2010年浙江省义乌市中考数学试卷(全解全析) 17页

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2010•黄石）﹣2的相反数是（　　）‎ ‎ A、﹣2 B、﹣‎‎1‎‎2‎ ‎ C、‎1‎‎2‎ D、2‎ 考点：相反数。‎ 分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．‎ 解答：解：﹣2的相反数是2．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎2、（2010•义乌市）28cm接近于（　　）‎ ‎ A、珠穆朗玛峰的高度 B、三层楼的高度 ‎ C、姚明的身高 D、一张纸的厚度 考点：有理数的乘方。‎ 分析：根据有理数数的乘方运算法则，计算出结果，然后根据生活实际来确定答案．‎ 解答：解：28=24×24=16×16=256（cm）=2.56（m）．‎ A、珠穆朗玛峰峰的高度约8848米，错误；‎ B、三层楼的高度20米左右，错误；‎ C、姚明的身高是2.23米，接近2.56米，正确；‎ D、一张纸的厚度只有几毫米，错误．‎ 故选C．‎ 点评：解答这样的题目有两个要点需要注意，一是有理数的乘方运算法则要记牢；二是根据生活实际情况来做出选择．‎ ‎3、（2010•义乌市）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、3ab﹣2ab=1 B、x4•x2=x6‎ ‎ C、（x2）3=x5 D、3x2÷x=2x 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、应为3ab﹣2ab=ab，故选项错误；‎ B、x4•x2=x6，正确；‎ C、应为（x2）3=x6，故选项错误；‎ D、应为3x2÷x=3x，故选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．‎ ‎4、（2010•义乌市）下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ ‎ A、正三角形 B、等腰直角三角形 ‎ C、等腰梯形 D、正方形 考点：中心对称图形；轴对称图形。‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ D、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意．‎ 故选D．‎ 点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．‎ ‎①如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．‎ ‎②如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．‎ ‎5、（2010•义乌市）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）‎ ‎ A、1、2、3.5 B、4、5、9‎ ‎ C、20、15、8 D、5、15、8‎ 考点：三角形三边关系。‎ 分析：根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用排除法求解．‎ 解答：解：A、∵1+2=3＜3.5，∴不能组成三角形；‎ B、∵4+5=9，∴不能组成三角形；‎ C、20、15、8，能组成三角形；‎ D、5+8=13＜15，不能组成三角形．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查三角形的三边性质，需要熟练掌握．‎ ‎6、（2010•义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　）‎ ‎ A、6 B、5‎ ‎ C、4 D、3‎ 考点：线段垂直平分线的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB=PA，而已知线段PA=5，由此即可求出线段PB的长度．‎ 解答：解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，‎ ‎∴PB=PA，‎ 而已知线段PA=5，‎ ‎∴PB=5．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质，此题比较简单，主要利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这个结论．‎ ‎7、（2010•义乌市）如下左图所示的几何体的主视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：依题意，可知该几何体是由五个小正方形组成，底面有4个小正方体，可利用排除法解答．‎ 解答：解：如图可知该几何体是由5个小正方体组成，底面有4个小正方体，而第二层只有1个小正方体，故选B．‎ 点评：本题考查的是学生对三视图的理解与对该考点的巩固，难度属简单，培养空间想象力是学习这部分内容的重点．‎ ‎8、（2010•义乌市）下列说法不正确的是（　　）‎ ‎ A、一组邻边相等的矩形是正方形 B、对角线相等的菱形是正方形 ‎ C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、有一个角是直角的平行四边形是正方形 考点：正方形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进行分析，从而得到答案．‎ 解答：解：A、符合正方形的判定方法，故正确；‎ B、符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故正确；‎ C、符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故正确；‎ D、符合矩形的判定方法，故不正确；‎ 故选D．‎ 点评：此题主要考查学生对正方形的判定方法的理解及运用．‎ ‎9、（2010•义乌市）小明打算暑假里的某天到上海世博会一日游，上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆中随机选择一个馆，下午再从加拿大馆、法国馆、俄罗斯馆中随机选择一个馆游玩．