2019-2020学年山东省济南市市中区九年级（上）期中数学试卷 11页

‎2019-2020学年山东省济南市市中区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎ ‎ ‎1. 用配方法解方程x‎2‎‎−2x−5=0‎时，原方程应变形为（ ） ‎ A.‎(x+1‎)‎‎2‎=6‎ B.‎(x−1‎)‎‎2‎=6‎ C.‎(x+2‎)‎‎2‎=9‎ D.‎‎(x−2‎)‎‎2‎=9‎ ‎ ‎ ‎2. ‎ 根据下面表格中的对应值： ‎ x ‎3.23‎ ‎3.24‎ ‎3.25‎ ‎3.26‎ ax‎2‎+bx+c ‎−0.06‎ ‎−0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.09‎ 判断方程ax‎2‎+bx+c=‎‎0‎（a≠0‎，a，b，c为常数）的一个解x的范围是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎3y‎1‎>0‎ D.‎y‎1‎‎>y‎2‎>0‎ ‎ ‎ ‎10. （人教版）如图，直线y＝x与双曲线y=kx(k>0)‎的一个交点为A，且OA＝‎2‎，则k的值为（ ） ‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ ‎ ‎11. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，‎∠ABO＝‎90‎‎∘‎，OA与反比例函数y=‎kx的图象交于点D，且OD＝‎2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD＝‎10‎，则k的值为（ ） ‎ A.‎−16‎ B.‎16‎ C.‎−15‎ D.‎‎15‎ ‎ ‎ ‎12. 如图，在边长为‎2‎的正方形ABCD中，点E是边AD中点，点F在边CD上，且FE⊥BE，设BD与EF交于点G，则‎△DEG的面积是（ ） ‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎1‎‎6‎ C.‎1‎‎7‎ D.‎‎1‎‎8‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎ ‎ ‎ 若yx‎=‎‎3‎‎4‎，则x+yx的值为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如果关于x的方程x‎2‎‎−6x+m＝‎0‎有两个相等的实数根，那么m＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 点P既在反比例函数y=−‎3‎x(x>0)‎的图象上，又在一次函数y＝‎−x−2‎的图象上，则P点的坐标是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 反比例函数y=‎m−2‎x的图象在第二、四象限，那么实数m的取值范围是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，E为OD的中点，连接AE并延长交CD于点F，则DF:FC等于________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，‎∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论： ①GH⊥BE；②BG＝EG；③‎△MFG为等腰三角形；④DE:AB＝‎1+‎‎2‎， 其中正确结论的序号为________． ‎ 二、解答题（本大题共66分）‎ ‎ ‎ ‎ 解方程 ‎ ‎（1）x‎2‎‎−4x−1‎＝‎0‎；‎ ‎ ‎ ‎（2）x‎2‎‎+3x−2‎＝‎0‎；‎ ‎ ‎ ‎（3）‎2x‎2‎+3x+3‎＝‎‎0‎ ‎ ‎ ‎ 已知关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎，x‎2‎． ‎ ‎(1)‎求实数k的取值范围；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若x‎1‎，x‎2‎满足x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=16+‎x‎1‎x‎2‎，求实数k的值．