2013年湖南省永州市中考数学试卷（含答案） 19页

湖南省永州市2013年中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分）.‎ ‎1．（3分）（2013•永州）﹣的倒数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ ‎2013‎ D．‎ ‎﹣2013‎ 考点：‎ 倒数．‎ 分析：‎ 根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．‎ 解答：‎ 解：∵（﹣）×（﹣2013）=1，‎ ‎∴﹣的倒数为﹣2013．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•永州）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求+的近似值，其按键顺序正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 计算器—数的开方 分析：‎ 根据计算器上的键的功能，是先按，再按8，是先按2nd键，再按，最后按6，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：是先按，再按8，‎ 是先按2nd键，再按，最后按6，‎ 则+的顺序先按，再按8，按+，按2nd键，按，最后按6，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了计算器的使用方法，由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；简单几何体的三视图 分析：‎ 先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；‎ C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∠1=∠2‎ B．‎ ‎∠1=∠5‎ C．‎ ‎∠1+∠3=180°‎ D．‎ ‎∠3=∠5‎ 考点：‎ 平行线的判定．‎ 分析：‎ 平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，根据以上内容判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；‎ B、∵∠5=∠3，∠1=∠5，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；‎ C、∵∠1+∠3=180°，‎ ‎∴l1∥l2，故本选项正确；‎ D、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•永州）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a﹣c＞b﹣c B．‎ a+c＜b+c C．‎ ac＞bc D．‎ ‎＜‎ 考点：‎ 实数与数轴 分析：‎ 先由数轴观察a、b、c的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判断．‎ 解答：‎ 解：由数轴可以看出a＜b＜0＜c．‎ A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故选项错误；‎ B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故选项正确；‎ C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故选项错误；‎ D、∵a＜c，b＜0，∴＞，故选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，比较简单．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•永州）已知（x﹣y+3）2+=0，则x+y的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ ‎﹣1‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 解二元一次方程组；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根 分析：‎ 先根据非负数的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值即可．‎ 解答：‎ 解：∵（x﹣y+3）2+=0，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴x+y=﹣1+2=1．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•永州）下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 一组数据2，5，3，1，4，3的中位数是3‎ ‎　‎ B．‎ 五边形的外角和是540度 ‎　‎ C．‎ ‎“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题 ‎　‎ D．‎ 三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点 考点：‎ 命题与定理；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心；中位数 分析：‎ 根据中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心分别对每一项进行分析，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：A、把这组数据2，5，3，1，4，3从小到大排列为：1，2，3，3，4，5，最中间两个数的平均数是（3+3）÷2=3，则中位数是3，故本选项正确；‎ B、任何凸多边形的外角和都是360度，则五边形的外角和是360度，故本选项错误；‎ C、“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，故本选项错误；‎ D、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故本选项错误；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心，掌握中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心是解题的关键，要熟知课本中的有关知识，才能进行解答．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•永州）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎﹣1‎ D．‎ i 考点：‎ 实数的运算 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．‎ 解答：‎ 解：由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，‎ 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，‎ ‎∵=503…1，‎ ‎∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎9．（3分）（2013•永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为　8×10﹣4　平方公里．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较小的数 分析：‎ 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ 解答：‎ 解：0.0008=8×10﹣4．‎ 故答案为：8×10﹣4．‎ 点评：‎ 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•永州）一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，分别标有字母A、K、Q、J和数字10、9、8、7、6、5、4、3、2．从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是标有字母的概率是　　．‎ 考点：‎ 概率公式 分析：‎ 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ 解答：‎ 解：∵一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，分别标有字母A、K、Q、J和数字10、9、8、7、6、5、4、3、2，‎ ‎∴其中带有字母的有16张，‎ ‎∴从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是标有字母的概率是=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•永州）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k　＜　0（填“＞”或“＜”）‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据A（1，﹣1），B（﹣1，3），利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．‎ 解答：‎ 解：∵A点横坐标为1，B点横坐标为﹣1，‎ 根据﹣1＜1，3＞﹣1，‎ 可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，‎ ‎∴k＜0．‎ 故答案为＜．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标判断出函数的增减性是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•永州）定义为二阶行列式．规定它的运算法则为=ad﹣bc．那么当x=1时，二阶行列式的值为　0　．‎ 考点：‎ 完全平方公式 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ 根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：当x=1时，原式=（x﹣1）2=0．