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第 1 页(共 23 页)
2018 年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分)在每小题给出的四
个选项中,有且只有一个是正确的,请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的
位置上.
1.( 3 分)在﹣2,0, ,2 四个数中,最小的是( )
A.﹣2 B.0 C. D.2
2.( 3 分)2017 年,全国参加汉语考试的人数约为 6500000,将 6500000 用科学
记数法表示为( )
A.6.5×105 B.6.5×106 C.6.5×107 D.65×105
3.( 3 分)下列计算,结果等于 a4 的是( )
A.a+3a B.a5﹣a C.( a2)2 D.a8÷a2
4.( 3 分)如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图
是( )
A. B. C. D.
5.( 3 分)如图,直线 a∥b,直线 c 分别交 a,b 于点 A,C,∠BAC 的平分线交
直线 b 于点 D,若∠1=50°,则∠2 的度数是( )
A.50° B.70° C.80° D.110°
6.( 3 分)某校对部分参加夏令营的中学生的年龄(单位:岁)进行统计,结果
第 2 页(共 23 页)
如下表:
年龄 13 14 15 16 17
人数 1 2 2 3 1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是( )
A.16,15 B.16,14 C.15,15 D.14,15
7.( 3 分)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 AB 中点,且 AE+EO=4,
则▱ABCD 的周长为( )
A.20 B.16 C.12 D.8
8.( 3 分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的
骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的
一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b.若 ab=8,
大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
9.( 3 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k﹣1=0 有两个不相等的实数根,
则实数 k 的取值范围是( )
A.k≤2 B.k≤0 C.k<2 D.k<0
10.( 3 分)如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别在边 AD,CD 上,AF,BE 相交于
点 G,若 AE=3ED,DF=CF,则 的值是( )
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A. B. C. D.
11.( 3 分)在平面直角坐标系内,以原点 O 为原心,1 为半径作圆,点 P 在直
线 y= 上运动,过点 P 作该圆的一条切线,切点为 A,则 PA 的最小值为
( )
A.3 B.2 C. D.
12.( 3 分)已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3(其中 x 是自变量),当 x≥2 时,y
随 x 的增大而增大,且﹣2≤x≤1 时,y 的最大值为 9,则 a 的值为( )
A.1 或﹣2 B. 或 C. D.1
二、填空题(每小题 3 分,共 12 分)
13.( 3 分)若二次根式 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 .
14.( 3 分)分解因式:3a2﹣3= .
15.( 3 分)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两实数根,则
的值是 .
16.( 3 分)如图,等腰△ABC 的底边 BC=20,面积为 120,点 F 在边 BC 上,且
BF=3FC,EG 是腰 AC 的垂直平分线,若点 D 在 EG 上运动,则△CDF 周长的最小
值为 .
三、(每小题 6 分,共 18 分)
17.( 6 分)计算:π0+ +( )﹣1﹣|﹣4|.
18.( 6 分)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C.
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19.( 6 分)化简:(1+ )÷ .
四、(每小题 7 分,共 14 分)
20.( 7 分)为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看
电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取 n 名学生作为
样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一
项).并根据调查得到的数据绘制成了如图 7 所示的两幅不完整的统计图.由图
中提供的信息,解答下列问题:
(1)求 n 的值;
(2)若该校学生共有 1200 人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;
(3)若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生,现从这 4 名
学生中任意抽取 2 名学生,求恰好抽到 2 名男生的概率.
21.( 7 分)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书
每本价格的 2.5 倍,用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24
本.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本,且
用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过 1060 元,那么该图书馆最多可以购买
多少本乙图书?
五、(每小题 8 分,共 16 分)
22.( 8 分)如图,甲建筑物 AD,乙建筑物 BC 的水平距离 AB 为 90m,且乙建筑
物的高度是甲建筑物高度的 6 倍,从 E(A,E,B 在同一水平线上)点测得 D 点
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的仰角为 30°,测得 C 点的仰角为 60°,求这两座建筑物顶端 C、D 间的距离(计
算结果用根号表示,不取近似值).
