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第 1页(共 32页)
2008~2019 北京中考数学分类(几何综合)
一.解答题(共 12 小题)
1.已知∠AOB=30°,H 为射线 OA 上一定点,OH= +1,P 为射线 OB 上一点,M 为线
段 OH 上一动点,连接 PM,满足∠OMP 为钝角,以点 P 为中心,将线段 PM 顺时针旋
转 150°,得到线段 PN,连接 ON.
(1)依题意补全图 1;
(2)求证:∠OMP=∠OPN;
(3)点 M 关于点 H 的对称点为 Q,连接 QP.写出一个 OP 的值,使得对于任意的点 M
总有 ON=QP,并证明.
2.如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 AB 上的一动点(不与点 A、B 重合),连接 DE,点 A
关于直线 DE 的对称点为 F,连接 EF 并延长交 BC 于点 G,连接 DG,过点 E 作 EH⊥
DE 交 DG 的延长线于点 H,连接 BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系,并证明.
3.在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,P 是线段 BC 上一动点(与点 B、C 不重合),连
接 AP,延长 BC 至点 Q,使得 CQ=CP,过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H,交 AB 于点 M.
(1)若∠PAC=
α
,求∠AMQ 的大小(用含
α
的式子表示).
(2)用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系,并证明.
第 2页(共 32页)
4.在等边△ABC 中,
(1)如图 1,P,Q 是 BC 边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB 的度数;
(2)点 P,Q 是 BC 边上的两个动点(不与点 B,C 重合),点 P 在点 Q 的左侧,且 AP
=AQ,点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M,连接 AM,PM.
①
依题意将图 2 补全;
②
小茹通过观察、实验提出猜想:在点 P,Q 运动的过程中,始终有 PA=PM,小茹把
这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法 1:要证明 PA=PM,只需证△APM 是等边三角形;
想法 2:在 BA 上取一点 N,使得 BN=BP,要证明 PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;
想法 3:将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到线段 BK,要证 PA=PM,只需证 PA=
CK,PM=CK…
请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PA=PM(一种方法即可).
5.在正方形 ABCD 中,BD 是一条对角线,点 P 在射线 CD 上(与点 C、D 不重合),连接
AP,平移△ADP,使点 D 移动到点 C,得到△BCQ,过点 Q 作 QH⊥BD 于 H,连接 AH,
PH.
(1)若点 P 在线段 CD 上,如图 1.
①
依题意补全图 1;
②
判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明;
(2)若点 P 在线段 CD 的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形 ABCD 的边长为 1,请
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写出求 DP 长的思路.(可以不写出计算结果)
6.在正方形 ABCD 外侧作直线 AP,点 B 关于直线 AP 的对称点为 E,连接 BE,DE,其中
DE 交直线 AP 于点 F.
(1)依题意补全图 1;
(2)若∠PAB=20°,求∠ADF 的度数;
(3)如图 2,若 45°<∠PAB<90°,用等式表示线段 AB,FE,FD 之间的数量关系,
并证明.
7.在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=
α
(0°<
α
<60°),将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60
°得到线段 BD.
(1)如图 1,直接写出∠ABD 的大小(用含
α
的式子表示);
(2)如图 2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明;
(3)在(2)的条件下,连接 DE,若∠DEC=45°,求
α
的值.
8.在△ABC 中,BA=BC,∠BAC=
α
,M 是 AC 的中点,P 是线段 BM 上的动点,将线段
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PA 绕点 P 顺时针旋转 2
α
得到线段 PQ.
(1)若
α
=60°且点 P 与点 M 重合(如图 1),线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D,请
补全图形,并写出∠CDB 的度数;
(2)在图 2 中,点 P 不与点 B,M 重合,线段 CQ 的延长线于射线 BM 交于点 D,猜想
∠CDB 的大小(用含
α
的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的
α
,当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置(不与点 B,M 重合)时,
能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D,且 PQ=QD,请直接写出
α
的范围.
9.在▱ ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F.