‎ ‎ ‎ ‎ 某服装店出售某品牌的棉衣，进价为‎100‎元/件，当售价为‎150‎元/件时，平均每天可卖‎30‎件；为了尽快减少库存迎接“元旦”的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每件降价‎5‎元，则每天可多卖‎10‎件，现要想平均每天获利‎2000‎元，且让顾客得到实惠，那么每件棉衣应降价多少元？ ‎ ‎ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，‎∠EAF＝‎∠GAC． ‎ ‎(1)‎求证：‎△ADE∼△ABC；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若AD=3‎，AB=5‎，求AFAG的值．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，点A(3, 2)‎和点M(m, n)‎都在反比例函数y=kx(x>0)‎的图象上． ‎ ‎（1）k的值为________；‎ ‎ ‎ ‎（2）当m＝‎4‎，求直线AM的解析式；‎ ‎ ‎ ‎（3）当m>3‎时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM交x轴与点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形． ‎ ‎ ‎ ‎ 以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABF和等腰三角形ADE． ‎ ‎（1）当四边形ABCD为正方形时（如图①），以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角‎△ABF和等腰直角‎△ADE，连接EF、FD，线段EB和FD的数量关系是________；‎ ‎ ‎ ‎（2）当四边形ABCD为矩形时（如图②），以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角‎△ABF和等腰直角‎△ADE，连接EF、BD，线段EF和BD具有怎样的数量关系？请说明理由；‎ ‎ ‎ ‎（3）当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰‎△ABF和等腰‎△ADE，且‎△EAD与‎△FBA的顶角都为α，连接EF、BD，交点为G．请用α表示出‎∠EGD，并说明理由．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 参考答案与试题解析 ‎2019-2020学年山东省济南市市中区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 解一元二次方程-配方法 ‎【解析】‎ 方程常数项移到右边，两边加上‎1‎变形即可得到结果．‎ ‎【解答】‎ 解：方程移项得x‎2‎‎−2x=5‎， 配方得x‎2‎‎−2x+1=6‎， 即‎(x−1‎)‎‎2‎=6‎． 故选B.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 估计一元二次方程的近似解 ‎【解析】‎ 根据表中数据得到x＝‎3.24‎时，ax‎2‎+bx+c＝‎−0.02‎；x＝‎3.25‎时，ax‎2‎+bx+c＝‎0.01‎，则x取‎2.24‎到‎2.25‎之间的某一个数时，使ax‎2‎+bx+c＝‎0‎，于是可判断关于x的方程ax‎2‎+bx+c＝‎0(a≠0)‎的一个解x的范围是‎3.240‎，函数图象位于第一，三象限． 故选A．‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数的性质 ‎【解析】‎ 把两点P‎1‎‎(1, y‎1‎)‎和P‎2‎‎(2, y‎2‎)‎分别代入反比例函数y=−‎‎1‎x求出y2‎、y1‎的值即可．‎ ‎【解答】‎ 解：把点P‎1‎‎(1, y‎1‎)‎代入反比例函数y=‎‎1‎x得，y‎1‎‎=1‎； 点P‎2‎‎(2, y‎2‎)‎代入反比例函数y=‎‎1‎x得，y‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎； ∵ ‎1>‎1‎‎2‎>0‎， ∴ y‎1‎‎>y‎2‎>0‎． 故选D．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 反比例函数与一次函数的综合 ‎【解析】‎ A在直线y＝x上，且OA＝‎2‎，可求得A点坐标为‎(‎2‎, ‎2‎)‎把已知点的坐标代入解析式可得，k＝‎2‎．‎ ‎【解答】‎ 设A(x, y)‎，则y=xy=‎kxx‎2‎‎+y‎2‎=4‎‎ ‎， 解得k＝‎2‎．‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 反比例函数系数k的几何意义 ‎【解析】‎ 证‎△DCO∽△ABO，推出DCAB‎=OCOB=ODOA=‎‎2‎‎3‎，求出S‎△ODCS‎△OAB‎=(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎9‎，求出S‎△ODC＝‎8‎，根据三角形面积公式得出‎1‎‎2‎OC×CD＝‎8‎，求出OC×CD＝‎16‎即可．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ OD＝‎2AD， ∴ ODOA‎=‎‎2‎‎3‎， ∵ ‎∠ABO＝‎90‎‎∘‎，DC⊥OB， ∴ AB // DC， ∴ ‎△DCO∽△ABO， ∴ DCAB‎=OCOB=ODOA=‎‎2‎‎3‎， ∴ S‎△ODCS‎△OAB‎=(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎9‎， ∵ S四边形ABCD＝‎10‎， ∴ S‎△ODC＝‎8‎， ∴ ‎1‎‎2‎OC×CD＝‎8‎，‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ OC×CD＝‎16‎， ∴ k＝‎−16‎，‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 正方形的性质 ‎【解析】‎ 过点G作GM⊥AD于M，如图，先证明‎△ABE∽△DEF，利用相似比计算出DF=‎‎1‎‎2‎，再利用正方形的性质判断‎△DGM为等腰直角三角形得到DM＝MG，设DM＝x，则MG＝x，EM＝‎1−x，然后证明‎△EMG∽△EDF，则利用相似比可计算出GM，再利用三角形面积公式计算S‎△DEG即可．‎ ‎【解答】‎ 过点G作GM⊥AD于M，如图， ∵ FE⊥BE， ∴ ‎∠AEB+∠DEF＝‎90‎‎∘‎， 而‎∠AEB+∠ABE＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠ABE＝‎∠DEF， 而‎∠A＝‎∠EDF， ∴ ‎△ABE∽△DEF， ∴ AB:DE＝AE:DF，即‎2:1‎＝‎1:DF， ∴ DF=‎‎1‎‎2‎， ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ ‎∠ADB＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎△DGM为等腰直角三角形， ∴ DM＝MG， 设DM＝x，则MG＝x，EM＝‎1−x， ∵ MG // DF， ∴ ‎△EMG∽△EDF， ∴ MG:DF＝EM:ED，即x:‎1‎‎2‎=(1−x)‎：‎1‎，解得x=‎‎1‎‎3‎， ∴ S‎△DEG‎=‎1‎‎2‎×1×‎1‎‎3‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎【答案】‎ ‎7‎‎4‎ ‎【考点】‎ 比例的性质 ‎【解析】‎ 根据合比性质，可得答案．‎ ‎【解答】‎ 解：由合比性质，得 x+yx‎=‎3+4‎‎4‎=‎‎7‎‎4‎． 故答案为：‎7‎‎4‎．‎ ‎【答案】‎ ‎9‎ ‎【考点】‎ 根的判别式 ‎【解析】‎ 因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以‎△‎＝b‎2‎‎−4ac＝‎0‎，根据判别式列出方程求解即可．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎−6x+m＝‎0‎有两个相等的实数根， ∴ ‎△‎＝b‎2‎‎−4ac＝‎0‎， 即‎(−6‎)‎‎2‎−4×1×m＝‎0‎， 解得m＝‎‎9‎ ‎【答案】‎ ‎(1, −3)‎ ‎【考点】‎ 一次函数图象上点的坐标特点 反比例函数图象上点的坐标特征 ‎【解析】‎ 点P既在反比例函数y=−‎3‎x(x>0)‎的图象上，又在一次函数y＝‎−x−2‎的图象上，则点P的坐标是这两个函数的解．两个函数组成方程组，解这个方程组即可．‎ ‎【解答】‎ 根据题意可得：‎−‎3‎x=−x−2‎，则x‎2‎‎+2x−3‎＝‎0‎， 即‎(x−1)(x+3)‎＝‎0‎， 解得：x＝‎1‎或x＝‎−3‎， 因为x>0‎，所以x＝‎1‎，此时y＝‎−3‎， 所以P点的坐标是‎(1, −3)‎．‎ ‎【答案】‎ m<2‎ ‎【考点】‎ 反比例函数的性质 ‎【解析】‎ 由于反比例函数y=‎m−2‎x的图象在二、四限内，则m−2<0‎，解得m的取值范围即可．