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  • 2021-11-11 发布

湘教版九年级数学上册第一章 反比例函数 精品教学课件

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1.1 反比例函数 第1章 反比例函数 湘教版九年级数学上册教学课件 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念,能根据已知 条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点) 学习目标 ?? 导入新课 情境引入 新学期伊始,小明想买一些笔记本为以 后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱,小 明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢? 笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记 本数量y/本 通过填表,你发现 x,y 之间具有怎样的关系? 你还能举出这样的例子吗? 20 15 12 10 6 4 ? 反比例函数的概念一 下列问题中,变量间具有函数关系吗?如果有, 请写出它们的解析式. 合作探究 (1) 京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速 度v (单位:km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位:h) 的变化而变化; (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪,草坪的长 y (单位:m) 随宽 x (单位:m)的 变化而变化; (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ,人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位:人) 的 变化而变化. 观察以上三个解析式,你觉得它们有什么共 同特点? 问题: 都具有 的形式,其中 是常数.分式 分子 (k为常数,k ≠ 0) 的函数, 叫做反比例函数,其中 x 是自变量,y 是函数. 一般地,形如 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范 围是什么? 思考: 因为 x 作为分母,不能等于零,因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中,应根据具体情况来确定反比例 函数自变量的取值范围. 例如,在前面得到的第一个解析式 中,t 的取值范围是 t>0,且当 t 取每一个确定的 值时,v 都有唯一确定的值与其对应. 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式 表示,还有没有其他表达方式? 想一想: 反比例函数的三种表达方式:(注意 k ≠ 0) 下列函数是不是反比例函数?若是,请指出 k 的值. 是,k = 3 不是 不是 不是 练一练 是, 解:因为 是反比例函数 所以 4-k2=0, k-2≠0. 解得 k =-2. 所以该反比例函数的解析式为 方法总结:已知某个函数为反比例函数,只需要根 据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可. 例1 若函数 是反比例函数,求 k 的值,并写出该反比例函数的解析式. 1. 已知函数 是反比例函数,则 k 必须满足 . 2. 当m= 时, 是反比例函数. k≠2 且 k≠-1 ±1 练一练 确定反比例函数的解析式二 例2 已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x=2时,y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; 提示:因为 y 是 x 的反比例函数,所以设 . 把 x=2 和 y=6 代入上式,就可求出常数 k 的值. 解:设 . 因为当 x=2时,y=6,所以有 解得 k =12. 因此 (2) 当 x=4 时,求 y 的值. 解:把 x=4 代入 ,得 方法总结:用待定系数法求反比例函数解析式的一 般步骤:①设出含有待定系数的反比例函数解析式, ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式, 得到关于待定系数的方程;③解方程,求出待定系 数; ④写出反比例函数解析式. 练一练 已知变量 y 与 x 成反比例,且当 x=3时,y=-4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 当 y=6 时,求 x 的值. 解:(1) 设 . 因为当 x=3时,y=-4,所以有 解得 k =-12. 因此 (2) 把 y=6 代入 ,得 解得 x =-2. 例3:在压力不变的情况下,某物体承受的压强p Pa 是它的受力面积S m2的反比例函数,如图. (1)求p与S之间的函数表达式; (2)当S=0.5时,求p的值. 解:(1)设 (k≠0), 因为函数图象过点(0.1,1000), 代入上式,得 解得k=100. 所以p与S的函数表达式是 ; (2)当S=0.5时, p sO 0.1 1000 建立简单的反比例函数模型三 例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大,行驶中司机 在驾驶室内观察前方物体是动态的,车速增加,视野 变窄. 当车速为 50km/h 时,视野为 80 度,如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数,求 f 关于 v 的函数 解析式,并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 当 v=100 时,f =40. 所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解:设 . 由题意知,当 v =50时,f =80,所以 解得 k =4000. 因此 如图所示,已知菱形 ABCD 的面积为180,设它 的两条对角线 AC,BD的长分别为x,y. 写出变量 y 与 x 之间的关系式,并指出它是什么函数. A B C D 练一练 解:因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半, 所以 所以变量 y与 x 之间的关系式为 , 它是反比例函数. 当堂练习 1. 生活中有许多反比例函数的例子,在下面的实例中, x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x人共饮水10 kg,平均每人饮水 y kg;②底面半 径为 x m,高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3; ③用铁丝做一个圆,铁丝的长为 x cm,做成圆的 半径为 y cm;④在水龙头前放满一桶水,出水的 速度为 x,放满一桶水的时间 y A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B A. B. C. D. 2. 下列函数中,y是x的反比例函数的是 ( )A 3. 填空 (1) 若 是反比例函数,则 m 的取值范围 是 . (2) 若 是反比例函数,则m的取值范 围是 . (3) 若 是反比例函数,则m的取值范围 是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ -2 m = -1 4. 已知 y 与 x+1 成反比例,并且当 x = 3 时,y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 当 x = 7 时,求 y 的值. 