2010年福建省泉州市中考数学试卷 16页

一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎1、（2010•泉州）10的相反数是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎10‎ B、‎‎﹣‎‎1‎‎10‎ ‎ C、﹣10 D、10‎ 考点：相反数。‎ 分析：根据相反数的定义作答．‎ 解答：解：10的相反数是﹣10．‎ 故选C．‎ 点评：主要考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．‎ ‎2、（2010•泉州）下列各式，正确的是（　　）‎ ‎ A、﹣2≥1 B、﹣3≥﹣2‎ ‎ C、‎3‎‎＞‎‎2‎ D、‎‎3‎‎≥2‎ 考点：实数大小比较。‎ 分析：根据以下法则即可求解：‎ ‎（1）负数小于正数；‎ ‎（2）‎3‎和2可把有理数化为带根号的形式进行比较；‎ ‎（3）两个负数，绝对值大的反而小．‎ 解答：解：A、﹣2≤1，负数应该小于正数，故选项A错误；‎ B、﹣3≤﹣2，两个负数，绝对值大的反而小，故选项B错误．‎ C、‎3‎‎＞‎‎2‎，底数是正数的同次根式，底数越大，根式的值越大，故选项C正确．‎ D、∵2=‎4‎，∴‎3‎＜2，故选项D错误．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了实数的大小比较，比较大小时注意：负数小于正数，一个无理数和一个有理数比较大小，可把有理数化为带根号的形式进行比较．‎ ‎3、（2010•泉州）9的平方根是（　　）‎ ‎ A、3 B、﹣3‎ ‎ C、±3 D、81‎ 考点：平方根。‎ 分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a是算术平方根，根据此定义解题即可解决问题．‎ 解答：解：∵（±3）2=9，‎ ‎∴9的平方根是±3．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．‎ ‎4、（2010•泉州）把不等式x≥﹣1的解集在数轴上表示出来，则正确的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：在数轴上表示不等式的解集。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．‎ 解答：解：x≥﹣1，数轴上的折线应该从﹣1出发向右折，且﹣1处是实心点．‎ 故选B．‎ 点评：不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．‎ ‎5、（2010•泉州）下面左图是由六个相同正方体堆成的物体的图形，则这一物体的正视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从正面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从正面看可得从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，故选A．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎6、（2010•泉州）新学年到了，爷爷带小红到商店买文具．从家中走了20分钟到一个离家900米的商店，在店里花了10分钟买文具后，用了15分钟回到家里．下面图形中表示爷爷和小红离家的距离y（米）与时间x（分）之间函数关系的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：函数的图象。‎ 分析：因为在店里花了10分钟买文具，应是一段平行与x轴的线段，D是10分钟，而A是20分钟．‎ 解答：解：根据题意，从20分钟到30分钟在店里买文具，离家距离没有变化，是一条平行于x轴的线段．‎ 故选D．‎ 点评：本题是常见的函数题，属于分段函数，前面是正比例函数，中间是平行于x轴的一条线段，后面是一次函数．‎ ‎7、（2010•泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（　　）‎ ‎ A、140° B、130°‎ ‎ C、110° D、70°‎ 考点：多边形内角与外角。‎ 分析：首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA'E的内角和，由折叠可知∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE，∠A=∠A'，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2．‎ 解答：解：∵四边形ADA'E的内角和为（4﹣2）•180°=360°，‎ 而由折叠可知∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE，∠A=∠A'，‎ ‎∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°﹣∠A﹣∠A'=360°﹣2×70°=220°，‎ ‎∴∠1+∠2=180°×2﹣（∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE）=140°．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．‎ 二、填空题（共12小题，满分50分）‎ ‎8、（2010•泉州）方程2x+8=0的解是x= ．