,AC⊥x 轴于
点C,BD⊥y 轴于点 D,AC 与 BD 交于点 P,P 是 AC
的中点,若△ABP 的面积为6,则 k = .24
练一练
E
F
S△ABP= S四边形BFCP,
= (S四边形BDOF-S四边形OCPD)
= (k- k)= k = 6.
∴k =24.
反比例函数与一次函数的综合二
在同一坐标系中,函数 和 y= k2 x+b 的
图象大致如下,则 k1 、k2、b各应满足什么条件?
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
合作探究
①
x
y
O x
y
O
②
k2 <0
b <0
k1 <0
k2 <0
b >0
③
x
y
O
k1 >0
④
x
y
O
例4 函数 y=kx-k 与 的图象大致是 ( )
D. x
y
OC.
y
A.
y
x B. x
y
O
D
O
O
k<0 k>0
× ×
× √
k>0k<0
由一次函数增
减性得k>0
由一次函数与y
轴交点知-k>0
,
则k<0
x
提示:由于两个函数解析式都含有相同的系数 k,可
对 k 的正负性进行分类讨论,得出符合题意的答案.
在同一直角坐标系中,函数 与 y = ax+1
(a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
xO B.
y
xO
C.
y
xO D.
y
xO
B
练一练
例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的
图象,观察图象,当 y1﹥y2 时,x 的取值范围为
.
-2
3
y
x0
-2< x <0 或 x >3
解析:y1﹥y2 即一次函数
图象处于反比例函数图象
的上方时. 观察右图,可
知-2< x <0 或 x >3.
方法总结:对于一些题目,借助函数图象比较大
小更加简洁明了.
练一练
如图,一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比
例函数 的图象交于 A,B 两点,观察图象,当
y1>y2时,x 的取值范围是 .
-1
2
y
x0
A
B
-1< x <0 或 x >2
例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交
于点 P (-3,4).试求出它们的解析式,并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (-3,4),
则点 P (-3,4) 是这两个函数图象上的点,
即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.
解:设正比例函数、反比例函数的解析式分别为
y=k1x 和 .
所以 , .
解得 , .
P
则这两个函数的解析式分别为 和 ,
它们的图象如图所示.
这两个图象有何
共同特点?你能
求出另外一个交
点的坐标吗?说
说你发现了什么
?
想一想:
反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的
图象的交点坐标为 . (2,6),(-2,-6)
解析:联立两个函数解析式,解方程即可.
练一练
例7 已知 A(-4, ),B(-1,2)是一次函数 y= kx+b
与反比例函数 图象的两个交点,求一次函数
解析式及 m 的值.
解:把A(-4, ),B(-1,2)代入 y = kx + b中,得
-4k + b = ,
-k + b =2,
k = ,
解得
b = ,
所以一次函数的解析式为 y = x + .
把 B (-1,2)代入 中,得 m =-1×2=-2.
当堂练习
A. 4 B. 2
C. -2 D.不确定
1. 如图所示, P 是反比例函数 的图象上一点,
过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B,点 A 在 y 轴上,
△ABP 的面积为 2,则 k 的值为 ( )
O B
A
P
x
y
A
2. 如图,函数 y=-x 与函数 的图象相交于 A
,
B 两点,过点 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别
为C,D,则四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
xO
CA
BD
3. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的
图象的一个交点是 (1,k),则反比例函数的解析
式是_______.
4. 如图,直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x>0)
交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式
k1x +b > 的解集是___________.1<x<5
O
B
A
x
y
1 5
x
y
O
B
A
5. 如图,直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点
A(1,2),B(m,4)两点,
(1) 求直线与双曲线的解析式;
所以一次函数的解析式为 y = 4x-2.
把A,B两点坐标代入一次函数
解析式中,得到a =4,b =-2.
解:把 B(1,2)代入双曲线解析式中,
得 k = 2,故其解析式为 .
当y =-4时,m= .
(2) 求不等式 ax + b> 的解集.
x
y
O
B
A
解:根据图象可知,若 ax + b> ,
则 x>1或 <x<0.