则小明恰好上午选中台湾馆，下午选中法国馆这两个场馆的概率是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎9‎ B、‎‎1‎‎3‎ ‎ C、‎2‎‎3‎ D、‎‎2‎‎9‎ 考点：概率公式。‎ 分析：列举出所有情况，看上午选中台湾馆，下午选中法国馆的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：上午可选择3个馆，下午可选择3个馆，那么一共有3×3=9种可能，小明恰好上午选中台湾馆，下午选中法国馆这两个场馆的概率是‎1‎‎9‎，故选A．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎10、（2010•义乌市）如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点∠QFC落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（　　）‎ ‎①△BDF是等腰三角形；②DE=‎1‎‎2‎BC；‎ ‎③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．‎ ‎ A、1 B、2‎ ‎ C、3 D、4‎ 考点：菱形的判定；等腰三角形的判定。‎ 分析：根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．‎ 解答：解：①∵DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，‎ 又∵△ADE≌△FDE，‎ ‎∴∠ADE=∠EDF，AD=FD，AE=CE，‎ ‎∴∠B=∠BFD，‎ ‎∴△BDF是等腰三角形，故①正确；‎ 同理可证，△CEF是等腰三角形，‎ ‎∴BD=FD=AD，CE=FE=AE，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎BC，故②正确；‎ ‎∵∠B=∠BFD，∠C=∠CFE，‎ 又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∠C+∠CFE+∠CEF=180°，‎ ‎∴∠BDF+∠FEC=2∠A，故④正确．‎ 而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．‎ 所以一定正确的结论个数有3个，‎ 故选C．‎ 点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：‎ ‎①定义；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11、（2010•义乌市）从26个英文字母中任意选一个，是C或D的概率是 ．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：‎ ‎①字母C、D的数目；‎ ‎②全部字母的总数．‎ 二者的比值就是其发生的概率的大小．‎ 解答：解：英文字母共有26个，C、D共有2个，‎ 根据概率公式，从26个英文字母中任意选一个，是C或D的概率是‎2‎‎26‎=‎1‎‎13‎．‎ 点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎12、（2010•义乌市）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 （写出一组即可）．‎ 考点：勾股定理的逆定理。‎ 分析：写出一组勾股数即可．‎ 解答：解：例如，3、4、5（答案不唯一）．‎ 点评：本题主要考查勾股数的记忆，需要熟练记忆．‎ ‎13、（2010•义乌市）已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是 ．‎ 考点：切线的性质。‎ 分析：根据圆切线的性质即可求出⊙O的半径．‎ 解答：解：若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径长，即⊙O的半径为5．‎ 点评：此题主要考查的是切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎14、（2010•义乌市）改革开放后，我市农村居民人均消费水平大幅度提升．下表是2004年至2009年我市农村居民人均食品消费支出的统计表（单位：元）．则这几年我市农村居民人均食品消费支出的中位数是 元，极差是 元．‎ 考点：中位数；极差。‎ 专题：图表型。‎ 分析：由于表格中的数据已经是由小到大的顺序排列，所以关键用中位数和极差定义即可求出结果．‎ 解答：解：∵1674＜1843＜2048＜2560＜2767＜2786，‎ ‎∴中位数为（2048+2560）÷2=2304（元），‎ 极差为2786﹣1674=1112（元）．‎ 故填2304；1112．‎ 点评：此题考查了中位数和极差的定义．‎ ‎15、（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，‎3‎≈1.732）‎ 考点：解直角三角形的应用。‎ 分析：在Rt△ABC中，已知了直角边BC的长以及∠ACB的度数，可根据∠ACB的正切函数求出AB的长．‎ 解答：解：Rt△ABC中，BC=24米，∠ACB=30°，‎ ‎∴AB=BC•tan30°=24×‎3‎‎3‎=8‎3‎≈13.9（米）．‎ 点评：此题考查的是解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系式是解答此类题的关键．‎ ‎16、（2010•义乌市）（1）将抛物线y1=2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ；‎ ‎（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t= ．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：动点型。‎ 分析：（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出y2的图象；‎ ‎（2）由（1）可得出抛物线y2的对称轴，也就得出了P点的横坐标；将x=t分别代入y=x和抛物线y2的解析式中，可求出A、B的坐标，若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则AB=AP（或BP）即A、B两点纵坐标差的绝对值等于点A（或B）与点P横坐标差的绝对值，由此可列出关于t的方程求出t的值．