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  • 2021-11-11 发布

2010年辽宁省锦州市中考数学试卷

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一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎1、(2010•锦州)太阳的直径约为1 390 000千米,这个数用科学记数法表示为(  )‎ ‎ A、0.139×107千米 B、1.39×106千米 ‎ C、13.9×105千米 D、139×104千米 考点:科学记数法—表示较大的数。‎ 专题:应用题。‎ 分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.‎ 解答:解:1 390 000=1.39×106千米.故选B.‎ 点评:用科学记数法表示数,一定要注意a的形式,以及指数n的确定方法.‎ ‎2、(2010•锦州)﹣6的倒数是(  )‎ ‎ A、6 B、﹣6‎ ‎ C、‎1‎‎6‎ D、﹣‎‎1‎‎6‎ 考点:倒数。‎ 分析:根据倒数的定义求解.‎ 解答:解:﹣6的倒数是﹣‎1‎‎6‎.‎ 故选D.‎ 点评:倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.‎ ‎3、(2010•锦州)如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的左视图是(  )‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点:简单组合体的三视图。‎ 分析:找到从左面看所得到的图形即可.‎ 解答:解:从物体左面看,左边2列,右边是1列.故选A.‎ 点评:本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图,解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项.‎ ‎4、(2010•锦州)不等式组:‎&8﹣3x≥﹣1‎‎&x﹣1>0‎的解集是(  )‎ ‎ A、x≤3 B、1<x≤3‎ ‎ C、x≥3 D、x>1‎ 考点:解一元一次不等式组。‎ 分析:首先把两条不等式的解集分别解出来,再根据大大取大,小小取小,比大的小比小的大取中间,比大的大比小的小无解的原则,把不等式的解集用一条式子表示出来.‎ 解答:解:由(1)x≤3,‎ 由(2)x>1,‎ 所以1<x≤3.‎ 故选B.‎ 点评:本题考查不等式组的解法,一定要把每条不等式的解集正确解出来.‎ ‎5、(2010•锦州)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点:中心对称图形;轴对称图形;生活中的旋转现象。‎ 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ 解答:解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;‎ B、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;‎ C、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;‎ D、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意.‎ 故选B.‎ 点评:掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.‎ 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.‎ 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.‎ 轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.‎ ‎6、(2010•锦州)如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠B=23°,∠A的度数是(  )‎ ‎ A、61° B、60°‎ ‎ C、37° D、39°‎ 考点:三角形的外角性质。‎ 分析:作直线AD,根据三角形的外角性质可得:∠3=∠B+∠1,∠4=∠C+∠2,从而推出∠BAC=∠1+∠2=∠3+∠4﹣∠B﹣∠D=37°.‎ 解答:解:作直线AD,‎ ‎∴∠3=∠B+∠1﹣﹣﹣(1)‎ ‎∴∠4=∠C+∠2﹣﹣﹣(2)‎ 由(1)、(2)得:∠3+∠4=∠B+∠D+∠1+∠2,‎ 即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC,‎ ‎∵∠BDC=98°,∠C=38°,∠B=23°‎ ‎∴∠BAC=98°﹣38°﹣23°=37°.