解:(1) 设 ,因为当 x = 3 时,y =4 , 所以有 ,解得 k =16,因此 . (2) 当 x = 7 时, 5. 小明家离学校 1000 m,每天他往返于两地之间,有 时步行,有时骑车.假设小明每天上学时的平均速 度为 v ( m/min ),所用的时间为 t ( min ). (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式; 解: (t>0). (2) 小明星期二步行上学用了 25 min,星期三骑自行 车上学用了 8 min,那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少? 125-40=85 ( m/min ). 答:他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解:当 t=25 时, ; 当 t=8 时, . 能力提升: 6. 已知 y = y1+y2,y1与 (x-1) 成正比例,y2 与 (x + 1) 成反比例,当 x = 0 时,y =-3;当 x =1 时,y = -1 , 求:(1) y 关于 x 的关系式; 解:设 y1 = k1(x-1) (k1≠0), (k2≠0), 则 . ∵ x = 0 时,y =-3;x =1 时,y = -1, -3=-k1+k2 , ∴k1=1,k2=-2.∴ ∴ (2) 当 x = 时,y 的值. 解:把 x = 代入 (1) 中函数关系式,得 y = 课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数:定义/三种表达方式 反 比 例 函 数 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第1课时 反比例函数     的图象与性质 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1.了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制 简单的反比例函数图象. 2.了解并学会应用反比例函数 图象的基 本性质.(重点、难点) 导入新课 我们已经学习过的函数有哪些?你还记得画这些函 数图象时的方法吗? 写出一个反比例函数,你能画出它的图象吗? 复习引入 反比例函数的图象和性质一 例1 画反比例函数 与 的图象. 合作探究 提示:画函数的图象步骤一般分为:列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0. 解:列表如下: x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … … … … … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 -2 -2.4 -3 -4 -6 6 4 3 2.4 2 O-2 描点:以表中各组对 应值作为点的坐标, 在直角坐标系内描绘 出相应的点. 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6-3-4 -1-5-6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 连线:用光滑的曲线 顺次连接各点,即可 得  的图象. 方法归纳         绘制反比例函数的图象与绘制一次函数 的图象的步骤基本一致,不同之处在于反比 例函数图象为曲线,连线时应该尽量保证线 条自然,图象是延伸的,注意不要画成有明 确端点.曲线的发展趋势只能靠近 坐标轴,但不能和坐标轴相交. 观察这两个函数图象,回答问题:思考: (1) 每个函数图象分别位于哪些象限? (2) 在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化? 你能由它们的解析式说明理由吗? (3) 对于反比例函数 (k>0),考虑问题(1)(2) , 你能得出同样的结论吗? ●由两条曲线组成,且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交; ●在每个象限内,y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k>0) 的图象和性质: 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 2. 已知反比例函数 的图象过点(-2,-3),函 数图象上有两点 A( ,y1),B(5,y2),则 y1与y2 的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示:由题可知反比例函数的解析式为 ,因 为6>0,且 A,B 两点均在该函数图象的第一象限 部分,根据 >5,可知y1,y2的大小关系. 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2,6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如 何变化? 解:因为点 A (2,6) 在第一象限,所以这个函数的 图象位于第一、三象限; 在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小. (2) 点B(3,4),C( , ),D(2,5)是否在这个 函数的图象上? 解:设这个反比例函数的解析式为 ,因为点 A (2,6)在其图象上,所以有 ,解得 k =12. 因为点 B,C 的坐标都满足该解析式,而点 D 的坐标不满足,所以点 B,C 在这个函数的图 象上,点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . (1) 图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围 是什么? O x y 例2 如图,是反比例函数 图象的一支. 根据 图象,回答下列问题: 解:因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限,所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、 三象限,所以m-5>0, 解得m>5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和 点B (x2,y2). 如果x1>x2,那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系? 解:因为 m-5 > 0,所以在这个函数图象的任一支 上,y 都随 x 的增大而减小,因此当x1>x2时, y1<y2. 2.已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内,则m的取值范围是________. 当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 3.在反比例函数  (k>0)的图象上有两点A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 且x1>x2>0,则y1-y2的值为 ( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 B 4. 已知反比例函数 y = mxm²-5,它的两个分支分别在 第一、第三象限,求 m 的值. 解:因为反比例函数 y = mxm²-5 的两个分支分别在第 一、第三象限, 所以有 m2-5=-1 ,m>0, 解得 m=2. 5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2,3). (1) 求这个函数的表达式; 解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2,3), ∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,    解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 .    (2) 判断点 B (-1,6),C(3,2) 是否在这个函数的 图象上,并说明理由; 解:分别把点 B,C 的坐标代入反比例函数的解析 式,因为点 B 的坐标不满足该解析式,点 C 的坐标满足该解析式, 所以点 B 不在该函数的图象上,点 C 在该函 数的图象上. (3) 当 -3< x <-1 时,求 y 的取值范围. 解:∵ 当 x = -3时,y =-2; 当 x = -1时,y =-6,且 k > 0, ∴ 当 x < 0 时,y 随 x 的增大而减小, ∴ 当 -3 < x < -1 时,-6 < y < -2. 性质:在每个象限内,y随x的增大 而减小 图象:分别位于第一、三象限 课堂小结 图象的画法(描点法):列表、 描点、连线 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第2课时 反比例函数      的图象与性质 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1.了解反比例函数 的相关性质. (重点、难点) 2.理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系.  (重点、难点) 3.利用双曲线的性质解决简单的数学问题. 观察与思考 问题 下表是一个反比例函数的部分取值,想一想这 些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢?可 以试着动手画一画. x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 反比例函数 图象与性质一 例1:画反比例函数 的图象. 解析:通过上节课学习可知画图象的三个步骤为 列表 描点 连线 需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0. 解:列表如下 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 … 描点:以表中各组对应 值作为点的坐标,在直 角坐标系内描绘出相应 的点. 连线:用光滑的曲线 顺次连接各点,即可 得  的图象. 1 2 3 4 5 6-1-3 -2-4-5-6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -6 -5 5 6 y x y = x4 O                                   图象的画法 与 图象的画法 类似,但在解题的时候要注 意图象所在的象限. 方法归纳 观察与思考 当 k =-2,-4,-6时,反比例函数 的图 象,有哪些共同特征?回顾上面我们利用函数图象, 从特殊到一般研究反比例函数 (k>0) 的性质 的过程,你能用类似的方法研究反比例函数 (k<0)的图象和性质吗? y xO y xO y xO 反比例函数 (k<0) 的图象和性质: ●由两条曲线组成,且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交; ●在每个象限内,y随x的增大而增大. 归纳: 归纳: (1) 当 k > 0 时,双曲线的两支分别位于第一、三 象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小; (2) 当 k < 0 时,双曲线的两支分别位于第二、四 象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. 一般地,反比例函数 的图象是双曲线, 它具有以下性质: k 的正负决定反比例函 数所在的象限和增减性 点(2,y1)和(3,y2)在函数 上,则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). < 练一练 例2:反比例函数 的图象大致是( ) y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 典例精析 D 例3:如图是反比例函数 的图象,根据 图像,回答下列问题: (1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由; x y o 由图可知,反比例函数的图像的 两支双曲线分别位于第一三象限 内,在每个象限内,函数值y随自 变量x的增大而减小,因此,k>0 (2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该 函数上的两点,试比较y1、y2的大小. x y o 因为点A(-3,y1),B(-2,y2) 是该图像上的两点,且-3<0,-2<0, 所以点A,B都位于第三象限.又因为 -3<-2,由反比例函数图像的性质 可知:y1>y2 例4:若双曲线y = 的两个分支分别在第二、 四象限,则 k 的取值范围是( ) A. k> B. k< C. k= D.不存在 解析:反比例函数图象的两个分支分别在第二、四 象限,则必有2k-1<0,解得k< .故选B. B 例5 已知反比例函数 ,y 随 x 的增 大而增大,求a的值. 解:由题意得a2+a-7=-1,且a-1<0. 解得 a=-3. 双曲线的概念及性质二 问题:观察前面绘制出来的图象,想一想它们有什么 样的共同点与特征呢? x y x y 双曲线 是轴对称图形,也是 以原点为对称中心的中 心对称图形. O O 例6:如图,已知直线y=mx与双曲线 的一个 交点坐标为(-1,3),则它们的另一个交点坐标是 ( ) A. (1,3) B. (3,1) C. (1,-3) D. (-1,3) x yC O 例7:点(2,y1)和(3,y2)在函数 上, 则 y1 y2.(填“>”“<”或“=”)< 解析:由题意知该反比例函数位于第二、 四象限,且y随着自变量x的增大而增大, 故y1 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、 三象限 图象位于第二、 四象限 在每个象限内,y 随 x 的增大而减小 在每个象限内,y 随 x 的增大而增大 课堂小结 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义,并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重 点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化,学习数形结合的思想 方法,进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力. (重点、难点) 导入新课 反比例函数的图象是什么? 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系? 反比例函数的图象是双曲线 当 k > 0 时,两条曲线分别位于第一、三 象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小; 当 k < 0 时,两条曲线分别位于第二、四 象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大. 