‎ 考点：解一元一次方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先移项再系数化1即可．‎ 解答：解：2x+8=0‎ 移项得：2x=﹣8‎ 系数化1得：x=﹣4．‎ 故填﹣4．‎ 点评：本题考查解方程的知识，比较简单，注意细心运算．‎ ‎9、（2010•泉州）据了解，今年泉州市中考考生大约101 000人，将101 000用科学记数法表示为 ．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数，当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：101 000=1.01×105．‎ 点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．‎ ‎（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；‎ ‎（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．‎ ‎10、（2010•泉州）四边形的外角和等于 度．‎ 考点：多边形内角与外角。‎ 分析：根据多边形的内角和定理和邻补角的关系即可求出四边形的外角和．‎ 解答：解：∵四边形的内角和为（4﹣2）•180°=360°，‎ 而每一组内角和相邻的外角是一组邻补角，‎ ‎∴四边形的外角和等于4×180°﹣360°=360°．‎ 故填空答案：360．‎ 点评：此题主要考查了多边形的内角和定理和多边形的外角和．‎ ‎11、（2010•泉州）某小组5名同学的体重分别是（单位：千克）：40，43，45，46，46，则这组数据的中位数为 千克．‎ 考点：中位数。‎ 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．‎ 解答：解：由于此数据已经按照从小到大的顺序排列了，发现45处在第3位．所以这组数据的中位数是45（千克）．‎ 故填45．‎ 点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．‎ ‎12、（2010•泉州）如图，已知：直线AB∥CD，∠1=65°，则∠2= 度．‎ 考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同位角相等解答．‎ 解答：解：如图，∠3=∠1=65°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2=∠3=65°．‎ 点评：本题利用对顶角相等和平行线的性质．‎ ‎13、（2010•泉州）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠A=45°，则∠BOC= 度．‎ 考点：圆周角定理。‎ 分析：欲求∠BOC，又已知一同弧所对的圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．‎ 解答：解：∵∠BOC、∠A是同弧所对的圆心角和圆周角，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=90°．‎ 点评：此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．‎ ‎14、（2010•泉州）计算：‎1‎a+1‎‎+‎aa+1‎= ．‎ 考点：分式的加减法。‎ 专题：计算题。‎ 分析：这两个分式的分母相同，直接让分子相加即可．‎ 解答：解：原式=‎1+aa+1‎=1．‎ 点评：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．‎ ‎15、（2010•泉州）在一次函数y=2x+3中，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”），当0≤x≤5时，y的最小值为 ．‎ 考点：一次函数的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据函数的增减性确定y的最小值即可．‎ 解答：解：由题意得：∵一次函数y=2x+3中，k=2＞0，‎ ‎∴y随x的增大而增大，‎ ‎∵此函数为增函数，‎ ‎∴当0≤x≤5时，y的最小值为x=0时，y最小=3．‎ 点评：此题利用的规律：在直线y=kx+b中，‎ 当k＞0时，y随x的增大而增大；‎ 当k＜0时，y随x的增大而减小．‎ ‎16、（2010•泉州）现有四条钢线，长度分别为（单位：cm）7，6，3，2，从中取出三根连成一个三角形，这三根的长度可以为 ．（写出一种即可）．‎ 考点：三角形三边关系。‎ 分析：只要所取的三根钢条的长符合三角形三边关系定理即可．‎ 解答：解：答案不唯一：如7，6，3；‎ 验证：3+6＞7，能构成三角形，故此种取法符合题意．‎ 点评：考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．‎ ‎17、（2010•泉州）如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为2和1，则弦长AB= ；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．（结果保留根号）．‎ 考点：圆锥的计算；勾股定理；垂径定理。‎ 分析：利用垂径定理根据勾股定理即可求得弦AB的长；利用相应的三角函数可求得∠AOB的度数，进而可求优弧AB的长度，除以2π即为圆锥的底面半径．‎ 解答：解：连接OP，则OP⊥AB，AB=2AP，‎ ‎∴AB=2AP=2×‎2‎‎2‎‎﹣‎‎1‎‎2‎=2‎3‎，‎ ‎∴sin∠AOP=‎3‎‎2‎，‎ ‎∴∠AOP=60°，‎ ‎∴∠AOB=2∠AOP=120°，‎ ‎∴优弧AB的长为‎240π×2‎‎180‎=‎8‎‎3‎π，‎ ‎∴圆锥的底面半径为‎8‎‎3‎π÷2π=‎4‎‎3‎．