2013年湖南省湘西自治州中考数学试题（含答案） 8页

‎2013年湘西土家族苗族自治州初中毕业学业考试数学试题卷 姓名: 准考证号: ‎ ‎---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‎ 注意事项：‎ ‎1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．‎ ‎2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚．‎ ‎3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回．‎ ‎4．本试卷三大题，25小题，时量120分钟，满分120分．‎ ‎---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‎ 一、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分，将正确答案填在答题卡相应横线上）‎ ‎1．-2013的绝对值是 ．‎ ‎2．如图，直线a和直线b相交于点O，∠1=50°， 则∠2= 度.‎ ‎（第2题图）‎ ‎3．吉首至怀化的高速公路2012年12月23日顺利通车后，赴凤凰古城游玩的游客越来越多. 据统计，今年春节期间，凤凰古城接待游客约为210000人，其中210000人用科学记数法表示为 人.‎ ‎4．函数中，自变量x的取值范围是 .‎ ‎5．下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为3时，‎ ‎ 则输出的数值为 .（用科学计算器计算或笔算）‎ ‎ 输入x 平方 -2 ÷7 输出 ‎ ‎（第6题图）‎ ‎6．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞 ‎ 镖均落在纸板上），则飞镖恰好落在阴影区域的概率是 .‎ 二、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡上）‎ ‎7．下列运算正确的是 ‎ ‎ A．a2·a4=a8 B． C． D．2a+3a=5a ‎8．若x＞y，则下列式子错误的是 ‎ A．＞ B．＞ C．＞ D．＞‎ ‎9．下列图形中，是圆锥侧面展开图的是 ‎ ‎ ‎10．在某次体育测试中，九年级(2)班6位同学的立定跳远成绩(单位：米)分别是：1.83, 1.85, 1.96, 2.08, 1.85, 1.98, 则这组数据的众数是 A． 1.83 B． 1.85 C．2.08 D．1.96‎ ‎11．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如 ‎ 下图形. 其中∠C=90°, ∠B=45°, ∠E=30°,则∠BFD的度数是 A．15° B．25° ‎ C．30° D．10°‎ ‎（第11题图）‎ 12． 下列说法中，正确的是 A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．矩形的对角线一定互相垂直 ‎13．如图，在平面直角坐标系中，将点A(-2, 3)向右平移3个单 ‎ 位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是 A．(-2, -3) B．(-2, 6) ‎ C．(1, 3) D．(-2, 1)‎ ‎（第13题图）‎ ‎14．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和5cm，若圆心距 ‎ O1O2=8cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ‎ A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 ‎15．小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步回到家里. 下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系的大致图象是 ‎ A B C D ‎16．如图，在ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长 ‎ BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是 ‎（第16题图）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题（本大题9小题，共72分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算 或证明的主要步骤）‎ ‎17．（本题5分）计算：()‎ ‎18．（本题5分）解方程组：‎ ‎ ‎ ‎19．（本题8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是 ‎ 边AB、CD的中点，连接AF，CE.‎ ‎ （1）求证：△BEC≌△DFA；‎ ‎ （2）求证：四边形AECF是平行四边形.‎ ‎（第19题图）‎ ‎ ‎ ‎20．（本题8分）雅安地震，牵动着全国人民的心，地震后某中学举行了爱心捐款活动，下图是该校九年级某班学生为雅安灾区捐款情况绘制的不完整的条形统计图和扇形统计图.‎ ‎ （1）求该班人数；‎ ‎ （2）补全条形统计图；‎ ‎ （3）在扇形统计图中，求捐款“15元 ‎ 人数”所在扇形的圆心角 ‎ 的度数；‎ ‎ （4）若该校九年级有800人，据此样本，‎ ‎ 请你估计该校九年级学生共捐款多 ‎（第20题图）‎ ‎ 少元?‎ ‎21．（本题6分）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣示主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动. 如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船的距离最短.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（1）请在图中作出该船在点B处的位置；‎ ‎ （2）求钓鱼岛C到B处的距离（结果保留根号）.‎ ‎（第21题图）‎ ‎22．（本题6分）吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑车学生的速度.‎ ‎（第22题图）‎ ‎23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.‎ ‎ （1）求DE的长；‎ ‎ （2）求△ADB的面积.‎ ‎（第23题图）‎ ‎24．（本题8分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A(m, 2).‎ ‎ （1）求m的值;‎ ‎ （2）求正比例函数y=kx的解析式;‎ ‎ （3）试判断点B(2, 3)是否在正比例函数图象上，‎ ‎ 并说明理由.‎ ‎（第24题图）‎ ‎25．（本题20分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点坐标为A(-2, 0).