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- 2021-11-11 发布
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广东省深圳市2018年中考数学试卷(解析版)
一、选择题
1. ( 2分 ) 6的相反数是( )
A. B. C. D. 6
【答案】A
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解:∵6的相反数为-6,故答案为:A.
【分析】相反数:数值相同,符号相反的两个数,由此即可得出答案.
2. ( 2分 ) 260000000用科学计数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解:∵260 000 000=2.6×108.故答案为:B.
【分析】科学计数法:将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,由此即可得出答案.
3. ( 2分 ) 图中立体图形的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解:∵从物体正面看,最底层是三个小正方形,第二层从右往左有两个小正方形,故答案为:B.
【分析】视图:从物体正面观察所得到的图形,由此即可得出答案.
4. ( 2分 ) 观察下列图形,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解:A.等边三角形为轴对称图形,有三条对称轴,但不是中心对称图形,A不符合题意;B.五角星为轴对称图形,有五条对称轴,但不是中心对称图形,B不符合题意;
C.爱心为轴对称图形,有一条对称轴,但不是中心对称图形,C不符合题意;
D.平行四边形为中心对称图形,对角线的交点为对称中心,D符合题意;
故答案为:D.
【分析】中心对称图形:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心,由此即可得出答案。
5. ( 2分 ) 下列数据: ,则这组数据的众数和极差是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】极差、标准差,众数
【解析】【解答】解:∵85出现了三次,∴众数为:85,
又∵最大数为:85,最小数为:75,
∴极差为:85-75=10.
故答案为:A.
【分析】众数:一组数据中出现次数最多数;极差:一组数据中最大数与最小数的差;由此即可得出答案.
6. ( 2分 ) 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】同底数幂的乘法,同底数幂的除法,同类二次根式,同类项
【解析】【解答】解:A.∵a .a =a ,故错误,A不符合题意;B.∵3a-a=2a,故正确,B符合题意;
C.∵a8÷a4=a4,故错误,C不符合题意;
D. 与 不是同类二次根式,故不能合并,D不符合题意;
故答案为:B.
【分析】A.根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加即可判断对错;
B.根据同类项定义:所含字母相同,并且相同字母指数相同,由此得不是同类项;
C.根据同底数幂相除,底数不变,指数相减即可判断对错;
D.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式,由此即可判断对错.
7. ( 2分 ) 把函数y=x向上平移3个单位,下列在该平移后的直线上的点是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解:∵函数y=x向上平移3个单位,∴y=x+3,
∴当x=2时,y=5,
即(2,5)在平移后的直线上,
故答案为:D.
【分析】根据平移的性质得平移后的函数解析式,再将点的横坐标代入得出y值,一一判断即可得出答案.
8. ( 2分 ) 如图,直线 被 所截,且 ,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵a∥b,∴∠3=∠4.
故答案为:B.
【分析】根据两直线平行,同位角相等,由此即可得出答案.
9. ( 2分 ) 某旅店一共70个房间,大房间每间住8个人,小房间每间住6个人,一共480个学生刚好住满,设大房间有 个,小房间有 个.下列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解:依题可得: 故答案为:A.
【分析】根据一共70个房间得x+y=70;大房间每间住8个人,小房间每间住6个人,一共480个学生刚好住满得8x+6y=480,从而得一个二元一次方程组.
10. ( 2分 ) 如图,一把直尺, 的直角三角板和光盘如图摆放, 为 角与直尺交点, ,则光盘的直径是( )
A.3
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】切线的性质,锐角三角函数的定义,切线长定理
【解析】【解答】解:设光盘切直角三角形斜边于点C,连接OC、OB、OA(如图),
∵∠DAC=60°,
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线,
∴AC=AB,∠BAO=∠CAO=60°,
在Rt△AOB中,
∵AB=3,
∴tan∠BAO= ,
∴OB=AB×tan∠60°=3 ,
∴光盘的直径为6 .
故答案为:D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C,连接OC、OB、OA(如图),根据邻补角定义得∠BAC=120°,又由切线长定理AC=AB,∠BAO=∠CAO=60°;在Rt△AOB中,根据正切定义得tan∠BAO= ,代入数值即可得半径OB长,由直径是半径的2倍即可得出答案.
11. ( 2分 ) 二次函数 的图像如图所示,下列结论正确是( )
A. B. C. D. 有两个不相等的实数根
【答案】C
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解:A.∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵抛物线与y轴的正半轴相交,
∴c>0,
∵对称轴- 在y轴右侧,
∴b>0,
∴abc<0,故错误,A不符合题意;
B. ∵对称轴- =1,
即b=-2a,
∴2a+b=0,故错误,B不符合题意;
C. ∵当x=-1时,y<0,
即a-b+c<0,
又∵b=-2a,
∴3a+c<0,故正确,C符合题意;
D.∵ax2+bx+c-3=0,
∴ax2+bx+c=3,
即y=3,
∴x=1,
∴此方程只有一个根,故错误,D不符合题意;
故答案为:C.