6. 如图,反比例函数 与一次函数 y =-x + 2
的图象交于 A,B 两点.
(1) 求 A,B 两点的坐标;
A
y
O B
x
解:
y=-x + 2 ,
解得
x = 4,
y =-2
所以A(-2,4),B(4,-2).
或
x = -2,
y = 4.
作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,
则AC=4,BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解:一次函数与x轴的交点为M (2,0)
,
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2,
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4,
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂小结
面积问题 面积不变性
与一次函
数的综合
判断反比例函数和一次函数在
同一直角坐标系中的图象,要
对系数进行分类讨论,并注意
b 的正负
反比例函数的图象是一个以原反比例函数的图象是一个以原
点为对称中心的点为对称中心的中心对称图形,
其与正比例函数的交点关于原
点中心对称
反
比
例
函
数
图
象
和
性
质
的
综
合
运
用
1.3 反比例函数的应用
第1章 反比例函数
湘教版九年级数学上册精品教学课件
学习目标
1. 体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,
提高运用代数方法解决问题的能力.
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系,建立反
比例函数模型解决问题,进一步提高运用函数的图
象、性质的综合能力. (重点、难点)
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围.
导入新课
对于一个矩形,当它面积一定时,长a是宽b的反比
例函数,其函数解析式可以写为 (S > 0).
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有
反比例函数关系的量的实例,并写出它的函数解析式.
实例:
函数解析式: .
三角形的面积 S 一定时,三角形底边长 y 是高 x
复习引入
(S>0)
的反比例函数 ;
讲授新课
反比例函数在实际生活中的应用一
引例:某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板
的方式通过一片烂泥湿地,你能解释他们这样做的
道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时,随着木
板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p (Pa)将
如何变化?
如果人和木板对湿地地面的压力合
计600N,那么
(1)用含S的代数式表示p,p是S的反比
例函数吗?为什么?
由p= 得p=
p是S的反比例函数,因为给定一个S的值,对应
的就有唯一的一个p值和它对应,根据函数定义,
则p是S的反比例函数.
(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少?
当S=0.2m2时,
p= =3000(Pa) .
答:当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa.
(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大
?
(4) 在直角坐标系中,作出相应的函数图象.
图象如下
当 p≤6000 Pa时,S ≥0.1m2.
0.1 0.5O 0.60.30.2 0.4
1000
3000
4000
2000
5000
6000
p/Pa
S/
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱
形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位:m2) 与其深度 d (单位:
m)
有怎样的函数关系?解:根据圆柱体的体积公式,得
Sd =104,
∴ S 关于d 的函数解析式为
典例精析
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2,施工队
施工时应该向下掘进多深?
解得 d = 20.
如果把储存室的底面积定为 500 m²,施工时应
向地下掘进 20 m 深.
解:把 S = 500 代入 ,得
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时,公
司临时改变计划,把储存室的深度改为 15 m. 相
应地,储存室的底面积应改为多少 (结果保留小
数点后两位)?
解得 S≈666.67.
当储存室的深度为15 m 时,底面积应改为
666.67 m².
解:根据题意,把 d =15 代入 ,得
第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系?
第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值,求自变量
d 的取值,第 (3) 问则是与第 (2) 问相反.
想一想:
1. 矩形面积为 6,它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用
图象可表示为 ( ) B
练一练
A. B.
C. D.
x
y
x
y
x
y
x
y
2. 如图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升
(1升=1立方分米)的圆锥形漏斗.
(1) 漏斗口的面积 S (单位:dm2)与漏斗的深 d (单位:
dm) 有怎样的函数关系?
d解:
(2) 如果漏斗的深为10 cm,那么漏斗口
的面积为多少 dm2?
解:10cm=1dm,把 d =1 代入解析式,得
S =3.
所以漏斗口的面积为 3 dm2.
(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2,则漏斗的深为多少?
解:60 cm2 = 0.6 dm2,把 S =0.6 代入解析式,得
d =5.
所以漏斗的深为 5 dm.
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载
完毕恰好用了8天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v (单位:
吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?