‎ 解答：解：（1）抛物线y1=2x2向右平移2个单位，得：y=2（x﹣2）2=2x2﹣8x+8；‎ 故抛物线y2的解析式为y2=2x2﹣8x+8．‎ ‎（2）由（1）知：抛物线y2的对称轴为x=2，故P点横坐标为2；‎ 当x=t时，直线y=x=t，故A（t，t）；‎ 则y2=2x2﹣8x+8=2t2﹣8t+8，故B（t，2t2﹣8t+8）；‎ 若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则有AB=AP或AB=BP，‎ 即：|t﹣2|=|2t2﹣8t+8﹣t|；‎ 当2t2﹣8t+8﹣t=t﹣2时，t2﹣5t+5=0，解得t=‎5±‎‎5‎‎2‎；‎ 当2t2﹣8t+8﹣t=2﹣t时，t2﹣4t+3=0，解得t=1，t=3；‎ 故符合条件的t值为：1，3或‎5±‎‎5‎‎2‎．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的图象的平移、函数图象交点、等腰直角三角形的判定和性质等．‎ 三、解答题（共8小题，满分66分）‎ ‎17、（2010•义乌市）（1）计算：|﹣1|+‎4‎﹣tan45°‎ ‎（2）化简：x‎2‎x﹣2‎﹣‎4xx﹣2‎+‎‎4‎x﹣2‎ 考点：特殊角的三角函数值；分式的加减法。‎ 分析：（1）根据实数的运算法则计算．‎ ‎（2）进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．‎ 解答：解：（1）原式=1+2﹣1 （算对一项或两项给1分，全对2分）（2分）‎ ‎=2． （3分）‎ ‎（2）原式=x‎2‎‎﹣4x+4‎x﹣2‎（1分）‎ ‎=‎（x﹣2）‎‎2‎x﹣2‎（2分）‎ ‎=x﹣2． （3分）‎ 点评：本题考查了绝对值，二次根式，正切函数及分式的加减运算，题目比较容易．‎ ‎18、（2010•义乌市）（1）解不等式：3x﹣2≥2x+1‎ ‎（2）解分式方程：‎2x‎2‎+1‎x+2‎=2x 考点：解分式方程；解一元一次不等式。‎ 分析：（1）按照解一元一次不等式的步骤进行．‎ ‎（2）本题的最简公分母是x+2，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．‎ 解答：解：（1）移项，得3x﹣2x≥2+1，‎ 合并同类项，得x≥3．‎ ‎（2）方程的两边同乘x+2，得 ‎2x2+1=2x2+4x，‎ ‎∴4x=1，‎ ‎∴x=‎1‎‎4‎．‎ 经检验，x=‎1‎‎4‎是原方程的根．‎ 点评：本题考查了不等式及分式方程的解法．‎ ‎（1）解一元一次不等式的依据是不等式的性质．一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．‎ ‎（2）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．‎ ‎19、（2010•义乌市）我市举办的“义博会”是国内第三大展会，从1995年以来已成功举办了15届．‎ ‎（1）1995年“义博会”成交金额为1.01亿元，1999年“义博会”成交金额为35.2亿元，求1999年的成交金额比1995年的增加了几倍？（结果精确到整数）‎ ‎（2）2000年“义博会”的成交金额与2009年的成交金额的总和是153.99亿元，且2009年的成交金额是2000年的3倍少0.25亿元，问2009年“义博会”的成交金额是否突破了百亿元大关？‎ 考点：一元一次方程的应用。‎ 专题：经济问题。‎ 分析：（1）关系式为：倍数=（1999年的成交金额﹣1995年的成交额）÷1995年的成交额；‎ ‎（2）等量关系为：2009年的成交金额+2000年的成交金额=153.99．‎ 解答：解：（1）（35.2﹣1.01）÷1.01≈34‎ 答：1999年的成交金额比1995年约增加了34倍；‎ ‎（2）设2000年成交金额为x亿元，则2009年成交金额为（3x﹣0.25）亿元．‎ 由题意得：x+3x﹣0.25=153.99，‎ 解得：x=38.56，‎ ‎∴3x﹣0.25=115.43＞100，‎ ‎∴2009年“义博会”的成交金额突破了百亿元大关．‎ 点评：找到相应的关系式是解决问题的关键；注意增加的倍数是求到增加的金额占原来的金额的多少．‎ ‎20、（2010•义乌市）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：‎ ‎（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是 人和 人；‎ ‎（2）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇形的圆心角的度数是 °，并把条形统计图补充完整；（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）‎ ‎（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？‎ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）由图知参加车模、建模比赛的人数；‎ ‎（2）参加建模的有6人，占总人数的25%，根据总人数=参见海模比赛的人数÷25%，算出空模比赛的人数，再算出所占的百分比×360°；‎ ‎（3）先求出随机抽取80人中获奖的百分比，再乘以我市中小学参加航模比赛的总人数．‎ 解答：解：（1）由条形统计图可得：该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人，6人；（每空（1分），共2分）‎ ‎（2）6÷25%=24，（24﹣6﹣6﹣4）÷24×360°=120°（每空（1分），共2分），‎ ‎（3）32÷80=0.4（1分）0.4×2485=994‎ 答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994人．（3分）‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎21、（2010•义乌市）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=‎1‎‎2‎，BC=2‎3‎．‎ ‎（1）求∠A的度数；‎ ‎（2）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（3）求MD的长度．