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  • 2021-11-11 发布

2020年浙江省台州市中考数学试卷【含答案及详细解释】

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1 / 13 2020 年浙江省台州市中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的 正确选项,不选、多选、错选,均不给分) 1. 计算1 − 3的结果是( ) A.2 B.−2 C.4 D.−4 2. 用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形,则该立体图形的主视图是( ) A. B. C. D. 3. 计算2푎2 ⋅ 3푎4的结果是( ) A.5푎6 B.5푎8 C.6푎6 D.6푎8 4. 无理数√10在( ) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 5. 在一次数学测试中,小明成绩72分,超过班级半数同学的成绩,分折得出这个结 论所用的统计量是( ) A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差 6. 如图,把△ 퐴퐵퐶先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到△ 퐷퐸퐹,则顶点 퐶(0, −1)对应点的坐标为( ) A.(0,  0) B.(1,  2) C.(1,  3) D.(3,  1) 7. 如图,已知线段퐴퐵,分别以퐴,퐵为圆心,大于1 2 퐴퐵同样长为半径画弧,两弧交 于点퐶,퐷,连接퐴퐶,퐴퐷,퐵퐶,퐵퐷,퐶퐷,则下列说法错误的是( ) A.퐴퐵平分∠퐶퐴퐷 B.퐶퐷平分∠퐴퐶퐵 C.퐴퐵 ⊥ 퐶퐷 D.퐴퐵=퐶퐷 8. 下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③ 它是一个矩形.下列推理过程正确的是( ) A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③ C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出② 9. 如图1,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过 程中,小球的运动速度푣(单位:푚/푠)与运动时间푡(单位:푠)的函数图象如图2, 则该小球的运动路程푦(单位:푚)与运动时间푡(单位:푠)之间的函数图象大致是 ( ) 2 / 13 A. B. C. D. 10. 把一张宽为1푐푚的长方形纸片퐴퐵퐶퐷折叠成如图所示的阴影图案,顶点퐴,퐷互相 重合,中间空白部分是以퐸为直角顶点,腰长为2푐푚的等腰直角三角形,则纸片的长 퐴퐷(单位:푐푚)为( ) A.7 + 3√2 B.7 + 4√2 C.8 + 3√2 D.8 + 4√2 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11. 因式分解:푥2 − 9=________. 12. 计算1 푥 − 1 3푥 的结果是________. 13. 如图,等边三角形纸片퐴퐵퐶的边长为6,퐸,퐹是边퐵퐶上的三等分点.分别过点퐸, 퐹沿着平行于퐵퐴,퐶퐴方向各剪一刀,则剪下的△ 퐷퐸퐹的周长是________. 14. 甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中(每次训练投8个),各次训练成绩(投 中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为푠甲 2 与푆乙 2 ,则푠甲 2 < 푆乙 2 .(填 “>”、“=”、“<“中的一个) 15. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,퐷是边퐵퐶上的一点,以퐴퐷为直径的⊙ 푂交퐴퐶于点퐸,连接 퐷퐸.若⊙ 푂与퐵퐶相切,∠퐴퐷퐸=55∘,则∠퐶的度数为________. 16. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,每块大正 方形地砖面积为푎,小正方形地砖面积为푏,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正 方形퐴퐵퐶퐷.则正方形퐴퐵퐶퐷的面积为________.(用含푎,푏的代数式表示) 3 / 13 三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22,23 题每 题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分) 17. 计算:| − 3| + √8 − √2. 18. 解方程组:{ 푥 − 푦 = 1 3푥 + 푦 = 7 . 19. 人字折叠梯完全打开后如图1所示,퐵,퐶是折叠梯的两个着地点,퐷是折叠梯最 高级踏板的固定点.图2是它的示意图,퐴퐵=퐴퐶,퐵퐷=140푐푚,∠퐵퐴퐶=40∘,求点퐷 离地面的高度퐷퐸.(结果精确到0.1푐푚;参考数据sin70∘ ≈ 0.94,cos70∘ ≈ 0.34, sin20∘ ≈ 0.34,cos20∘ ≈ 0.94) 4 / 13 20. 小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难度 相当.当训练次数不超过15次时,完成一次训练所需要的时间푦(单位:秒)与训练 次数푥(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为 400秒. (1)求푦与푥之间的函数关系式; (2)当푥的值为6,8,10时,对应的函数值分别为푦1,푦2,푦3,比较(푦1 − 푦2)与 (푦2 − 푦3)的大小:푦1 − 푦2 > 푦2 − 푦3. 21. 如图,已知퐴퐵=퐴퐶,퐴퐷=퐴퐸,퐵퐷和퐶퐸相交于点푂. (1)求证:△ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸; (2)判断△ 퐵푂퐶的形状,并说明理由. 22. XXXXXXXXXX 期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学 生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各 随机抽取40人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端 值). 参与度 人数 0.2 ∼ 0.4 0.4 ∼ 0.6 0.6 ∼ 0.8 0.8 ∼ 1 5 / 13 方式 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 (1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由. (2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在0.8 及以上的概率是多少? (3)该校共有800名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1: 3,估计参与度 在0.4以下的共有多少人? 23. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,将△ 퐴퐵퐶沿直线퐴퐵翻折得到△ 퐴퐵퐷,连接퐶퐷 交퐴퐵于点푀.퐸是线段퐶푀上的点,连接퐵퐸.퐹是△ 퐵퐷퐸的外接圆与퐴퐷的另一个交点, 连接퐸퐹,퐵퐹. (1)求证:△ 퐵퐸퐹是直角三角形; (2)求证:△ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴; (3)当퐴퐵=6,퐵퐶=푚时,在线段퐶푀上存在点퐸,使得퐸퐹和퐴퐵互相平分,求푚的值. 6 / 13 24. