2019年北京市中考数学试卷 36页

‎2019年北京市中考数学试卷 一、选择题（本题共16分,每小题2分)‎ ‎1．（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103‎ ‎2．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（2分）正十边形的外角和为（　　）‎ A．180° B．360° C．720° D．1440°‎ ‎4．（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1‎ ‎5．（2分）已知锐角∠AOB，如图，‎ ‎（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；‎ ‎（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；‎ ‎（3）连接OM，MN．‎ 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）‎ A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20° ‎ C．MN∥CD D．MN＝3CD ‎6．（2分）如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎7．（2分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8．（2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 ‎ 时间t 人数 学生类型 ‎0≤t＜10‎ ‎10≤t＜20‎ ‎20≤t＜30‎ ‎30≤t＜40‎ t≥40‎ 性别 男 ‎7‎ ‎31‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎4‎ 女 ‎8‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎32‎ ‎8‎ 学段 初中 ‎25‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎11‎ 高中 下面有四个推断：‎ ‎①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间 ‎②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间 ‎③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间 ‎④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间 所有合理推断的序号是（　　）‎ A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④‎ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9．（2分）分式的值为0，则x的值是　 　．‎ ‎10．（2分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为　 　cm2．（结果保留一位小数）‎ ‎11．（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是　 　．（写出所有正确答案的序号）‎ ‎12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P 是网格线交点）．‎ ‎13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为　 　．‎ ‎14．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为　 　．‎ ‎15．（2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12　 　s02（填“＞”，“＝”或”＜”）‎ ‎16．（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，‎ ‎①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；‎ ‎②存在无数个四边形MNPQ是矩形；‎ ‎③存在无数个四边形MNPQ是菱形；‎ ‎④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．‎ 所有正确结论的序号是　 　．‎ 二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，‎ ‎17．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．‎ ‎18．（5分）解不等式组：‎ ‎19．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．‎ ‎20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．‎ ‎（1）求证：AC⊥EF；‎ ‎（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．‎ ‎21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：‎ a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；‎ b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：‎ ‎61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5‎ c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：‎ d．中国的国家创新指数得分为69.5．‎ ‎（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）中国的国家创新指数得分排名世界第　 　；‎ ‎（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；‎ ‎（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为　 　万美元；（结果保留一位小数）‎ ‎（4）下列推断合理的是　 　．‎ ‎①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；‎ ‎②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．‎ ‎22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．‎ ‎（1）求证：AD＝CD；‎ ‎（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．‎ ‎23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：‎ ‎①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；‎ ‎②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；‎ 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1‎ x1‎ x1‎ 第2组 x2‎ x2‎ x2‎ 第3组 第4组 x4‎ x4‎ x4‎ ‎③每天最多背诵14首，最少背诵4首．‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）填入x3补全上表；‎ ‎（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为　 　；‎ ‎（3）7天后，小云背诵的诗词最多为　 　首．‎ ‎24．（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．‎ 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：‎ 位置1‎ 位置2‎ 位置3‎ 位置4‎ 位置5‎ 位置6‎ 位置7‎ 位置8‎ PC/cm ‎3.44‎ ‎3.30‎ ‎3.07‎ ‎2.70‎ ‎2.25‎ ‎2.25‎ ‎2.64‎ ‎2.83‎ PD/cm ‎3.44‎ ‎2.69‎ ‎2.00‎ ‎1.36‎ ‎0.96‎ ‎1.13‎ ‎2.00‎ ‎2.83‎ AD/cm ‎0.00‎ ‎0.78‎ ‎1.54‎ ‎2.30‎ ‎3.01‎ ‎4.00‎ ‎5.11‎ ‎6.00‎ 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数；‎ ‎（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；‎ ‎（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为　 　cm．‎ ‎25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．‎ ‎（1）求直线l与y轴的交点坐标；‎ ‎（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．‎ ‎①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；‎ ‎②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．‎ ‎26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．‎ ‎（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；‎ ‎（2）求抛物线的对称轴；‎ ‎（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．‎ ‎27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．‎ ‎（1）依题意补全图1；‎ ‎（2）求证：∠OMP＝∠OPN；‎ ‎（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．‎ ‎28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．‎ ‎（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．‎ ‎①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；‎ ‎②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．‎ ‎2019年北京市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共16分,每小题2分)‎ ‎1．（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎2．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，故此选项正确；‎ D、不是轴对称图形，故此选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎3．