复习引入 问题1 问题2 反比例函数解析式中 k 的几何意义一 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P,Q 向 x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形, 填写下页表格: 合作探究 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P SS11 SS22 P (2,2) Q (4,1) S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想 S1 ,S2 与 k的关 系 4 4 S1=S2 S1=S2=k -5-4-3-2 1 432 -3 -2 -4 -5 -1 Q S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想与 k 的关系 P (-1,4) Q (-2,2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P,Q 两点,填写表格: 4 4 S1=S2 S1=S2=-k y xO P Q SS11 SS22 由前面的探究过程,可以猜想: 若点P是 图象上的任意一点,作 PA 垂直 于 x 轴,作 PB 垂直于 y 轴,矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. y xO P S 我们就 k < 0 的情况给出证明: 设点 P 的坐标为 (a,b) A B ∵点 P (a,b) 在函数 的图 象上,∴ ,即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k; 若点 P 在第二象限,则 a<0,b>0, 若点 P 在第四象限,则 a>0,b<0, ∴ S矩形 AOBP=PB·PA =a· (-b)=-ab=-k. B P A 综上,S矩形 AOBP=|k|. 点 Q 是其图象上的任意 一 点,作 QA 垂直于 y 轴, 作 QB 垂直于x 轴,矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理:△QAO与△QBO 的 面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= . Q 对于反比例函数 , A B |k| y xO 归纳: 反比例函数的 面积不变性 A. SA >SB>SC B. SA0) 图像上的任意两点, 过点 P 作 x 轴的垂线 PA,垂足为 A,过点 C 作 x 轴的 垂线 CD,垂足为 D,连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1,则 S1= ;梯形CEAD 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2;△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 典例精析 2 S1 S2 > = S3 如图所示,直线与双曲线交于 A,B 两点,P 是 AB 上的点,△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 < S3 练一练 解析:由反比例函数面积的不变 性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一 支交于点 F,连接 OF,易知, S△OFE = S1 = S2,而 S3>S△OFE, 所以 S1,S2,S3的大小关系为 S1 = S2 < S3 FS1 S2 S3 y D B A C x 例2 如图,点 A 是反比例函数 (x>0)的图象 上 任意一点,AB//x 轴交反比例函数 (x<0) 的 图象于点 B,以 AB 为边作平行四边形 ABCD,其中 点 C,D 在 x 轴上,则 S平行四边形ABCD =___. 3 2 5 如图所示,在平面直角坐标系中,过点 的直线 与 x 轴平行,且直线分别与反比例函数 (x>0) 和 (x<0)的图象交于点P,Q,若△POQ 的面 积为 8,则k =______. Q P O x M y-10 练一练 例3 如图所示,点A (x1,y1),B(x2,y2)都在双曲 线 上,且 x2-x1 = 4,y1-y2 =2. 分别过点 A, B 向 x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为 C,D,E,F , AC 与 BF 相交于 G 点,四边形 FOCG 的面积为 2 ,五边形 AEODB 的面积为 14,那么双曲线的解析 式 为 . 解得 k = 6. ∴双曲线的解析式为 . 解析:∵ x2-x1 = 4,y1-y2 =2 , ∴BG = 4,AG =5, ∴S△ABG =4×5÷2=10. 由反比例函数面积的不变 性可知, S长方形ACOE = S长方形BDOF = k . ∴ S五边形 AEODB = S四边形ACOE + S四边形BDOF- S四边形FOCG+ S△ABG = k + k -2+4=14. 如图,已知点 A,B 在双曲线 上,AC⊥x 轴于 点C,BD⊥y 轴于点 D,AC 与 BD 交于点 P,P 是 AC 的中点,若△ABP 的面积为6,则 k = .24 练一练 E F S△ABP= S四边形BFCP, = (S四边形BDOF-S四边形OCPD) = (k- k)= k = 6. ∴k =24. 反比例函数与一次函数的综合二 在同一坐标系中,函数   和 y= k2 x+b 的 图象大致如下,则 k1 、k2、b各应满足什么条件? k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 合作探究 ① x y O x y O ② k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 例4 函数 y=kx-k 与 的图象大致是 ( ) D. x y OC. y A. y x B. x y O D O O k<0 k>0 × × × √ k>0k<0 由一次函数增 减性得k>0 由一次函数与y 轴交点知-k>0 , 则k<0 x 提示:由于两个函数解析式都含有相同的系数 k,可 对 k 的正负性进行分类讨论,得出符合题意的答案. 在同一直角坐标系中,函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) A. y xO B. y xO C. y xO D. y xO B 练一练 例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的 图象,观察图象,当 y1﹥y2 时,x 的取值范围为 . -2 3 y x0 -2< x <0 或 x >3 解析:y1﹥y2 即一次函数 图象处于反比例函数图象 的上方时. 观察右图,可 知-2< x <0 或 x >3. 方法总结:对于一些题目,借助函数图象比较大 小更加简洁明了. 练一练 如图,一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比 例函数 的图象交于 A,B 两点,观察图象,当 y1>y2时,x 的取值范围是 . -1 2 y x0 A B -1< x <0 或 x >2 例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交 于点 P (-3,4).试求出它们的解析式,并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (-3,4), 则点 P (-3,4) 是这两个函数图象上的点, 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式. 解:设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 . 所以 , . 解得 , . P 则这两个函数的解析式分别为 和 , 它们的图象如图所示. 这两个图象有何 共同特点?你能 求出另外一个交 点的坐标吗?说 说你发现了什么 ? 想一想: 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的 图象的交点坐标为 . (2,6),(-2,-6) 解析:联立两个函数解析式,解方程即可. 练一练 例7 已知 A(-4, ),B(-1,2)是一次函数 y= kx+b 与反比例函数 图象的两个交点,求一次函数 解析式及 m 的值. 解:把A(-4, ),B(-1,2)代入 y = kx + b中,得 -4k + b = , -k + b =2, k = , 解得 b = , 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B (-1,2)代入 中,得 m =-1×2=-2. 