(1)在图 1 中证明 CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G 是 EF 的中点(如图 2),直接写出∠BDG 的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接 DB、DG(如图 3),求∠BDG 的
度数.
10.问题:已知△ABC 中,∠BAC=2∠ACB,点 D 是△ABC 内的一点,且 AD=CD,BD
=BA.探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1)当∠BAC=90°时,依问题中的条件补全右图;
观察图形,AB 与 AC 的数量关系为 ;当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠
DBC 的度数为 ;可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 ;
(2)当∠BAC<90°时,请你画出图形,研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与(1)
第 5页(共 32页)
中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
11.在平行四边形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋
转 90°得到线段 EF(如图 1)
(1)在图 1 中画图探究:
①
当 P1 为射线 CD 上任意一点(P1 不与 C 重合)时,连接 EP1;绕点 E 逆时针旋转 90
°得到线段 EG1.判断直线 FG1 与直线 CD 的位置关系,并加以证明;
②
当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时,连接 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90°
得到线段 EG2.判断直线 G1G2 与直线 CD 的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
(2)若 AD=6,tanB= ,AE=1,在
①
的条件下,设 CP1=x,S△P1FG1=y,求 y 与 x
之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围.
12.请阅读下列材料:
问题:如图 1,在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,点 A,B,E 在同一条直线上,P 是线段
DF 的中点,连接 PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,探究 PG 与 PC 的位置关系及
的值.
小聪同学的思路是:延长 GP 交 DC 于点 H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请
你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 的值;
(2)将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转,使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形
ABCD 的边 AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图 2).你在(1)中得到
的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;
(3)若图 1 中∠ABC=∠BEF=2
α
(0°<
α
<90°),将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转
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任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出 的值(用含
α
的式子表示).
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2008~2019 北京中考数学分类(几何综合)
参考答案与试题解析
一.解答题(共 12 小题)
1.已知∠AOB=30°,H 为射线 OA 上一定点,OH= +1,P 为射线 OB 上一点,M 为线
段 OH 上一动点,连接 PM,满足∠OMP 为钝角,以点 P 为中心,将线段 PM 顺时针旋
转 150°,得到线段 PN,连接 ON.
(1)依题意补全图 1;
(2)求证:∠OMP=∠OPN;
(3)点 M 关于点 H 的对称点为 Q,连接 QP.写出一个 OP 的值,使得对于任意的点 M
总有 ON=QP,并证明.
【解答】解:(1)如图 1 所示为所求.
(2)设∠OPM=
α
,
∵线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 150°得到线段 PN
∴∠MPN=150°,PM=PN
∴∠OPN=∠MPN﹣∠OPM=150°﹣
α∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°﹣∠AOB﹣∠OPM=180°﹣30°﹣
α
=150°﹣
α∴∠OMP=∠OPN
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(3)OP=2 时,总有 ON=QP,证明如下:
过点 N 作 NC⊥OB 于点 C,过点 P 作 PD⊥OA 于点 D,如图 2
∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°
∵∠AOB=30°,OP=2
∴PD= OP=1
∴OD=
∵OH= +1
∴DH=OH﹣OD=1
∵∠OMP=∠OPN
∴180°﹣∠OMP=180°﹣∠OPN
即∠PMD=∠NPC
在△PDM 与△NCP 中
∴△PDM≌△NCP(AAS)
∴PD=NC,DM=CP
设 DM=CP=x,则 OC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+1
∵点 M 关于点 H 的对称点为 Q
∴HQ=MH=x+1
∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
∴OC=DQ
在△OCN 与△QDP 中
∴△OCN≌△QDP(SAS)
∴ON=QP
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2.如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 AB 上的一动点(不与点 A、B 重合),连接 DE,点 A
关于直线 DE 的对称点为 F,连接 EF 并延长交 BC 于点 G,连接 DG,过点 E 作 EH⊥
DE 交 DG 的延长线于点 H,连接 BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系,并证明.
