2013年湖南省长沙市中考数学试卷（含答案） 17页

湖南省长沙市2013年中考数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2013•长沙）下列实数是无理数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 无理数．‎ 分析：‎ 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．‎ 解答：‎ 解：A、是整数，是有理数，选项错误；‎ B、是整数，是有理数，选项错误；‎ C、是分数，是有理数，选项错误；‎ D、是无理数．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•长沙）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎617×105‎ B．‎ ‎6.17×106‎ C．‎ ‎6.17×107‎ D．‎ ‎0.617×108‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将61700000用科学记数法表示为6.17×107．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 三角形三边关系．‎ 分析：‎ 已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．‎ 解答：‎ 解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．‎ 因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．‎ ‎2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•长沙）已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 外离 B．‎ 外切 C．‎ 相交 D．‎ 内切 考点：‎ 圆与圆的位置关系．‎ 分析：‎ 本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为1cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，‎ ‎∴O1O2=1+3=4，‎ ‎∴两圆外切．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．‎ ‎（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•长沙）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a6÷a3=a3‎ B．‎ ‎（a2）3=a8‎ C．‎ ‎（a﹣b）2=a2﹣b2‎ D．‎ a2+a2=a4‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．‎ 分析：‎ 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、正确；‎ B、（a2）3=a6，选项错误；‎ C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，选项错误；‎ D、a2+a2=2a2，选项错误．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•长沙）某校篮球队12名同学的身高如下表：‎ ‎ 身高（cm）‎ ‎ 180‎ ‎ 186‎ ‎ 188‎ ‎ 192‎ ‎ 195‎ ‎ 人数 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 5‎ ‎ 3‎ ‎ 1‎ 则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：cm）（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎192‎ B．‎ ‎188‎ C．‎ ‎186‎ D．‎ ‎180‎ 考点：‎ 众数 分析：‎ 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格信息即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：身高188的人数最多，‎ 故该校篮球队12名同学身高的众数是188cm．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了众数的知识，掌握众数的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；平行公理及推论；平行线的性质．‎ 分析：‎ 根据等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、∵AB=AC，‎ ‎∴∠1=∠2，故本选项错误；‎ B、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；‎ C、根据对顶角相等，∠1=∠3，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠2，故本选项错误；‎ D、根据三角形的外角性质，∠1＞∠2，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，熟记各性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 四边形 B．‎ 五边形 C．‎ 六边形 D．‎ 八边形 考点：‎ 多边形内角与外角．‎ 分析：‎ 设多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理即可求解．‎ 解答：‎ 解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=360，‎ 解得n=4．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•长沙）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．‎ 分析：‎ 根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；‎ B、利用了轴对称，故本选项错误；‎ C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项错误；‎ D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称及旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的定义．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a＞0‎ B．‎ c＞0‎ C．‎ b2﹣4ac＞0‎ D．‎ a+b+c＞0‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．‎ 分析：‎ 根据抛物线的开口向上得出a＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上得出c＞0，根据抛物线与x轴有两个交点得出b2﹣4ac＞0，把x=1代入抛物线的解析式得出y=a+b+c＜0，根据以上内容判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、∵抛物线的开口向上，‎ ‎∴a＞0，正确，故本选项错误；‎ B、∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，‎ ‎∴c＞0，正确，故本选项错误；‎ C、∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，正确，故本选项错误；‎ D、把x=1代入抛物线的解析式得：y=a+b+c＜0，错误，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和运用能力．‎ ‎　‎ 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2013•长沙）计算：﹣=　　．‎ 考点：‎ 二次根式的加减法．‎ 分析：‎ 运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．‎ 解答：‎ 解：原式=2﹣=．‎ 点评：‎ 合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•长沙）分解因式：x2+2x+1=　（x+1）2　．‎ 考点：‎ 因式分解-运用公式法．‎ 分析：‎ 本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．‎ 解答：‎ 解：x2+2x+1=（x+1）2．‎ 点评：‎ 本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．‎ ‎（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；‎ ‎（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•长沙）已知∠A=67°，则∠A的余角等于　23　度．‎ 考点：‎ 余角和补角 分析：‎ 根据互余两角之和为90°即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵∠A=67°，‎ ‎∴∠A的余角=90°﹣67°=23°．‎ 故答案为：23．