当堂练习 A. 4 B. 2 C. -2 D.不确定 1. 如图所示, P 是反比例函数 的图象上一点, 过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B,点 A 在 y 轴上, △ABP 的面积为 2,则 k 的值为 ( ) O B A P x y A 2. 如图,函数 y=-x 与函数 的图象相交于 A , B 两点,过点 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别 为C,D,则四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y xO CA BD 3. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的 图象的一个交点是 (1,k),则反比例函数的解析 式是_______. 4. 如图,直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x>0) 交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式 k1x +b > 的解集是___________.1<x<5 O B A x y 1 5 x y O B A 5. 如图,直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点 A(1,2),B(m,4)两点, (1) 求直线与双曲线的解析式; 所以一次函数的解析式为 y = 4x-2. 把A,B两点坐标代入一次函数 解析式中,得到a =4,b =-2. 解:把 B(1,2)代入双曲线解析式中, 得 k = 2,故其解析式为 . 当y =-4时,m= . (2) 求不等式 ax + b> 的解集. x y O B A 解:根据图象可知,若 ax + b> , 则 x>1或 <x<0. 6. 如图,反比例函数 与一次函数 y =-x + 2 的图象交于 A,B 两点. (1) 求 A,B 两点的坐标; A y O B x 解: y=-x + 2 , 解得 x = 4, y =-2 所以A(-2,4),B(4,-2). 或 x = -2, y = 4. 作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D, 则AC=4,BD=2. (2) 求△AOB的面积. 解:一次函数与x轴的交点为M (2,0) , ∴OM=2. O A y B x M C D ∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2, ∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4, ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 课堂小结 面积问题 面积不变性 与一次函 数的综合 判断反比例函数和一次函数在 同一直角坐标系中的图象,要 对系数进行分类讨论,并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原反比例函数的图象是一个以原 点为对称中心的点为对称中心的中心对称图形, 其与正比例函数的交点关于原 点中心对称 反 比 例 函 数 图 象 和 性 质 的 综 合 运 用 1.3 反比例函数的应用 第1章 反比例函数 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识, 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系,建立反 比例函数模型解决问题,进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. (重点、难点) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围. 导入新课 对于一个矩形,当它面积一定时,长a是宽b的反比 例函数,其函数解析式可以写为 (S > 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例,并写出它的函数解析式. 实例: 函数解析式: . 三角形的面积 S 一定时,三角形底边长 y 是高 x 复习引入 (S>0) 的反比例函数 ; 讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用一 引例:某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板 的方式通过一片烂泥湿地,你能解释他们这样做的 道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时,随着木 板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p (Pa)将 如何变化? 如果人和木板对湿地地面的压力合 计600N,那么 (1)用含S的代数式表示p,p是S的反比 例函数吗?为什么? 由p= 得p= p是S的反比例函数,因为给定一个S的值,对应 的就有唯一的一个p值和它对应,根据函数定义, 则p是S的反比例函数. (2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少? 当S=0.2m2时, p= =3000(Pa) . 答:当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa. (3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大 ? (4) 在直角坐标系中,作出相应的函数图象. 图象如下 当 p≤6000 Pa时,S ≥0.1m2. 0.1 0.5O 0.60.30.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p/Pa S/ 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位:m2) 与其深度 d (单位: m) 有怎样的函数关系?解:根据圆柱体的体积公式,得 Sd =104, ∴ S 关于d 的函数解析式为 典例精析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2,施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²,施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解:把 S = 500 代入 ,得 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时,公 司临时改变计划,把储存室的深度改为 15 m. 相 应地,储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时,底面积应改为 666.67 m². 解:根据题意,把 d =15 代入 ,得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系? 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值,求自变量 d 的取值,第 (3) 问则是与第 (2) 问相反. 想一想: 1. 矩形面积为 6,它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 2. 如图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升=1立方分米)的圆锥形漏斗. (1) 漏斗口的面积 S (单位:dm2)与漏斗的深 d (单位: dm) 有怎样的函数关系? d解: (2) 如果漏斗的深为10 cm,那么漏斗口 的面积为多少 dm2? 解:10cm=1dm,把 d =1 代入解析式,得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2,则漏斗的深为多少? 