‎ 故答案为：0‎ 点评：‎ 此题考查了完全平方公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B=　60　度．‎ 考点：‎ 切线的性质．‎ 分析：‎ 由MN与⊙O相切，根据弦切角定理，即可求得∠C的度数，又由BC是⊙O的直径，根据圆周角定理，可求得∠BAC=90°，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵MN与⊙O相切，∠MAB=30°，‎ ‎∴∠C=∠MAB=30°，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∴∠B=90°﹣∠C=60°．‎ 故答案为：60．‎ 点评：‎ 此题考查了弦切角定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•永州）如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为　1　．‎ 考点：‎ 反比例函数系数k的几何意义 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，然后利用S△POB=S△POA﹣S△BOA进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，‎ ‎∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，‎ ‎∴S△POB=2﹣1=1．‎ 故答案为1．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•永州）已知+=0，则的值为　﹣1　．‎ 考点：‎ 绝对值 分析：‎ 先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵+=0，‎ ‎∴a、b异号，‎ ‎∴ab＜0，‎ ‎∴==﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•永州）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有　B、D、F、G　．（请填入方块上的字母）‎ 考点：‎ 推理与论证 分析：‎ 根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．‎ 解答：‎ 解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断 由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．‎ 结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；‎ 同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；‎ 由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，‎ 所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：‎ 进行下一步推理：‎ 因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；‎ 而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．‎ 因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，‎ 根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．‎ 综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．‎ 故答案为：B、D、F、G．‎ 点评：‎ 此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9个小题，共72分）‎ ‎17．（6分）（2013•永州）计算：﹣（）﹣1+（﹣1）2013．‎ 考点：‎ 实数的运算；负整数指数幂 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题涉及负指数幂、乘方、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=4﹣﹣1‎ ‎=4﹣2﹣1‎ ‎=1．‎ 点评：‎ 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握负指数幂、乘方、二次根式化简等考点的运算．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2013•永州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 分析：‎ 首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可找出不等式组的解集．‎ 解答：‎ 解：，‎ 由①得：x＞﹣1，‎ 由②得：x≤2，‎ 不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，‎ 再数轴上表示为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2013•永州）先化简，再求值：（+）÷，其中x=2．‎ 考点：‎ 分式的化简求值 分析：‎ 先将括号内的第一项约分，再进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行化简，最后将x=2代入．‎ 解答：‎ 解：（+）÷‎ ‎=（+）•‎ ‎=•‎ ‎=x﹣1，‎ 当x=2时，运算=2﹣1=1．‎ 点评：‎ 本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•永州）某县为了了解2013年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向（A．读普通高中； B．读职业高中 C．直接进入社会就业； D．其它）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．‎ 请问：‎ ‎（1）该县共调查了　100　名初中毕业生；‎ ‎（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；‎ ‎（3）若该县2013年初三毕业生共有4500人，请估计该县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）根据A的人数与所占的百分比列式进行计算即可得解；‎ ‎（2）求出B的人数，再求出C所占的百分比，然后补全统计图即可；‎ ‎（3）用过总人数乘以A所占的百分比40%，计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）40÷40%=100名，‎ 所以，该县共调查了100名初中毕业生；‎ ‎（2）B的人数：100×30%=30名，‎ C所占的百分比为：×100%=25%，‎ 补全统计图如图；‎ ‎（3）4500×40%=1800名，‎ 答：估计该县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数是1800．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3‎ ‎（1）求证：BN=DN；‎ ‎（2）求△ABC的周长．‎ 考点：‎ 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；‎ ‎（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：在△ABN和△ADN中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABN≌△ADN，‎ ‎∴BN=DN．‎ ‎（2）解：∵△ABN≌△ADN，‎ ‎∴AD=AB=10，DN=NB，‎ 又∵点M是BC中点，‎ ‎∴MN是△BDC的中位线，‎ ‎∴CD=2MN=6，‎ 故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•永州）中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：‎ 一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；‎ 二．个人所得税纳税税率如下表所示：‎ 纳税级数 个人每月应纳税所得额 纳税税率 ‎1‎ 不超过1500元的部分 ‎3%‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10%‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20%‎ ‎4‎ 超过9000元至35000元的部分 ‎25%‎ ‎5‎ 超过35000元至55000元的部分 ‎30%‎ ‎6‎ 超过55000元至80000元的部分 ‎35%‎ ‎7‎ 超过80000元的部分 ‎45%‎ ‎（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；‎ ‎（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？‎ 考点：‎ 一元一次方程的应用；有理数的混合运算．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）根据月收入超过3500元起，超过部分在1500元内的部分，应按照3%的税率缴纳个人所得税，甲的月工资4000元，应缴税的部分是4000﹣3500=500元，再算出500元应缴纳的税款即可；超过部分在1500元至4500元的部分，应按照10%的税率缴纳个人所得税，乙的月工资4000元，应缴税的部分是6000﹣3500=2500元，再算出2500元应缴纳的税款即可；‎ ‎（2）根据个人所得税纳税税率表可知，丙每月的工资收入额应为超过4500元至9000元的部分，设丙每月的工资收入额应为x元，根据丙每月缴纳的个人所得税为95元列出方程即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）（4000﹣3500）×3%‎ ‎=500×3%‎ ‎=15（元），‎ ‎1500×3%+（6000﹣3500﹣1500）×10%‎ ‎=45+1000×10%‎ ‎=45+100‎ ‎=145（元）．