‎ 点评：本题综合考查了垂径定理，勾股定理，相应的三角函数，圆锥的弧长等于底面周长等知识点．‎ ‎18、（2010•泉州）附加题：计算：2x﹣3x= ．‎ 考点：合并同类项。‎ 分析：字母不变，系数相减．‎ 解答：解：2x﹣3x==﹣x．‎ 点评：本题主要考查了合并同类项的法则．‎ ‎19、（2010•泉州）附加题：如图，在△ABC中，BC=2，则中位线DE= ．‎ 考点：三角形中位线定理。‎ 分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．‎ 解答：解：在△ABC中，‎ ‎∵BC=2，‎ ‎∴中位线DE=‎1‎‎2‎BC=1．‎ 点评：本题主要考查三角形的中位线定理，三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．‎ 三、解答题（共9小题，满分89分）‎ ‎20、（2010•泉州）计算：‎‎∣﹣3∣+（π﹣3‎）‎‎0‎﹣‎8‎÷‎2‎+4×‎‎2‎‎﹣1‎ 考点：实数的运算。‎ 分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、去绝对值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：解：原式=3+1﹣‎8‎‎2‎+‎4×‎‎1‎‎2‎（7分）‎ ‎=4﹣2+2（8分）‎ ‎=4 ．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎21、（2010•泉州）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x2（x﹣1），其中x=﹣2．‎ 考点：整式的混合运算—化简求值。‎ 分析：先利用平方差公式化简再代入计算．‎ 解答：解：原式=x2﹣1+x3﹣x2，‎ ‎=x3﹣1，‎ 当x=﹣2时，‎ 原式=（﹣2）3﹣1，‎ ‎=﹣8﹣1，‎ ‎=﹣9．‎ 点评：本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，先化简再代入计算运算更加简便．‎ ‎22、（2010•泉州）吴老师为了解本班学生的数学学习情况，对某次数学考试成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图．‎ 请你根据图表提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求频率分布表中a，b，c的值；并补全频数分布直方图；‎ ‎（2）如果用扇形统计图表示这次数学考试成绩时，那么成绩在69.5～79.5范围内的扇形圆心角的度数为多少度？‎ 考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）第三组的频数为10，频率为0.20，故总人数=10÷0.20=50人，则a=50×0.1，由频率之和为1计算c的值；‎ ‎（2）根据扇形的圆心角的度数=360°×比例计算．‎ 解答：解：（1）总人数b=10÷0.20=50，‎ a=50×0.1=5，‎ c=1﹣0.06﹣0.10﹣0.20﹣0.52=0.12；‎ ‎（2）成绩在69.5﹣79.5范围内的扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°．‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎23、（2010•泉州）如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△ABF；‎ ‎（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？‎ 考点：旋转的性质；直角三角形全等的判定；正方形的性质。‎ 专题：证明题；操作型。‎ 分析：（1）根据SAS定理，即可证明两三角形相似；‎ ‎（2）将△ADE顺时针旋转后与△ABF重合，A不变，因而旋转中心是A，∠DAB是旋转角，是90度．‎ 解答：（1）证明：在正方形ABCD中，‎ ‎∠D=∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABF=90°，‎ ‎∴∠D=∠ABF=90°，（3分）‎ 又DE=BF，AD=AB，（4分）‎ ‎∴△ADE≌△ABF．（5分）‎ ‎（2）解：将△ADE顺时针旋转90后与△ABF重合，（7分）‎ 旋转中心是点A．（9分）‎ 点评：本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及旋转的定义，正确理解旋转的定义是解决本题的关键．‎ ‎24、（2010•泉州）在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．‎ ‎（1）随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球的概率是多少？‎ ‎（2）随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：（1）让白球的个数除以球的总数即可；‎ ‎（2）2次实验，每次都是4种结果，列举出所有情况即可．‎ 解答：解：（1）摸出白球的概率是‎1‎‎2‎‎（或0.5）‎；‎ ‎（2）列举所有等可能的结果，画树状图：‎ ‎∴两次都摸出白球的概率为P（两白）=‎4‎‎16‎=‎1‎‎4‎．