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- 2021-11-11 发布
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2020 年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的
正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1. 计算1 − 3的结果是( )
A.2 B.−2 C.4 D.−4
2. 用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形,则该立体图形的主视图是( )
A. B. C. D.
3. 计算2푎2 ⋅ 3푎4的结果是( )
A.5푎6 B.5푎8 C.6푎6 D.6푎8
4. 无理数√10在( )
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
5. 在一次数学测试中,小明成绩72分,超过班级半数同学的成绩,分折得出这个结
论所用的统计量是( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
6. 如图,把△ 퐴퐵퐶先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到△ 퐷퐸퐹,则顶点
퐶(0, −1)对应点的坐标为( )
A.(0, 0) B.(1, 2) C.(1, 3) D.(3, 1)
7. 如图,已知线段퐴퐵,分别以퐴,퐵为圆心,大于1
2 퐴퐵同样长为半径画弧,两弧交
于点퐶,퐷,连接퐴퐶,퐴퐷,퐵퐶,퐵퐷,퐶퐷,则下列说法错误的是( )
A.퐴퐵平分∠퐶퐴퐷 B.퐶퐷平分∠퐴퐶퐵 C.퐴퐵 ⊥ 퐶퐷 D.퐴퐵=퐶퐷
8. 下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③
它是一个矩形.下列推理过程正确的是( )
A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出②
9. 如图1,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过
程中,小球的运动速度푣(单位:푚/푠)与运动时间푡(单位:푠)的函数图象如图2,
则该小球的运动路程푦(单位:푚)与运动时间푡(单位:푠)之间的函数图象大致是
( )
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A. B.
C. D.
10. 把一张宽为1푐푚的长方形纸片퐴퐵퐶퐷折叠成如图所示的阴影图案,顶点퐴,퐷互相
重合,中间空白部分是以퐸为直角顶点,腰长为2푐푚的等腰直角三角形,则纸片的长
퐴퐷(单位:푐푚)为( )
A.7 + 3√2 B.7 + 4√2 C.8 + 3√2 D.8 + 4√2
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
11. 因式分解:푥2 − 9=________.
12. 计算1
푥 − 1
3푥
的结果是________.
13. 如图,等边三角形纸片퐴퐵퐶的边长为6,퐸,퐹是边퐵퐶上的三等分点.分别过点퐸,
퐹沿着平行于퐵퐴,퐶퐴方向各剪一刀,则剪下的△ 퐷퐸퐹的周长是________.
14. 甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中(每次训练投8个),各次训练成绩(投
中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为푠甲
2 与푆乙
2 ,则푠甲
2 < 푆乙
2 .(填
“>”、“=”、“<“中的一个)
15. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,퐷是边퐵퐶上的一点,以퐴퐷为直径的⊙ 푂交퐴퐶于点퐸,连接
퐷퐸.若⊙ 푂与퐵퐶相切,∠퐴퐷퐸=55∘,则∠퐶的度数为________.
16. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,每块大正
方形地砖面积为푎,小正方形地砖面积为푏,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正
方形퐴퐵퐶퐷.则正方形퐴퐵퐶퐷的面积为________.(用含푎,푏的代数式表示)
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三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22,23 题每
题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分)
17. 计算:| − 3| + √8 − √2.
18. 解方程组:{ 푥 − 푦 = 1
3푥 + 푦 = 7 .
19. 人字折叠梯完全打开后如图1所示,퐵,퐶是折叠梯的两个着地点,퐷是折叠梯最
高级踏板的固定点.图2是它的示意图,퐴퐵=퐴퐶,퐵퐷=140푐푚,∠퐵퐴퐶=40∘,求点퐷
离地面的高度퐷퐸.(结果精确到0.1푐푚;参考数据sin70∘ ≈ 0.94,cos70∘ ≈ 0.34,
sin20∘ ≈ 0.34,cos20∘ ≈ 0.94)
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20. 小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难度
相当.当训练次数不超过15次时,完成一次训练所需要的时间푦(单位:秒)与训练
次数푥(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为
400秒.