【解答】证明:(1)如图 1,连接 DF,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴DA=DC,∠A=∠C=90°,
∵点 A 关于直线 DE 的对称点为 F,
∴△ADE≌△FDE,
∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,
∴∠DFG=90°,
在 Rt△DFG 和 Rt△DCG 中,
∵ ,
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),
∴GF=GC;
(2)BH= AE,理由是:
证法一:如图 2,在线段 AD 上截取 AM,使 AM=AE,
∵AD=AB,
∴DM=BE,
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由(1)知:∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ADC=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,
∴2∠2+2∠3=90°,
∴∠2+∠3=45°,
即∠EDG=45°,
∵EH⊥DE,
∴∠DEH=90°,△DEH 是等腰直角三角形,
∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°,DE=EH,
∴∠1=∠BEH,
在△DME 和△EBH 中,
∵ ,
∴△DME≌△EBH(SAS),
∴EM=BH,
Rt△AEM 中,∠A=90°,AM=AE,
∴EM= AE,
∴BH= AE;
证法二:如图 3,过点 H 作 HN⊥AB 于 N,
∴∠ENH=90°,
由方法一可知:DE=EH,∠1=∠NEH,
在△DAE 和△ENH 中,
∵ ,
∴△DAE≌△ENH(AAS),
∴AE=HN,AD=EN,
∵AD=AB,
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN,
∴AE=BN=HN,
∴△BNH 是等腰直角三角形,
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∴BH= HN= AE.
3.在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,P 是线段 BC 上一动点(与点 B、C 不重合),连
接 AP,延长 BC 至点 Q,使得 CQ=CP,过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H,交 AB 于点 M.
(1)若∠PAC=
α
,求∠AMQ 的大小(用含
α
的式子表示).
(2)用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系,并证明.
【解答】解:(1)∠AMQ=45°+
α
;理由如下:
∵∠PAC=
α
,△ACB 是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°﹣
α
,
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∵QH⊥AP,
∴∠AHM=90°,
∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+
α
;
(2)PQ= MB;理由如下:
连接 AQ,作 ME⊥QB,如图所示:
∵AC⊥QP,CQ=CP,
∴∠QAC=∠PAC=
α
,
∴∠QAM=45°+
α
=∠AMQ,
∴AP=AQ=QM,
在△APC 和△QME 中,
,
∴△APC≌△QME(AAS),
∴PC=ME,
∵△MEB 是等腰直角三角形,
∴ PQ= MB,
∴PQ= MB.
方法二:也可以延长 AC 到 D,使得 CD=CQ.
则易证△ADP≌△QBM.
∴BM=PD= CD= QC= PQ,
即 PQ= MB.
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4.在等边△ABC 中,
(1)如图 1,P,Q 是 BC 边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB 的度数;
(2)点 P,Q 是 BC 边上的两个动点(不与点 B,C 重合),点 P 在点 Q 的左侧,且 AP
=AQ,点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M,连接 AM,PM.
①
依题意将图 2 补全;
②
小茹通过观察、实验提出猜想:在点 P,Q 运动的过程中,始终有 PA=PM,小茹把
这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法 1:要证明 PA=PM,只需证△APM 是等边三角形;
想法 2:在 BA 上取一点 N,使得 BN=BP,要证明 PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;
想法 3:将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到线段 BK,要证 PA=PM,只需证 PA=
CK,PM=CK…
请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PA=PM(一种方法即可).
【解答】解:(1)∵AP=AQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴∠APB=∠AQC,
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BAP=∠CAQ=20°,
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°;
(2)如图 2,∵AP=AQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴∠APB=∠AQC,
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BAP=∠CAQ,(将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到线段 BK,要证 PA=PM,
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只需证 PA=CK,PM=CK…
请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PA=PM)
∵点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M,
∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,
∴∠MAC=∠BAP,
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,
∴∠PAM=60°,
∵AP=AQ,
∴AP=AM,
∴△APM 是等边三角形,
∴AP=PM.证明△ABP≌△ACM≌△BCK
5.在正方形 ABCD 中,BD 是一条对角线,点 P 在射线 CD 上(与点 C、D 不重合),连接
AP,平移△ADP,使点 D 移动到点 C,得到△BCQ,过点 Q 作 QH⊥BD 于 H,连接 AH,
PH.