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．注意本题是放回实验．‎ ‎25、（2010•泉州）如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=‎5‎‎2‎，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7．求：AE的长及sin∠BCE的值．‎ 考点：解直角三角形；梯形。‎ 分析：（1）在Rt△DAE中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求AE；‎ ‎（2）在Rt△BCE中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sin∠BCE的值．‎ 解答：解：（1）如图，在Rt△DAE中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6．‎ ‎∵cos∠AED=‎AEDE，（2分）‎ ‎∴AE=DE×cos∠AED （3分）‎ ‎=6×cos45° （4分）‎ ‎=‎3‎‎2‎． （5分）‎ ‎（2）∵BE=AB﹣AE，（6分）‎ ‎∴BE=5‎2‎﹣3‎2‎=2‎‎2‎． （7分）‎ 在Rt△BCE中，EC=7，‎ sin∠BCE=‎BECE‎（8分）‎ ‎=‎2‎‎2‎‎7‎． （9分）‎ 点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．‎ ‎26、（2010•泉州）某蔬菜公司收购到一批蔬菜，计划用15天加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工3吨或者粗加工8吨，且每吨蔬菜精加工后的利润为2000元，粗加工后为1000元．已知公司售完这批加工后的蔬菜，共获得利润100000元．‎ 请你根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）如果精加工x天，粗加工y天，依题意填表格：‎ ‎（2）求这批蔬菜共多少吨？‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）直接根据“精加工利润=2000×3x”“粗加工利润=1000×8y”计算填表格即可；‎ ‎（2）根据“精加工天数+粗加工天数=15”“精加工利润+粗加工利润=100000”列方程组求得粗加工和精加工的天数后再计算蔬菜总量．‎ 解答：解：（1）‎ ‎（4分）‎ ‎（2）由（1）得 ‎&x+y=15‎‎&6000x+8000y=100000‎‎（6分）‎ 解得‎&x=10‎‎&y=5‎（8分）‎ ‎∴3×10+8×5=70‎ 答：这批蔬菜共有3×10+8×5=70吨．（9分）‎ 点评：本题考查的是用二元一次方程组解决实际问题的能力．解题的关键是读懂题意，找到相等关系列方程组．‎ ‎27、（2010•泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y=‎‎3‎x的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（﹣m，O）、C（m，0）．‎ ‎（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是 ；‎ ‎（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p，α，和m的值；‎ ‎②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）‎ ‎（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由．‎ 考点：反比例函数综合题；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；锐角三角函数的定义。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；‎ ‎（2）①把点B（p，1）代入y=‎‎3‎x，即可求出p的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出tanα的值，得出α的度数；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值；②当m=2时，设B（x，‎3‎x），则x＞0，由OB=2，得出x2+‎3‎x‎2‎=4，解此方程，得x=±1或±‎3‎，满足条件的x的值有两个，故能使四边形ABCD为矩形的点B共有两个；‎ ‎（3）假设四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形．‎ 解答：解：（1）平行四边形（3分）‎ ‎（2）①∵点B（p，1）在y=‎‎3‎x的图象上，‎ ‎∴‎1=‎‎3‎p，‎ ‎∴p=‎‎3‎．（4分）‎ 过B作BE⊥x轴于E，则OE=‎3‎，BE=1‎ 在Rt△BOE中，‎tana=BEOE=‎1‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎ α=30°，（5分）‎ ‎∴OB=2．‎ 又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，‎ ‎∴点B、D关于原点O成中心对称，（6分）‎ ‎∴OB=OD=2．‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，且A（﹣m，0），C（m，0）‎ ‎∴OA=OB=OC=OD=2（7分）‎ ‎∴m=2；（8分）‎ ‎②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个；（9分）‎ ‎（3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：（10分）‎ 若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，‎ 因为点A、C的坐标分别为（﹣m，0）、（m，0），‎ 所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上，（11分）‎ 所以BD应在y轴上，‎ 这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，‎ 所以四边形ABCD不可能为菱形．（12分）‎ 点评：本题主要考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．‎ ‎28、（2010•泉州）如图所示，已知抛物线y=‎1‎‎4‎x‎2‎﹣x+k的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求点C的坐标；‎ ‎（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：‎ ‎①当S1＜S＜S2时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；‎ ‎②当t取何值时，点P在⊙M上．（写出t的值即可）‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）由于抛物线的图象经过点B，那么点B的坐标满足该抛物线的解析式，将其代入即可求得k的值．‎ ‎（2）若⊙M经过点A，则∠BAC必为直角（圆周角定理），过C作x轴的垂线，设垂足为D，那么△BAO∽△ACD，可设出点C的坐标，根据相似三角形所得比例线段，即可得到点C横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式即可求得C点的坐标．‎ ‎（3）①由于O、A、B、C四点的坐标已经确定，所以S1、S2都可求出，△ABP中，以|t|为底，B点横坐标为高，即可得到S，即S=|t|×‎1‎‎2‎×2=|t|，因此S1＜|t|＜S2，将S1、S2的值代入上式，然后求出t的取值范围．（注意t应该分正、负两种情况考虑）‎ ‎②若P在⊙M上，∠BPC=90°，即△BPC是直角三角形，可用坐标系两点间的距离公式求出△BPC的三边长，然后利用勾股定理求出t的值．‎ 解答：解：（1）∵点B（0，1）在y=‎1‎‎4‎x‎2‎﹣x+k的图象上，‎ ‎∴‎1=‎1‎‎4‎×‎0‎‎2‎﹣0+k，（2分）‎ ‎∴k=1．（3分）‎ ‎（2）由（1）知抛物线为：‎ y=‎1‎‎4‎x‎2‎﹣x+1即y=‎1‎‎4‎（x﹣2‎‎）‎‎2‎‎，‎ ‎∴顶点A为（2，0），（4分）‎ ‎∴OA=2，OB=1；‎ 过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，‎ ‎∴AD=m﹣2，‎ 由已知得∠BAC=90°，（5分）‎ ‎∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°，‎ ‎∴∠OBA=∠CAD，‎ ‎∴Rt△OAB∽Rt△DCA，‎ ‎∴ADOB‎=CDOA，即m﹣2‎‎1‎=‎m‎2‎（或tan∠OBA=tan∠CAD，OAOB‎=‎CDAD，即‎2‎‎1‎‎=‎nm﹣2‎），（6分）‎ ‎∴n=2（m﹣2）；‎ 又点C（m，n）在y=‎1‎‎4‎（x﹣2‎‎）‎‎2‎上，‎ ‎∴n=‎1‎‎4‎（m﹣2‎‎）‎‎2‎，‎ ‎∴‎2（m﹣2）=‎1‎‎4‎（m﹣2‎‎）‎‎2‎，‎ 即8（m﹣2）（m﹣10）=0，‎ ‎∴m=2或m=10；当m=2时，n=0，当m=10时，n=16；（7分）‎ ‎∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）．（8分）‎ ‎（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，‎ ‎∴点C为（10，16）‎ 此时S‎1‎‎=‎1‎‎2‎OA×OB=1‎，‎ S2=SBODC﹣S△ACD=21；（9分）‎ 又点P在函数y=‎1‎‎4‎（x﹣2‎‎）‎‎2‎图象的对称轴x=2上，‎ ‎∴P（2，t），AP=|t|，‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎OA×AP=AP=|t|（10分）‎ ‎∵S1≤S≤S2，‎ ‎∴当t≥0时，S=t，‎ ‎∴1＜t＜21．（11分）‎ ‎∴当t＜0时，S=﹣t，‎ ‎∴﹣21＜t＜﹣1‎ ‎∴t的取值范围是：1＜t＜21或﹣21＜t＜﹣1（12分）‎ ‎②t=0，1，17（14分）‎ 点评：此题考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、图形面积的求法、不等式以及相似三角形的性质等相关知识，综合性强，难度较大．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；lanyuemeng；张伟东；mama258；MMCH；lanchong；nhx600；zhehe；huangling；yingzi；CJX；shenzigang；haoyujun；zhangchao；wdyzwbf；zcx；zhjh。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日