(1)求푦与푥之间的函数关系式;
(2)当푥的值为6,8,10时,对应的函数值分别为푦1,푦2,푦3,比较(푦1 − 푦2)与
(푦2 − 푦3)的大小:푦1 − 푦2 > 푦2 − 푦3.
21. 如图,已知퐴퐵=퐴퐶,퐴퐷=퐴퐸,퐵퐷和퐶퐸相交于点푂.
(1)求证:△ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸;
(2)判断△ 퐵푂퐶的形状,并说明理由.
22. XXXXXXXXXX 期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学
生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各
随机抽取40人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端
值).
参与度
人数
0.2 ∼ 0.4 0.4 ∼ 0.6 0.6 ∼ 0.8 0.8 ∼ 1
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方式
录播 4 16 12 8
直播 2 10 16 12
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由.
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在0.8
及以上的概率是多少?
(3)该校共有800名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1: 3,估计参与度
在0.4以下的共有多少人?
23. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,将△ 퐴퐵퐶沿直线퐴퐵翻折得到△ 퐴퐵퐷,连接퐶퐷
交퐴퐵于点푀.퐸是线段퐶푀上的点,连接퐵퐸.퐹是△ 퐵퐷퐸的外接圆与퐴퐷的另一个交点,
连接퐸퐹,퐵퐹.
(1)求证:△ 퐵퐸퐹是直角三角形;
(2)求证:△ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴;
(3)当퐴퐵=6,퐵퐶=푚时,在线段퐶푀上存在点퐸,使得퐸퐹和퐴퐵互相平分,求푚的值.
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24. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1).
科学原理:如图2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为퐻(单位:푐푚),如果
在离水面竖直距离为ℎ(单位:푐푚)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的
射程(水流落地点离小孔的水平距离)푠(单位:푐푚)与ℎ的关系为푠2=4ℎ(퐻 − ℎ).
应用思考:现用高度为20푐푚的圆柱体望料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连
注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距高ℎ푐푚处开一个小孔.
(1)写出푠2与ℎ的关系式;并求出当ℎ为何值时,射程푠有最大值,最大射程是多少?
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为푎,푏,要使两孔射出
水的射程相同,求푎,푏之间的关系式;
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16푐푚,求整高的高度及小
孔离水面的竖直距离.
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参考答案与试题解析
2020 年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的
正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.【答案】
B
【解答】
1 − 3=1 + (−3)=−2.
2.【答案】
A
【解答】
根据主视图的意义可知,选项퐴符合题意,
3.【答案】
C
【解答】
2푎2 ⋅ 3푎4=6푎6.
4.【答案】
B
【解答】
∵ 3 < √10 < 4,
5.【答案】
A
【解答】
班级数学成绩排列后,最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数,
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下,
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数,
6.【答案】
D
【解答】
∵ 把△ 퐴퐵퐶先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到△ 퐷퐸퐹,顶点퐶(0, −1),
∴ 퐶(0 + 3, −1 + 2),
即퐶(3, 1),
7.【答案】
D
【解答】
由作图知퐴퐶=퐴퐷=퐵퐶=퐵퐷,
∴ 四边形퐴퐶퐵퐷是菱形,
∴ 퐴퐵平分∠퐶퐴퐷、퐶퐷平分∠퐴퐶퐵、퐴퐵 ⊥ 퐶퐷,
不能判断퐴퐵=퐶퐷,
8.【答案】
A
【解答】
对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形,
故①→②,①→③错误,
故选项퐵,퐶,퐷错误,
故选:퐴.
9.【答案】
C
【解答】
小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,运动的路程푦是푡的二次函数,图象是先缓后陡,
在右侧上升时,情形与左侧相反,
10.【答案】
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D
【解答】
如图,过点푀作푀퐻 ⊥ 퐴′푅于퐻,过点푁作푁퐽 ⊥ 퐴′푊于퐽.