‎ 故选C.‎ 点评:解答此题的关键是构造三角形,应用三角形内角与外角的关系解答.‎ ‎7、(2010•锦州)如图是由四个全等的直角三角形围成的,若两条直角边分别为3和4,则向图中随机抛掷一枚飞镖,飞镖落在阴影区域的概率是(不考虑落在线上的情形)(  )‎ ‎ A、‎3‎‎5‎ B、‎‎4‎‎5‎ ‎ C、‎16‎‎25‎ D、‎‎25‎‎49‎ 考点:几何概率。‎ 分析:根据直角三角形的性质,求出阴影部分面积和总面积,计算出二者的比值即可.‎ 解答:解:根据题意分析可得:阴影部分为正方形,边长为5,故面积为25;‎ 总面积为(3+4)2=49,故飞镖落在阴影区域的概率是‎25‎‎49‎.‎ 故选D.‎ 点评:本题考查几何概率的求法:首先根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件(A)发生的概率.‎ ‎8、(2010•锦州)如图所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连接DN、EM,若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm,则图中阴影部分的面积为(  )‎ ‎ A、1cm2 B、1.5cm2‎ ‎ C、2cm2 D、3cm2‎ 考点:三角形中位线定理。‎ 专题:整体思想。‎ 分析:根据题意,易得MN=DE,从而证得△MNO≌△EDO,再进一步求△ODE的高,进一步求出阴影部分的面积.‎ 解答:解:连接MN,作AF⊥BC于F.‎ ‎∵AB=BC,‎ ‎∴BF=CF=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎×8=4,‎ 在Rt△ABF中,AF=AB‎2‎‎﹣‎BF‎2‎=‎5‎‎2‎‎﹣‎‎4‎‎2‎‎=3‎,‎ ‎∵M、N分别是AB,AC的中点,‎ ‎∴MN是中位线,即平分三角形的高且MN=8÷2=4,‎ ‎∴NM=DE,‎ ‎∴△MNO≌△EDO,O也是ME,ND的中点,∴阴影三角形的高是1.5÷2=0.75,∴S阴影=4×0.75÷2=1.5.故选B.‎ 点评:本题的关键是利用中位线的性质,求得阴影部分三角形的高,再利用三角形的面积公式计算.‎ 二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎9、(2010•锦州)函数y=‎xx﹣3‎的自变量x的取值范围为 .‎ 考点:函数自变量的取值范围;分式有意义的条件;二次根式有意义的条件。‎ 专题:计算题。‎ 分析:根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.‎ 解答:解:根据题意得:‎&x﹣3‎≠0‎‎&x﹣3≥0‎,即x﹣3>0,‎ 解得x>3.‎ 点评:函数自变量的范围一般从三个方面考虑:‎ ‎(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;‎ ‎(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;‎ ‎(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.‎ ‎10、(2010•淄博)分解因式:a2b﹣2ab2+b3= .‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析:先提取公因式,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.‎ 解答:解:a2b﹣2ab2+b3=b(a2﹣2ab+b2)﹣﹣(提取公因式)‎ ‎=b(a﹣b)2(完全平方公式).‎ 点评:本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行两次分解,注意分解要彻底.‎ ‎11、(2010•锦州)反比例函数y=kx的图象经过点(﹣2,3),则k等于 .‎ 考点:待定系数法求反比例函数解析式。‎ 专题:计算题;待定系数法。‎ 分析:将点(﹣2,3)代入解析式可求出k的值.‎ 解答:解:把(﹣2,3)代入函数y=kx中,得3=k‎﹣2‎,解得k=﹣6.‎ 故答案为﹣6.‎ 点评:主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式.先设y=kx,再把已知点的坐标代入可求出k值,即得到反比例函数的解析式.‎ ‎12、(2010•锦州)小亮练习射击,第一轮10枪打完后他的成绩如图,他10次成绩的方差是 .‎ 考点:方差。‎ 专题:计算题;图表型。‎ 分析:首先计算成绩的平均数,再根据方差公式计算.