‎ 答：甲每月应缴纳的个人所得税为15元；乙每月应缴纳的个人所得税145元．‎ ‎（2）设丙每月的工资收入额应为x元，则 ‎1500×3%+（x﹣3500﹣1500）×10%=95，‎ 解得x=5500．‎ 答：丙每月的工资收入额应为5500元．‎ 点评：‎ 考查了一元一次方程的应用，解决本题关键是理解纳税的办法，找出应纳税的部分，然后根据基本的数量关系求解．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．‎ ‎（1）求证：AB=BC；‎ ‎（2）求证：四边形BOCD是菱形．‎ 考点：‎ 切线的性质；菱形的判定．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）由AB是⊙O的切线，∠A=30°，易求得∠OC的度数，继而可得∠B=∠OCB=30°，又由等角对等边，证得AB=BC；‎ ‎（2）首先连接OD，易证得△BOD与△COD是等边三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可证得四边形BOCD是菱形．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵AB是⊙O的切线，‎ ‎∴OB⊥AB，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=∠AOB=30°，‎ ‎∴∠A=∠OCB，‎ ‎∴AB=BC；‎ ‎（2）连接OD，‎ ‎∵∠AOB=60°，‎ ‎∴∠BOC=120°，‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴=，∠BOD=∠COD=60°，‎ ‎∵OB=OD=OC，‎ ‎∴△BOD与△COD是等边三角形，‎ ‎∴OB=BD=OC=CD，‎ ‎∴四边形BOCD是菱形．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2013•永州）如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．‎ ‎（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；‎ ‎（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；‎ ‎（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）解关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣4m2=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；‎ ‎（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=AB，得出点P的坐标为（m，﹣2m），又根据二次函数的顶点式为y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0），得出顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），则﹣2m=﹣4m2，解方程求出m的值，再把m的值代入y=（x﹣m）2﹣4m2，即可求出二次函数的解析式；‎ ‎（3）连接CM．根据（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍．‎ 解答：‎ 解：（1）∵y=（x﹣m）2﹣4m2，‎ ‎∴当y=0时，（x﹣m）2﹣4m2=0，‎ 解得x1=﹣m，x2=3m，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）；‎ ‎（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，‎ ‎∴AB=3m﹣（﹣m）=4m，圆的半径为AB=2m，‎ ‎∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m，‎ ‎∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m），‎ 又∵二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），‎ ‎∴﹣2m=﹣4m2，‎ 解得m1=，m2=0（舍去），‎ ‎∴二次函数的解析式为y=（x﹣）2﹣1，即y=x2﹣x﹣；‎ ‎（3）如图，连接CM．‎ 在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，‎ ‎∴OC===，‎ ‎∴CD=2OC=．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，以及圆的半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，垂径定理等知识，综合性较强，但难度不是很大，仔细分析求解便不难解决．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD ‎（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；‎ ‎（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；‎ ‎（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？‎ 考点：‎ 相似形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；‎ ‎（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；‎ ‎（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；‎ ‎（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ 理由是：设BP=x，‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴∠B=∠D=90°，‎ ‎∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ ‎∴①=或②=，‎ 解方程①得：x=，‎ 方程②得：x（10﹣x）=36，‎ x2﹣10x+36=0，‎ ‎△=（﹣10）2﹣4×1×36＜0，此方程无解，‎ ‎∴当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ ‎∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为；‎ ‎（2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ 理由是：设BP=x，‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴∠B=∠D=90°，‎ ‎∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ ‎∴①=或②=，‎ 解方程①得：x=，‎ 方程②得：x（12﹣x）=36，‎ x2﹣12x+36=0，‎ ‎△=（﹣10）2﹣4×1×36=0，‎ 此方程d的解为x2=x3=6，‎ ‎∴当BP=或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ ‎∴存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6；‎ ‎（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ 理由是：设BP=x，‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴∠B=∠D=90°，‎ ‎∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ ‎∴①=或②=，‎ 解方程①得：x=，‎ 方程②得：x（15﹣x）=36，‎ x2﹣15x+36=0，‎ ‎△=（﹣15）2﹣4×1×36=91，‎ 此方程d的解为x2=3，x3=12，‎ ‎∴当BP=或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ ‎∴存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12；‎ ‎（4）设BP=x，‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴∠B=∠D=90°，‎ ‎∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，‎ ‎∴①=或②=，‎ 解方程①得：x=，‎ 方程②得：x（l﹣x）=mn，‎ x2﹣lx+mn=0，‎ ‎△=（﹣l）2﹣4×1×mn=l2﹣4mn，‎ ‎∴当l2﹣4mn＜0时，方程②没有实数根，‎ 即当l2﹣4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；‎ ‎∵当l2﹣4mn=0时，方程②有1个实数根，‎ ‎∴当l2﹣4mn=0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；‎ ‎∵当l2﹣4mn＞0时，方程②有2个实数根，‎ ‎∴当l2‎ ‎﹣4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定和性质，根的判别式的应用，注意：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数），当△=b2﹣4ac＜0时，方程无实数解，当△=b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数解，当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不等的实数解．‎