由题意△ 퐸푀푁是等腰直角三角形,퐸푀=퐸푁=2,푀푁=2√2,
∵ 四边形퐸푀퐻퐾是矩形,
∴ 퐸퐾=퐴′퐾=푀퐻=1,퐾퐻=퐸푀=2,
∵ △ 푅푀퐻是等腰直角三角形,
∴ 푅퐻=푀퐻=1,푅푀 = √2,同法可证푁푊 = √2,
由题意퐴푅=푅퐴′=퐴′푊=푊퐷=4,
∴ 퐴퐷=퐴푅 + 푅푀 + 푀푁 + 푁푊 + 퐷푊=4 + √2 + 2√2 + √2 + 4=8 + 4√2,
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
11.【答案】
(푥 + 3)(푥 − 3)
【解答】
原式=(푥 + 3)(푥 − 3),
12.【答案】
2
3푥
【解答】
1
푥 − 1
3푥 = 3
3푥 − 1
3푥 = 2
3푥
.
13.【答案】
6
【解答】
∵ 等边三角形纸片퐴퐵퐶的边长为6,퐸,퐹是边퐵퐶上的三等分点,
∴ 퐸퐹=2,
∵ 퐷퐸 // 퐴퐵,퐷퐹 // 퐴퐶,
∴ △ 퐷퐸퐹是等边三角形,
∴ 剪下的△ 퐷퐸퐹的周长是2 × 3=6.
14.【答案】
<
【解答】
由折线统计图得乙同学的成绩波动较大,
所以푠甲
2 < 푆乙
2 .
15.【答案】
55∘
【解答】
∵ 퐴퐷为⊙ 푂的直径,
∴ ∠퐴퐸퐷=90∘,
∴ ∠퐴퐷퐸 + ∠퐷퐴퐸=90∘;
∵ ⊙ 푂与퐵퐶相切,
∴ ∠퐴퐷퐶=90∘,
∴ ∠퐶 + ∠퐷퐴퐸=90∘,
∴ ∠퐶=∠퐴퐷퐸,
∵ ∠퐴퐷퐸=55∘,
∴ ∠퐶=55∘.
16.【答案】
푎 + 푏
【解答】
如图,正方形퐴퐵퐶퐷是由4个直角三角形和一个小正方形组成,4个直角三角形的面积
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和等于大正方形的面积푎.故正方形퐴퐵퐶퐷的面积=푎 + 푏.
三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22,23 题每
题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分)
17.【答案】
原式=3 + 2√2 − √2
=3 + √2.
【解答】
原式=3 + 2√2 − √2
=3 + √2.
18.【答案】
{ 푥 − 푦 = 1
3푥 + 푦 = 7 ,
①+②得:4푥=8,
解得:푥=2,
把푥=2代入①得:푦=1,
则该方程组的解为{푥 = 2
푦 = 1.
【解答】
{ 푥 − 푦 = 1
3푥 + 푦 = 7 ,
①+②得:4푥=8,
解得:푥=2,
把푥=2代入①得:푦=1,
则该方程组的解为{푥 = 2
푦 = 1.
19.【答案】
点퐷离地面的高度퐷퐸约为131.6푐푚
【解答】
过点퐴作퐴퐹 ⊥ 퐵퐶于点퐹,则퐴퐹 // 퐷퐸,
∴ ∠퐵퐷퐸=∠퐵퐴퐹,
∵ 퐴퐵=퐴퐶,∠퐵퐴퐶=40∘,
∴ ∠퐵퐷퐸=∠퐵퐴퐹=20∘,
∴ 퐷퐸=퐵퐷 ⋅ cos20∘ ≈ 140 × 0.94=131.6(푐푚).
20.【答案】
设푦与푥之间的函数关系式为:푦 = 푘
푥
,
把(3, 400)代入푦 = 푘
푥
得,400 = 푘
3
,
解得:푘=1200,
∴ 푦与푥之间的函数关系式为푦 = 1200
푥
;
把푥=6,8,10分别代入푦 = 1200
푥
得,푦1 = 1200
6 = 200,푦2 = 1200
8 = 150,푦3 = 1200
10 =
120,
∵ 푦1 − 푦2=200 − 150=50,푦2 − 푦3=150 − 120=30,
∵ 50 > 30,
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∴ 푦1 − 푦2 > 푦2 − 푦3,
故答案为:>.