【分析】A.根据抛物线开口向下得a<0;与y轴的正半轴相交得c>0;对称轴在y轴右侧得b>0,从而可知A错误;
B.由图像可知对称轴为2,即b=-2a,从而得出B错误;
C.由图像可知当x=-1时,a-b+c<0,将b=-2a代入即可知C正确;
D.由图像可知当y=3时,x=1,故此方程只有一个根,从而得出D错误.
12. ( 2分 ) 如图, 是函数 上两点, 为一动点,作 轴, 轴,下列说法正确的是( )
① ;② ;③若 ,则 平分 ;④若 ,则
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
【考点】反比例函数系数k的几何意义,三角形的面积,角的平分线判定
【解析】【解答】解:设P(a,b),则A( ,b),B(a, ),①∴AP= -a,BP= -b,
∵a≠b,
∴AP≠BP,OA≠OB,
∴△AOP和△BOP不一定全等,
故①错误;
②∵S△AOP= ·AP·yA= ·( -a)·b=6- ab,
S△BOP= ·BP·xB= ·( -b)·a=6- ab,
∴S△AOP=S△BOP.
故②正确;
③作PD⊥OB,PE⊥OA,
∵OA=OB,S△AOP=S△BOP.
∴PD=PE,
∴OP平分∠AOB,
故③正确;
④∵S△BOP=6- ab=4,
∴ab=4,
∴S△ABP= ·BP·AP
= ·( -b)·( -a),
=-12+ + ab,
=-12+18+2,
=8.
故④错误;
故答案为:B.
【分析】设P(a,b),则A( ,b),B(a, ),
①根据两点间距离公式得AP= -a,BP= -b,因为不知道a和b是否相等,所以不能判断AP与BP,OA与OB,是否相等,所以△AOP和△BOP不一定全等,故①错误;
②根据三角形的面积公式可得S△AOP=S△BOP=6- ab,故②正确;
③作PD⊥OB,PE⊥OA,根据S△AOP=S△BOP.底相等,从而得高相等,即PD=PE,再由角分线的判定定理可得OP平分∠AOB,故③正确;
④根据S△BOP=6- ab=4,求得ab=4,再 由三角形面积公式得S△ABP= ·BP·AP,代入计算即可得④错误;
二、填空题
13. ( 1分 ) 分解因式: ________.
【答案】
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】a2-9=a2-32=(a+3)(a-3).
故答案为(a+3)(a-3).
【分析】观察此多项式的特点,没有公因式,符合平方差公式的特点,即可求解。
14. ( 1分 ) 一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率________.
【答案】
【考点】概率公式
【解析】【解答】解:∵一个正六面体的骰子六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6,∴投掷一次得到正面向上的数字为奇数的有1,3,5共三次,
∴投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率P= .
故答案为: .
【分析】根据投掷一次正方体骰子一共有6种情况,正面向上的数字为奇数的情况有3种,根据概率公式即可得出答案.
15. ( 1分 ) 如图,四边形ACFD是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是________.
【答案】8
【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ACFD是正方形,
∴∠CAF=90°,AC=AF,
∴∠CAE+∠FAB=90°,
又∵∠CEA和∠ABF都是直角,
∴∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠ACE=∠FAB,
在△ACE和△FAB中,
∵ ,
∴△ACE≌△FAB(AAS),
∵AB=4,
∴CE=AB=4,
∴S阴影=S△ABC= ·AB·CE= ×4×4=8.
故答案为:8.
【分析】根据正方形的性质得∠CAF=90°,AC=AF,再根据三角形内角和和同角的余角相等得∠ACE=∠FAB,由全等三角形的判定AAS得△ACE≌△FAB,由全等三角形的性质得CE=AB=4,根据三角形的面积公式即可得阴影部分的面积.
16. ( 1分 ) 在Rt△ABC中∠C=90°,AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,AD、BE相交于点F,且AF=4,EF= ,则AC=________.
【答案】
【考点】勾股定理,相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:作EG⊥AF,连接CF,
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
又∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,
∴∠FAB+∠FBA=45°,∴∠AFE=45°,
在Rt△EGF中,
∵EF= ,∠AFE=45°,
∴EG=FG=1,
又∵AF=4,
∴AG=3,
∴AE= ,
∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,
∴CF平分∠ACB,
∴∠ACF=45°,
∵∠AFE=∠ACF=45°,∠FAE=∠CAF,
∴△AEF∽△AFC,
∴ ,
即 ,
∴AC= .