方差S2=‎1‎n[(x1﹣x)2+(x2﹣x)2+…+(xn﹣x)2].‎ 解答:解:数据的平均数=‎1‎‎10‎(4+10+8+4+2+6+8+6+8+4)=6,‎ 方差=‎1‎‎10‎(4+16+4+4+16+4+4+4+4)=5.6.‎ 故填5.6.‎ 点评:本题考查了方差的定义与意义:一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为x,则方差S2=‎1‎n[(x1﹣x)2+(x2﹣x)2+…+(xn﹣x)2],它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.‎ ‎13、(2010•锦州)将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥,这个圆锥的高是3‎3‎,则圆锥的侧面积是 .‎ 考点:圆锥的计算;勾股定理。‎ 分析:由于圆锥的高,底面半径,圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中,故可得到底面半径是3,母线长是6,底面圆周长是6π,再由圆锥的侧面积公式计算.‎ 解答:解:∵圆锥的高,底面半径,圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中,‎ ‎∴底面半径是3,母线长是6,‎ ‎∴底面圆周长是6π,‎ ‎∴圆锥的侧面积是‎1‎‎2‎×6π×6=18π.‎ 故本题答案为:18π.‎ 点评:本题解决的关键就是掌握圆锥的侧面展开图与圆锥的关系.‎ ‎14、(2010•锦州)为了估计不透明的袋子里装有多少白球,先从袋中摸出10个球都做上标记,然后放回袋中去,充分摇匀后再摸出10‎ 个球,发现其中有一个球有标记,那么你估计袋中大约有 个白球.‎ 考点:利用频率估计概率。‎ 专题:应用题。‎ 分析:根据概率公式,设袋中大约有x个球,由题意得‎10‎x=‎1‎‎10‎,求解即可.‎ 解答:解:∵摸出10个球,发现其中有一个球有标记,‎ ‎∴带有标记的球的频率为‎1‎‎10‎,设袋中大约有x个球,由题意得‎10‎x=‎1‎‎10‎,‎ ‎∴x=100个.‎ 故本题答案为:100.‎ 点评:本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是根据白球的频率得到相应的等量关系.‎ ‎15、(2010•锦州)如图所示,点A、B在直线MN上,AB=11cm,⊙A、⊙B的半径均为1cm,⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0),当点A出发后 秒两圆相切.‎ 考点:圆与圆的位置关系。‎ 专题:分类讨论。‎ 分析:根据两圆相切时,两圆的半径与圆心距的关系,注意有4种情况.‎ 解答:解:分四种情况考虑:‎ ‎①当首次外切时,有2t+1+1+t=11,解得:t=3;‎ ‎②当首次内切时,有2t+1+t﹣1=11,解得:t=‎11‎‎3‎;‎ ‎③当再次内切时,有2t﹣(1+t﹣1)=11,解得:t=11;‎ ‎④当再次外切时,有2t﹣(1+t)﹣1=11,解得:t=13.‎ ‎∴当点A出发后3、‎11‎‎3‎、11、13秒两圆相切.‎ 点评:本题考查了两圆相切时,两圆的半径与圆心距的关系,注意有4种情况.‎ ‎16、(2010•锦州)图中的圆与正方形各边都相切,设这个圆的面积为S1;图2中的四个圆的半径相等,并依次外切,且与正方形的边相切,设这四个圆的面积之和为S2;图3中的九个圆半径相等,并依次外切,且与正方形的各边相切,设这九个圆的面积之和为S3,…依此规律,当正方形边长为2时,第n个图中所有圆的面积之和Sn= .‎ 考点:相切两圆的性质。‎ 专题:规律型。‎ 分析:先从图中找出每个图中圆的面积,从中找出规律,再计算面积和.‎ 解答:解:根据图形发现:‎ 第一个图中,圆的半径平方是正方形边长的‎1‎‎4‎;‎ 第二个图中,所有圆的半径平方之和是正方形边长的‎1‎‎4‎;‎ 依次类推,则第n个图中所有圆的面积之和Sn和第一个图中的圆的面积都是相等的,即为π.‎ 点评:观察图形,即可发现这些图中,每一个图中的所有的圆面积和都相等.‎ 三、解答题(共10小题,满分102分)‎ ‎17、(2010•锦州)先化简‎2x﹣4‎x‎2‎‎﹣4‎÷‎2xx+2‎﹣1,再任选一个你喜欢的数代入求值.‎ 考点:分式的化简求值。‎ 专题:开放型。‎ 分析:先把分式化简,再把数代入,x取0,±2以外的任何数.‎ 解答:解:原式=‎2(x﹣2)‎‎(x+2)(x﹣2)‎×x+2‎‎2x﹣1(3分)‎ ‎=‎1‎x﹣1(1分)‎ ‎=‎1‎x﹣xx(1分)‎ ‎=‎1﹣xx.(1分)‎ ‎(x只要不取0,±2均可)‎ 如当x=1时,(1分)‎ 原式=‎1﹣1‎‎1‎=0.(1分)‎ 点评:分式的混合运算,因式分解、约分是关键.