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- 2021-11-11 发布
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3.1
用树状图或表格求概率
第三章 概率的进一步认识
第
1
课时 用树状图和表格求概率
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.
会用画树状图或列表的方法计算简单随机事件发生的概率
;
(重点)
2.
能用画树状图或列表的方法不重不漏地列举事件发生的所有可
能情况
.
(难点)
3.
会用概率的相关知识解决实际问题
.
学习目标
做一做:
小明、小凡和小颖都想去看周末电影,但只有一张电影票
.
三人决定一起做游戏,谁获胜谁就去看电影
.
游戏规则如下:
连续抛掷两枚均匀的硬币,如果两枚正面朝上,则小明获胜;如果两枚反面朝上,则小颖获胜;如果一枚正面朝上、一枚反面朝上,小凡获胜
.
小明
小颖
小凡
导入新课
用树状图或表格求概率
一
问题
1
:
你认为上面游戏公平吗?
活动探究:
(
1
)每人抛掷硬币
20
次,并记录每次试验的结果,根据记录填写下面的表格:
抛掷的结果
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上,一枚反面朝上
频数
频率
讲授新课
(
2
)由上面的数据,请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率
.
问题
2
:
通过实验数据
,
你认为该游戏公平吗?
从上面的试验中我们发现,试验次数较大时,试验频率基本稳定,而且在一般情况下,“一枚正面朝上
.
一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率
.
所以,这个游戏不公平,它对小凡比较有利
.
议一议:
在上面抛掷硬币试验中,
(
1
)抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?
(
2
)抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?
(
3
)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生可能性是否一样?如果第一枚硬币反面朝上呢?
由于硬币质地是均匀的,因此抛掷第一枚硬币出现
“
正面朝上
”
和
“
反面朝上
”
的概率相同
.
无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果,抛掷第二枚硬币时出现
“
正面朝上
”
和
“
反面朝上
”
的概率也是相同的
.
我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果
.
开始
正
正
第一枚硬币 第二枚硬币 所有可能出现的结果
树状图
反
(正,正)
(正,反)
反
正
反
(反,正)
(反,反)
表格
正
反
正
反
第一枚硬币
第二枚硬币
(正,正)
(反,正)
(正,反)
(反,反)
总共有
4
中结果
,
每种结果出现的可能性相同
.
其中:
小明获胜的概率: 小颖获胜的概率: 小凡获胜的概率:
利树状图或表格,我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能性相同的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概率
.
结论
例
1
:
小
颖有两件上衣,分别红色和白色,有两条裤子,分别为黑色和白色,她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上,恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少?
解析:
可采用画树状图或列表法把所有的情况都列举出来
.
解:
解法一
:
画树状图如图所示:
开始
白色
红色
黑色
白色
黑色
白色
上衣
裤子
由图中可知共有
4
种等可能结果,而白衣、黑裤只有
1
种可能,
概率为
.
解法二
:
将可能出现的结果列表如下:
黑色
白色
白色
(白,黑)
(白,白)
红色
(红,黑)
(红,白)
上衣
裤子
由图中可知共有
4
种等可能结果,而白衣、黑裤只有
1
种可能,概率为
.
例
2
:
小可、子宣、欣怡三人在一起做游戏时,需要确定做游戏的先后顺序,她们约定用
“
石头、剪刀、布
”
的方式确定,那么在一个回合中,三个人都出
“
石头
”
的概率是多少?
解:
用树状图分析所有可能的结果,如图:
开始
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
...... ...... ...... ......
由树状图可知所有等可能的结果有
27
种,三人都出“石头”的结果只有
1
种,所以在一个回合中三个人都出“石头”的概率为
.
当一次试验涉及三个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图
.
归纳
画树状图求概率的基本步骤
方法归纳
(
1
)
明确一次试验的几个步骤及顺序;
(
2
)
画树状图列举一次试验的所有可能结果;
(
3
)
数出随机事件
A
包含的结果数
m
,试验的所有可能结果数
n
;
(
4
)
用概率公式进行计算
.