23.( 8 分)一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(﹣2,12), B(8,﹣3).
(1)求该一次函数的解析式;
(2)如图,该一次函数的图象与反比例函数 y= (m>0)的图象相交于点 C(x1,
y1), D(x2,y2),与 y 轴交于点 E,且 CD=CE,求 m 的值.
六、(每小题 12 分,共 24 分)
24.( 12 分)如图,已知 AB,CD 是⊙O 的直径,过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延
长线于点 P,⊙O 的弦 DE 交 AB 于点 F,且 DF=EF.
(1)求证:CO2=OF•OP;
(2)连接 EB 交 CD 于点 G,过点 G 作 GH⊥AB 于点 H,若 PC=4 ,PB=4,求
GH 的长.
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25.( 12 分)如图 11,已知二次函数 y=ax2﹣(2a﹣ )x+3 的图象经过点 A(4,
0),与 y 轴交于点 B.在 x 轴上有一动点 C(m,0)( 0<m<4),过点 C 作 x 轴
的垂线交直线 AB 于点 E,交该二次函数图象于点 D.
(1)求 a 的值和直线 AB 的解析式;
(2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,设 △ACE,△DEF 的面积分别为 S1,S2,若 S1=4S2,
求 m 的值;
(3)点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点 G 是线段 AB 上的动点,
当四边形 DEGH 是平行四边形,且▱DEGH 周长取最大值时,求点 G 的坐标.
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2018 年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分)在每小题给出的四
个选项中,有且只有一个是正确的,请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的
位置上.
1.( 3 分)在﹣2,0, ,2 四个数中,最小的是( )
A.﹣2 B.0 C. D.2
【解答】解:由正数大于零,零大于负数,得
﹣2<0< <2,
﹣2 最小,
故选:A.
2.( 3 分)2017 年,全国参加汉语考试的人数约为 6500000,将 6500000 用科学
记数法表示为( )
A.6.5×105 B.6.5×106 C.6.5×107 D.65×105
【解答】解:6500000=6.5×106,
故选:B.
3.( 3 分)下列计算,结果等于 a4 的是( )
A.a+3a B.a5﹣a C.( a2)2 D.a8÷a2
【解答】解:A、a+3a=4a,错误;
B、a5 和 a 不是同类项,不能合并,故此选项错误;
C、( a2)2=a4,正确;
D、a8÷a2=a6,错误;
故选:C.
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4.( 3 分)如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图
是( )
A. B. C. D.
【解答】解:从上面看第一列是两个小正方形,第二列是一个小正方形,第三列
是一个小正方形,
故选:B.
5.( 3 分)如图,直线 a∥b,直线 c 分别交 a,b 于点 A,C,∠BAC 的平分线交
直线 b 于点 D,若∠1=50°,则∠2 的度数是( )
A.50° B.70° C.80° D.110°
【解答】解:∵∠BAC 的平分线交直线 b 于点 D,
∴∠BAD=∠CAD,
∵直线 a∥b,∠1=50°,
∴∠BAD=∠CAD=50°,
∴∠2=180°﹣50°﹣50°=80°.
故选:C.
6.( 3 分)某校对部分参加夏令营的中学生的年龄(单位:岁)进行统计,结果
如下表:
年龄 13 14 15 16 17
第 9 页(共 23 页)
人数 1 2 2 3 1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是( )
A.16,15 B.16,14 C.15,15 D.14,15
【解答】解:由表可知 16 岁出现次数最多,所以众数为 16 岁,
因为共有 1+2+2+3+1=9 个数据,
所以中位数为第 5 个数据,即中位数为 15 岁,
故选:A.
7.( 3 分)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 AB 中点,且 AE+EO=4,
则▱ABCD 的周长为( )
A.20 B.16 C.12 D.8
【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA=OC,
∵AE=EB,
∴OE= BC,
∵AE+EO=4,
∴2AE+2EO=8,
∴AB+BC=8,
∴平行四边形 ABCD 的周长=2×8=16,
故选:B.