解:60 cm2 = 0.6 dm2,把 S =0.6 代入解析式,得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载 完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v (单位: 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示:根据平均装货速度×装货天数=货物的总量, 可以求出轮船装载货物的总量;再根据平均卸货 速度=货物的总量÷卸货天数,得到 v 关于 t 的函 数解析式. 解:设轮船上的货物总量为 k 吨,根据已知条件得 k =30×8=240, 所以 v 关于 t 的函数解析式为 (2) 由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出,如果全部货物恰好用 5 天卸载 完,则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知,t 越小,v 越大. 这样若货物 不超过 5 天卸载完,则平均每天至少要卸载 48 吨. 解:把 t =5 代入 ,得 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心, 这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走. (1) 假如每天能运 x 立方米,所需时间为 y 天,写出 y 与 x 之间的函数关系式; 解: (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米,则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完? 解:x =12×5=60,代入函数解析式得 答:若每辆拖拉机一天能运 12 立方米,则 5 辆这 样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下,运了 8 天后,剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成,那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务? 解:运了8天后剩余的垃圾有 1200-8×60=720 (立方米), 剩下的任务要在不超过6天的时间完成,则每天 至少运 720÷6=120 (立方米), 所以需要的拖拉机数量是:120÷12=10 (辆), 即至少需要增加拖拉机10-5=5 (辆). 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米? 解:80×6=480 (千米) 答:甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时,汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系? 解:由题意得 vt=480, 整理得 (t >0). 例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力 臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力? 反比例函数在其他学科中的应用一 解:根据“杠杆原理”,得 Fl =1200×0.5, ∴ F 关于l 的函数解析式为 当 l=1.5m 时,对于函数 ,当 l =1.5 m时,F =400 N,此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半, 则 动力臂l至少要加长多少? 提示:对于函数 ,F 随 l 的增大而减小. 因此,只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值,就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 解:当F=400× =200 时,由200 = 得 300-1.5 =1.5 (m). 对于函数 ,当 l >0 时,l 越大,F越 小. 因此,若想用力不超过 400 N 的一半,则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中,我们知道,在阻力和阻力臂一 定的情况下,动力臂越长就越省力,你能用反比 例函数的知识对其进行解释吗? 想一想: 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力), 阿基米德有 500 牛顿的力量,阻力臂为 2000 千米,请 你帮助阿基米德设计,该用多长动力臂的杠杆才能把 地球撬动? 由已知得F×l=6×1025×2×106 =1.2×1032 米, 当 F =500时,l =2.4×1029 米, 解: 2000 千米 = 2×106 米, 练一练 变形得: 故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 例5 一个用电器的电阻是可调节的,其范围为 110~ 220 Ω. 已知电压为 220 V,这个用电器的电路图如 图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U~解:根据电学知识, 当 U = 220 时,得 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解:根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率 越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式, 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式, 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为220~440 W. 1. 在公式 中,当电压 U 一定时,电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R 例6 已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻 R(Ω)三者之间有如下关系:U=IR,且该电路的电压U 恒为220V. (1) 写出电流 I 与电阻 R 的函数关系式; (2) 当电流 I=0.5 时,求电阻 R 的值. 解:(1) 因为U=IR,且U=220V , 所以IR=220 , 即该电路的电流I关于电阻R的函数表达式为 (2) 因为该电路的电阻R=220Ω, 所以通过该电路的电流 (A) . (3) 如图所示,如果该电路接入的是一个滑动变阻器, 怎样调整电阻R,就可以使电路中的电流I增大? 根据反比例函数 图像及性质可知,当滑动 变阻器的电阻R减小时, 就可以使电路中的电流I 增大. R/Ω I/A O 当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x,另一直角边 长为 y,则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1O 2 x y 4O 4 B. x y 1O 4 C. x y 1O 4 1 4 D. C 2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面,面条的总长度 y (单位:cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位: cm2) 的函数关系为 . (2) 某家面馆的师傅手艺精湛,他拉的面条粗 1 mm2, 则面条的总长度是 cm. 2000 3. A、B两城市相距720千米,一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是________. (2) 若到达目的地后,按原路匀速返回,并要求 在 3 小时内回到 A 城,则返回的速度不能低 于____________. 