2021年中考数学核心考点强化突破：几何综合应用 5页

‎2021年中考数学核心考点强化突破：几何综合应用 ‎ 类型1　以三角形为背景的计算和证明问题 ‎1．如图，一条4 m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为____ m2.‎ ‎【解析】如图，作DE⊥AC于点E，‎ 可证△DAE∽△ACB∴＝.即：＝解得：AB＝16(m)，∴道路的面积为AD×AB＝5×16＝80(m2)．‎ ‎2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.‎ ‎(1)如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于__2__；(直接填写结果)‎ ‎(2)如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；‎ ‎(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值．(直接写出结果)[来源:学_科_网]‎ 解：(2)证明：当α＝135°时，由旋转可知∠D1AB＝∠E1AC＝135°.又∵AB＝AC，AD1＝AE1，∴△D1AB≌△E1AC.∴BD1＝CE1且∠D1BA＝∠E1CA.设直线BD1与AC交于点F，有∠BFA＝∠CFP，∴∠CPF＝∠FAB＝90°.∴BD1⊥CE1.‎ ‎(3)1＋(四边形AD1PE1为正方形时，距离最大，此时PD1＝2，PB＝2＋2)．‎ ‎3．如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点．‎ ‎(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？‎ ‎(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？[来源:Zxxk.Com]‎ 解：(1)①∵t＝1(秒)，∴BP＝CQ＝3(厘米)‎ ‎∵AB＝12，D为AB中点，∴BD＝6(厘米)‎ 又∵PC＝BC－BP＝9－3＝6(厘米)‎ ‎∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP(SAS)，②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B＝∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ＝BD＝6.∴点P的运动时间t＝＝＝1.5(秒)，此时VQ＝＝＝4(厘米/秒)；(2)因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB＋AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x＝3x＋2×12，解得x＝24(秒)，此时P运动了24×3＝72(厘米)[来源:学科网]‎ 又∵△ABC的周长为33厘米，72＝33×2＋6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过24秒，点P与点Q 第一次在BC边上相遇．‎ ‎[来源:学_科_网]‎ 类型2　以四边形为背景的计算和证明问题 ‎4．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF.设CE＝a，CF＝b.‎ ‎(1)如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a，b的值；‎ ‎(2)当△AEF是直角三角形时，求a，b的值；‎ ‎(3)如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．‎ 解：(1)可证△ACF≌△ACE，∴CE＝CF，∵CE＝a，CF＝b，∴a＝b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠EAF＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝67.5°，∵CE＝CF，∠ECF＝90°，∠AEC＝∠AFC＝22.5°，∵∠CAF＝∠CAE＝22.5°，∴∠CAE＝∠CEA，∴CE＝AC＝4，即：a＝b＝4；‎ ‎(2)当△AEF是直角三角形时，①当∠AEF＝90°时，∵∠EAF＝45°，∴∠AFE＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF2＝2FE2＝2(CE2＋CF2)，AF2＝2(AD2＋BE2)，∴2(CE2＋CF2)＝2(AD2＋BE2)，∴CE2＋CF2＝AD2＋BE2，∴CE2＋CF2＝16＋(4＋CE)2，∴CF2＝8(CE＋4)①∵∠AEB＋∠BEF＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BEF＝∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴4CF＝CE(CE＋4)②，联立①②得，CE＝4，CF＝8∴a＝4，b＝8，‎ ‎②当∠AFE＝90°时，同①的方法得，CF＝4，CE＝8，∴a＝8，b＝4.(3)ab＝32，理由：如图，可证△ACF∽△ECA，∴EC×CF＝AC2＝2AB2＝32∴ab＝32.‎ ‎5．已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t(s)．‎ ‎(1)当t＝1 s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎(2)当t＝2s时，求tan∠QPA的值；‎ ‎(3)当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t(s)的值；‎ ‎(4)连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．‎ 解：(1)当t＝1 s时，则CP＝2，∴P(2，3)，且A(4，0)，∴y＝－x2＋3x；(2)当t＝2 s时，则CP＝2×2＝4＝BC，即点P与点B重合，OQ＝2，如图1，∴AQ＝OA－OQ＝4－2＝2，且AP＝OC＝3，∴tan∠QPA＝＝；‎ ‎(3)当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，则CP＝2t，OQ＝t，∴BP＝PC－CB＝2t－4，AQ＝OA－OQ＝4－t，∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，∴＝，∴＝2，解得t＝3；‎ ‎(4)当0≤t≤2时，如图3，‎ 由题意可知CP＝2t，∴S＝S△PCQ＝×2t×3＝3t；当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，由题意可知PC＝2t，OQ＝t，则BP＝2t－4，AQ＝4－t，同(3)可得＝＝，解得AM＝，∴S＝S四边形BCQM＝S矩形OABC－S△COQ－S△AMQ＝24－－3t；当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，‎ 由题意可知OQ＝t，AQ＝t－4，∵AB∥OC，∴＝，即＝，解得AM＝，∴BM＝，∴S＝S△BCM＝×4×＝；综上可知：‎ S＝.‎