8.( 3 分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的
骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的
一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b.若 ab=8,
大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为( )
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A.9 B.6 C.4 D.3
【解答】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,
∵每一个直角三角形的面积为: ab= ×8=4,
∴4× ab+(a﹣b)2=25,
∴(a﹣b)2=25﹣16=9,
∴a﹣b=3,
故选:D.
9.( 3 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k﹣1=0 有两个不相等的实数根,
则实数 k 的取值范围是( )
A.k≤2 B.k≤0 C.k<2 D.k<0
【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4(k﹣1)>0,
解得 k<2.
故选:C.
10.( 3 分)如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别在边 AD,CD 上,AF,BE 相交于
点 G,若 AE=3ED,DF=CF,则 的值是( )
A. B. C. D.
【解答】解:如图作,FN∥AD,交 AB 于 N,交 BE 于 M.
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∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB∥CD,∵FN∥AD,
∴四边形 ANFD 是平行四边形,
∵∠D=90°,
∴四边形 ANFD 是解析式,
∵AE=3DE,设 DE=a,则 AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,
∵AN=BN,MN∥AE,
∴BM=ME,
∴MN= a,
∴FM= a,
∵AE∥FM,
∴ = = = ,
故选:C.
11.( 3 分)在平面直角坐标系内,以原点 O 为原心,1 为半径作圆,点 P 在直
线 y= 上运动,过点 P 作该圆的一条切线,切点为 A,则 PA 的最小值为
( )
A.3 B.2 C. D.
【解答】解:如图,直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,作 OH
⊥CD 于 H,
当 x=0 时,y= x+2 =2 ,则 D(0,2 ),
当 y=0 时, x+2 =0,解得 x=﹣2,则 C(﹣2,0),
∴CD= =4,
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∵ OH•CD= OC•OD,
∴OH= = ,
连接 OA,如图,
∵PA 为⊙O 的切线,
∴OA⊥PA,
∴PA= = ,
当 OP 的值最小时,PA 的值最小,
而 OP 的最小值为 OH 的长,
∴PA 的最小值为 = .
故选:D.
12.( 3 分)已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3(其中 x 是自变量),当 x≥2 时,y
随 x 的增大而增大,且﹣2≤x≤1 时,y 的最大值为 9,则 a 的值为( )
A.1 或﹣2 B. 或 C. D.1
【解答】解:∵二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3(其中 x 是自变量),
∴对称轴是直线 x=﹣ =﹣1,
∵当 x≥2 时,y 随 x 的增大而增大,
∴a>0,
∵﹣2≤x≤1 时,y 的最大值为 9,
∴x=1 时,y=a+2a+3a2+3=9,
∴3a2+3a﹣6=0,
∴a=1,或 a=﹣2(不合题意舍去).
第 13 页(共 23 页)
故选:D.
二、填空题(每小题 3 分,共 12 分)
13.( 3 分)若二次根式 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 x≥1 .
【解答】解:∵式子 在实数范围内有意义,
∴x﹣1≥0,
解得 x≥1.
故答案为:x≥1.
14.( 3 分)分解因式:3a2﹣3= 3(a+1)( a﹣1) .
【解答】解:3a2﹣3,
=3(a2﹣1),
=3(a+1)( a﹣1).
故答案为:3(a+1)( a﹣1).
15.( 3 分)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两实数根,则
的值是 6 .
【解答】解:∵x1、x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两实数根,
∴x1+x2=2,x1x2=﹣1, =2x1+1, =2x2+1,
∴ = + = = = =6.
故答案为:6.
16.( 3 分)如图,等腰△ABC 的底边 BC=20,面积为 120,点 F 在边 BC 上,且
BF=3FC,EG 是腰 AC 的垂直平分线,若点 D 在 EG 上运动,则△CDF 周长的最小
值为 13 .