故答案为: .
【分析】作EG⊥AF,连接CF,根据三角形内角和和角平分线定义得∠FAB+∠FBA=45°,再由三角形外角性质得∠AFE=45°,在Rt△EGF中,根据勾股定理得EG=FG=1,结合已知条件得AG=3,在Rt△AEG中,根据勾股定理得AE= ;由已知得F是三角形角平分线的交点,所以CF平分∠ACB,∠ACF=45°,根据相似三角形的判定和性质得 ,从而求出AC的长.
三、解答题
17. ( 5分 ) 计算: .
【答案】解:原式=2-2× + +1,=2- + +1,
=3.
【考点】实数的运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂,特殊角的三角函数值,绝对值的性质,零指数幂一一计算即可得出答案.
18. ( 5分 ) 先化简,再求值: ,其中 .
【答案】解:原式 ∵x=2,
∴ = .
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】根据分式的减法法则,除法法则计算化简,再将x=2的值代入化简后的分式即可得出答案.
19. ( 13分 ) 某学校为调查学生的兴趣爱好,抽查了部分学生,并制作了如下表格与条形统计图:
频数
频率
体育
40
0.4
科技
25
艺术
0.15
其它
20
0.2
请根据上图完成下面题目:
(1)总人数为________人,________, ________.
(2)请你补全条形统计图.
(3)若全校有600人,请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少?
【答案】(1)100;0.25;15
(2)解:由(1)中求得的b值,补全条形统计图如下:
(3)解:∵喜欢艺术类的频率为0.15,∴全校喜欢艺术类学生的人数为:600×0.15=90(人).
答:全校喜欢艺术类学生的人数为90人.
【考点】用样本估计总体,统计表,条形统计图
【解析】【解答】解:(1)由统计表可知体育频数为40,频率为0.4,∴总人数为:0.4÷40=100(人),
∴a=25÷100=0.25,
b=100×0.15=15(人),
故答案为:100,0.25,15.
【分析】(1)由统计表可知体育频数为40,频率为0.4,根据总数=频数÷频率可得总人数;再根据频率=频数÷总数可得a;由频数=总数×频率可得b.
(2)由(1)中求得的b值即可补全条形统计图.
(3)由统计表可知喜欢艺术类的频率为0.15,再用全校人数×喜欢艺术类的频率=全校喜欢艺术类学生的人数.
20. ( 10分 ) 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C
为圆心,以任意长为半径作AD,再分别以点A和点D为圆心,大于 AD长为半径做弧,交 于点B,AB∥CD.
(1)求证:四边形ACDB为△CFE的亲密菱形;
(2)求四边形ACDB的面积.
【答案】(1)证明:由已知得:AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得:BC是∠FCE的角平分线,
∴∠ACB=∠DCB,
又∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠DCB,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AC=AB,
又∵AC=CD,AB=DB,
∴AC=CD=DB=BA,
四边形ACDB是菱形,
又∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合,它的对角∠ABD顶点在EF上,
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.
(2)解:设菱形ACDB的边长为x,∵CF=6,CE=12,
∴FA=6-x,
又∵AB∥CE,
∴△FAB∽△FCE,
∴ ,
即 ,
解得:x=4,
过点A作AH⊥CD于点H,
在Rt△ACH中,∠ACH=45°,
∴sin∠ACH= ,
∴AH=4× =2 ,
∴四边形ACDB的面积为: .
【考点】菱形的判定与性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)依题可得:AC=CD,AB=DB,BC是∠FCE的角平分线,根据角平分线的定义和平行线的性质得∠ACB=∠ABC,根据等角对等边得AC=AB,从而得AC=CD=DB=BA,根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形ACDB是菱形;再根据题中的新定义即可得证.
(2)设菱形ACDB的边长为x,根据已知可得CF=6,CE=12,FA=6-x,根据相似三角形的判定和性质可得 ,解得:x=4,过点A作AH⊥CD于点H,在Rt△ACH中,根据锐角三角形函数正弦的定义即可求得AH ,再由四边形的面积公式即可得答案.
21. ( 10分 ) 某超市预测某饮料有发展前途,用1600元购进一批饮料,面市后果然供不应求,又用6000元购进这批饮料,第二批饮料的数量是第一批的3倍,但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元?
(2)若二次购进饮料按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于1200元,那么销售单价至少为多少元?
【答案】(1)解:设第一批饮料进货单价为 元,则第二批进货价为x+2,依题可得:
解得: .
经检验: 是原分式方程的解.
答:第一批饮料进货单价为8元.