（2分）正十边形的外角和为（　　）‎ A．180° B．360° C．720° D．1440°‎ ‎【分析】根据多边的外角和定理进行选择．‎ ‎【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，‎ 所以正十边形的外角和等于360°，．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．‎ ‎4．（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1‎ ‎【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．‎ ‎【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，‎ ‎∴点C表示的数为﹣2，‎ ‎∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．‎ ‎5．（2分）已知锐角∠AOB，如图，‎ ‎（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；‎ ‎（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；‎ ‎（3）连接OM，MN．‎ 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）‎ A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20° ‎ C．MN∥CD D．MN＝3CD ‎【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．‎ ‎【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，‎ ‎∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；‎ ‎∵OM＝ON＝MN，‎ ‎∴△OMN是等边三角形，‎ ‎∴∠MON＝60°，‎ ‎∵CM＝CD＝DN，‎ ‎∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；‎ 设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，‎ 则∠OCD＝∠OCM＝，‎ ‎∴∠MCD＝180°﹣α，‎ 又∵∠CMN＝∠OCN＝α，‎ ‎∴∠MCD+∠CMN＝180°，‎ ‎∴MN∥CD，故C选项正确；‎ ‎∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，‎ ‎∴3CD＞MN，故D选项错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．‎ ‎6．（2分）如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），‎ 当m+n＝1时，原式＝3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎7．（2分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．‎ ‎【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；‎ ‎②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；‎ ‎③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；‎ ‎∴组成真命题的个数为3个；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．‎ ‎8．（2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 ‎ 时间t 人数 学生类型 ‎0≤t＜10‎ ‎10≤t＜20‎ ‎20≤t＜30‎ ‎30≤t＜40‎ t≥40‎ 性别 男 ‎7‎ ‎31‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎4‎ 女 ‎8‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎32‎ ‎8‎ 学段 初中 ‎25‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎11‎ 高中 下面有四个推断：‎ ‎①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间 ‎②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间 ‎③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间 ‎④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间 所有合理推断的序号是（　　）‎ A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④‎ ‎【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；‎ ‎②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在20‎ ‎﹣30 之间，故②正确．‎ ‎③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10 的人数在 0﹣15 之间，当人数为 0 时中位数在 20﹣30 之间；当人数为 15 时，中位数在 20﹣30 之间，故③正确．‎ ‎④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 0﹣15，35，15，18，1，当0≤t＜10时间段人数为 0 时，中位数在 10﹣20 之间；当 0≤t＜10时间段人数为 15 时，中位数在 10﹣20 之间，故④错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．‎ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9．（2分）分式的值为0，则x的值是　1　．‎ ‎【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．‎ ‎【解答】解：∵分式的值为0，‎ ‎∴x﹣1＝0且x≠0，‎ ‎∴x＝1．‎ 故答案为1．‎ ‎【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．‎ ‎10．（2分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为　1.9　cm2．（结果保留一位小数）‎ ‎【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．‎ 经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，‎ ‎∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．‎ 故答案为：1.9．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．‎ ‎11．（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是　①②　．（写出所有正确答案的序号）‎ ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．‎ ‎【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，‎ 圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，‎ 圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，‎ 故答案为：①②．‎ ‎【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．‎ ‎12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　45　°（点A，B，P是网格线交点）．‎ ‎【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，‎ 则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，‎ ‎∴PD2+DB2＝PB2，‎ ‎∴∠PDB＝90°，‎ ‎∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，‎ 故答案为：45．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为　0　．‎ ‎【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．‎ ‎【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，‎ ‎∴k1＝ab；‎ 又∵点A与点B关于x轴的对称，‎ ‎∴B（a，﹣b）‎ ‎∵点B在双曲线y＝上，‎ ‎∴k2＝﹣ab；‎ ‎∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．‎ ‎14．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为　12　．‎ ‎【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，得出AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，即可得出菱形的面积．‎ ‎【解答】解：如图1所示：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，‎ 设OA＝x，OB＝y，‎ 由题意得：，‎ 解得：，‎ ‎∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，‎ ‎∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12；‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．‎ ‎15．（2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12　＝　s02（填“＞”，“＝”或”＜”）‎ ‎【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，‎ ‎∴则s12＝S02．‎ 故答案为＝．‎ ‎【点评】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．‎ ‎16．