‎ ‎【解答】‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 由题意得，反比例函数y=‎m−2‎x的图象在二、四象限内， 则m−2<0‎， 解得m<2‎．‎ ‎【答案】‎ ‎1:2‎ ‎【考点】‎ 平行四边形的性质 相似三角形的性质与判定 相似三角形的性质 ‎【解析】‎ 先证明‎△DEF∽△BEA，得出DFAB‎=‎‎1‎‎3‎，即可得出结论．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB // CD，AB＝CD，OD＝OB， ∴ ‎△DEF∽△BEA， ∴ DFBA‎=‎DEBE， ∵ E为OD的中点， ∴ BE＝‎3DE， ∴ DFBA‎=‎‎1‎‎3‎， ∴ AB＝‎3DF， ∴ DF:CD＝‎1:3‎， ∴ DF:FC＝‎1:2‎．‎ ‎【答案】‎ ‎①②③‎ ‎【考点】‎ 三角形中位线定理 四边形综合题 等腰三角形的判定 全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形 ‎【解析】‎ 证明‎△BCE≅△DCG，即可证得‎∠BEC＝‎∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得‎∠EHG＝‎90‎‎∘‎，则HG⊥BE，然后证明‎△BGH≅△EGH，则H是BE的中点，则OH是‎△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可得到HO=‎1‎‎2‎BG，HO // BG，以及‎∠MOH＝‎∠EGC＝‎45‎‎∘‎，再根据等腰直角三角形的性质，得出OF=‎1‎‎2‎EG，‎∠OFG＝‎45‎‎∘‎，以及OH＝OF，根据‎∠MHO+∠HOM＝‎∠OFH+∠OFG，即可得出‎∠FMG＝‎∠MFG，最后根据等腰直角三角形的边角关系，得出DB:AB=‎2‎:1‎，即可得到DE:AB=‎2‎:1‎．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上， ∴ ‎∠BCE＝‎∠DCG＝‎90‎‎∘‎，BC＝DC，EC＝GC， ∴ ‎△BCE≅△DCG(SAS)‎， ∴ ‎∠CGD＝‎∠CEB， 又∵ ‎∠CDG＝‎∠HDE， ∴ ‎∠EHD＝‎∠GCD＝‎90‎‎∘‎， ∴ GH⊥BE，故①正确； ∵ ‎∠EGC的平分线GH过点D， ∴ ‎∠BGH＝‎∠EGH， ∵ GH⊥BE， ∴ ‎∠BHG＝‎∠EHG＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△BGH≅△EGH(ASA)‎， ∴ BG＝EG，故②正确； ∵ BG＝EG，GH⊥BE， ∴ H为BE的中点， 又∵ O是EG的中点， ∴ HO是‎△BEG的中位线， ∴ HO=‎1‎‎2‎BG，HO // BG， ∴ ‎∠MOH＝‎∠EGC＝‎45‎‎∘‎， 如图，连接FO， ∵ O是EG的中点， ∴ 等腰Rt△EFG中，OF=‎1‎‎2‎EG，‎∠OFG＝‎45‎‎∘‎， ∴ OH＝OF， ∴ ‎∠OHF＝‎∠OFH， ∴ ‎∠MHO+∠HOM＝‎∠OFH+∠OFG，即‎∠FMG＝‎∠MFG， ∴ FG＝MG，即‎△MFG是等腰三角形，故③正确； 如图，连接BD， ∵ HG垂直平分BE， ∴ DE＝DB， ∵ Rt△ABD中，DB:AB=‎2‎:1‎， ∴ DE:AB=‎2‎:1‎，故④错误；‎ 二、解答题（本大题共66分）‎ ‎【答案】‎ ‎∵ x‎2‎‎−4x−1‎＝‎0‎， ∴ x‎2‎‎−4x＝‎1‎， ∴ x‎2‎‎−4x+4‎＝‎5‎， ∴ ‎(x−2‎‎)‎‎2‎＝‎5‎， ∴ x＝‎2±‎‎5‎；‎ ‎∵ x‎2‎‎+3x−2‎＝‎0‎， ∴ a＝‎1‎，b＝‎3‎，c＝‎−2‎， ∴ ‎△‎＝‎9+8‎＝‎17‎， ∴ x=‎‎−3±‎‎17‎‎2‎；‎ ‎∵ ‎2x‎2‎+3x+3‎＝‎0‎， ∴ a＝‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎2‎‎，b＝‎3‎，c＝‎3‎， ∴ ‎△‎＝‎9−24‎＝‎−15<0‎， 故原方程无解 ‎【考点】‎ 解一元二次方程-配方法 解一元二次方程-公式法 解一元二次方程-因式分解法 ‎【解析】‎ ‎（1）根据配方法即可求出答案； （2）根据公式法即可求出答案； （3）根据公式法即可求出答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ x‎2‎‎−4x−1‎＝‎0‎， ∴ x‎2‎‎−4x＝‎1‎， ∴ x‎2‎‎−4x+4‎＝‎5‎， ∴ ‎(x−2‎‎)‎‎2‎＝‎5‎， ∴ x＝‎2±‎‎5‎；‎ ‎∵ x‎2‎‎+3x−2‎＝‎0‎， ∴ a＝‎1‎，b＝‎3‎，c＝‎−2‎， ∴ ‎△‎＝‎9+8‎＝‎17‎， ∴ x=‎‎−3±‎‎17‎‎2‎；‎ ‎∵ ‎2x‎2‎+3x+3‎＝‎0‎， ∴ a＝‎2‎，b＝‎3‎，c＝‎3‎， ∴ ‎△‎＝‎9−24‎＝‎−15<0‎， 故原方程无解 ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎，x‎2‎， ∴ Δ=(2k−1‎)‎‎2‎−4(k‎2‎−1)=−4k+5≥0‎， 解得：k≤‎‎5‎‎4‎， ∴ 实数k的取值范围为k≤‎‎5‎‎4‎．‎ ‎(2)‎‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎，x‎2‎， ∴ x‎1‎‎+x‎2‎=1−2k，x‎1‎‎⋅x‎2‎=k‎2‎−1‎． ∵ x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎−2x‎1‎⋅x‎2‎=16+x‎1‎⋅‎x‎2‎， ∴ ‎(1−2k‎)‎‎2‎−2×(k‎2‎−1)=16+(k‎2‎−1)‎，即k‎2‎‎−4k−12=0‎， 解得：k=−2‎或k=6‎（不符合题意，舍去）． ∴ 实数k的值为‎−2‎．‎ ‎【考点】‎ 根与系数的关系 根的判别式 ‎【解析】‎ ‎（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出‎△=−4k+5≥0‎，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x‎1‎‎+x‎2‎=1−2k、x‎1‎‎⋅x‎2‎=k‎2‎−1‎，将其代入x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎−2x‎1‎⋅x‎2‎=16+x‎1‎⋅‎x‎2‎中，解之即可得出k的值．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎，x‎2‎， ∴ Δ=(2k−1‎)‎‎2‎−4(k‎2‎−1)=−4k+5≥0‎， 解得：k≤‎‎5‎‎4‎， ∴ 实数k的取值范围为k≤‎‎5‎‎4‎．‎ ‎(2)‎‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎，x‎2‎， ∴ x‎1‎‎+x‎2‎=1−2k，x‎1‎‎⋅x‎2‎=k‎2‎−1‎． ∵ x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎−2x‎1‎⋅x‎2‎=16+x‎1‎⋅‎x‎2‎， ∴ ‎(1−2k‎)‎‎2‎−2×(k‎2‎−1)=16+(k‎2‎−1)‎，即k‎2‎‎−4k−12=0‎， 解得：k=−2‎或k=6‎（不符合题意，舍去）． ∴ 实数k的值为‎−2‎．‎ ‎【答案】‎ 每件棉衣应降价‎25‎元 ‎【考点】‎ 一元二次方程的应用 ‎【解析】‎ 设每件棉衣应降价x元，根据平均每天获利‎2000‎元，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，取其中较大的值，此题得解．‎ ‎【解答】‎ 设每件棉衣应降价x元，由题意得：‎(150−x−100)(30+10×x‎5‎)‎＝‎2000‎， 整理得：x‎2‎‎−35x+250‎＝‎0‎， 解得：x‎1‎＝‎10‎，x‎2‎＝‎25‎， ∵ ‎25>10‎， ∴ x的值选‎25‎．‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎证明：∵ AG⊥BC，AF⊥DE， ∴ ‎∠AFE=‎‎∠AGC＝‎90‎‎∘‎， ∵ ‎∠EAF‎=∠GAC， ∴ ‎∠AED‎=∠ACB， ∵ ‎∠EAD‎=∠BAC， ∴ ‎△ADE∼△ABC.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎(2)‎解：方法一：由‎(1)‎可知：‎△ADE∼△ABC， ∴ ADAB‎=AEAC=‎‎3‎‎5‎ 由‎(1)‎可知：‎∠AFE‎=∠AGC=‎‎90‎‎∘‎， 又‎∵‎‎∠EAF‎=∠GAC， ∴ ‎△EAF∼△CAG， ∴ AFAG‎=AEAC=‎3‎‎5‎.