提示:根据平均装货速度×装货天数=货物的总量,
可以求出轮船装载货物的总量;再根据平均卸货
速度=货物的总量÷卸货天数,得到 v 关于 t 的函
数解析式.
解:设轮船上的货物总量为 k 吨,根据已知条件得
k =30×8=240,
所以 v 关于 t 的函数解析式为
(2) 由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过 5天卸
载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨?
从结果可以看出,如果全部货物恰好用 5 天卸载
完,则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例
函数的解析式可知,t 越小,v 越大. 这样若货物
不超过 5 天卸载完,则平均每天至少要卸载 48 吨.
解:把 t =5 代入 ,得
练一练
某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心,
这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走.
(1) 假如每天能运 x 立方米,所需时间为 y 天,写出 y
与 x 之间的函数关系式;
解:
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米,则 5 辆这样的
拖拉机要用多少天才能运完?
解:x =12×5=60,代入函数解析式得
答:若每辆拖拉机一天能运 12 立方米,则 5 辆这
样的拖拉机要用 20 天才能运完.
(3) 在 (2) 的情况下,运了 8 天后,剩下的任务要在不
超过 6 天的时间内完成,那么至少需要增加多少
辆这样的拖拉机才能按时完成任务?
解:运了8天后剩余的垃圾有
1200-8×60=720 (立方米),
剩下的任务要在不超过6天的时间完成,则每天
至少运 720÷6=120 (立方米),
所以需要的拖拉机数量是:120÷12=10 (辆),
即至少需要增加拖拉机10-5=5 (辆).
例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 80千米/时
的平均速度用 6 小时达到乙地.
(1) 甲、乙两地相距多少千米?
解:80×6=480 (千米)
答:甲、乙两地相距 480 千米.
(2) 当他按原路匀速返回时,汽车的速度 v 与时间 t
有怎样的函数关系?
解:由题意得 vt=480,
整理得 (t >0).
例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力
臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为
1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?
反比例函数在其他学科中的应用一
解:根据“杠杆原理”,得 Fl =1200×0.5,
∴ F 关于l 的函数解析式为
当 l=1.5m 时,对于函数 ,当 l =1.5 m时,F =400 N,此
时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力.
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半,
则
动力臂l至少要加长多少?
提示:对于函数 ,F 随 l 的增大而减小.
因此,只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值,就能
确定动力臂 l 至少应加长的量.
解:当F=400× =200 时,由200 = 得
300-1.5 =1.5 (m).
对于函数 ,当 l >0 时,l 越大,F越
小. 因此,若想用力不超过 400 N 的一半,则
动力臂至少要加长 1.5 m.
在物理中,我们知道,在阻力和阻力臂一
定的情况下,动力臂越长就越省力,你能用反比
例函数的知识对其进行解释吗?
想一想:
假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力),
阿基米德有 500 牛顿的力量,阻力臂为 2000 千米,请
你帮助阿基米德设计,该用多长动力臂的杠杆才能把
地球撬动?
由已知得F×l=6×1025×2×106 =1.2×1032 米,
当 F =500时,l =2.4×1029 米,
解: 2000 千米 = 2×106 米,
练一练
变形得:
故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.
例5 一个用电器的电阻是可调节的,其范围为 110~
220 Ω. 已知电压为 220 V,这个用电器的电路图如
图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
U~解:根据电学知识,
当 U = 220 时,得
(2) 这个用电器功率的范围是多少?
解:根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率
越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式,
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式,
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为220~440 W.
1. 在公式 中,当电压 U 一定时,电流 I 与电
阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )D
练一练
A. B.
C. D.
I
R
I
R
I
R
I
R
例6 已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻
R(Ω)三者之间有如下关系:U=IR,且该电路的电压U
恒为220V.
(1) 写出电流 I 与电阻 R 的函数关系式;
(2) 当电流 I=0.5 时,求电阻 R 的值.
解:(1) 因为U=IR,且U=220V ,
所以IR=220 ,
即该电路的电流I关于电阻R的函数表达式为
(2) 因为该电路的电阻R=220Ω,
所以通过该电路的电流 (A) .