（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，‎ ‎①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；‎ ‎②存在无数个四边形MNPQ是矩形；‎ ‎③存在无数个四边形MNPQ是菱形；‎ ‎④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．‎ 所有正确结论的序号是　①②③　．‎ ‎【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，‎ 过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，‎ 则四边形MNPQ是平行四边形，‎ 故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，‎ 故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；‎ ‎②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；‎ ‎③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；‎ ‎④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，‎ 则△AMQ≌△DQP，‎ ‎∴AM＝QD，AQ＝PD，‎ ‎∵PD＝BM，‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；‎ 故答案为：①②③．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．‎ 二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，‎ ‎17．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．‎ ‎【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案 ‎【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．‎ ‎18．（5分）解不等式组：‎ ‎【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得：x＜2，‎ 解②得x＜，‎ 则不等式组的解集为x＜2．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎19．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．‎ ‎【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，‎ ‎∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，‎ 解得：m≤1，‎ ‎∵m为正整数，‎ ‎∴m＝1，‎ ‎∴x2﹣2x+1＝0，‎ 则（x﹣1）2＝0，‎ 解得：x1＝x2＝1．‎ ‎【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．‎ ‎20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．‎ ‎（1）求证：AC⊥EF；‎ ‎（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．‎ ‎【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，得出AB：BE＝AD：DF，证出EF∥BD即可得出结论；‎ ‎（2）由平行线的性质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出tanG＝tan∠ADO＝＝，得出OA＝OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OA＝1．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴AB：BE＝AD：DF，‎ ‎∴EF∥BD，‎ ‎∴AC⊥EF；‎ ‎（2）解：如图2所示：‎ ‎∵由（1）得：EF∥BD，‎ ‎∴∠G＝∠ADO，‎ ‎∴tanG＝tan∠ADO＝＝，‎ ‎∴OA＝OD，‎ ‎∵BD＝4，‎ ‎∴OD＝2，‎ ‎∴OA＝1．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．‎ ‎21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：‎ a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；‎ b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：‎ ‎61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5‎ c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：‎ d．中国的国家创新指数得分为69.5．‎ ‎（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）中国的国家创新指数得分排名世界第　17　；‎ ‎（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；‎ ‎（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为　2.8　万美元；（结果保留一位小数）‎ ‎（4）下列推断合理的是　①②　．‎ ‎①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；‎ ‎②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．‎ ‎【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；‎ ‎（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；‎ ‎（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；‎ ‎（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．‎ ‎【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，‎ ‎∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，‎ 故答案为：17；‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；‎ 故答案为：2.8；‎ ‎（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，‎ ‎①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；‎ ‎②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；‎ 故答案为：①②．‎ ‎【点评】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．‎ ‎22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．‎ ‎（1）求证：AD＝CD；‎ ‎（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．‎ ‎【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD＝∠CBD得到＝，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD＝CD；‎ ‎（2）如图，证明CD＝CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．‎ ‎【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，‎ ‎∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，‎ ‎∵AD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AD＝CD；‎ ‎（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，‎ ‎∴CD＝CM，‎ ‎∵DM⊥BC，‎ ‎∴BC垂直平分DM，‎ ‎∴BC为直径，‎ ‎∴∠BAC＝90°，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ ‎∴OD∥AB，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE为⊙O的切线，‎ ‎∴直线DE与图形G的公共点个数为1．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．‎ ‎23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：‎ ‎①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；‎ ‎②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；‎ 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1‎ x1‎ x1‎ 第2组 x2‎ x2‎ x2‎ 第3组 第4组 x4‎ x4‎ x4‎ ‎③每天最多背诵14首，最少背诵4首．‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）填入x3补全上表；‎ ‎（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为　4，5，6　；‎ ‎（3）7天后，小云背诵的诗词最多为　23　首．‎ ‎【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；‎ ‎（2）根据题意列不等式即可得到结论；‎ ‎（3）根据题意列不等式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1‎ x1‎ x1‎ 第2组 x2‎ x2‎ x2‎ 第3组 x3‎ x3‎ x3‎ 第4组 x4‎ x4‎ x4‎ ‎（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，‎ ‎∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，‎ ‎∴x1+x3≥8①，‎ ‎∵x1+x3+x4≤14②，‎ 把①代入②得，x4≤6，‎ ‎∴4≤x4≤6，‎ ‎∴x4的所有可能取值为4，5，6，‎ 故答案为：4，5，6；‎ ‎（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，‎ ‎∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，‎ x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，‎ ‎①+②+④﹣③得，3x2≤28，‎ ‎∴x2≤，‎ ‎∴x1+x2+x3+x4≤+14＝，‎ ‎∴x1+x2+x3+x4≤23，‎ ‎∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，‎ 故答案为：23．