‎ 方法二：∵ AG⊥BC，AF⊥DE， ‎△ADE∼△ABC， ∴ AFAG‎=ADAB=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ ‎（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以‎∠AFE＝‎∠AGC＝‎90‎‎∘‎，从而可证明‎∠AED＝‎∠ACB，进而可证明‎△ADE∽△ABC； ‎(2)△ADE∽△ABC，ADAB‎=‎AEAC，又易证‎△EAF∽△CAG，所以AFAG‎=‎AEAC，从而可知AFAG‎=‎ADAB．‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明：∵ AG⊥BC，AF⊥DE， ∴ ‎∠AFE=‎‎∠AGC＝‎90‎‎∘‎， ∵ ‎∠EAF‎=∠GAC， ∴ ‎∠AED‎=∠ACB， ∵ ‎∠EAD‎=∠BAC， ∴ ‎△ADE∼△ABC.‎ ‎(2)‎解：方法一：由‎(1)‎可知：‎△ADE∼△ABC， ∴ ADAB‎=AEAC=‎‎3‎‎5‎ 由‎(1)‎可知：‎∠AFE‎=∠AGC=‎‎90‎‎∘‎， 又‎∵‎‎∠EAF‎=∠GAC， ∴ ‎△EAF∼△CAG， ∴ AFAG‎=AEAC=‎3‎‎5‎.‎ 方法二：∵ AG⊥BC，AF⊥DE， ‎△ADE∼△ABC， ∴ AFAG‎=ADAB=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎【答案】‎ ‎6‎ 将x＝‎4‎代入反比例解析式y=‎‎6‎x得：y=‎‎3‎‎2‎，即M(4, ‎3‎‎2‎)‎， 设直线AM解析式为y＝ax+b， 把A与M代入得：‎3a+b=2‎‎4a+b=‎‎3‎‎2‎‎ ‎， 解得：a=−‎‎1‎‎2‎，b=‎‎7‎‎2‎， ∴ 直线AM解析式为y=−‎1‎‎2‎x+‎‎7‎‎2‎；‎ 把M(m, n)‎代入y=‎‎6‎x得m=‎‎6‎n， ∴ M(‎6‎n, n)‎ 把M，A点坐标代入y＝kx+b得 k=−‎n‎3‎，b＝‎2+n， ∴ 直线AM解析式为y=−n‎3‎x+2+n， ∴ Q(‎6‎n+3‎, 0)‎， ∵ MP⊥x轴， ∴ P(‎6‎n, 0)‎ ∴ PQ＝OQ−OP＝‎3‎， ∵ AB⊥y轴， ∴ AB // PQ，AB＝‎3‎， ∴ AB＝PQ， ∴ 四边形ABPQ是平行四边形．‎ ‎【考点】‎ 反比例函数与一次函数的综合 ‎【解析】‎ ‎（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可； （2）由k的值确定出反比例解析式，将x＝‎3‎代入反比例解析式求出y的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y＝ax+b，将A与M坐标代入求出a与b的值，即可确定出直线AM解析式； （3）由MP垂直于x轴，AB垂直于y轴，得到M与P横坐标相同，P与Q纵坐标相同，表示出P与Q坐标于是得到结论．‎ ‎【解答】‎ 将A(3, 2)‎代入反比例解析式得：k＝‎6‎； 故答案为：‎6‎；‎ 将x＝‎4‎代入反比例解析式y=‎‎6‎x得：y=‎‎3‎‎2‎，即M(4, ‎3‎‎2‎)‎， 设直线AM解析式为y＝ax+b， 把A与M代入得：‎3a+b=2‎‎4a+b=‎‎3‎‎2‎‎ ‎， 解得：a=−‎‎1‎‎2‎，b=‎‎7‎‎2‎， ∴ 直线AM解析式为y=−‎1‎‎2‎x+‎‎7‎‎2‎；‎ 把M(m, n)‎代入y=‎‎6‎x得m=‎‎6‎n， ∴ M(‎6‎n, n)‎ 把M，A点坐标代入y＝kx+b得 k=−‎n‎3‎，b＝‎2+n， ∴ 直线AM解析式为y=−n‎3‎x+2+n， ∴ Q(‎6‎n+3‎, 0)‎， ∵ MP⊥x轴， ∴ P(‎6‎n, 0)‎ ∴ PQ＝OQ−OP＝‎3‎， ∵ AB⊥y轴， ∴ AB // PQ，‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 AB‎＝‎3‎， ∴ AB＝PQ， ∴ 四边形ABPQ是平行四边形．‎ ‎【答案】‎ BE‎＝‎DF 结论：BD=‎2‎EF． 证明：如图②中， ∵ ‎△ABF和‎△ADE是等腰直角三角形， ∴ ADAE‎=ABAF=‎‎2‎，‎∠EAD＝‎45‎‎∘‎，‎∠BAF＝‎45‎‎∘‎， ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ‎∠BAD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠FAD＝‎∠BAD−∠BAF＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠EAF＝‎∠FAD+∠EAD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠EAF＝‎∠BAD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△EAF∼△DAB， ∴ BDEF‎=ADAE=‎‎2‎； ∴ BD=‎2‎EF．