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1). 科学原理:如图2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为퐻(单位:푐푚),如果 在离水面竖直距离为ℎ(单位:푐푚)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的 射程(水流落地点离小孔的水平距离)푠(单位:푐푚)与ℎ的关系为푠2=4ℎ(퐻 − ℎ). 应用思考:现用高度为20푐푚的圆柱体望料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连 注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距高ℎ푐푚处开一个小孔. (1)写出푠2与ℎ的关系式;并求出当ℎ为何值时,射程푠有最大值,最大射程是多少? (2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为푎,푏,要使两孔射出 水的射程相同,求푎,푏之间的关系式; (3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16푐푚,求整高的高度及小 孔离水面的竖直距离. 7 / 13 参考答案与试题解析 2020 年浙江省台州市中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的 正确选项,不选、多选、错选,均不给分) 1.【答案】 B 【解答】 1 − 3=1 + (−3)=−2. 2.【答案】 A 【解答】 根据主视图的意义可知,选项퐴符合题意, 3.【答案】 C 【解答】 2푎2 ⋅ 3푎4=6푎6. 4.【答案】 B 【解答】 ∵ 3 < √10 < 4, 5.【答案】 A 【解答】 班级数学成绩排列后,最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数, 半数同学的成绩位于中位数或中位数以下, 小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数, 6.【答案】 D 【解答】 ∵ 把△ 퐴퐵퐶先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到△ 퐷퐸퐹,顶点퐶(0, −1), ∴ 퐶(0 + 3, −1 + 2), 即퐶(3,  1), 7.【答案】 D 【解答】 由作图知퐴퐶=퐴퐷=퐵퐶=퐵퐷, ∴ 四边形퐴퐶퐵퐷是菱形, ∴ 퐴퐵平分∠퐶퐴퐷、퐶퐷平分∠퐴퐶퐵、퐴퐵 ⊥ 퐶퐷, 不能判断퐴퐵=퐶퐷, 8.【答案】 A 【解答】 对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形, 故①→②,①→③错误, 故选项퐵,퐶,퐷错误, 故选:퐴. 9.【答案】 C 【解答】 小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,运动的路程푦是푡的二次函数,图象是先缓后陡, 在右侧上升时,情形与左侧相反, 10.【答案】 8 / 13 D 【解答】 如图,过点푀作푀퐻 ⊥ 퐴′푅于퐻,过点푁作푁퐽 ⊥ 퐴′푊于퐽. 由题意△ 퐸푀푁是等腰直角三角形,퐸푀=퐸푁=2,푀푁=2√2, ∵ 四边形퐸푀퐻퐾是矩形, ∴ 퐸퐾=퐴′퐾=푀퐻=1,퐾퐻=퐸푀=2, ∵ △ 푅푀퐻是等腰直角三角形, ∴ 푅퐻=푀퐻=1,푅푀 = √2,同法可证푁푊 = √2, 由题意퐴푅=푅퐴′=퐴′푊=푊퐷=4, ∴ 퐴퐷=퐴푅 + 푅푀 + 푀푁 + 푁푊 + 퐷푊=4 + √2 + 2√2 + √2 + 4=8 + 4√2, 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.