(1)若点 P 在线段 CD 上,如图 1.
①
依题意补全图 1;
②
判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明;
(2)若点 P 在线段 CD 的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形 ABCD 的边长为 1,请
写出求 DP 长的思路.(可以不写出计算结果)
【解答】解:(1)
①
如图 1;
第 15页(共 32页)
②
解法一:如图 1,连接 CH,
∵四边形 ABCD 是正方形,QH⊥BD,
∴∠HDQ=45°,
∴△DHQ 是等腰直角三角形.
∵DP=CQ,
在△HDP 与△HQC 中.
∵ ,
∴△HDP≌△HQC(SAS),
∴PH=CH,∠HPC=∠HCP.
∵BD 是正方形 ABCD 的对称轴,
∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,
∵∠HPC+∠DPH=180°,
∴∠DAH+∠DPH=180°,
∴∠ADP+∠AHP=180°,
∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°,
∴AH=PH,AH⊥PH.
解法二:如图 1,连接 CH,
∵QH⊥BD,
∴∠QHB=∠BCQ=90°,
∴B、H、C、Q 四点共圆,
∴∠DHC=∠BQC,
由正方形的性质可知∠DHC=∠AHD,
由平移性质可知∠BQC=∠APD,
∴∠AHD=∠APD,
∴A、H、P、D 四点共圆,
∴∠PAH=∠PDH=45°,∠AHP=∠ADP=90°,
∴△HAP 是等腰直角三角形,
∴AH=PH,AH⊥PH.
第 16页(共 32页)
(2)解法一:如图 2,
∵四边形 ABCD 是正方形,QH⊥BD,
∴∠HDQ=45°,
∴△DHQ 是等腰直角三角形.
∵△BCQ 由△ADP 平移而成,
∴PD=CQ.
作 HR⊥PC 于点 R,
∵∠AHQ=152°,
∴∠AHB=62°,
∴∠DAH=17°.
设 DP=x,则 DR=HR=RQ= .
∵tan17°= ,即 tan17°= ,
∴x= .
解法二:
由(1)
②
可知∠AHP=90°,
∴∠AHP=∠ADP=90°,
∴A、H、D、P 四点共圆,
又∠AHQ=152°,∠BHQ=90°,
∴∠AHB=152°﹣90°=62°,
由圆的性质可知∠APD=∠AHB=62°,
在 Rt△APD 中,∠PAD=90°﹣62°=28°,
∴PD=AD•tan28°=tan28°.
第 17页(共 32页)
6.在正方形 ABCD 外侧作直线 AP,点 B 关于直线 AP 的对称点为 E,连接 BE,DE,其中
DE 交直线 AP 于点 F.
(1)依题意补全图 1;
(2)若∠PAB=20°,求∠ADF 的度数;
(3)如图 2,若 45°<∠PAB<90°,用等式表示线段 AB,FE,FD 之间的数量关系,
并证明.
【解答】解:(1)如图 1 所示:
(2)如图 2,连接 AE,
则∠PAB=∠PAE=20°,AE=AB=AD,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠BAD=90°,
∴∠EAP=∠BAP=20°,
∴∠EAD=130°,
第 18页(共 32页)
∴∠ADF= =25°;
(3)如图 3,连接 AE、BF、BD,
由轴对称的性质可得:EF=BF,AE=AB=AD,
∠ABF=∠AEF=∠ADF,
∴∠BFD=∠BAD=90°,
∴BF2+FD2=BD2,
∴EF2+FD2=2AB2.
7.在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=
α
(0°<
α
<60°),将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60
°得到线段 BD.
(1)如图 1,直接写出∠ABD 的大小(用含
α
的式子表示);
(2)如图 2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明;
(3)在(2)的条件下,连接 DE,若∠DEC=45°,求
α
的值.
