初三数学上册基础知识讲解练习 正方形的性质与判定 4页

正方形的性质与判定 一、正方形的定义 一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱 形。 二、正方形的性质 正方形具有矩形和菱形的一切性质。 （1）边：对边平行，四边相等。 （2）角：四个角是直角。 （3）对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。 三、正方形的判定 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个角是直角的菱形是正方形。 （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 1、已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，CD 是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F． 求证：四边形 EC FD 是正方形． 证明：∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴四边形 DECF 是矩形，∵DE=DF， ∴矩形 DECF 是正方形． 2、如图，已知平行四边形 A B C D 中，对角线 ACBD， 交于点 O ， E 是 BD 延长线上的点，且 A C E△ 是 等边三角形． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 2AED EAD   ，求证：四边形 ABCD 是正方形． （1）已知四边形ＡＢＣＤ为平行四边形 B A C E D F E C D B A O 所以 OA=OC 因为三角形ＡＣＥ是等边三角形 所以ＯＥ垂直于ＡＣ即 BD 垂直于ＡＣ 所以四边形ＡＢＣＤ为菱形 （2）因为三角形ＡＣＥ是等边三角形且 OA=OC 所以 ＯＥ为∠AEC 的角平分线 ∠AED=∠AEC/2=30° 又知∠ＡＥＤ＝２∠ＥＡＤ 所以 ∠ＥＡ Ｄ=15° 因为三角形ＡＣＥ是等边三角形 所以∠ＤAC=45°同理:∠BAC=45° ∠ＤAB=90° 因此四边形ＡＢＣＤ是正方形[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 3、以△ ABC 的边 AB、AC 为边的等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，四边形 ADFE 是平行四边形。 （1）当∠BAC 满足＿＿＿＿时，四边形 ADFE 是矩形。 （2）当∠BAC 满足＿＿＿＿时，平行四边形 ADFE 不存在。 （3）当△ ABC 分别满足什么条件时，平行四边形是菱形？是正方形？ 解：（1）当四边形 ADFE 是矩形时，∠DAE=90° ∴∠BAC=360°-120°-90°=150° （2）当平行四边形 ADFE 不存在时，∠DAE=180° ∴∠BAC=180°-60°-60°=60°， ∴∠BAC≤60° （3）当 AD=AE=AB=AC 时，即 AB=AC 时平行四边形 ADFE 是菱形． 综上可知：当 AB=AC、∠BAC=150°时平行四边形 ADFE 是正方形． 技巧：和正方形有关的证明题 1、如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别在 OD、OC 上，且 DE=CF，连接 DF、AE，AE 的延长线交 DF 于点 M． 求证：AM⊥DF． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．[来源:Z,xx,k.Com] D B C A E F 分析：根据 DE=CF，可得出 OE=OF，继而证明△ AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换 可得出∠DME=90°，即得出了结论．解答：证明：∵ABCD 是正方形， ∴OD=OC， 又∵DE=CF， ∴OD-DE=OC-CF，即 OF=OE， 在 RT△ AOE 和 RT△ DOF 中， ， ∴△AOE≌△DOF， ∴∠OAE=∠ODF， ∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM， ∴∠ODF+∠DEM=90°， 即可得 AM⊥DF． 点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关 键是通过全等的证明得出 ∠OAE=∠ODF，利用等角代换解题． 2、如图，在正方形 ABCD 中，等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上． （1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形 AEF 的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长．[来源:学#科#网 Z#X#X#K][来源:Z.xx.k.Com] 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形． 分析：（1）根据正方形可知 AB=AD，由等边三角形可知 AE=AF，于是可以证明出△ ABE≌△ADF，即可 得出 CE=CF； （2）连接 AC，交 EF 与 G 点，由三角形 AEF 是等边三角形，三角形 ECF 是等腰直角三角形，于是可知 AC⊥EF，求出 EG=1，设 BE=x，利用勾股定理求出 x，即可求出 BC 的上，进而求出正方形的周长． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，[来源:Z*xx*k.Com] ∴AB=AD， ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE=AF， 在 Rt△ ABE 和 Rt△ ADF 中，∵ AB=AD AE=AF ，∴Rt△ ABE≌Rt△ ADF， ∴CE=CF， （2）解：连接 AC，交 EF 于 G 点，∵△AEF 是等边三角形，△ ECF 是等腰直角三角形，∴AC⊥EF， 在 Rt△ AGE 中，EG=sin30°AE= ×2=1， ∴EC= ，设 BE=x，则 AB=x+ ， AO=DO AOD= DOF OE=OF     1 2 2 在 Rt△ ABE 中，AB2+BE2=AE2，即（x+ ）2+x2=4，解得 x= ， ∴AB= = ，∴正方形 ABCD 的周长为 4AB= ． 点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解 答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题． 2 26 2  26 2  2 26 2  2 2 6