【解答】
设푦与푥之间的函数关系式为:푦 = 푘
푥
,
把(3, 400)代入푦 = 푘
푥
得,400 = 푘
3
,
解得:푘=1200,
∴ 푦与푥之间的函数关系式为푦 = 1200
푥
;
把푥=6,8,10分别代入푦 = 1200
푥
得,푦1 = 1200
6 = 200,푦2 = 1200
8 = 150,푦3 = 1200
10 =
120,
∵ 푦1 − 푦2=200 − 150=50,푦2 − 푦3=150 − 120=30,
∵ 50 > 30,
∴ 푦1 − 푦2 > 푦2 − 푦3,
故答案为:>.
21.【答案】
∵ 퐴퐵=퐴퐶,∠퐵퐴퐷=∠퐶퐴퐸,퐴퐷=퐴퐸,
∴ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸(푆퐴푆);
△ 퐵푂퐶是等腰三角形,
理由如下:
∵ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸,
∴ ∠퐴퐵퐷=∠퐴퐶퐸,
∵ 퐴퐵=퐴퐶,
∴ ∠퐴퐵퐶=∠퐴퐶퐵,
∴ ∠퐴퐵퐶 − ∠퐴퐵퐷=∠퐴퐶퐵 − ∠퐴퐶퐸,
∴ ∠푂퐵퐶=∠푂퐶퐵,
∴ 퐵푂=퐶푂,
∴ △ 퐵푂퐶是等腰三角形.
【解答】
∵ 퐴퐵=퐴퐶,∠퐵퐴퐷=∠퐶퐴퐸,퐴퐷=퐴퐸,
∴ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸(푆퐴푆);
△ 퐵푂퐶是等腰三角形,
理由如下:
∵ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸,
∴ ∠퐴퐵퐷=∠퐴퐶퐸,
∵ 퐴퐵=퐴퐶,
∴ ∠퐴퐵퐶=∠퐴퐶퐵,
∴ ∠퐴퐵퐶 − ∠퐴퐵퐷=∠퐴퐶퐵 − ∠퐴퐶퐸,
∴ ∠푂퐵퐶=∠푂퐶퐵,
∴ 퐵푂=퐶푂,
∴ △ 퐵푂퐶是等腰三角形.
22.【答案】
“直播”教学方式学生的参与度更高:
理由:“直播”参与度在0.6以上的人数为28人,“录播”参与度在0.6以上的人数为
20人,参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数,
所以“直播”教学方式学生的参与度更高;
12 ÷ 40=0.3=30%,
答:估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%;
“录播”总学生数为800 × 1
1+3 = 200(人),“直播”总学生数为800 × 3
1+3 = 600
(人),
所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为200 × 4
40 = 20(人),
“直播”参与度在0.4以下的学生数为600 × 2
40 = 30(人),
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所以参与度在0.4以下的学生共有20 + 30=50(人).
【解答】
“直播”教学方式学生的参与度更高:
理由:“直播”参与度在0.6以上的人数为28人,“录播”参与度在0.6以上的人数为
20人,参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数,
所以“直播”教学方式学生的参与度更高;
12 ÷ 40=0.3=30%,
答:估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%;
“录播”总学生数为800 × 1
1+3 = 200(人),“直播”总学生数为800 × 3
1+3 = 600
(人),
所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为200 × 4
40 = 20(人),
“直播”参与度在0.4以下的学生数为600 × 2
40 = 30(人),
所以参与度在0.4以下的学生共有20 + 30=50(人).
23.【答案】
证明:∵ ∠퐸퐹퐵=∠∠퐸퐷퐵,∠퐸퐵퐹=∠퐸퐷퐹,
∴ ∠퐸퐹퐵 + ∠퐸퐵퐹=∠퐸퐷퐵 + ∠퐸퐷퐹=∠퐴퐷퐵=90∘,
∴ ∠퐵퐸퐹=90∘,
∴ △ 퐵퐸퐹是直角三角形.