(3) 如图所示,如果该电路接入的是一个滑动变阻器,
怎样调整电阻R,就可以使电路中的电流I增大?
根据反比例函数
图像及性质可知,当滑动
变阻器的电阻R减小时,
就可以使电路中的电流I
增大.
R/Ω
I/A
O
当堂练习
1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x,另一直角边
长为 y,则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为
( )
A.
x
y
1O
2
x
y
4O
4
B.
x
y
1O
4
C.
x
y
1O
4
1
4
D.
C
2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面,面条的总长度 y
(单位:cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位:
cm2)
的函数关系为 .
(2) 某家面馆的师傅手艺精湛,他拉的面条粗 1 mm2,
则面条的总长度是 cm. 2000
3. A、B两城市相距720千米,一列火车从A城去B城.
(1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时)
之间的函数关系是________.
(2) 若到达目的地后,按原路匀速返回,并要求
在 3 小时内回到 A 城,则返回的速度不能低
于____________.
240千米/时
4. 学校锅炉旁建有一个储煤库,开学时购进一批煤,
现在知道:按每天用煤 0.6 吨计算,一学期 (按150
天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨,那么
这批煤能维持 y 天.
(1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系?
解:煤的总量为:0.6×150=90 (吨),
根据题意有
(x>0).
(2) 画出函数的图象;
解:如图所示.
30
90
1 x
y
O
(3) 若每天节约 0.1 吨,则这批煤能维持多少天?
解:∵ 每天节约 0.1 吨煤,
∴ 每天的用煤量为 0.6-0.1=0.5 (吨),
∴ 这批煤能维持 180 天.
5. 王强家离工作单位的距离为3600 米,他每天骑自行
车上班时的速度为 v 米/分,所需时间为 t 分钟.
(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系?
解:
(2) 若王强到单位用 15 分钟,那么他骑车的平均速
度是多少?
解:把 t =15代入函数的解析式,得:
答:他骑车的平均速度是 240 米/分.
(3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分,那他至少
需要几分钟到达单位?
解:把 v =300 代入函数解析式得:
解得:t =12.
答:他至少需要 12 分钟到达单位.
6. 蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流 I (A) 是电
阻 R (Ω) 的反比例函数,其图象如图所示.
(1) 求这个反比例函数的表达式;
解:设 ,把 M (4,9) 代入得
k =4×9=36.
∴ 这个反比例函数的
表达式为 .
O
9
I(A)
4 R(Ω)
M (4,9)
(2) 当 R =10Ω 时,电流能是 4 A 吗?为什么?
解:当 R=10Ω 时,I = 3.6 ≠ 4,
∴电流不可能是4A.
7. 某汽车的功率 P 为一定值,汽车行驶时的速度 v
(m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如
下图所示:
(1) 这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表
达式;
O
20
v(m/s)
3000 F(N)
解:
(3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s,则 F 在什
么范围内?
(2) 当它所受牵引力为1200牛时,汽车的速度为多
少 km/h?
解:把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50,
∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m.
答案:F ≥ 2000 N.
8. 在某村河治理工程施工过程中,某工程队接受一项
开挖水渠的工程,所需天数 y (天) 与每天完成的工
程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示.
(1) 请根据题意,求 y 与 x 之间的函数表达式;
50
24 x(m/天)
y(天)
O
解:
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机,每台挖掘机每天能够
开挖水渠 15 m,问该工程队需用多少天才能完
成此项任务?
解:由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m);
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天).
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要,必须在一个月内
(按 30 天计算)完成任务,那么每天至少要完成多
少 m?
解:1200÷30=40 (m),
故每天至少要完成40 m.
课堂小结
实
际
问
题
中
的
反
比
例
函
数
过程:
分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意:
实际问题中的两个变量往往都只能取非负值;
作实际问题中的函数图像时,横、纵坐标的单
位长度不一定相同
小结与复习
第1章 反比例函数
湘教版九年级数学上册精品教学课件
1. 反比例函数的概念
要点梳理
定义:形如________ (k为常数,k≠0) 的函数称为反
比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例
系数.