‎ ‎18、(2010•锦州)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度.‎ ‎(1)将△ABC向右移平2个单位长度,作出平移后的△A1B1C1,并写出△A1B1C1‎ 各顶点的坐标;‎ ‎(2)若将△ABC绕点(﹣1,0)顺时针旋转180°后得到△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;‎ ‎(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某点成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,说明理由.‎ 考点:作图-旋转变换;作图-平移变换。‎ 专题:网格型。‎ 分析:(1)根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标,依次为A1(0,4),B1(﹣2,2),C1(﹣1,1);顺次连接即可得到答案;‎ ‎(2)根据旋转中心对称的规律可得:旋转后对应点的坐标,依次为A2(0,﹣4),B2(2,﹣2),C2(1,﹣1);顺次连接即可;‎ ‎(3)观察可得,△A1B1C1与△A2B2C2关于点(0,0)成中心对称.‎ 解答:解:(1)A1(0,4),B1(﹣2,2),C1(﹣1,1);(3分)(图形正确给(2分),坐标正确给1分)‎ ‎(2)A2(0,﹣4),B2(2,﹣2),C2(1,﹣1);(3分)‎ ‎(图形正确给(2分),坐标正确给1分)‎ ‎(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点(0,0)成中心对称.(2分)(指出是中心对称给(1分),写出点的坐标给1分)‎ 点评:本题通过图象的平移,感受平移在生活中的应用,体会数学与生活的紧密联系,考查学生的动手能力.注意平移关键是先确定几个关健点,接着把这几个点分别移动,再连成图形便可.‎ ‎19、(2010•锦州)某校开展以“庆国庆60周年”为主题的艺术活动,举办了四个项目的比赛.它们分别是:A演讲、B唱歌、C书法、D绘画.要求每位同学必须参加且限报一项.以九年(一)班为样本进行统计,并将统计结果绘制如下两幅统计图,请你结合图中所给出的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比;‎ ‎(2)求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在的扇形圆心角的度数;‎ ‎(3)若该校九年级学生共有500人,请你估计这次活动中参加演讲和唱歌的学生共有多少人?‎ 考点:扇形统计图;用样本估计总体;条形统计图。‎ 专题:图表型。‎ 分析:(1)从表中可看出总人数=13+25+10+2=50,绘画人数除50即可.‎ ‎(2)两图结合,按频数和频率的关系知c=20%,由此即可求出相应圆心角的度数;‎ ‎(3)利用样本估计总体即可.‎ 解答:解:(1)∵九年(一)班学生数为25÷50%=50(人),‎ ‎∴参加绘画的D项人数占全班总人数的百分比为2÷50=4%.‎ ‎(2)360°×(1﹣26%﹣50%﹣4%)=72°.‎ ‎∴参加书法比赛的C项所在的扇形圆心角的度数是72°.‎ ‎(3)根据题意:A项和B项学生的人数和占全班总人数的76%.‎ ‎∴500×76%=380(人).‎ ‎∴估计这次活动中参加演讲和唱歌的学生共有380人.‎ 点评:懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎20、(2010•锦州)为了加快城市经济发展,某市准备修建一座横跨南北的大桥.如图所示,测量队在点A处观测河对岸水边有一点C,测得C在北偏东60°的方向上,沿河岸向东前行30米到达B处,测得C在北偏东45°的方向上,请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度.(结果保留根号)‎ 考点:解直角三角形的应用-方向角问题。‎ 专题:计算题。‎ 分析:过点C作CD⊥AB于D.分别在Rt△ACD和Rt△BCD中,运用三角函数定义求解.‎ 解答:解:过点C作CD⊥AB于D.‎ 设CD=x米.‎ 在Rt△BCD中,∠CBD=45°,‎ ‎∴BD=CD=x米.‎ 在Rt△ACD中,∠DAC=30°,AD=AB+BD=(30+x)米.‎ ‎∵tan∠DAC=CDAD,‎ ‎∴‎3‎‎3‎=x‎30+x.‎ ‎∴x=15‎3‎+15.‎ 答:这条河的宽度为(15‎3‎+15)米.‎ 点评:‎ 解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.