2013年四川省绵阳市中考数学试题（含答案） 13页

绵阳市2013年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试 数学 第一卷（选择题，共36分）‎ 一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．的相反数是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎［解析］考查相反数，前面加个负号即可，故选　C。‎ ‎2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ A ）‎ ‎［解析］B不是轴对称图形，C、D都有2条对称轴。‎ ‎3．2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（ D ）‎ A．1.2×10-9米 B．1.2×10-8米 C．12×10-8米 D．1.2×10-7米 ‎［解析］科学记数法写成：形式，其中，再数小数位知，选D＞‎ ‎4．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ C ）‎ A．■、●、▲ B．▲、■、● ‎ C．■、▲、●　 D．●、▲、■‎ 解析：‎ ‎5．把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（ B ）‎ ‎［解析］两个全等的三角形，再侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱，一个底面相邻可以是三个长方形，只有B。‎ ‎6．下列说法正确的是（ D ）[来源 A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形[‎ C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ‎［解析］由矩形的性质可知，只有D正确。平行四边形的对角线是互相平行，菱形的对角线互相平分且垂直，故A、C错，等腰梯形的对角线相等B也错。‎ ‎7．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ C ）‎ ‎7题图 A． B．12mm ‎ C． D．‎ 来源:中#国&*教育出@版~网]‎ ‎［解析］画出正六边形，如图，通过计算　可知，ON＝3，MN＝6，选C。‎ ‎8．朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（ B ）‎ A．4个 B．5个 C．10个 D．12个 ‎［解析］（x个朋友，3x-3=2x+2,x=5）‎ ‎9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ A ）‎ A．20米 B．米 C．米 D．米 ‎［解析］GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=10米，DF=AF•tan30º=10×=10米，‎ CD=AB-DF=30-10=20米。‎ ‎10题图 ‎10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎［解析］OA=4，OB=3，AB=5，△BDH∽△BOA，‎ BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，‎ AH=AB-BH=5-18/5=7/5，△AGH∽△ABO，‎ GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5 / 4，GH=21/20。‎ ‎11．“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”‎ 小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（ D ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：‎ 男A 男B 男C 女1‎ 女2‎ 男A ‎×‎ 男B男A 男C男A 女1男A 女2男A 男B 男A男B ‎×‎ 男C男B 女1男B 女2男B 男C 男A男C 男B男C ‎×‎ 女1男C 女2男C 女1‎ 男A女1‎ 男B女1‎ 男C女1‎ ‎×‎ 女2女1‎ 女2‎ 男A女2‎ 男B女2‎ 男C女2‎ 女1女2‎ ‎×‎ 上表中共有20种可能的组合，相同组合（同种颜色表示相同组合）只算一种，余10种组合，其中1男1女的组合有6组，所以一男一女的概率=6/10=3/5.‎ ‎12．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（ C ）‎ A．（45，77） B．（45，39） C．（32，46） D．（32，23）‎ ‎［解析］第1组的第一个数为1，第2组的第一个数为3，第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33……将每组的第一个数组成数列：1，3，9，19，33…… 分别计作a1,a2,a3,a4,a5……an， an表示第n组的第一个数，‎ a1 =1‎ a2 = a1+2‎ a3 = a2+2+4×1‎ a4 = a3+2+4×2‎ a5 = a4+2+4×3‎ ‎……‎ an = an-1+2+4×(n-2)‎ 将上面各等式左右分别相加得：‎ a n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …… + a n-1)，‎ 当n=45时，a n = 3873 > 2013 ,2013不在第45组 当n=32时，a n = 1923 < 2013 ,(2013-1923)÷2+1=46,　　　A2013=(32,46).‎ 如果是非选择题：则2n2-4n+3≤2013，2n2-4n-2010≤0，假如2013是某组的第一个数，则2n2-4n-2010=0，解得n=1+ ,‎ ‎31<<32,322，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以△ABC的周长=4+4+2=10。‎ ‎18．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正确的结论是 ① ③ ④ （写出你认为正确的所有结论序号）.‎ ‎［解析］抛物线开口向下，a <0, 2a<0,对称轴x= >1,-b<2a ,2a+b>0 ，①正确； -b<2a ,b>-2a>0>a ,令抛物线的解析式为y=- x2 +bx- ,此时，a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 和2，‎ 则（+2）/2=-b/(- ),b= , 抛物线y=- x2 + x- 符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c（其实a>c,a1，>2，m+n<，③正确； 当x=1时，a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,‎ ‎3a+c>-2b, -3a-c<2b , a<0 , c<0 , b>0 , ‎ ‎3|a|+|c|=-3a-c<2b=2|b|,④正确。‎ 三．解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。‎ ‎19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）‎ ‎（1）计算：；‎ 解： 原式= - +|1- |×2(+1)‎ ‎ = - +(-1) ×2(+1)‎ ‎ = - +2[（）2 -12]‎ ‎ = 2- ‎= ‎（2）解方程：‎ ‎ 解： = ‎ x+2 = 3‎ ‎ x = 1‎ ‎ 经检验，x = 1是原方程的增根，原方程无解。‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 为了从甲．乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：‎ 图1 甲、乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 命中10‎ 环的次数 甲 ‎7‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎0‎ 乙 ‎7‎ ‎7．5‎ ‎5．4‎ ‎1‎ 图2 甲、乙射击成绩折线图 ‎（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；‎ ‎（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；‎ 答：甲胜出。因为S甲2 1, 过点Q作QE⊥直线l , ‎ 垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，‎ ‎∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，‎ ① 当P的坐标为（m，）时，‎ m-x = ， m=0 m=1‎ ‎ 2x2-2- = m-1, x= x=1 ‎ 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；‎ ② 当P的坐标为（m，）时，‎ x-m= m=- m=1‎ ‎2x2-2- = m-1, x=- x=1 ‎ 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；‎ ① 当P的坐标为（m，2m-2）时，‎ m-x =2m-2 m= m=1‎ ‎2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1‎ 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；‎ ‎④当P的坐标为（m，2-2m）时，‎ x- m = 2m-2 m= m=1‎ ‎2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1‎ 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；‎ 综上所述，不存在满足条件的点Q。‎ ‎25．（本题满分14分）‎ 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：‎ ‎（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；‎ ‎（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；‎ ‎（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。‎ 解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。‎ ‎∵点O是△ABC的重心，‎ ‎∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD，‎ ‎∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，‎ ‎△OPD∽△CA，= = , = ,∴；‎ ‎（2）点O是是△ABC的重心。‎ 证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 ，‎ 而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；‎ ‎（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别 与AC、AB交于点M、N，‎ ‎∵点O是△ABC的重心， ‎ ‎∴ = ， = , ‎ ‎∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，‎ 在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，‎ 在△AGH中，OM//AH，= ，‎ 在△ACH中，ON//AH，= ，‎ ‎∴ + = +=1， + =1, + = 3 ,‎ 令= m , = n , m=3-n,‎ ‎∵ = , ‎ = = ‎= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + ,‎ ‎∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。‎ 附：或 的另外两种证明方法的作图。‎ 方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。‎ 方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。‎ 下面的图解也能说明问题：‎