证明:∵ 퐵퐶=퐵퐷,
∴ ∠퐵퐷퐶=∠퐵퐶퐷,
∵ ∠퐸퐹퐵=∠퐸퐷퐵,
∴ ∠퐸퐹퐵=∠퐵퐶퐷,
∵ 퐴퐶=퐴퐷,퐵퐶=퐵퐷,
∴ 퐴퐵 ⊥ 퐶퐷,
∴ ∠퐴푀퐶=90∘,
∵ ∠퐵퐶퐷 + ∠퐴퐶퐷=∠퐴퐶퐷 + ∠퐶퐴퐵=90∘,
∴ ∠퐵퐶퐷=∠퐶퐴퐵,
∴ ∠퐵퐹퐸=∠퐶퐴퐵,
∵ ∠퐴퐶퐵=∠퐹퐸퐵=90∘,
∴ △ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴.
设퐸퐹交퐴퐵于퐽.连接퐴퐸.
∵ 퐸퐹与퐴퐵互相平分,
∴ 四边形퐴퐹퐵퐸是平行四边形,
∴ ∠퐸퐹퐴=∠퐹퐸퐵=90∘,即퐸퐹 ⊥ 퐴퐷,
∵ 퐵퐷 ⊥ 퐴퐷,
∴ 퐸퐹 // 퐵퐷,
∵ 퐴퐽=퐽퐵,
∴ 퐴퐹=퐷퐹,
∴ 퐹퐽 = 1
2 퐵퐷 = 푚
2
,
∴ 퐸퐹=푚,
∵ △ 퐴퐵퐶 ∽△ 퐶퐵푀,
∴ 퐵퐶: 푀퐵=퐴퐵: 퐵퐶,
∴ 퐵푀 = 푚2
6
,
∵ △ 퐵퐸퐽 ∽△ 퐵푀퐸,
∴ 퐵퐸: 퐵푀=퐵퐽: 퐵퐸,
∴ 퐵퐸 = 푚
√2
,
∵ △ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴,
∴ 퐴퐶
퐸퐹 = 퐵퐶
퐵퐸
,
即√36−푚2
푚 = 푚
푚
√2
,
解得푚=2√3(负根已经舍弃).
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【解答】
证明:∵ ∠퐸퐹퐵=∠∠퐸퐷퐵,∠퐸퐵퐹=∠퐸퐷퐹,
∴ ∠퐸퐹퐵 + ∠퐸퐵퐹=∠퐸퐷퐵 + ∠퐸퐷퐹=∠퐴퐷퐵=90∘,
∴ ∠퐵퐸퐹=90∘,
∴ △ 퐵퐸퐹是直角三角形.
证明:∵ 퐵퐶=퐵퐷,
∴ ∠퐵퐷퐶=∠퐵퐶퐷,
∵ ∠퐸퐹퐵=∠퐸퐷퐵,
∴ ∠퐸퐹퐵=∠퐵퐶퐷,
∵ 퐴퐶=퐴퐷,퐵퐶=퐵퐷,
∴ 퐴퐵 ⊥ 퐶퐷,
∴ ∠퐴푀퐶=90∘,
∵ ∠퐵퐶퐷 + ∠퐴퐶퐷=∠퐴퐶퐷 + ∠퐶퐴퐵=90∘,
∴ ∠퐵퐶퐷=∠퐶퐴퐵,
∴ ∠퐵퐹퐸=∠퐶퐴퐵,
∵ ∠퐴퐶퐵=∠퐹퐸퐵=90∘,
∴ △ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴.
设퐸퐹交퐴퐵于퐽.连接퐴퐸.