【答案】 (푥 + 3)(푥 − 3) 【解答】 原式=(푥 + 3)(푥 − 3), 12.【答案】 2 3푥 【解答】 1 푥 − 1 3푥 = 3 3푥 − 1 3푥 = 2 3푥 . 13.【答案】 6 【解答】 ∵ 等边三角形纸片퐴퐵퐶的边长为6,퐸,퐹是边퐵퐶上的三等分点, ∴ 퐸퐹=2, ∵ 퐷퐸 // 퐴퐵,퐷퐹 // 퐴퐶, ∴ △ 퐷퐸퐹是等边三角形, ∴ 剪下的△ 퐷퐸퐹的周长是2 × 3=6. 14.【答案】 < 【解答】 由折线统计图得乙同学的成绩波动较大, 所以푠甲 2 < 푆乙 2 . 15.【答案】 55∘ 【解答】 ∵ 퐴퐷为⊙ 푂的直径, ∴ ∠퐴퐸퐷=90∘, ∴ ∠퐴퐷퐸 + ∠퐷퐴퐸=90∘; ∵ ⊙ 푂与퐵퐶相切, ∴ ∠퐴퐷퐶=90∘, ∴ ∠퐶 + ∠퐷퐴퐸=90∘, ∴ ∠퐶=∠퐴퐷퐸, ∵ ∠퐴퐷퐸=55∘, ∴ ∠퐶=55∘. 16.【答案】 푎 + 푏 【解答】 如图,正方形퐴퐵퐶퐷是由4个直角三角形和一个小正方形组成,4个直角三角形的面积 9 / 13 和等于大正方形的面积푎.故正方形퐴퐵퐶퐷的面积=푎 + 푏. 三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22,23 题每 题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分) 17.【答案】 原式=3 + 2√2 − √2 =3 + √2. 【解答】 原式=3 + 2√2 − √2 =3 + √2. 18.【答案】 { 푥 − 푦 = 1 3푥 + 푦 = 7 , ①+②得:4푥=8, 解得:푥=2, 把푥=2代入①得:푦=1, 则该方程组的解为{푥 = 2 푦 = 1. 【解答】 { 푥 − 푦 = 1 3푥 + 푦 = 7 , ①+②得:4푥=8, 解得:푥=2, 把푥=2代入①得:푦=1, 则该方程组的解为{푥 = 2 푦 = 1. 19.【答案】 点퐷离地面的高度퐷퐸约为131.6푐푚 【解答】 过点퐴作퐴퐹 ⊥ 퐵퐶于点퐹,则퐴퐹 // 퐷퐸, ∴ ∠퐵퐷퐸=∠퐵퐴퐹, ∵ 퐴퐵=퐴퐶,∠퐵퐴퐶=40∘, ∴ ∠퐵퐷퐸=∠퐵퐴퐹=20∘, ∴ 퐷퐸=퐵퐷 ⋅ cos20∘ ≈ 140 × 0.94=131.6(푐푚). 20.【答案】 设푦与푥之间的函数关系式为:푦 = 푘 푥 , 把(3,  400)代入푦 = 푘 푥 得,400 = 푘 3 , 解得:푘=1200, ∴ 푦与푥之间的函数关系式为푦 = 1200 푥 ; 把푥=6,8,10分别代入푦 = 1200 푥 得,푦1 = 1200 6 = 200,푦2 = 1200 8 = 150,푦3 = 1200 10 = 120, ∵ 푦1 − 푦2=200 − 150=50,푦2 − 푦3=150 − 120=30, ∵ 50 > 30, 10 / 13 ∴ 푦1 − 푦2 > 푦2 − 푦3, 故答案为:>. 【解答】 设푦与푥之间的函数关系式为:푦 = 푘 푥 , 把(3,  400)代入푦 = 푘 푥 得,400 = 푘 3 , 解得:푘=1200, ∴ 푦与푥之间的函数关系式为푦 = 1200 푥 ; 把푥=6,8,10分别代入푦 = 1200 푥 得,푦1 = 1200 6 = 200,푦2 = 1200 8 = 150,푦3 = 1200 10 = 120, ∵ 푦1 − 푦2=200 − 150=50,푦2 − 푦3=150 − 120=30, ∵ 50 > 30, ∴ 푦1 − 푦2 > 푦2 − 푦3, 故答案为:>. 21.【答案】 ∵ 퐴퐵=퐴퐶,∠퐵퐴퐷=∠퐶퐴퐸,퐴퐷=퐴퐸, ∴ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸(푆퐴푆); △ 퐵푂퐶是等腰三角形, 理由如下: ∵ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸, ∴ ∠퐴퐵퐷=∠퐴퐶퐸, ∵ 퐴퐵=퐴퐶, ∴ ∠퐴퐵퐶=∠퐴퐶퐵, ∴ ∠퐴퐵퐶 − ∠퐴퐵퐷=∠퐴퐶퐵 − ∠퐴퐶퐸, ∴ ∠푂퐵퐶=∠푂퐶퐵, ∴ 퐵푂=퐶푂, ∴ △ 퐵푂퐶是等腰三角形. 