‎ ‎21、(2010•锦州)小刚和小明玩“石头”、“剪子”、“布”的游戏,游戏的规则为:“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”,若两人所出手势相同,则为平局.‎ ‎(1)玩一次小刚出“石头”的概率是多少?‎ ‎(2)玩一次小刚胜小明的概率是多少,用列表法或画树状图法加以说明.‎ 考点:列表法与树状图法。‎ 分析:根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数;二者的比值就是其发生的概率的大小.‎ 解答:解:(1)小刚有三种出发,则出“石头”的概率P(玩一次小刚出“石头”)=‎1‎‎3‎;‎ ‎(2)树状图:(6分)‎ 由树状图可知,可能出现的结果有9种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有3种,所以P(玩一次小刚胜小明)=‎1‎‎3‎;(1分)‎ 列表:(4分)‎ 由列表可知,可能出现的结果有9种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有3种,‎ 所以P(玩一次小刚胜小明)=‎1‎‎3‎.(1分)‎ 点评:本题考查随机事件率的求法与运用,一般方法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=mn.‎ ‎22、(2010•锦州)根据规划设计,某市工程队准备在开发区修建一条长300米的盲道.铺设了60米后,由于采用新的施工方式,实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米,结果共用了8天完成任务,该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米?‎ 考点:分式方程的应用;解一元二次方程-因式分解法。‎ 专题:应用题。‎ 分析:本题的等量关系是工作时间=工作总量÷工作效率,根据“共用了8天完成任务”,可得出:原来铺设60米所用的时间+采用新的施工方式后实际所用的时间=8小时.‎ 解答:解:设该工程队改进技术后每天铺设盲道x米,则改进技术前每天铺设(x﹣10)米,‎ 根据题意,得‎60‎x﹣10‎+‎300﹣60‎x=8‎ 整理,得2x2﹣95x+600=0‎ 解得x1=40,x2=7.5‎ 经检验,x1=40,x2=7.5都是原方程的根,但x2=7.5不符合实际意义,舍去,‎ ‎∴x=40.‎ 答:该工程队改进技术后每天铺设盲道40米.‎ 点评:找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.本题主要考查的等量关系为:工作时间=工作总量÷工作效率,本题要注意采用新的施工方式前后工作总量的变化.‎ ‎23、(2010•锦州)如图,AB为⊙O的直径,D是弧BC的中点,DE⊥AC交AC的延长线于E,⊙O的切线BF交AD的延长线于F.‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若DE=3,⊙O的半径为5.求BF的长.‎ 考点:切线的判定;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。‎ 专题:综合题。‎ 分析:(1)连接BC、OD,由D是弧BC的中点,可知:OD⊥BC;由OB为⊙O的直径,可得:BC⊥AC,根据DE⊥AC,可证OD⊥DE,从而可证DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)在Rt△ABC中,运用勾股定理可将爱那个AC的长求出,运用切割线定理可将AE的长求出,根据△AED∽△ABF,可将BF的长求出.‎ 解答:证明:(1)连接OD,BC,OD与BC相交于点G,‎ ‎∵D是弧BC的中点,‎ ‎∴OD垂直平分BC,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴AC⊥BC,‎ ‎∴OD∥AE.‎ ‎∵DE⊥AC,‎ ‎∴OD⊥DE,‎ ‎∵OD为⊙O的半径,‎ ‎∴DE是⊙O的切线.‎ 解:(2)由(1)知:OD⊥BC,AC⊥BC,DE⊥AC,‎ ‎∴四边形DECG为矩形,‎ ‎∴CG=DE=3,‎ ‎∴BC=6.‎ ‎∵⊙O的半径为5,‎ ‎∴AB=10,‎ ‎∴AC=AB‎2‎‎﹣‎BC‎2‎=8,‎ 由(1)知:DE为⊙O的切线,‎ ‎∴DE2=EC•EA既32=(EA﹣8)EA,‎ 解得:AE=9.‎ ‎∵D为弧BC的中点,‎ ‎∴∠EAD=∠FAB,‎ ‎∵BF切⊙O于B,‎ ‎∴∠FBA=90°.‎ 又∵DE⊥AC于E,‎ ‎∴∠E=90°,‎ ‎∴∠FBA=∠E,‎ ‎∴△AED∽△ABF,‎ ‎∴BFDE‎=‎ABAE,‎ ‎∴BF‎3‎‎=‎‎10‎‎9‎,‎ ‎∴BF=‎10‎‎3‎.