∵ 퐸퐹与퐴퐵互相平分,
∴ 四边形퐴퐹퐵퐸是平行四边形,
∴ ∠퐸퐹퐴=∠퐹퐸퐵=90∘,即퐸퐹 ⊥ 퐴퐷,
∵ 퐵퐷 ⊥ 퐴퐷,
∴ 퐸퐹 // 퐵퐷,
∵ 퐴퐽=퐽퐵,
∴ 퐴퐹=퐷퐹,
∴ 퐹퐽 = 1
2 퐵퐷 = 푚
2
,
∴ 퐸퐹=푚,
∵ △ 퐴퐵퐶 ∽△ 퐶퐵푀,
∴ 퐵퐶: 푀퐵=퐴퐵: 퐵퐶,
∴ 퐵푀 = 푚2
6
,
∵ △ 퐵퐸퐽 ∽△ 퐵푀퐸,
∴ 퐵퐸: 퐵푀=퐵퐽: 퐵퐸,
∴ 퐵퐸 = 푚
√2
,
∵ △ 퐵퐸퐹 ∽△ 퐵퐶퐴,
∴ 퐴퐶
퐸퐹 = 퐵퐶
퐵퐸
,
即√36−푚2
푚 = 푚
푚
√2
,
解得푚=2√3(负根已经舍弃).
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24.【答案】
∵ 푠2=4ℎ(퐻 − ℎ),
∴ 当퐻=20时,푠2=4ℎ(20 − ℎ)=−4(ℎ − 10)2 + 400,
∴ 当ℎ=10时,푠2有最大值400,
∴ 当ℎ=10时,푠有最大值20푐푚.
∴ 当ℎ为何值时,射程푠有最大值,最大射程是20푐푚;
∵ 푠2=4ℎ(20 − ℎ),
设存在푎,푏,使两孔射出水的射程相同,则有:
4푎(20 − 푎)=4푏(20 − 푏),
∴ 20푎 − 푎2=20푏 − 푏2,
∴ 푎2 − 푏2=20푎 − 20푏,
∴ (푎 + 푏)(푎 − 푏)=20(푎 − 푏),
∴ (푎 − 푏)(푎 + 푏 − 20)=0,
∴ 푎 − 푏=0,或푎 + 푏 − 20=0,
∴ 푎=푏或푎 + 푏=20;
设垫高的高度为푚,则푠2=4ℎ(20 + 푚 − ℎ)=−4(ℎ − 20+푚
2 )2 + (20 + 푚)2,
∴ 当ℎ = 20+푚
2
时,푠max=20 + 푚=20 + 16,
∴ 푚=16,此时ℎ = 20+푚
2 = 18.
∴ 垫高的高度为16푐푚,小孔离水面的竖直距离为18푐푚.
【解答】
∵ 푠2=4ℎ(퐻 − ℎ),
∴ 当퐻=20时,푠2=4ℎ(20 − ℎ)=−4(ℎ − 10)2 + 400,
∴ 当ℎ=10时,푠2有最大值400,
∴ 当ℎ=10时,푠有最大值20푐푚.
∴ 当ℎ为何值时,射程푠有最大值,最大射程是20푐푚;
∵ 푠2=4ℎ(20 − ℎ),
设存在푎,푏,使两孔射出水的射程相同,则有:
4푎(20 − 푎)=4푏(20 − 푏),
∴ 20푎 − 푎2=20푏 − 푏2,
∴ 푎2 − 푏2=20푎 − 20푏,
∴ (푎 + 푏)(푎 − 푏)=20(푎 − 푏),
∴ (푎 − 푏)(푎 + 푏 − 20)=0,
∴ 푎 − 푏=0,或푎 + 푏 − 20=0,
∴ 푎=푏或푎 + 푏=20;
设垫高的高度为푚,则푠2=4ℎ(20 + 푚 − ℎ)=−4(ℎ − 20+푚
2 )2 + (20 + 푚)2,
∴ 当ℎ = 20+푚
2
时,푠max=20 + 푚=20 + 16,
∴ 푚=16,此时ℎ = 20+푚
2 = 18.
∴ 垫高的高度为16푐푚,小孔离水面的竖直距离为18푐푚.
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