‎ 点评：‎ 本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•长沙）方程的解为x=　1　．‎ 考点：‎ 解分式方程．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 最简公分母为（x+1）x，方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果要检验．‎ 解答：‎ 解：方程两边都乘（x+1）x，得 ‎2x=x+1，解得x=1，‎ 检验：当x=1时，（x+1）x≠0．‎ ‎∴原方程的解是x=1．‎ 点评：‎ ‎（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程需代入最简公分母验根．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为　4　cm．‎ 考点：‎ 角平分线的性质．‎ 分析：‎ BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离．‎ 解答：‎ 解：∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，‎ ‎∴点P到BC的距离=PE=4cm．‎ 故答案为4．‎ 点评：‎ 本题考查了角平分线的性质．由已知能够注意到P到BC的距离即为PE长是解决的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•长沙）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于　1：2　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．‎ 分析：‎ D、E分别是AB、AC边的中点，则DE是△ABC的中位线；根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因而中位线分三角形得到的小三角形与原三角形一定相似，且相似是1：2，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵点D，点E分别是边AB，AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，且DE：BC=1：2，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴△ADE与△ABC的周长比为1：2．‎ 故答案为1：2．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定与性质，难度中等．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•长沙）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　10　．‎ 考点：‎ 利用频率估计概率．‎ 分析：‎ 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．‎ 解答：‎ 解：由题意可得，=0.2，‎ 解得，n=10．‎ 故估计n大约有10个．‎ 故答案为：10．‎ 点评：‎ 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•长沙）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是　3　．‎ 考点：‎ 梯形；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．‎ 分析：‎ 先判定四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AD=EC，再求出BE的长度，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠AEB=∠C，再根据三角形的内角和定理求出∠BAE=50°，从而得到∠B=∠BAE，再根据等角对等边得到AE=BE，从而得解．‎ 解答：‎ 解：∵AD∥BC，AE∥CD，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴AD=EC=2，CD=AE，‎ ‎∵AD=2，BC=5，‎ ‎∴BE=BC﹣EC=5﹣2=3，‎ ‎∵AE∥CD，∠C=80°，‎ ‎∴∠AEB=∠C=80°，‎ 在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=180°﹣50°﹣80°=50°，‎ ‎∴∠B=∠BAE，‎ ‎∴AE=BE=3，‎ ‎∴CD=3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，根据度数确定出相等的角，从而得到相等的边是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题本题共2小题，每小题6分，共12分）‎ ‎19．（6分）（2013•长沙）计算：．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂．‎ 分析：‎ 分别进行绝对值、平方及零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：原式=3+4﹣1=6．‎ 点评：‎ 本题考查了实数的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则 是关键．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）（2013•长沙）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．3718684‎ 分析：‎ 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．‎ 解答：‎ 解：由①得，x≤1；由②得，x＞﹣2，‎ 故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．‎ 在数轴上表示为：‎ 点评：‎ 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎21．（8分）（2013•长沙）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）统计图共统计了　100　天空气质量情况．‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．‎ ‎（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？‎ 考点：‎ 条形统计图；扇形统计图；概率公式．‎ 分析：‎ ‎（1）根据良的天数是70天，占70%，即可求得统计的总天数；‎ ‎（2）利用360度乘以对应的百分比即可求解；‎ ‎（3）利用概率公式即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）70÷70%=100（天），故答案是：100；‎ ‎（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；‎ ‎（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．‎ 考点：‎ 切线的判定；扇形面积的计算 分析：‎ ‎（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；‎ ‎（2）分别求出等边三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵AB为⊙O直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠ABD=90°，‎ ‎∵∠DBC=∠BAC，‎ ‎∴∠DBC+∠ABD=90°，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴BC是⊙O切线；‎ ‎（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，‎ ‎∵∠BAC=30°，‎ ‎∴∠BOD=2∠A=60°，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ ‎∴OB=BD=OD=2，‎ ‎∴BM=DM=1，‎ 由勾股定理得：OM=，‎ ‎∴阴影部分的面积S=S扇形DOB﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD+⊕DBC=90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．‎ ‎　‎ 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎23．（9分）（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．‎ ‎（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？‎ ‎（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用 分析：‎ ‎（1）假设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，根据“修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线的平均造价多0.5亿元”分别得出等式求出即可；‎ ‎（2）根据（1）中所求得出建91.8千米的地铁线网，每千米的造价，进而求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，‎ 由题意得出：，‎ 解得：，‎ 答：1号线，2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元；‎ ‎（2）由（1）得出：‎ ‎91.8×6×1.2=660.96（亿元），‎ 答：还需投资660.96亿元．