‎ ‎【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．‎ ‎24．（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．‎ 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：‎ 位置1‎ 位置2‎ 位置3‎ 位置4‎ 位置5‎ 位置6‎ 位置7‎ 位置8‎ PC/cm ‎3.44‎ ‎3.30‎ ‎3.07‎ ‎2.70‎ ‎2.25‎ ‎2.25‎ ‎2.64‎ ‎2.83‎ PD/cm ‎3.44‎ ‎2.69‎ ‎2.00‎ ‎1.36‎ ‎0.96‎ ‎1.13‎ ‎2.00‎ ‎2.83‎ AD/cm ‎0.00‎ ‎0.78‎ ‎1.54‎ ‎2.30‎ ‎3.01‎ ‎4.00‎ ‎5.11‎ ‎6.00‎ 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定　AD　的长度是自变量，　PD　的长度和　PC　的长度都是这个自变量的函数；‎ ‎（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；‎ ‎（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为　2.3和4　cm．‎ ‎【分析】（1）按照变量的定义，根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量，即可求解；‎ ‎（2）描点画出如图图象；‎ ‎（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量 故答案为：AD、PC、PD；‎ ‎（2）描点画出如图图象；‎ ‎（3）PC＝2PD，‎ 从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，‎ 即AD的长度为2.3和4.0．‎ ‎【点评】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．‎ ‎25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．‎ ‎（1）求直线l与y轴的交点坐标；‎ ‎（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．‎ ‎①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；‎ ‎②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）令x＝0，y＝1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；‎ ‎（2）①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点；②当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点；‎ ‎【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，‎ ‎∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；‎ ‎（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），‎ ‎①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），‎ 在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；‎ ‎②直线AB的解析式为y＝kx+1，‎ 当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，‎ ‎∴k＝﹣2，‎ 当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，‎ ‎∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点；‎ ‎【点评】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．‎ ‎26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．‎ ‎（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；‎ ‎（2）求抛物线的对称轴；‎ ‎（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；‎ ‎（2）A与B关于对称轴x＝1对称；‎ ‎（3）①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，所以函数与AB无交点；‎ ‎②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；‎ ‎【解答】解：（1）A（0，﹣）‎ 点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；‎ ‎（2）A与B关于对称轴x＝1对称，‎ ‎∴抛物线对称轴x＝1；‎ ‎（3）∵对称轴x＝1，‎ ‎∴b＝﹣2a，‎ ‎∴y＝ax2﹣2ax﹣，‎ ‎①a＞0时，‎ 当x＝2时，y＝﹣＜2，‎ 当y＝﹣时，x＝0或x＝2，‎ ‎∴函数与AB无交点；‎ ‎②a＜0时，‎ 当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，‎ x＝或x＝‎ 当≤2时，a≤﹣；‎ ‎∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．‎ ‎27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．‎ ‎（1）依题意补全图1；‎ ‎（2）求证：∠OMP＝∠OPN；‎ ‎（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．‎ ‎【分析】（1）根据题意画出图形．‎ ‎（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．‎ ‎（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC ‎＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示为所求．‎ ‎（2）设∠OPM＝α，‎ ‎∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN ‎∴∠MPN＝150°，PM＝PN ‎∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α ‎∵∠AOB＝30°‎ ‎∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α ‎∴∠OMP＝∠OPN ‎（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：‎ 过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2‎ ‎∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°‎ ‎∵∠AOB＝30°，OP＝2‎ ‎∴PD＝OP＝1‎ ‎∴OD＝‎ ‎∵OH＝+1‎ ‎∴DH＝OH﹣OD＝1‎ ‎∵∠OMP＝∠OPN ‎∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN 即∠PMD＝∠NPC 在△PDM与△NCP中 ‎∴△PDM≌△NCP（AAS）‎ ‎∴PD＝NC，DM＝CP 设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1‎ ‎∵点M关于点H的对称点为Q ‎∴HQ＝MH＝x+1‎ ‎∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x ‎∴OC＝DQ 在△OCN与△QDP中 ‎∴△OCN≌△QDP（SAS）‎ ‎∴ON＝QP ‎【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP．‎ ‎28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．‎ ‎（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．‎ ‎①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；‎ ‎②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；‎ ‎（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．‎ ‎【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，‎ 连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，‎ ‎∴弧＝×2π＝π；‎ ‎（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，‎ ‎①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），‎ 设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，‎ ‎∵OA＝OC，∠AOC＝90°‎ ‎∴∠ACO＝45°，‎ ‎∵DE∥OC ‎∴∠AED＝∠ACO＝45°‎ 作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝‎ 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；‎ ‎∴m≤‎ 综上所述，m≤或m≥1．‎ ‎②如图4，设圆心P在AC上，‎ ‎∵P在DE中垂线上，‎ ‎∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，‎ ‎∴P（t，），‎ ‎∵DE∥BC ‎∴∠ADE＝∠AOB＝90°‎ ‎∴AE＝＝＝，‎ ‎∵PD＝PE，‎ ‎∴∠AED＝∠PDE ‎∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，‎ ‎∴∠DAE＝∠ADP ‎∴AP＝PD＝PE＝AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM ‎∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，‎ ‎∵t＞0‎ ‎∴0＜t≤．‎ ‎【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/8/6 23:20:57；用户：初中数学；邮箱：13838033393；学号：26522812‎