(2)解:设销售单价为 元,依题可得:(m-8)·200+(m-10)·600≥1200,
化简得:(m-8)+3(m-10)≥6,
解得:m≥11.
答:销售单价至少为11元.
【考点】分式方程的实际应用,一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设第一批饮料进货单价为 x 元,则第二批进货价为x+2,根据第二批饮料的数量是第一批的3倍,由此列出分式方程,解之即可得出答案.(2)设销售单价为 m 元,根据获利不少于1200元,列出一元一次不等式组,解之即可得出答案.
22. ( 15分 ) 如图:在 中,BC=2,AB=AC,点D为AC上的动点,且 .
(1)求AB的长度;
(2)求AD·AE的值;
(3)过A点作AH⊥BD,求证:BH=CD+DH.
【答案】(1)解:作AM⊥BC,
∵AB=AC,BC=2,AM⊥BC,
∴BM=CM= BC=1,
在Rt△AMB中,
∵cosB= ,BM=1,
∴AB=BM÷cosB=1÷ = .
(2)解:连接CD,∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,
∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
又∵∠ACE+∠ACB=180°,
∴∠ADC=∠ACE,
∵∠CAE=∠CAD,
∴△EAC∽△CAD,
∴ ,
∴AD·AE=AC2=AB2=( )2=10.
(3)证明:在BD上取一点N,使得BN=CD,
在△ABN和△ACD中
∵
∴△ABN≌△ACD(SAS),
∴AN=AD,
∵AH⊥BD,AN=AD,
∴NH=DH,
又∵BN=CD,NH=DH,
∴BH=BN+NH=CD+DH.
【考点】全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,圆内接四边形的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)作AM⊥BC,由等腰三角形三线合一的性质得BM=CM= BC=1,在Rt△AMB中,根据余弦定义得cosB= ,由此求出AB.
(2)连接CD,根据等腰三角形性质等边对等角得∠ACB=∠ABC,再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得∠ADC=∠ACE;由相似三角形的判定得△EAC∽△CAD,根据相似三角形的性质得
; 从而得AD·AE=AC2=AB2.
(3)在BD上取一点N,使得BN=CD,根据SAS得△ABN≌△ACD,再由全等三角形的性质得AN=AD,根据等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.
23. ( 15分 ) 已知顶点为 抛物线 经过点 ,点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;
(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN1 , 若点N1落在x轴上,请直接写出Q点的坐标.
【答案】(1)解:把点 代入 ,解得:a=1,
∴抛物线的解析式为: 或 .
(2)解:设直线AB解析式为:y=kx+b,代入点A、B的坐标得:,
解得: ,
∴直线AB的解析式为:y=-2x-1,
∴E(0,-1),F(0,- ),M(- ,0),
∴OE=1,FE= ,
∵∠OPM=∠MAF,
∴当OP∥AF时,△OPE∽△FAE,
∴
∴OP= FA= ,
设点P(t,-2t-1),
∴OP= ,
化简得:(15t+2)(3t+2)=0,
解得 , ,
∴S△OPE= ·OE· ,
当t=- 时 ,S△OPE= ×1× = ,
当t=- 时 ,S△OPE= ×1× = ,
综上,△POE的面积为 或 .
(3)Q(- , ).
【考点】二次函数的应用,翻折变换(折叠问题),相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】(3)解:由(2)知直线AB的解析式为:y=-2x-1,E(0,-1),设Q(m,-2m-1),N1(n,0),
∴N(m,-1),
∵△QEN沿QE翻折得到△QEN1
∴NN1中点坐标为( , ),EN=EN1 ,
∴NN1中点一定在直线AB上,
即 =-2× -1,
∴n=- -m,
∴N1(- -m,0),
∵EN2=EN12 ,
∴m2=(- -m)2+1,
解得:m=- ,
∴Q(- , ).
【分析】(1)用待定系数法将点B点坐标代入二次函数解析式即可得出a值.
(2)设直线AB解析式为:y=kx+b,代入点A、B的坐标得一个关于k和b的二元一次方程组,解之即可得直线AB解析式,根据题意得E(0,-1),F(0,- ),M(- ,0),根据相似三角形的判定和性质得OP= FA= ,设点P(t,-2t-1),根据两点间的距离公式即可求得t值,再由三角形面积公式△POE的面积.
(3)由(2)知直线AB的解析式为:y=-2x-1,E(0,-1),设Q(m,-2m-1),N1(n,0),从而得N(m,-1),根据翻折的性质知NN1中点坐标为( , )且在直线AB上,将此中点坐标代入直线AB解析式可得n=- -m,即N1(- -m,0),再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m2=(- -m)2+1,解之即可得Q点坐标.
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