中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题 16页

‎2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题 ‎1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　2‎5‎‎-‎2　．‎ ‎【解答】解：如图，连接BE，BD．‎ 由题意BD‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎，‎ ‎∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，‎ ‎∴BE‎=‎‎1‎‎2‎MN＝2，‎ ‎∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，‎ ‎∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，‎ ‎∴DE的最小值为2‎5‎‎-‎2．‎ 故答案为2‎5‎‎-‎2．‎ ‎2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣‎ a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（　　）‎ A．﹣4 B．0 C．2 D．6‎ ‎【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，‎ ‎∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），‎ ‎∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，‎ ‎∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，‎ ‎∵（m﹣1）a+b+c≤0，‎ ‎∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，‎ ‎∴m的最大值为6，‎ 故选：D．‎ ‎3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　‎6‎2‎+π‎3‎　．‎ ‎【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，‎ 此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，‎ 由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，‎ ‎∴∠COD′＝90°，‎ ‎∴CD′‎=OC‎2‎+OD‎'‎‎2‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎2‎2‎，‎ CD的长l‎=‎30π×2‎‎180‎=‎π‎3‎，‎ ‎∴阴影部分周长的最小值为2‎2‎‎+π‎3‎=‎‎6‎2‎+π‎3‎．‎ 故答案为：‎6‎2‎+π‎3‎．‎ ‎4.（2020•鄂州）如图，已知直线y‎=-‎‎3‎x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为　2‎3‎　．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 在直线y‎=-‎‎3‎x+4上，x＝0时，y＝4，‎ 当y＝0时，x‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴OB＝4，OA‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴tan∠OBA‎=OAOB=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴∠OBA＝30°，‎ 由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，‎ ‎∴PQ‎=‎OP‎2‎-OQ‎2‎，‎ 由于OQ＝1，‎ 因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，‎ ‎∴OP‎=‎‎1‎‎2‎OB＝2，‎ 此时PQ‎=‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎，‎ BP‎=‎4‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎2‎3‎，‎ ‎∴OQ‎=‎‎1‎‎2‎OP，即∠OPQ＝30°，‎ 若使点P到直线a的距离最大，‎ 则最大值为PM，且M位于x轴下方，‎ 过点P作PE⊥y轴于点E，‎ ‎∴EP‎=‎‎1‎‎2‎BP‎=‎‎3‎，‎ ‎∴BE‎=‎(2‎3‎‎)‎‎2‎-(‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎3，‎ ‎∴OE＝4﹣3＝1，‎ ‎∵OE‎=‎‎1‎‎2‎OP，‎ ‎∴∠OPE＝30°，‎ ‎∴∠EPM＝30°+30°＝60°，‎ 即∠EMP＝30°，‎ ‎∴PM＝2EP＝2‎3‎．‎ 故答案为：2‎3‎．‎ ‎5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　）‎ A．2‎5‎ B．2‎10‎ C．6‎2‎ D．3‎‎5‎ ‎【解答】解：设C（m，0），‎ ‎∵CD＝2，‎ ‎∴D（m+2，0），‎ ‎∵A（0，2），B（0，4），‎ ‎∴AC+BD‎=m‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎+‎‎(m+2‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎，‎ ‎∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN‎=m‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎+‎‎(m+2‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎），‎ 如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，‎ ‎∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）‎ P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=‎2‎10‎，‎ ‎∴AC+BD的最小值为2‎10‎．‎ 故选：B．‎ ‎6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y‎=‎‎3‎‎4‎x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　2　．‎ ‎【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．‎ ‎∵AC＝CB，AM＝OM，‎ ‎∴MC‎=‎‎1‎‎2‎OB＝1，‎ ‎∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．‎ ‎∵直线y‎=‎‎3‎‎4‎x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，‎ ‎∴D（4，0），E（0，﹣3），‎ ‎∴OD＝4，OE＝3，‎ ‎∴DE‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎5，‎ ‎∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，‎ ‎∴△DNM∽△DOE，‎ ‎∴MNOE‎=‎DMDE，‎ ‎∴MN‎3‎‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴MN‎=‎‎9‎‎5‎，‎ 当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值‎=‎1‎‎2‎×‎5×（‎9‎‎5‎‎-‎1）＝2，‎ 故答案为2．