‎ 点评:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.‎ ‎24、(2010•锦州)某商场购进一批单价为50元的商品,规定销售时单价不低于进价,每件的利润不超过40%.其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;‎ ‎(2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额﹣总成本)为w元,求w与x之间的函数关系式,当销售单价为何值时,所获利润最大,最大利润是多少?‎ 考点:二次函数的应用;一次函数的应用。‎ 分析:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,利用图象经过点(60,400)和(70,300),利用待定系数法求解即可;‎ ‎(2)用x表示总利润,得到W=﹣10x2+1500x﹣50000,根据二次函数最值的求法求当销售单价为70元时,所获得利润有最大值为6000元.‎ 解答:解:(1)最高销售单价为50(1+40%)=70(元),(1分)‎ 根据题意,设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),(1分)‎ ‎∵函数图象经过点(60,400)和(70,300),‎ ‎∴‎&400=60k+b‎&300=70k+b,(1分)‎ 解得‎&k=﹣10‎‎&b=1000‎,‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y=﹣10x+1000,‎ x的取值范围是50≤x≤70;(2分)‎ ‎(2)根据题意,w=(x﹣50)(﹣10x+1000),(1分)‎ W=﹣10x2+1500x﹣50000,w=﹣10(x﹣75)2+6250,(1分)‎ ‎∵a=﹣10,∴抛物线开口向下,‎ 又∵对称轴是x=75,自变量x的取值范围是50≤x≤70,‎ ‎∴y随x的增大而增大,(1分)‎ ‎∴当x=70时,w最大值=﹣10(70﹣75)2+6250=6000(元),‎ ‎∴当销售单价为70元时,所获得利润有最大值为6000元.(2分)‎ 点评:主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力.要先根据题意列出函数关系式,再代数求值.解题的关键是要分析题意根据实际意义求解.注意:数学应用题来源于实践用于实践,在当今社会市场经济的环境下,应掌握一些有关商品价格和利润的知识,总利润等于总收入减去总成本,然后再利用二次函数求最值.‎ ‎25、(2010•锦州)如图,直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上,AD∥BC,AB⊥BC于点B,AD=4,AB=6,BC=8,直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等,将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动,当点C与点G重合时停止移动.设梯形与正方形重叠部分的面积为S.‎ ‎(1)求正方形的边长;‎ ‎(2)设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x,求S与x的函数关系式;‎ ‎(3)当直角梯形ABCD向右移动时,它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半?若能,请求出此时运动的距离x的值;若不能,请说明理由.‎ 考点:相似三角形的判定与性质;根据实际问题列一次函数关系式;根据实际问题列二次函数关系式;三角形的面积;正方形的性质;直角梯形。‎ 专题:开放型;分类讨论。‎ 分析:(1)可通过求出梯形的面积即正方形的面积来求正方形的边长.‎ ‎(2)由(1)的结果可看出AD,EF也在一条直线上,那么本题要分两种情况进行讨论.‎ ‎①当D在E点上或E点左侧时,即当0<x≤4时,重叠部分是个三角形,如果设DN与CE的交点为M,那么高就是CM底边就是CN,CN=x,CM可以通过构建相似三角形来求,过D作DH⊥BC于H,那么根据三角形CMN和HDN相似即可求出CM,也就能得出关于x,y的函数关系式.‎ ‎②当D在E点右侧时,即当4<x≤6时,重叠部分是直角梯形,而DE=CG﹣(8﹣x),然后根据梯形的面积公式即可得出x,y的函数关系式.‎ ‎(3)先求出梯形的面积,然后将其一半的值代入(2)的函数式中,求出符合题意的解即可.‎ 解答:解:(1)S正方形EFGC=S梯形ABCD=‎1‎‎2‎(4+8)×6=36.‎ 设正方形边长为x.‎ ‎∴x2=36,‎ ‎∴x1=6,x2=﹣6(不合题意,舍去).‎ ‎∴正方形的边长为6.‎ ‎(2)①当0<x≤4时,重叠部分为△MCN.