第 19页(共 32页)
【解答】(1)解:∵AB=AC,∠A=
α
,
∴∠ABC=∠ACB,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,
∴∠ABC=∠ACB= (180°﹣∠A)=90°﹣
α
,
∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC,∠DBC=60°,
即∠ABD=30°﹣
α
;
(2)△ABE 是等边三角形,
证明:连接 AD,CD,ED,
∵线段 BC 绕 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD,
则 BC=BD,∠DBC=60°,
∵∠ABE=60°,
∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣
α
,且△BCD 为等边三角形,
在△ABD 与△ACD 中
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=
α
,
∵∠BCE=150°,
∴∠BEC=180°﹣(30°﹣
α
)﹣150°=
α
=∠BAD,
在△ABD 和△EBC 中
∴△ABD≌△EBC(AAS),
第 20页(共 32页)
∴AB=BE,
∴△ABE 是等边三角形;
(3)解:∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,
∴∠DCE=150°﹣60°=90°,
∵∠DEC=45°,
∴△DEC 为等腰直角三角形,
∴DC=CE=BC,
∵∠BCE=150°,
∴∠EBC= (180°﹣150°)=15°,
∵∠EBC=30°﹣
α
=15°,
∴
α
=30°.
8.在△ABC 中,BA=BC,∠BAC=
α
,M 是 AC 的中点,P 是线段 BM 上的动点,将线段
PA 绕点 P 顺时针旋转 2
α
得到线段 PQ.
(1)若
α
=60°且点 P 与点 M 重合(如图 1),线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D,请
补全图形,并写出∠CDB 的度数;
(2)在图 2 中,点 P 不与点 B,M 重合,线段 CQ 的延长线于射线 BM 交于点 D,猜想
∠CDB 的大小(用含
α
的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的
α
,当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置(不与点 B,M 重合)时,
能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D,且 PQ=QD,请直接写出
α
的范围.
第 21页(共 32页)
【解答】解:(1)∵BA=BC,∠BAC=60°,M 是 AC 的中点,
∴BM⊥AC,AM=MC,
∵将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2
α
得到线段 PQ,
∴AM=MQ,∠AMQ=120°,
∴CM=MQ,∠CMQ=60°,
∴△CMQ 是等边三角形,
∴∠ACQ=60°,
∴∠CDB=30°;
(2)如图 2,连接 PC,AD,
∵AB=BC,M 是 AC 的中点,
∴BM⊥AC,
即 BD 为 AC 的垂直平分线,
∴AD=CD,AP=PC,PD=PD,
在△APD 与△CPD 中,
∵ ,
∴△APD≌△CPD(SSS),
∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∠ADC=2∠1,∠4=∠PCQ=∠PAD,
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°,
∴∠APQ+∠ADC=360°﹣(∠PAD+∠PQD)=180°,
∴∠ADC=180°﹣∠APQ=180°﹣2
α
,
∴2∠CDB=180°﹣2
α
,
第 22页(共 32页)
∴∠CDB=90°﹣
α
;
(3)如图 1,延长 BM,CQ 交于点 D,连接 AD,
∵∠CDB=90°﹣
α
,且 PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2
α
,
∵点 P 不与点 B,M 重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,
∵点 P 在线段 BM 上运动,∠PAD 最大为 2
α
,∠PAD 最小等于
α
,
∴2
α
>180°﹣2
α
>
α
,
∴45°<
α
<60°.
9.在▱ ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F.
(1)在图 1 中证明 CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G 是 EF 的中点(如图 2),直接写出∠BDG 的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接 DB、DG(如图 3),求∠BDG 的
度数.
【解答】(1)证明:如图 1,
第 23页(共 32页)
∵AF 平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,
∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF.