‎ 考点：圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；特殊角的三角函数值。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．‎ ‎（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．‎ ‎（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．‎ 解答：解：（1）∵∠BOE=60°，∴∠A=‎1‎‎2‎∠BOE=30°．（2分）‎ ‎（2）在△ABC中，∵cosC=‎1‎‎2‎，∴∠C=60°．（1分）‎ 又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC．（2分）‎ ‎∴BC是⊙O的切线．（3分）‎ ‎（3）∵点M是AE的中点，∴OM⊥AE．（1分）‎ 在Rt△ABC中，∵BC=2‎3‎，∴AB=BC•tan60°=2‎3‎×‎3‎=6．（2分）‎ ‎∴OA=AB‎2‎=3，∴OD=‎1‎‎2‎OA=‎3‎‎2‎，∴MD=‎3‎‎2‎．（3分）‎ 点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．‎ ‎22、（2010•义乌市）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=mx的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，OCOA=‎1‎‎2‎．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 专题：数形结合；待定系数法。‎ 分析：（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D的坐标为（0，2）．‎ ‎（2）由AP∥OD得Rt△PAC∽Rt△DOC，又OCOA=‎1‎‎2‎，可得ODAP=OCAC=‎1‎‎3‎，故AP=6，BD=6﹣2=4，由S△PBD=4可得BP=2，把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=mx可得一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为：y=‎‎12‎x ‎（3）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x＞2．‎ 解答：解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2∴点D的坐标为（0，2）（2分）‎ ‎（2）∵AP∥OD∴Rt△PAC∽Rt△DOC（1分）‎ ‎∵OCOA=‎1‎‎2‎，‎ ‎∴ODAP=OCAC=‎‎1‎‎3‎ ‎∴AP=6（2分）‎ 又∵BD=6﹣2=4‎ ‎∴由S△PBD=4可得BP=2（3分）‎ ‎∴P（2，6）（4分）把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=mx可得 一次函数解析式为：y=2x+2（5分）‎ 反比例函数解析式为：y=‎12‎x（6分）‎ ‎（3）由图可得x＞2（2分）‎ 点评：考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．‎ ‎23、（2010•义乌市）如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．‎ ‎（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF= °，猜想∠QFC= °；‎ ‎（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；‎ ‎（3）已知线段AB=2‎3‎，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．‎ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定；等边三角形的性质；解直角三角形。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；利用观察法，或量角器测量的方法即可求得∠QFC的度数；‎ ‎（2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；‎ ‎（3）过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC，根据△ABP≌△AEQ得到：设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2．点Q到射线BC的距离y=QH=sin60°×QF=‎3‎‎2‎（x+2），即可求得函数关系式．‎ 解答：解：（1）∠EBF=30°；（1分）‎ ‎∠QFC=60°；（2分）‎ ‎（2）∠QFC=60°． （1分）‎ 不妨设BP＞‎3‎AB，如图1所示．‎ ‎∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，‎ ‎∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，‎ ‎∴∠BAP=∠EAQ． （2分）‎ 在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，‎ ‎∴△ABP≌△AEQ．（SAS） （3分）‎ ‎∴∠AEQ=∠ABP=90°． （4分）‎ ‎∴∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．‎ ‎∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°． （5分）‎ ‎（事实上当BP≤‎3‎AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）‎ ‎（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．‎ ‎∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BE=AB=2‎3‎．‎ 由（1）得∠EBF=30°．