‎ ‎7.（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为　9‎2‎‎+‎9　．‎ ‎【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，‎ ‎∵弦AB已确定，‎ ‎∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，‎ 如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，‎ ‎∵CM⊥AB，CM过O，‎ ‎∴AM＝BM（垂径定理），‎ ‎∴AC＝BC，‎ ‎∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，‎ ‎∴OM＝AM‎=‎‎1‎‎2‎AB‎=‎1‎‎2‎×6=‎3，‎ ‎∴OA‎=OM‎2‎+AM‎2‎=‎3‎2‎，‎ ‎∴CM＝OC+OM＝3‎2‎‎+‎3，‎ ‎∴S△ABC‎=‎‎1‎‎2‎AB•CM‎=‎1‎‎2‎×‎6×（3‎2‎‎+‎3）＝9‎2‎‎+‎9．‎ 故答案为：9‎2‎‎+‎9．‎ ‎8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF‎=‎‎1‎‎4‎DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为　9‎3‎　．‎ ‎【解答】解：作CH⊥AB于点H，‎ ‎∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，‎ ‎∴CH＝4‎3‎，‎ ‎∵四边形ECGF是平行四边形，‎ ‎∴EF∥CG，‎ ‎∴△EOD∽△GOC，‎ ‎∴EOGO‎=DOOC=‎EDGC，‎ ‎∵DF‎=‎‎1‎‎4‎DE，‎ ‎∴DEEF‎=‎‎4‎‎5‎，‎ ‎∴EDGC‎=‎‎4‎‎5‎，‎ ‎∴EOGO‎=‎‎4‎‎5‎，‎ ‎∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，‎ 当EO⊥CD时，EO取得最小值，‎ ‎∴CH＝EO，‎ ‎∴EO＝4‎3‎，‎ ‎∴GO＝5‎3‎，‎ ‎∴EG的最小值是‎9‎‎3‎，‎ 故答案为：9‎3‎．‎ ‎9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为　4+2‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，‎ ‎∴AC∥x轴，‎ ‎∴∠BAC＝45°，‎ ‎∵CA＝CB，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝45°，‎ ‎∴∠C＝90°，‎ ‎∵B（3，3）‎ ‎∴C（3，1），‎ ‎∴AC＝BC＝2，‎ 作B关于y轴的对称点E，‎ 连接AE交y轴于D，‎ 则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，‎ 过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，‎ 则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，‎ ‎∴AE‎=EF‎2‎+AF‎2‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎，‎ ‎∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2‎5‎，‎ 故答案为：4+2‎5‎．‎ ‎10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）‎ A．‎2‎‎+‎1 B．‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎ C．2‎2‎‎+‎1 D．2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，‎ ‎∴C在⊙B的圆上，且半径为1，‎ 取OD＝OA＝2，连接CD，‎ ‎∵AM＝CM，OD＝OA，‎ ‎∴OM是△ACD的中位线，‎ ‎∴OM‎=‎‎1‎‎2‎CD，‎ 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，‎ ‎∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，‎ ‎∴BD＝2‎2‎，‎ ‎∴CD＝2‎2‎‎+‎1，‎ ‎∴OM‎=‎‎1‎‎2‎CD‎=‎2‎+‎‎1‎‎2‎，即OM的最大值为‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎；‎ 故选：B．‎ ‎11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y‎=‎kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．‎-‎‎3‎‎2‎ C．﹣2 D．‎‎-‎‎1‎‎4‎ ‎【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，‎ 当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ‎=‎‎1‎‎2‎BP最大，‎ 而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，‎ 则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，‎ 设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，‎ 解得：m2‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴k＝m（﹣m）‎=-‎‎1‎‎2‎，‎ 故选：A．‎ ‎12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为　15　．‎ ‎【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．‎ ‎∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，‎ ‎∴∠ABA′＝60°，‎ ‎∴△ABA′是等边三角形，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD＝BC＝10，‎ 在Rt△ABD中，AB‎=ADtan30°‎=‎10‎3‎，‎ ‎∵A′H⊥AB，‎ ‎∴AH＝HB＝5‎3‎，‎ ‎∴A′H‎=‎‎3‎AH＝15，‎ ‎∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，‎ ‎∴AM+MN≥15，‎ ‎∴AM+MN的最小值为15．‎ 故答案为15．‎ ‎13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　6　．‎ ‎【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，‎ ‎∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，‎ ‎∴BH＝1，AH‎=‎‎3‎，AA'＝2‎3‎，∠C＝30°，‎ ‎∴Rt△CDE中，DE‎=‎‎1‎‎2‎CD，即2DE＝CD，‎ ‎∵A与A'关于BC对称，‎ ‎∴AD＝A'D，‎ ‎∴AD+DE＝A'D+DE，‎ ‎∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，‎ 此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'‎=‎3‎‎2‎×‎2‎3‎‎=‎3，‎ ‎∴AD+DE的最小值为3，‎ 即2AD+CD的最小值为6，‎ 故答案为：6．‎