三种表达式方法: 或 xy=kx 或y=kx-1 (k≠0)
.
防错提醒:(1)k≠0;(2)自变量x≠0;(3)函数y≠0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象:反比例函数 (k≠0)的
图象是 ,它既是轴对称图形又是中心
对称图形.
反比例函数的两条对称轴为直线 和
;
对称中心是: .
双曲线
原点
y = x y=-x
(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k≠0)
k>0 一、三象
限(x,y
同号)
在每个象
限内,y
随 x 的增
大而减小
k<0 二、四象
限(x,y
异号)
在每个象
限内,y
随 x 的增
大而增大
x
y
o
x
y
o
(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义:反比例函数图象上的点 (x,y) 具有
两坐标之积 (xy=k) 为常数这一特点,即过双曲线
上任意一点,向两坐标轴作垂线,两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律:过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线,
一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积
为常数 .
3. 反比例函数的应用
◑利用待定系数法确定反比例函数:
① 根据两变量之间的反比例关系,设
;
② 代入图象上一个点的坐标,即 x、y 的一对
对应值,求出 k 的值;
③ 写出解析式.
◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y=k1x+b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)
的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方
程组.
◑利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程:分析实际情境→建立函数模型→明确
数学问题
注意:实际问题中的两个变量往往都只能取
非负值.
考点讲练
考点一 反比例函数的概念
针对训练
1. 下列函数中哪些是正比例函数?哪些是反比例函数?
① y = 3x-1 ② y = 2x2
⑤ y = 3x
③ ④
⑥ ⑦ ⑧
2. 已知点 P(1,-3) 在反比例函数 的图象上,
则 k 的值是 (
)
A. 3 B. -3
C. D.
B
3. 若 是反比例函数,则 a 的值为 ( )
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 任意实数
A
例1 已知点 A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3) 都在反
比
例函数 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是
( )
A. y3<y1<y2 B. y1<y2<y3
C. y2<y1<y3 D. y3<y2<y1
解析:方法①分别把各点代入反比例函数求出y1,y2
,
y3的值,再比较出其大小即可.
方法②:根据反比例函数的图象和性质比较.
考点二 反比例函数的图象和性质
D
方法总结:比较反比例函数值的大小,在同一个象限
内根据反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能
按其性质比较,函数值的大小只能根据特征确定.
已知点 A (x1,y1),B (x2,y2) (x1<0<x2)都在反比
例函数 (k<0) 的图象上,则 y1 与 y2 的大小关系
(从大到小) 为 .y1 >0>y2
针对训练
例2 如图,两个反比例函数 和 在第一象
限内的图象分别是 C1 和 C2,设点 P 在 C1 上,PA ⊥
x 轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为 .1
考点三 与反比例函数 k 有关的问题
针对训练
如图,在平面直角坐标系中,点 M 为 x 轴正半
轴上一点,过点 M 的直线 l∥ y 轴,且直线 l 分别与
反比例函数 (x>0)和 (x>0) 的图象交
于P,Q两点,若 S△POQ=14,
则 k 的值为 .20
考点四 反比例函数的应用
例3 如图,已知 A (-4, ),B (-1,2) 是一次函数
y =kx+b 与反比例函数 (m<0)图象的两个交点,
AC⊥x 轴于点 C,BD⊥y 轴于点 D.
(1) 根据图象直接回答:在第二象限内,当 x 取何值
时,一次函数的值大于反比例函数的值;
O
B
A
x
y
C
D
解:当-4< x <-1时,一
次函数的值大于反比例
函数的值.
(2) 求一次函数解析式及 m 的值;
解:把A(-4, ),B(-1,2)代入 y = kx + b中,得
-4k + b = ,
-k + b =2,
解得
k = ,
b = ,
所以一次函数的解析式为 y = x + .
把 B (-1,2)代入 中,得 m =-1×2=-2.
(3) P 是线段 AB 上的一点,连接 PC,PD,若△PCA
和 △PDB 面积相等,求点 P 坐标.
O
B
A
x
y
C
DP
∵ △PCA面积和△PDB面积相等,
∴ AC·[t-(-4)]= BD·[2-[ 2-( t+ )],
解得:t = .