‎ 如图③，设EF与AD的交点为P点， ∵ 等腰三角形ABF和ADE的顶角‎∠AED＝‎∠AFB＝α， ∴ ‎∠EAD＝‎∠EDA＝‎∠FAB＝‎∠FBA＝‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α， ∴ ‎△EAD∼△FAB， ∴ EAAF‎=‎ADAB， ∴ EAAD‎=‎AFAB， ∵ ‎∠EAD+∠DAF＝‎∠FAB+∠DAF， 即：‎∠EAF＝‎∠DAB， ∴ ‎△EAF∼△DAB， ∴ ‎∠AEF＝‎∠ADB， 又∵ ‎∠APE＝‎∠GPD， ∴ ‎△PAE∼△PGD， ∴ ‎∠EGD＝‎∠EAD＝‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α．‎ ‎【考点】‎ 四边形综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）先证明‎△ABF≅△ADE，再证明F、A、E共线，得四边形BFED是矩形，根据矩形的对角线相等得：BE＝DF可得结论； （2）证明‎△EAF∼△DAB，列比例式，根据等腰直角三角形斜边与直角边的比可得结论； （3）设EF与AD的交点为P点，证明‎△EAD∽△FAB，再证明‎△EAF∼△DAB，最后证明‎△PAE∼△PGD，得‎∠EGD＝‎∠EAD＝‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α．‎ ‎【解答】‎ 如图①，连接BD， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝AD，‎∠BAD＝‎90‎‎∘‎， ∵ 等腰直角三角形ABF和ADE， ∴ ‎∠BAF＝‎∠ABF＝‎∠DAE＝‎∠ADE＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠FAB+∠BAD+∠DAE＝‎180‎‎∘‎，‎△ABF≅△ADE(ASA)‎， ∴ F、A、E共线，BF＝DE， ∵ ‎∠AFB+∠AED＝‎90‎‎∘‎‎+‎‎90‎‎∘‎＝‎180‎‎∘‎， ∴ DE // BF， ∴ 四边形BFED是矩形， ∴ BE＝DF． 故答案为BE＝DF．‎ 结论：BD=‎2‎EF． 证明：如图②中， ∵ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ ‎△ABF和‎△ADE是等腰直角三角形， ∴ ADAE‎=ABAF=‎‎2‎，‎∠EAD＝‎45‎‎∘‎，‎∠BAF＝‎45‎‎∘‎， ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ‎∠BAD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠FAD＝‎∠BAD−∠BAF＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠EAF＝‎∠FAD+∠EAD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠EAF＝‎∠BAD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△EAF∼△DAB， ∴ BDEF‎=ADAE=‎‎2‎； ∴ BD=‎2‎EF．‎ 如图③，设EF与AD的交点为P点， ∵ 等腰三角形ABF和ADE的顶角‎∠AED＝‎∠AFB＝α， ∴ ‎∠EAD＝‎∠EDA＝‎∠FAB＝‎∠FBA＝‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α， ∴ ‎△EAD∼△FAB， ∴ EAAF‎=‎ADAB， ∴ EAAD‎=‎AFAB， ∵ ‎∠EAD+∠DAF＝‎∠FAB+∠DAF， 即：‎∠EAF＝‎∠DAB， ∴ ‎△EAF∼△DAB， ∴ ‎∠AEF＝‎∠ADB， 又∵ ‎∠APE＝‎∠GPD， ∴ ‎△PAE∼△PGD， ∴ ‎∠EGD＝‎∠EAD＝‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页