第 14 页(共 23 页)
【解答】解:如图作 AH⊥BC 于 H,连接 AD.
∵EG 垂直平分线段 AC,
∴DA=DC,
∴DF+DC=AD+DF,
∴当 A、D、F 共线时,DF+DC 的值最小,最小值就是线段 AF 的长,
∵ •BC•AH=120,
∴AH=12,
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH=10,
∵BF=3FC,
∴CF=FH=5,
∴AF= = =13,
∴DF+DC 的最小值为 13.
故答案为 13.
三、(每小题 6 分,共 18 分)
17.( 6 分)计算:π0+ +( )﹣1﹣|﹣4|.
【解答】解:原式=1+4+2﹣4=3.
18.( 6 分)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C.
第 15 页(共 23 页)
【解答】证明:∵DA=BE,
∴DE=AB,
在△ABC 和△DEF 中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠C=∠F.
19.( 6 分)化简:(1+ )÷ .
【解答】解:原式= •
= .
四、(每小题 7 分,共 14 分)
20.(7 分)为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看
电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取 n 名学生作为
样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一
项).并根据调查得到的数据绘制成了如图 7 所示的两幅不完整的统计图.由图
中提供的信息,解答下列问题:
(1)求 n 的值;
(2)若该校学生共有 1200 人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;
(3)若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生,现从这 4 名
学生中任意抽取 2 名学生,求恰好抽到 2 名男生的概率.
第 16 页(共 23 页)
【解答】解:(1)n=5÷10%=50;
(2)样本中喜爱看电视的人数为 50﹣15﹣20﹣5=10(人),
1200× =240,
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为 240 人;
(3)画树状图为:
共有 12 种等可能的结果数,其中恰好抽到 2 名男生的结果数为 6,
所以恰好抽到 2 名男生的概率= = .
21.( 7 分)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书
每本价格的 2.5 倍,用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24
本.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本,且
用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过 1060 元,那么该图书馆最多可以购买
多少本乙图书?
【解答】解:(1)设乙图书每本价格为 x 元,则甲图书每本价格是 2.5x 元,
根据题意可得: ﹣ =24,
解得:x=20,
经检验得:x=20 是原方程的根,
则 2.5x=50,
第 17 页(共 23 页)
答:乙图书每本价格为 20 元,则甲图书每本价格是 50 元;
(2)设购买甲图书本数为 x,则购买乙图书的本数为:2x+8,
故 50x+20(2x+8)≤1060,
解得:x≤10,
故 2x+8≤28,
答:该图书馆最多可以购买 28 本乙图书.
五、(每小题 8 分,共 16 分)
22.( 8 分)如图,甲建筑物 AD,乙建筑物 BC 的水平距离 AB 为 90m,且乙建筑
物的高度是甲建筑物高度的 6 倍,从 E(A,E,B 在同一水平线上)点测得 D 点
的仰角为 30°,测得 C 点的仰角为 60°,求这两座建筑物顶端 C、D 间的距离(计
算结果用根号表示,不取近似值).
【解答】解:由题意知:BC=6AD,AE+BE=AB=90m
在 Rt△ADE 中,tan30°= ,sin30°=
∴AE= = AD,DE=2AD;
在 Rt△BCE 中,tan60°= ,sin60°= ,
∴BE= =2 AD,CE= =4 AD;
∵AE+BE=AB=90m
∴ AD+2 AD=90
∴AD=10 (m)
第 18 页(共 23 页)
∴DE=20 m,CE=120m
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,∠DEA=30°,∠CEB=60°,
∴∠DEC=90°
∴CD= = =20 (m)
答:这两座建筑物顶端 C、D 间的距离为 20 m.
23.( 8 分)一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(﹣2,12), B(8,﹣3).
(1)求该一次函数的解析式;
(2)如 图,该一次函数的图象与反比例函数 y= (m>0)的图象相交于点 C(x1,
y1), D(x2,y2),与 y 轴交于点 E,且 CD=CE,求 m 的值.