∴ 点 P 的坐标为 ( , ).
解:设点 P 的坐标为 ( t, t + ),P点到直线 AC
的
距离为 t-(-4),P 点到直线 BD 的距离为2-
( t+ ).
方法总结:此类一次函数,反比例函数,二元一次方
程组,三角形面积等知识的综合运用,其关键是理清
解题思路. 在直角坐标系中,求三角形或四边形面积
时,是要选取合适的底边和高,正确利用坐标算出线
段长度.
针对训练
如图,设反比例函数的解析式为 (k>0).
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一个
交点 P 的纵坐标为 2,求 k 的值;
O
y
x
解:由题意知点 P 在正比例函数
y =2x 上,
把 P 的纵坐标 2 带入该解析
式,得P (1,2),
把 P (1,2) 代入 ,
得到
P2
(2) 若该反比例函数与过点 M (-2,0) 的直线 l:
y=kx
+b 的图象交于 A,B 两点,如图所示,当
△ABO
的面积为 时,求直线 l 的解析式;解:把 M (-2,0) 代入 y = kx + b
,
得 b= 2k,∴y = kx+2k,
O
A
y
B
x
M
l
N
解得 x =-3 或 1.
y=kx+2k,
∴
∴ B (-3,-k),A (1,3k).
∵ △ABO的面积为
∴ 2·3k· + 2·k· =
解得
∴ 直线 l 的解析式为
y = x + .
O
y
x
M
l
N A (1,3k)
B (-3,-k)
(3) 在第(2)题的条件下,当 x 取何值时,一次函数的
值小于反比例函数的值?
O
y
x
M
l
N A (1,3k)
B (-3,-k)
解:当 x <-3或 0<x<1 时,一次函数的值小于反
比例函数的值.
例4 病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后 2 小
时,每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知
服药后,2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位:毫
克)与时间 x (单位:小时) 成正比例;2 小时后 y 与 x
成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题:
(1) 求当 0 ≤ x ≤2 时,y 与 x 的函数解析式;
解:当 0 ≤ x ≤2 时,y 与 x 成正比
例函数关系.
设 y =kx,由于点 (2,4) 在
线段上,
所以 4=2k,k=2,即 y=2x. O
y/毫克
x/小时2
4
(2) 求当 x > 2 时,y 与 x 的函数解析式;
解:当 x > 2时,y 与 x 成反比例函数关系,
设
解得 k =8.
由于点 (2,4) 在反比例函数的图象上,
所以
即
O
y/毫克
x/小时2
4
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有
效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长?
解:当 0≤x≤2 时,含药量不低于 2 毫克,即 2x≥2
,
解得x≥1,∴1≤x≤2;
当 x>2 时,含药量不低于 2 毫克,
即 ≥ 2,解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4.
所以服药一次,治疗疾病的有
效时间是 1+2=3 (小时).
O
y/毫克
x/小时2
4
如图所示,制作某种食品的同时需将原材料加热,
设该材料温度为y℃,从加热开始计算的时间为x分钟
.据了解,该材料在加热过程中温度y与时间x成一次
函数关系.已知该材料在加热前的温度为4℃,加热
一段时间使材料温度达到
28℃时停止加热,停止加热
后,材料温度逐渐下降,这
时温度y与时间 x 成反比例
函数关系,已知第 12 分钟
时,材料温度是14℃.
针对训练
O
y(℃)
x(min)12
4
14
28
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函
数关系式(写出x的取值范围);
O
y(℃)
x(min)12
4
14
28
答案:
y =
4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6),
(x>6).
(2) 根据该食品制作要求,在材料温度不低于 12℃ 的
这段时间内,需要对该材料进行特殊处理,那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?
解:当y =12时,y =4x+4,解得 x=2.
由 ,解得x =14.
所以对该材料进行特殊
处理所用的时间为
14-2=12 (分钟).
O
y(℃)
x(min)12
4
14
28
课堂小结
反
比
例
函
数
定义
图象
性质
x,y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用
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