240千米/时 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库,开学时购进一批煤, 现在知道:按每天用煤 0.6 吨计算,一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨,那么 这批煤能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系? 解:煤的总量为:0.6×150=90 (吨), 根据题意有 (x>0). (2) 画出函数的图象; 解:如图所示. 30 90 1 x y O (3) 若每天节约 0.1 吨,则这批煤能维持多少天? 解:∵ 每天节约 0.1 吨煤, ∴ 每天的用煤量为 0.6-0.1=0.5 (吨), ∴ 这批煤能维持 180 天. 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米,他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分,所需时间为 t 分钟. (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系? 解: (2) 若王强到单位用 15 分钟,那么他骑车的平均速 度是多少? 解:把 t =15代入函数的解析式,得: 答:他骑车的平均速度是 240 米/分. (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分,那他至少 需要几分钟到达单位? 解:把 v =300 代入函数解析式得: 解得:t =12. 答:他至少需要 12 分钟到达单位. 6. 蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流 I (A) 是电 阻 R (Ω) 的反比例函数,其图象如图所示. (1) 求这个反比例函数的表达式; 解:设 ,把 M (4,9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的 表达式为 . O 9 I(A) 4 R(Ω) M (4,9) (2) 当 R =10Ω 时,电流能是 4 A 吗?为什么? 解:当 R=10Ω 时,I = 3.6 ≠ 4, ∴电流不可能是4A. 7. 某汽车的功率 P 为一定值,汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如 下图所示: (1) 这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表 达式; O 20 v(m/s) 3000 F(N) 解: (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s,则 F 在什 么范围内? (2) 当它所受牵引力为1200牛时,汽车的速度为多 少 km/h? 解:把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50, ∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案:F ≥ 2000 N. 8. 在某村河治理工程施工过程中,某工程队接受一项 开挖水渠的工程,所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意,求 y 与 x 之间的函数表达式; 50 24 x(m/天) y(天) O 解: (2) 若该工程队有 2 台挖掘机,每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m,问该工程队需用多少天才能完 成此项任务? 解:由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m); 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要,必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务,那么每天至少要完成多 少 m? 解:1200÷30=40 (m), 故每天至少要完成40 m. 课堂小结 实 际 问 题 中 的 反 比 例 函 数 过程: 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意: 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值; 作实际问题中的函数图像时,横、纵坐标的单 位长度不一定相同 小结与复习 第1章 反比例函数 湘教版九年级数学上册精品教学课件 1. 反比例函数的概念 要点梳理 定义:形如________ (k为常数,k≠0) 的函数称为反 比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例 系数. 三种表达式方法: 或 xy=kx 或y=kx-1 (k≠0) . 防错提醒:(1)k≠0;(2)自变量x≠0;(3)函数y≠0. 2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象:反比例函数 (k≠0)的 图象是 ,它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线 和 ; 对称中心是: . 双曲线 原点 y = x y=-x (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k≠0) k>0 一、三象 限(x,y 同号) 在每个象 限内,y 随 x 的增 大而减小 k<0 二、四象 限(x,y 异号) 在每个象 限内,y 随 x 的增 大而增大 x y o x y o (3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义:反比例函数图象上的点 (x,y) 具有 两坐标之积 (xy=k) 为常数这一特点,即过双曲线 上任意一点,向两坐标轴作垂线,两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律:过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线, 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 . 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数: ① 根据两变量之间的反比例关系,设 ; ② 代入图象上一个点的坐标,即 x、y 的一对 对应值,求出 k 的值; ③ 写出解析式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y=k1x+b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程:分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意:实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值. 考点讲练 考点一 反比例函数的概念 针对训练 1. 下列函数中哪些是正比例函数?哪些是反比例函数? ① y = 3x-1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 2. 已知点 P(1,-3) 在反比例函数 的图象上, 则 k 的值是 ( ) A. 3        B. -3 C. D. B 3. 若 是反比例函数,则 a 的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. ±1 D. 