‎ ‎ （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；‎ ‎ （2）求C点坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；‎ ‎ （3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由;‎ ‎ （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎2013年湘西土家族苗族自治州初中毕业学业考试数学参考答案及评分标准 一、填空题：(本题6小题，每题3分，共18分，填错记0分)‎ ‎1．2013 2．50° 3． 2.1×105 4．x≥ 5．1 6．‎ 二、选择题(每小题3分，共30分)‎ ‎7．D 8．B 9．B 10．B 11．A ‎12．C 13．C 14．D 15．C 16．A 三、解答题(本题9个题，共72分)‎ ‎17．(本题5分)‎ 解：原式………………………………3分 ‎ =………………………………………5分 ‎ （其中，,三个信息点每对一个给1分） ‎ ‎18．（本题5分）‎ 解：①+②得 ‎ ‎ ‎ ∴………………………………………2分 ‎ 把代入①得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………………4分 ‎ ∴ 方程组的解为：………………5分 ‎ （其他解法，酌情分步给分）‎ ‎19．（本题8分）‎ 证明：（1）∵四边形是矩形 ‎ ‎ ∴ ……………………1分 ‎ 又∵分别是、的中点，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴…………………………………………………2分 ‎ 在△BEC和△DFA中 ‎ ∵‎ ‎ ∴△BEC≌△DFA…………………………………………5分 ‎ （2）∵四边形是矩形 ‎ ∴AB∥CD，‎ ‎ ∴AE∥CF……………………………………………………6分 ‎ ∵‎ ‎ ∴AE=CF……………………………………………………7分 ‎ ∴四边形AECF是平行四边形……………………………8分 ‎20．（本题8分）‎ 解：（1）该班人数为15÷30％＝50（人）………2分 ‎ （2）补全的条形统计图如右图所示 ………4分 ‎ （3）捐款15元的人数所在扇形的圆心角∠AOB度数为：‎ ‎ ∠AOB =…………………………6分 ‎ （4）该班共捐款：（元）…………………7分 ‎ 该校九年级共捐款数：（元 ）……………………8分 ‎21．（本题6分）‎ 解：（1）如图，过点C作CB⊥AD于B，B点即为该海监船现在所处的位置…………2分 ‎ （2）在Rt△ABC中，∠CBA=90°, AB=0.5×30=15(海里), ∠BAC=30°[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎ …………………………………3分 ‎ BC=AB·tan30°…………………………………4分 ‎ =15×………………………………………5分 ‎ =(海里) …………………………………6分 ‎ 答：钓鱼岛C到B处的距离为海里. ‎ ‎22．（本题6分）‎ 解：设骑自行车学生的速度为x km/h ……………………………1分 ‎ 则有， …………………………………………4分 ‎ ……………………………………………………5分 ‎ 检验：∵时，‎ ‎ ∴ 是原分式方程的解. ‎ ‎ 答：骑车学生的速度为20 km/h. ……………………………6分 ‎23．（本题6分）‎ 解：（1）在Rt△中，∠C=90°，则AC⊥CD …………1分 ‎ ‎ ∵ AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC …………2分[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎ ∴ DE=CD=3…………………………………………3分 ‎ （亦可用证三角形全等的方法来做，酌情给分）‎ ‎ （2）在Rt△中，‎ ‎ ………………5分 ‎ ∴△的面积为 ‎ ………………6分 ‎24．（本题8分）‎ 解：（1）∵点A(m, 2)在反比例函数的图象上,‎ ‎ ∴,………………………………………………1分 ‎ ……………………………………………………2分 ‎ （2）∵‎ ‎ ∴点A(1, 2) …………………………………………3分 ‎ 又A(1, 2)在正比例函数的图象上 ‎ ∴ ‎ ‎ 即 ………………………………………………4分[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ∴ 正比例函数的解析式为 …………………5分 ‎ （3）可知点B(2, 3)不在正比例函数的图象上. ……………6分 ‎ 理由如下: 对于点B(2, 3)，把代入式子中 ‎ 有……………………………………7分 ‎ ∴点B(2, 3)不在正比例函数的图象上…………………8分 ‎25．（本题20分）‎ 解：（1）∵抛物线的图象经过点A(-2, 0)‎ ‎ ∴有………………………1分 ‎ ∴‎ ‎ ∴ ………………………………………………2分 ‎ ∴ 抛物线解析式为 ……………3分 ‎ ∴对称轴方程为：‎ ‎ 即为所求………………………………………4分 ‎ （或用配方法求出对称轴方程，酌情给分）‎ ‎ （2）在中，令则 ‎ ‎ ‎ ∴ 点C(0, 4) ……………………………………………1分 ‎ 令，则………………………2分 ‎ ‎ ‎ …………………………………………3分 ‎ ∴ A(-2, 0） B(8, 0) …………………………………4分 ‎ 设直线BC的解析式为，‎ ‎ 把B(8, 0), C(0, 4)的坐标分别代入解析式 ‎ 则有， ……………………………………5分[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ 直线BC的解析式为 …………………6分 ‎ （3）可判定△AOC∽△COB成立.…………………………1分 ‎ 理由如下：在△AOC与△COB中 ‎ ∵OA=2 ，OC=4 ，OB=8‎ ‎ ∴ ………………………2分 ‎ ∴有，………………………………………3分 又∠AOC=∠BOC=90°…………………………………4分 ‎ ∴△AOC∽△COB………………………………………5分 ‎ ‎ ‎ （4）∵抛物线的对称轴方程为：‎ ‎ 可设点Q(3, t)则可求得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………1分 ‎ i）当时，‎ ‎ 有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ Q1(3, 0) …………………2分 ‎ ii）当时，‎ ‎ 有 ‎ ，此时方程无实数根.‎ ‎（第25题图）‎ ‎ ∴ 此时△ACQ不能构成等腰三角形……3分 ‎ iii）当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ 点Q坐标为：Q2(3, ) Q3(3, )…………………5分 ‎ 故满足条件的Q点坐标为：Q1(3, 0), Q2(3, ) ， Q3(3, )‎