【解答】 ∵ 퐴퐵=퐴퐶,∠퐵퐴퐷=∠퐶퐴퐸,퐴퐷=퐴퐸, ∴ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸(푆퐴푆); △ 퐵푂퐶是等腰三角形, 理由如下: ∵ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸, ∴ ∠퐴퐵퐷=∠퐴퐶퐸, ∵ 퐴퐵=퐴퐶, ∴ ∠퐴퐵퐶=∠퐴퐶퐵, ∴ ∠퐴퐵퐶 − ∠퐴퐵퐷=∠퐴퐶퐵 − ∠퐴퐶퐸, ∴ ∠푂퐵퐶=∠푂퐶퐵, ∴ 퐵푂=퐶푂, ∴ △ 퐵푂퐶是等腰三角形. 22.【答案】 “直播”教学方式学生的参与度更高: 理由:“直播”参与度在0.6以上的人数为28人,“录播”参与度在0.6以上的人数为 20人,参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数, 所以“直播”教学方式学生的参与度更高; 12 ÷ 40=0.3=30%, 答:估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%; “录播”总学生数为800 × 1 1+3 = 200(人),“直播”总学生数为800 × 3 1+3 = 600 (人), 所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为200 × 4 40 = 20(人), “直播”参与度在0.4以下的学生数为600 × 2 40 = 30(人), 11 / 13 所以参与度在0.4以下的学生共有20 + 30=50(人). 【解答】 “直播”教学方式学生的参与度更高: 理由:“直播”参与度在0.6以上的人数为28人,“录播”参与度在0.6以上的人数为 20人,参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数, 所以“直播”教学方式学生的参与度更高; 12 ÷ 40=0.3=30%, 答:估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%; “录播”总学生数为800 × 1 1+3 = 200(人),“直播”总学生数为800 × 3 1+3 = 600 (人), 所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为200 × 4 40 = 20(人), “直播”参与度在0.4以下的学生数为600 × 2 40 = 30(人), 所以参与度在0.4以下的学生共有20 + 30=50(人). 23.【答案】 证明:∵ ∠퐸퐹퐵=∠∠퐸퐷퐵,∠퐸퐵퐹=∠퐸퐷퐹, ∴ ∠퐸퐹퐵 + ∠퐸퐵퐹=∠퐸퐷퐵 + ∠퐸퐷퐹=∠퐴퐷퐵=90∘, ∴ ∠퐵퐸퐹=90∘, ∴ △ 퐵퐸퐹是直角三角形. 证明:∵ 퐵퐶=퐵퐷, ∴ ∠퐵퐷퐶=∠퐵퐶퐷, ∵ ∠퐸퐹퐵=∠퐸퐷퐵, ∴ ∠퐸퐹퐵=∠퐵퐶퐷, ∵ 퐴퐶=퐴퐷,퐵퐶=퐵퐷, ∴ 퐴퐵 ⊥ 퐶퐷, ∴ ∠퐴푀퐶=90∘, ∵ ∠퐵퐶퐷 + ∠퐴퐶퐷=∠퐴퐶퐷 + ∠퐶퐴퐵=90∘, ∴ ∠퐵퐶퐷=∠퐶퐴퐵, ∴ ∠퐵퐹퐸=∠퐶퐴퐵, ∵ ∠퐴퐶퐵=∠퐹퐸퐵=90∘, ∴ △ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴. 设퐸퐹交퐴퐵于퐽.连接퐴퐸. ∵ 퐸퐹与퐴퐵互相平分, ∴ 四边形퐴퐹퐵퐸是平行四边形, ∴ ∠퐸퐹퐴=∠퐹퐸퐵=90∘,即퐸퐹 ⊥ 퐴퐷, ∵ 퐵퐷 ⊥ 퐴퐷, ∴ 퐸퐹 // 퐵퐷, ∵ 퐴퐽=퐽퐵, ∴ 퐴퐹=퐷퐹, ∴ 퐹퐽 = 1 2 퐵퐷 = 푚 2 , ∴ 퐸퐹=푚, ∵ △ 퐴퐵퐶 ∽△ 퐶퐵푀, ∴ 퐵퐶: 푀퐵=퐴퐵: 퐵퐶, ∴ 퐵푀 = 푚2 6 , ∵ △ 퐵퐸퐽 ∽△ 퐵푀퐸, ∴ 퐵퐸: 퐵푀=퐵퐽: 퐵퐸, ∴ 퐵퐸 = 푚 √2 , ∵ △ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴, ∴ 퐴퐶 퐸퐹 = 퐵퐶 퐵퐸 , 即√36−푚2 푚 = 푚 푚 √2 , 解得푚=2√3(负根已经舍弃). 