任意实数 A 例1 已知点 A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3) 都在反 比 例函数 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A. y3<y1<y2 B. y1<y2<y3 C. y2<y1<y3 D. y3<y2<y1 解析:方法①分别把各点代入反比例函数求出y1,y2 , y3的值,再比较出其大小即可. 方法②:根据反比例函数的图象和性质比较. 考点二 反比例函数的图象和性质 D  方法总结:比较反比例函数值的大小,在同一个象限 内根据反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能 按其性质比较,函数值的大小只能根据特征确定. 已知点 A (x1,y1),B (x2,y2) (x1<0<x2)都在反比 例函数 (k<0) 的图象上,则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .y1 >0>y2 针对训练 例2 如图,两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2,设点 P 在 C1 上,PA ⊥ x 轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为 .1 考点三 与反比例函数 k 有关的问题 针对训练 如图,在平面直角坐标系中,点 M 为 x 轴正半 轴上一点,过点 M 的直线 l∥ y 轴,且直线 l 分别与 反比例函数 (x>0)和 (x>0) 的图象交 于P,Q两点,若 S△POQ=14, 则 k 的值为 .20 考点四 反比例函数的应用 例3 如图,已知 A (-4, ),B (-1,2) 是一次函数 y =kx+b 与反比例函数 (m<0)图象的两个交点, AC⊥x 轴于点 C,BD⊥y 轴于点 D. (1) 根据图象直接回答:在第二象限内,当 x 取何值 时,一次函数的值大于反比例函数的值; O B A x y C D 解:当-4< x <-1时,一 次函数的值大于反比例 函数的值. (2) 求一次函数解析式及 m 的值; 解:把A(-4, ),B(-1,2)代入 y = kx + b中,得 -4k + b = , -k + b =2, 解得 k = , b = , 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B (-1,2)代入 中,得 m =-1×2=-2. (3) P 是线段 AB 上的一点,连接 PC,PD,若△PCA 和 △PDB 面积相等,求点 P 坐标. O B A x y C DP ∵ △PCA面积和△PDB面积相等, ∴ AC·[t-(-4)]= BD·[2-[ 2-( t+ )], 解得:t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( , ). 解:设点 P 的坐标为 ( t, t + ),P点到直线 AC 的 距离为 t-(-4),P 点到直线 BD 的距离为2- ( t+ ). 方法总结:此类一次函数,反比例函数,二元一次方 程组,三角形面积等知识的综合运用,其关键是理清 解题思路. 在直角坐标系中,求三角形或四边形面积 时,是要选取合适的底边和高,正确利用坐标算出线 段长度. 针对训练 如图,设反比例函数的解析式为 (k>0). (1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2,求 k 的值; O y x 解:由题意知点 P 在正比例函数 y =2x 上, 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式,得P (1,2), 把 P (1,2) 代入 , 得到 P2 (2) 若该反比例函数与过点 M (-2,0) 的直线 l: y=kx +b 的图象交于 A,B 两点,如图所示,当 △ABO 的面积为 时,求直线 l 的解析式;解:把 M (-2,0) 代入 y = kx + b , 得 b= 2k,∴y = kx+2k, O A y B x M l N 解得 x =-3 或 1. y=kx+2k, ∴ ∴ B (-3,-k),A (1,3k). ∵ △ABO的面积为 ∴ 2·3k· + 2·k· = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + . O y x M l N A (1,3k) B (-3,-k) (3) 在第(2)题的条件下,当 x 取何值时,一次函数的 值小于反比例函数的值? O y x M l N A (1,3k) B (-3,-k) 解:当 x <-3或 0<x<1 时,一次函数的值小于反 比例函数的值. 例4 病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后 2 小 时,每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知 服药后,2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位:毫 克)与时间 x (单位:小时) 成正比例;2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题: (1) 求当 0 ≤ x ≤2 时,y 与 x 的函数解析式; 解:当 0 ≤ x ≤2 时,y 与 x 成正比 例函数关系. 设 y =kx,由于点 (2,4) 在 线段上, 所以 4=2k,k=2,即 y=2x. O y/毫克 x/小时2 4 (2) 求当 x > 2 时,y 与 x 的函数解析式; 解:当 x > 2时,y 与 x 成反比例函数关系, 设 解得 k =8. 由于点 (2,4) 在反比例函数的图象上, 所以 即 O y/毫克 x/小时2 4 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长? 解:当 0≤x≤2 时,含药量不低于 2 毫克,即 2x≥2 , 解得x≥1,∴1≤x≤2; 当 x>2 时,含药量不低于 2 毫克, 即 ≥ 2,解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4. 所以服药一次,治疗疾病的有 效时间是 1+2=3 (小时). O y/毫克 x/小时2 4 如图所示,制作某种食品的同时需将原材料加热, 设该材料温度为y℃,从加热开始计算的时间为x分钟 .据了解,该材料在加热过程中温度y与时间x成一次 函数关系.已知该材料在加热前的温度为4℃,加热 一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热,停止加热 后,材料温度逐渐下降,这 时温度y与时间 x 成反比例 函数关系,已知第 12 分钟 时,材料温度是14℃. 针对训练 O y(℃) x(min)12 4 14 28 (1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式(写出x的取值范围); O y(℃) x(min)12 4 14 28 答案: y = 4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6), (x>6). (2) 根据该食品制作要求,在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内,需要对该材料进行特殊处理,那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解:当y =12时,y =4x+4,解得 x=2. 由 ,解得x =14. 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14-2=12 (分钟). O y(℃) x(min)12 4 14 28 课堂小结 反 比 例 函 数 定义 图象 性质 x,y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用