(2)解:连接 GC、BG,
∵四边形 ABCD 为平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形 ABCD 为矩形,
∵AF 平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF=45°,
∵∠DCB=90°,DF∥AB,
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF 为等腰直角三角形,
∵G 为 EF 中点,
∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∵△ABE 为等腰直角三角形,AB=DC,
∴BE=DC,
∵∠CEF=∠GCF=45°,
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG 与△DCG 中,
∵ ,
∴△BEG≌△DCG,
∴BG=DG,
∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°,
又∵∠DGC=∠BGA,
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∴∠BGA+∠DGA=90°,
∴△DGB 为等腰直角三角形,
∴∠BDG=45°.
(3)解:延长 AB、FG 交于 H,连接 HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,
∴四边形 AHFD 为平行四边形
∵∠ABC=120°,AF 平分∠BAD
∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°
∴△DAF 为等腰三角形
∴AD=DF,
∴CE=CF,
∴平行四边形 AHFD 为菱形
∴△ADH,△DHF 为全等的等边三角形
∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,
∴BH=GF
在△BHD 与△GFD 中,
∵ ,
∴△BHD≌△GFD,
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
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10.问题:已知△ABC 中,∠BAC=2∠ACB,点 D 是△ABC 内的一点,且 AD=CD,BD
=BA.探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1)当∠BAC=90°时,依问题中的条件补全右图;
观察图形,AB 与 AC 的数量关系为 相等 ;当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠
DBC 的度数为 15° ;可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 1:3 ;
(2)当∠BAC<90°时,请你画出图形,研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与(1)
中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
【解答】解:(1)
①
当∠BAC=90°时,
∵∠BAC=2∠ACB,
∴∠ACB=45°,
在△ABC 中,∠ABC=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=45°,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AB=AC(等角对等边);
②
当∠DAC=15°时,
∠DAB=90°﹣15°=75°,
∵BD=BA,
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∴∠BAD=∠BDA=75°,
∴∠DBA=180°﹣75°﹣75°=30°,
∴∠DBC=45°﹣30°=15°,即∠DBC=15°,
∴∠DBC 的度数为 15°;
③
∵∠DBC=15°,∠ABC=45°,
∴∠DBC=15°,∠ABC=45°,
∴∠DBC:∠ABC=1:3,
∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 1:3.
(2)猜想:∠DBC 与∠ABC 度数的比值与(1)中结论相同.
证明:如图 2,作∠KCA=∠BAC,过 B 点作 BK∥AC 交 CK 于点 K,连接 DK.
∴四边形 ABKC 是等腰梯形,
∴CK=AB,
∵DC=DA,
∴∠DCA=∠DAC,
∵∠KCA=∠BAC,
∴∠KCD=∠3,
∴△KCD≌△BAD,
∴∠2=∠4,KD=BD,
∴KD=BD=BA=KC.
∵BK∥AC,
∴∠ACB=∠6,
∵∠BAC=2∠ACB,且∠KCA=∠BAC,
∴∠KCB=∠ACB,
∴∠5=∠ACB,
∴∠5=∠6,
∴KC=KB,
∴KD=BD=KB,
∴∠KBD=60°,
∵∠ACB=∠6=60°﹣∠1,
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∴∠BAC=2∠ACB=120°﹣2∠1,
∵∠1+(60°﹣∠1)+(120°﹣2∠1)+∠2=180°,
∴∠2=2∠1,
∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 1:3.
11.在平行四边形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋
转 90°得到线段 EF(如图 1)
(1)在图 1 中画图探究:
①
当 P1 为射线 CD 上任意一点(P1 不与 C 重合)时,连接 EP1;绕点 E 逆时针旋转 90
°得到线段 EG1.判断直线 FG1 与直线 CD 的位置关系,并加以证明;
②
当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时,连接 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90°
得到线段 EG2.判断直线 G1G2 与直线 CD 的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
(2)若 AD=6,tanB= ,AE=1,在
①
的条件下,设 CP1=x,S△P1FG1=y,求 y 与 x
之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围.
【解答】解:(1)
①
直线 FG1 与直线 CD 的位置关系为互相垂直.