‎ 过D作DH⊥BC于H,可得△MCN∽△DHN,‎ ‎∴MCDH=CNHN,‎ ‎∴MC‎6‎=X‎4‎,‎ ‎∴MC=‎3‎‎2‎x,‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎CN•CM=‎1‎‎2‎•x•‎3‎‎2‎x.‎ ‎∴S=‎3‎‎4‎x2.‎ ‎②当4<x≤6时,重叠部分为直角梯形ECND.‎ S=‎1‎‎2‎[4﹣(8﹣x)]×6,‎ ‎∴S=6x﹣12.‎ ‎(3)存在.‎ ‎∵S梯形ABCD=36,当0≤x<4时,S=‎3‎‎4‎x2,‎ ‎∴‎1‎‎2‎×36=‎3‎‎4‎x2,x=2‎6‎(取正值)>4‎ ‎∴此时x值不存在.‎ 当4≤x≤6时,S=6x﹣12,‎ ‎∴‎1‎‎2‎×36=6x﹣12,‎ ‎∴x=5.‎ 综上所述,当x=5时,重叠部分面积S等于直角梯形的一半.‎ 点评:本题主要考查了梯形、正方形的性质,相似三角形的判定和性质等知识点,(2)中要根据重合部分的形状的不同来分类讨论.不要漏解.‎ ‎26、(2010•锦州)如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根.‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;‎ ‎(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 考点:二次函数综合题。‎ 专题:压轴题。‎ 分析:(1)先通过解方程求出A,B两点的坐标,然后根据A,B,C三点的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式.‎ ‎(2)本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标.△CPE的面积无法直接表示出,可用△CPB和△BEP的面积差来求,设出P点的坐标,即可表示出BP的长,可通过相似三角形△BEP和△BAC求出.△BEP中BP边上的高,然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积,然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值.‎ ‎(3)本题要分三种情况进行讨论:‎ ‎①QC=BC,那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长.由此可得出Q点的坐标.‎ ‎②QB=BC,此时Q,C关于x轴对称,据此可求出Q点的坐标.‎ ‎③QB=QC,Q点在BC的垂直平分线上,可通过相似三角形来求出QC的长,进而求出Q点的坐标.‎ 解答:解:‎ ‎(1)∵x2﹣2x﹣8=0,∴(x﹣4)(x+2)=0.‎ ‎∴x1=4,x2=﹣2.‎ ‎∴A(4,0),B(﹣2,0).‎ 又∵抛物线经过点A、B、C,设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),‎ ‎∴‎&c=4‎‎&16a+4b+c=0‎‎&4a﹣2b+c=0‎.‎ ‎∴‎&a=﹣‎‎1‎‎2‎‎&b=1‎‎&c=4‎.‎ ‎∴所求抛物线的解析式为y=﹣‎1‎‎2‎x2+x+4.‎ ‎(2)设P点坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G.‎ ‎∵点B坐标为(﹣2,0),点A坐标(4,0),‎ ‎∴AB=6,BP=m+2.‎ ‎∵PE∥AC,‎ ‎∴△BPE∽△BAC.‎ ‎∴BPAB=EGCO.‎ ‎∴EG‎4‎=‎m+2‎‎6‎ ‎∴EG=‎2m+4‎‎3‎.‎ ‎∴S△CPE=S△CBP﹣S△EBP ‎=‎1‎‎2‎BP•CO﹣‎1‎‎2‎BP•EG ‎∴S△OPE=‎1‎‎2‎(m+2)(4﹣‎2m+4‎‎3‎)‎ ‎=﹣‎1‎‎3‎m2+‎2‎‎3‎m+‎8‎‎3‎.‎ ‎∴S△CPE=﹣‎1‎‎3‎(m﹣1)2+3.‎ 又∵﹣2≤m≤4,‎ ‎∴当m=1时,S△CPE有最大值3.‎ 此时P点的坐标为(1,0).‎ ‎(3)存在Q点,其坐标为Q1(1,1),Q2(1,‎11‎),Q3(1,﹣‎11‎),Q4(1,4+‎19‎),Q5(1,4﹣‎19‎)‎ 点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:‎ huangling;wdxwzk;zhehe;CJX;lzhzkkxx;csiya;MMCH;hnaylzhyk;lanyuemeng;算术;137-hui;lanyan;wdxwwzy;Linaliu;bjy;ln_86;ljj;mmll852;xiu;路斐斐;开心;lanchong;zxw;wangcen;HJJ;zhjh;fuaisu;xinruozai。(排名不分先后)‎ ‎2011年2月17日