列表法求概率应注意的问题
方法归纳
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等
.
第一步:列表格;
第二步:在所有可能情况
n
中
,
再找到满足条件的事件的个数
m
;
第三步:代入概率公式 计算事件的概率
.
列表法求概率的基本步骤
一只箱子里共有
3
个球,其中有
2
个白球,
1
个红球,它们除了颜色外均相同
.
(
1
)从箱子中任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率;
1
2
白
1
白
2
红
白
1
——
(白
2
,
白
1
)
(
红
,
白
1
)
白
2
(白
1
,
白
2
)
——
(红
,
白
2
)
红
(白
1
,
红)
(白
2
,
红)
——
解:
(
1
)列表如下:
第二次
第一次
拓展延伸
(
2
)从箱子中任意摸出一个球,将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率
.
1
2
白
1
白
2
红
白
1
(白
1
,
白
1
)
(白
2
,
白
1
)
(
红
,
白
1
)
白
2
(白
1
,
白
2
)
(
白
2
,
白
2
)
(红
,
白
2
)
红
(白
1
,
红)
(白
2
,
红)
(
红
,
红
)
第二次
第一次
(
1
)当小球取出后不放入箱子时
,
共有
6
种结果,每个结果的可能性相同,摸出两个白球概率为:
(
2
)小球取出后放入是,共有
9
种
结果
,
每种结果的可能性相同,摸出两个白球概率为:
1.
一个袋中有
2
个红球,
2
个黄球,每个球除颜色外都相同,从中一次摸出
2
个球,
2
个球都是红球的可能性是( )
A. B. C. D.
2.
在一个不透明的袋
中装有
2
个黄球和
2
个红球
,
它们除颜色外没有其他区别
,
从袋中任意摸出一个球
,
然后放回搅匀
,
再从袋中任意摸一个球
,
那么两次都摸到黄球的概率是
( )
A. B. C. D.
D
C
当堂练习
3.
如果有两组牌,它们的牌面数字分别是
1
,
2
,
3,
那么从每组牌中各摸出一张牌
.
(
1
)摸出两张牌的数字之和为
4
的概念为多少?
(
2
)摸出为两张牌的数字相等的概率为多少?
3
2
(
2,3
)
(
3,3
)
(
3,2
)
(
3,1
)
(
2,2
)
(
2,1
)
(
1,3
)
(
1,2
)
(
1,1
)
1
3
2
1
第二张牌
的牌面数字
第一张牌的
牌面数字
解:
(
1
)
P
(
数字之和为
4
)
=
.
(
2
)
P
(
数字相等
)
=
4.
在一个不透明的盒子里,装有三个分别写有数字
6
,
-2
,
7
的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同
.
先从盒子里随机取出一个小球,记下数字后
放回盒子
里,摇匀后再随机取出一个小球,记下数字
.
请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率
.
(
1
)两次取出的小球上的数字相同;
(
2
)两次取出的小球上的数字之和大于
10
.
(1)
两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种,所以
P
(数字相同)=
(2)
两次取出的小球上的数字之和大于
10
的可能性只有
4
种,所以
P
(数字之和大于10)=
解:根据题意,画出树状图如下
第一个数字
第二个数字
6
6
-2
7
-2
6
-2
7
7
6
-2
7
列举法
关键
常用
方法
直接列举法
列表法
画树状图法
适用对象
两个试验因素或分两步进行的试验
.
基本步骤
列表;
确定
m
、
n
值
代入概率公式计算
.
在于正确列举出试验结果的各种可能性
.
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等
.
前提条件
课堂小结
树状图
步骤
用法
是一种解决试验有多步(或涉及多个因素)的好方法
.
注意
弄清试验涉及
试验因素个数
或
试验步骤分几步
;
在摸球试验一定要弄清
“
放回
”
还是“
不放回
”
.
关键要弄清楚每一步有几种结果;
在树状图下面对应写着所有可能的结果;
利用概率公式进行计算
.