证明:如图 1,设直线 FG1 与直线 CD 的交点为 H.
∵线段 EC、EP1 分别绕点 E 逆时针旋转 90°依次得到线段 EF、EG1,
∴∠P1EG1=∠CEF=90°,EG1=EP1,EF=EC.
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∵∠G1EF=90°﹣∠P1EF,∠P1EC=90°﹣∠P1EF,
∴∠G1EF=∠P1EC.
∴△G1EF≌△P1EC.
∴∠G1FE=∠P1CE.
∵EC⊥CD,
∴∠P1CE=90°,
∴∠G1FE=90 度.
∴∠EFH=90 度.
∴∠FHC=90 度.
∴FG1⊥CD.
②
按题目要求所画图形见图 1,
∵FG1⊥CD,
∴直线 G1G2 与直线 CD 的位置关系为互相垂直.
(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠B=∠ADC.
∵AD=6,AE=1,tanB= ,
∴DE=5,tan∠EDC=tanB= .
可得 CE=4.
由(1)可得四边形 EFHC 为正方形.
∴CH=CE=4.
①
如图 2,当 P1 点在线段 CH 的延长线上时,
∵FG1=CP1=x,P1H=x﹣4,
∴S△P1FG1= ×FG1×P1H= .
∴y= x2﹣2x(x>4).
②
如图 3,当 P1 点在线段 CH 上(不与 C、H 两点重合)时,
∵FG1=CP1=x,P1H=4﹣x,
∴S△P1FG1= ×FG1×P1H= .
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∴y=﹣ x2+2x(0<x<4).
③
当 P1 点与 H 点重合时,即 x=4 时,△P1FG1 不存在.
综上所述,y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围是 y= x2﹣2x(x>4)或 y
=﹣ x2+2x(0<x<4).
12.请阅读下列材料:
问题:如图 1,在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,点 A,B,E 在同一条直线上,P 是线段
DF 的中点,连接 PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,探究 PG 与 PC 的位置关系及
的值.
小聪同学的思路是:延长 GP 交 DC 于点 H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请
你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
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(1)写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 的值;
(2)将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转,使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形
ABCD 的边 AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图 2).你在(1)中得到
的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;
(3)若图 1 中∠ABC=∠BEF=2
α
(0°<
α
<90°),将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转
任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出 的值(用含
α
的式子表示).
【解答】解:(1)∵CD∥GF,∠PDH=∠PFG,∠DHP=∠PGF,DP=PF,
∴△DPH≌△FGP,
∴PH=PG,DH=GF,
∵CD=BC,GF=GB=DH,
∴CH=CG,
∴CP⊥HG,∠ABC=60°,
∴∠DCG=120°,
∴∠PCG=60°,
∴PG:PC=tan60°= ,
∴线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC, = ;
(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图 2,延长 GP 交 AD 于点 H,连接 CH、CG.
∵P 是线段 DF 的中点,
∴FP=DP,
∵AD∥GF,
∴∠HDP=∠GFP,
∵∠GPF=∠HPD,
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∴△GFP≌△HDP(ASA),
∴GP=HP,GF=HD,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°,
∵∠ABC=∠BEF=60°,菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条
直线上,
∴∠GBF=60°,
∴∠HDC=∠GBF,
∵四边形 BEFG 是菱形,
∴GF=GB,
∴HD=GB,
∴△HDC≌△GBC,
∴CH=CG,∠HCD=∠GCB
∴PG⊥PC(到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°
∵∠HCG=∠HCB+∠GCB
∴∠HCG=120°
∴∠GCP=60°
∴ =tan∠GCP=tan60°= ;
(3)∵∠ABC=∠BEF=2
α
(0°<
α
<90°),
∴∠PCG=90°﹣
α
,
由(1)可知:PG:PC=tan(90°﹣
α
),
∴ =tan(90°﹣
α
).
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日期:2020/1/19 9:24:01 ;用户: 金雨教育;邮 箱:309593466@qq.com ;学号: 335385