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2013•长沙）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．‎ ‎（1）求证：△ABN≌△CDM；‎ ‎（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．‎ 分析：‎ ‎（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM；‎ ‎（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，‎ ‎∵M、N分别是AD，BC的中点，‎ ‎∴BN=DM，‎ ‎∵在△ABN和△CDM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABN≌△CDM（SAS）；‎ ‎（2）解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，‎ ‎∴MN=MD=AD，‎ ‎∴∠1=∠MND，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠1=∠CND，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠MND=∠CND=∠2，‎ ‎∴PN=PC，‎ ‎∵CE⊥MN，‎ ‎∴∠CEN=90°，‎ ‎∴∠2=∠PNE=30°，‎ ‎∵PE=1，‎ ‎∴PN=2PE=2，‎ ‎∴CE=PC+PE=3，‎ ‎∴CN==2，‎ ‎∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，‎ ‎∴△CNM是等边三角形，‎ ‎∵△ABN≌△CDM，‎ ‎∴AN=CM=2．‎ 点评：‎ 此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ 六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎25．（10分）（2013•长沙）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．‎ ‎（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；‎ ‎（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；‎ ‎（3）若二次函数y=x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题；一次函数的性质；反比例函数的性质．‎ 分析：‎ ‎（1）根据反比例函数y=的单调区间进行判断；‎ ‎（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组或，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；‎ ‎（3）y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数a、b的方程组或，通过解方程组即可求得a、b的值．‎ 解答：‎ 解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：‎ 反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，‎ 当x=1时，y=2013；‎ 当x=2013时，y=1，‎ 所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故 反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；‎ ‎（2）分两种情况：k＞0或k＜0．‎ ‎①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎∴此函数的解析式是y=x；‎ ‎②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；‎ ‎（3）∵y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣，‎ ‎∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；‎ ‎①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，‎ 解得，（不合题意，舍去）或；‎ ‎②当a＜2＜b时，此时二次函数y=x2﹣x﹣的最小值是﹣=a，根据“闭函数”的定义知，b=a2﹣a﹣、b=b2﹣b﹣；‎ a）当b=a2﹣a﹣时，由于b=（﹣）2﹣×（﹣）﹣=＜2，不合题意，舍去；‎ b）当b=b2﹣b﹣时，解得b=，‎ 由于b＞2，‎ 所以b=；‎ ‎③当a≥0时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，‎ 解得，，‎ ‎∵＜0，‎ ‎∴舍去．‎ 综上所述，或．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2013•长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．‎ ‎（1）求∠OAB的度数；‎ ‎（2）求证：△AOF∽△BEO；‎ ‎（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 一次函数综合题 分析：‎ ‎（1）当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论；‎ ‎（2）根据平行线的性质可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；‎ ‎（3）先根据E、F的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），‎ 当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．‎ ‎∵∠AOB=90°‎ ‎∴∠OAB=45°；‎ ‎（2）∵四边形OAPN是矩形，‎ ‎∴PM∥ON，NP∥OM，‎ ‎∴，，‎ ‎∴BE=OM，AF=ON，‎ ‎∴BE•AF=OM•ON=2OM•ON．‎ ‎∵矩形PMON的面积为2，‎ ‎∴OM•ON=2‎ ‎∴BE•AF=4．‎ ‎∵OA=OB=2，‎ ‎∴OA•OB=4，‎ ‎∴BE•AF=OA•OB，‎ 即．‎ ‎∵∠OAF=∠EBO=45°，‎ ‎∴△AOF∽△BEO；‎ ‎（3）∵四边形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，‎ ‎∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．‎ ‎∵E点的横坐标为a，E（a，2﹣a），‎ ‎∴AM=EM=2﹣a，‎ ‎∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8．‎ ‎∵F的纵坐标为b，F（2﹣b，b）‎ ‎∴BN=FN=2﹣b，‎ ‎∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8．‎ ‎∴PF=PE=a+b﹣2，‎ ‎∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8．‎ ‎∵ab=2，‎ ‎∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16‎ ‎∴EF2=AE2+BF2．‎ ‎∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为 S1=EF2=•2（a+b﹣2）2=（a+b﹣2）2．‎ ‎∵S梯形OMPF=（PF+ON）•PM，S△PEF=PF•PE，S△OME=OM•EM，‎ ‎∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME，‎ ‎=（PF+ON）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM，‎ ‎=[PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]，‎ ‎=（PF•EM+OM•PE），‎ ‎=PE（EM+OM），‎ ‎=（a+b﹣2）（2﹣a+a），‎ ‎=a+b﹣2．‎ ‎∴S1+S2=（a+b﹣2）2+a+b﹣2．‎ 设m=a+b﹣2，则S1+S2=m2+m=（m+）2﹣，‎ ‎∵面积不可能为负数，‎ ‎∴当m＞﹣时，S1+S2随m的增大而增大．‎ 当m最小时，S1+S2最小．‎ ‎∵m=a+b﹣2=a+﹣2=（﹣）2+2﹣2，‎ ‎∴当=，即a=b=时，m最小，最小值为2﹣2‎ ‎∴S1+S2的最小值=（2﹣2）2+2﹣2，‎ ‎=2（3﹣2）π+2﹣2．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，梯形的面积公式的运用，圆的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用二次函数的顶点式的运用，在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点．‎