12 / 13 【解答】 证明:∵ ∠퐸퐹퐵=∠∠퐸퐷퐵,∠퐸퐵퐹=∠퐸퐷퐹, ∴ ∠퐸퐹퐵 + ∠퐸퐵퐹=∠퐸퐷퐵 + ∠퐸퐷퐹=∠퐴퐷퐵=90∘, ∴ ∠퐵퐸퐹=90∘, ∴ △ 퐵퐸퐹是直角三角形. 证明:∵ 퐵퐶=퐵퐷, ∴ ∠퐵퐷퐶=∠퐵퐶퐷, ∵ ∠퐸퐹퐵=∠퐸퐷퐵, ∴ ∠퐸퐹퐵=∠퐵퐶퐷, ∵ 퐴퐶=퐴퐷,퐵퐶=퐵퐷, ∴ 퐴퐵 ⊥ 퐶퐷, ∴ ∠퐴푀퐶=90∘, ∵ ∠퐵퐶퐷 + ∠퐴퐶퐷=∠퐴퐶퐷 + ∠퐶퐴퐵=90∘, ∴ ∠퐵퐶퐷=∠퐶퐴퐵, ∴ ∠퐵퐹퐸=∠퐶퐴퐵, ∵ ∠퐴퐶퐵=∠퐹퐸퐵=90∘, ∴ △ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴. 设퐸퐹交퐴퐵于퐽.连接퐴퐸. ∵ 퐸퐹与퐴퐵互相平分, ∴ 四边形퐴퐹퐵퐸是平行四边形, ∴ ∠퐸퐹퐴=∠퐹퐸퐵=90∘,即퐸퐹 ⊥ 퐴퐷, ∵ 퐵퐷 ⊥ 퐴퐷, ∴ 퐸퐹 // 퐵퐷, ∵ 퐴퐽=퐽퐵, ∴ 퐴퐹=퐷퐹, ∴ 퐹퐽 = 1 2 퐵퐷 = 푚 2 , ∴ 퐸퐹=푚, ∵ △ 퐴퐵퐶 ∽△ 퐶퐵푀, ∴ 퐵퐶: 푀퐵=퐴퐵: 퐵퐶, ∴ 퐵푀 = 푚2 6 , ∵ △ 퐵퐸퐽 ∽△ 퐵푀퐸, ∴ 퐵퐸: 퐵푀=퐵퐽: 퐵퐸, ∴ 퐵퐸 = 푚 √2 , ∵ △ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴, ∴ 퐴퐶 퐸퐹 = 퐵퐶 퐵퐸 , 即√36−푚2 푚 = 푚 푚 √2 , 解得푚=2√3(负根已经舍弃). 13 / 13 24.【答案】 ∵ 푠2=4ℎ(퐻 − ℎ), ∴ 当퐻=20时,푠2=4ℎ(20 − ℎ)=−4(ℎ − 10)2 + 400, ∴ 当ℎ=10时,푠2有最大值400, ∴ 当ℎ=10时,푠有最大值20푐푚. ∴ 当ℎ为何值时,射程푠有最大值,最大射程是20푐푚; ∵ 푠2=4ℎ(20 − ℎ), 设存在푎,푏,使两孔射出水的射程相同,则有: 4푎(20 − 푎)=4푏(20 − 푏), ∴ 20푎 − 푎2=20푏 − 푏2, ∴ 푎2 − 푏2=20푎 − 20푏, ∴ (푎 + 푏)(푎 − 푏)=20(푎 − 푏), ∴ (푎 − 푏)(푎 + 푏 − 20)=0, ∴ 푎 − 푏=0,或푎 + 푏 − 20=0, ∴ 푎=푏或푎 + 푏=20; 设垫高的高度为푚,则푠2=4ℎ(20 + 푚 − ℎ)=−4(ℎ − 20+푚 2 )2 + (20 + 푚)2, ∴ 当ℎ = 20+푚 2 时,푠max=20 + 푚=20 + 16, ∴ 푚=16,此时ℎ = 20+푚 2 = 18. ∴ 垫高的高度为16푐푚,小孔离水面的竖直距离为18푐푚. 【解答】 ∵ 푠2=4ℎ(퐻 − ℎ), ∴ 当퐻=20时,푠2=4ℎ(20 − ℎ)=−4(ℎ − 10)2 + 400, ∴ 当ℎ=10时,푠2有最大值400, ∴ 当ℎ=10时,푠有最大值20푐푚. ∴ 当ℎ为何值时,射程푠有最大值,最大射程是20푐푚; ∵ 푠2=4ℎ(20 − ℎ), 设存在푎,푏,使两孔射出水的射程相同,则有: 4푎(20 − 푎)=4푏(20 − 푏), ∴ 20푎 − 푎2=20푏 − 푏2, ∴ 푎2 − 푏2=20푎 − 20푏, ∴ (푎 + 푏)(푎 − 푏)=20(푎 − 푏), ∴ (푎 − 푏)(푎 + 푏 − 20)=0, ∴ 푎 − 푏=0,或푎 + 푏 − 20=0, ∴ 푎=푏或푎 + 푏=20; 设垫高的高度为푚,则푠2=4ℎ(20 + 푚 − ℎ)=−4(ℎ − 20+푚 2 )2 + (20 + 푚)2, ∴ 当ℎ = 20+푚 2 时,푠max=20 + 푚=20 + 16, ∴ 푚=16,此时ℎ = 20+푚 2 = 18. ∴ 垫高的高度为16푐푚,小孔离水面的竖直距离为18푐푚.