‎ 在Rt△BGF中，BG=BE‎2‎=‎3‎，‎ ‎∴BF=BGcos30°‎=2．‎ ‎∴EF=2． （1分）‎ ‎∵△ABP≌△AEQ．‎ ‎∴QE=BP=x，‎ ‎∴QF=QE+EF=x+2． （2分）‎ 过点Q作QH⊥BC，垂足为H．‎ 在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=‎3‎‎2‎（x+2）．（x＞0）‎ 即y关于x的函数关系式是：y=‎3‎‎2‎x+‎3‎． （3分）‎ 点评：本题把图形的旋转，与三角形的全等，三角函数，以及函数相结合，是一个比较难的题目．‎ ‎24、（2010•义乌市）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2﹣x1，并求出当S=36时点A1的坐标；‎ ‎（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1‎ 个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）已知了O、A、B的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得到其对称轴方程和顶点M的坐标．‎ ‎（2）在两条直线平移的过程中，梯形的上下底发生了改变，但是梯形的高没有变化，仍为3，即y2﹣y1=3，可根据抛物线的解析式，用x1、x2表示出y1、y2，然后联立y2﹣y1=3，可得到第一个关于x1、x2的关系式①；在两条直线平移过程中，抛物线的对称轴没有变化，可用x1、x2以及抛物线的对称轴解析式表示出梯形上下底的长，进而可得到梯形面积的表达式，这样可得到另外一个x1、x2的关系式②，联立两个关系式，即可得到关于（x2﹣x1）与S的关系式③，将S=36代入②③的关系式中，即可列方程组求得x1、x2的值，进而可求出A点的坐标．‎ ‎（3）要解答此题，首先要弄清几个关键点：‎ 一、当PQ∥AB时，设直线AB与抛物线对称轴的交点为E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的长，而E点坐标易求得，根据相似三角形所得比例线段，即可得到此时t的值即t=‎15‎‎7‎；‎ 二、当P、Q都停止运动时，显然BC＞DM，所以此时t=DM÷1=3‎1‎‎8‎；‎ 可分两种情况讨论：‎ ‎①当0＜t＜‎15‎‎7‎时，设直线PQ与直线AB的交点为F，与x轴的交点为G；由题意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x轴，则∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可证得△DPQ∽△DEB，DB、DE的长已求得，可用t表示出DP、DQ的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得此时t的值；‎ ‎②当‎15‎‎7‎＜t＜3‎1‎‎8‎时，方法同①；‎ 在求得t的值后，还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去．‎ 解答：解：（1）对称轴：直线x=1，‎ 解析式：y=‎1‎‎8‎x‎2‎﹣‎1‎‎4‎x，‎ 顶点坐标：M（1，﹣‎1‎‎8‎）．‎ ‎（2）由题意得y2﹣y1=3，y2﹣y1=‎1‎‎8‎x‎2‎‎2‎﹣‎1‎‎4‎x‎2‎﹣‎1‎‎8‎x‎1‎‎2‎+‎1‎‎4‎x‎1‎=3，‎ 得：（x2﹣x1）[‎1‎‎8‎（x2+x1）﹣‎1‎‎4‎]=3①，‎ s=‎2（x‎1‎﹣1+x‎2‎﹣1）×3‎‎2‎=3（x1+x2）﹣6，‎ 得：x1+x2=s‎3‎+2②，‎ 把②代入①并整理得：x2﹣x1=‎72‎s（S＞0），‎ 当s=36时，‎&x‎2‎+x‎1‎=14‎‎&x‎2‎﹣x‎1‎=2‎，‎ 解得：‎&x‎1‎=6‎‎&x‎2‎=8‎，‎ 把x1=6代入抛物线解析式得y1=3，‎ ‎∴点A1（6，3）．‎ ‎（3）存在 易知直线AB的解析式为y=‎3‎‎4‎x﹣‎3‎‎2‎，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，﹣‎3‎‎4‎），‎ ‎∴BD=5，DE=‎15‎‎4‎，DP=5﹣t，DQ=t，‎ 当PQ∥AB时，DQDE=DPDB，t‎15‎‎4‎=‎5﹣t‎5‎，‎ 得t=‎15‎‎7‎，‎ 下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G；‎ ‎①当0＜t＜‎15‎‎7‎时，如图1﹣1；‎ ‎∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ，‎ ‎∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB，‎ ‎∴DQDB=DPDE，‎ ‎∴t‎5‎=‎5﹣t‎15‎‎4‎，‎ 得t=‎20‎‎7‎＞‎15‎‎7‎，‎ ‎∴t=‎20‎‎7‎（舍去）；‎ ‎②当‎15‎‎7‎＜t＜3‎1‎‎8‎时，如图1﹣2；‎ ‎∵△FQE∽△FAG，‎ ‎∴∠FAG=∠FQE，‎ ‎∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，‎ ‎∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB，‎ ‎∴DQDB=DPDE，‎ ‎∴t‎5‎=‎5﹣t‎15‎‎4‎，‎ ‎∴t=‎20‎‎7‎；‎ ‎∴当t=‎20‎‎7‎秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．‎ 点评：本题是二次函数的综合类试题，涉及到：二次函数解析式的确定、等腰梯形的性质、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等重要知识；在（3）题中能够正确的画出图形，并准确的找到所求的三角形是解答此题的关键．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ lanchong；张伟东；MMCH；zhangchao；开心；lihongfang；Linaliu；zhjh；wenming；HJJ；bjy；mama258；ln_86；nhx600；shenzigang；CJX；csiya。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日