【解答】解:(1)把点 A(﹣2,12), B(8,﹣3)代入 y=kx+b
得:
解得:
∴一次函数解析式为:y=﹣
(2)分别过点 C、D 做 CA⊥y 轴于点 A,DB⊥y 轴于点 B
设点 C 坐标为(a,b),由已知 ab=m
第 19 页(共 23 页)
由(1)点 E 坐标为(0,9),则 AE=9﹣b
∵AC∥BD,CD=CE
∴BD=2a,EB=2(9﹣b)
∴OB=9﹣2(9﹣b)=2b﹣9
∴点 D 坐标为(2a,2b﹣9)
∴2a•(2b﹣9)=m
整理得 m=6a
∵ab=m
∴b=6
则点 D 坐标化为(a,3)
∵点 D 在 y=﹣ 图象上
∴a=4
∴m=ab=24
六、(每小题 12 分,共 24 分)
24.( 12 分)如图,已知 AB,CD 是⊙O 的直径,过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延
长线于点 P,⊙O 的弦 DE 交 AB 于点 F,且 DF=EF.
(1)求证:CO2=OF•OP;
(2)连接 EB 交 CD 于点 G,过点 G 作 GH⊥AB 于点 H,若 PC=4 ,PB=4,求
GH 的长.
第 20 页(共 23 页)
【解答】(1)证明:∵PC 是⊙O 的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∵AB 是直径,EF=FD,
∴AB⊥ED,
∴∠OFD=∠OCP=90°,
∵∠FOD=∠COP,
∴△OFD∽△OCP,
∴ = ,∵OD=OC,
∴OC2=OF•OP.
(2)解:如图作 CM⊥OP 于 M,连接 EC、EO.设 OC=OB=r.
在 Rt△POC 中,∵PC2+OC2=PO2,
∴(4 )2+r2=(r+4)2,
∴r=2,
∵CM= = ,
∵DC 是直径,
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°,
第 21 页(共 23 页)
∴四边形 EFMC 是矩形,
∴EF=CM= ,
在 Rt△OEF 中,OF= = ,
∴EC=2OF= ,
∵EC∥OB,
∴ = = ,
∵GH∥CM,
∴ = = ,
∴GH= .
25.( 12 分)如图 11,已知二次函数 y=ax2﹣(2a﹣ )x+3 的图象经过点 A(4,
0),与 y 轴交于点 B.在 x 轴上有一动点 C(m,0)( 0<m<4),过点 C 作 x 轴
的垂线交直线 AB 于点 E,交该二次函数图象于点 D.
(1)求 a 的值和直线 AB 的解析式;
(2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,设 △ACE,△DEF 的面积分别为 S1,S2,若 S1=4S2,
求 m 的值;
(3)点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点 G 是线段 AB 上的动点,
当四边形 DEGH 是平行四边形,且▱DEGH 周长取最大值时,求点 G 的坐标.
【解答】解:(1)把点 A(4,0)代入,得
0=a•42﹣(2a﹣ )×4+3
第 22 页(共 23 页)
解得
a=﹣
∴函数解析式为:y=
设直线 AB 解析式为 y=kx+b
把 A(4,0), B(0,3)代入
解得
∴直线 AB 解析式为:y=﹣
(2)由已知,
点 D 坐标为(m,﹣ )
点 E 坐标为(m,﹣ )
∴AC=4﹣m
DE=(﹣ )﹣(﹣ )=﹣
∵BC∥y 轴
∴
∴AE=
∵∠DFA=∠DCA=90°,∠FBD=∠CEA
∴△DEF∽△AEC
∵S1=4S2
∴AE=2DE
∴
解得 m1= ,m2=﹣ (舍去)
故 m 值为
(3)如图,过点 G 做 GM⊥DC 于点 M
第 23 页(共 23 页)
由(2)DE=﹣
同理 HG=﹣
∵四边形 DEGH 是平行四边形
∴﹣ =﹣
整理得:(n﹣m)[ ]=0
∵m≠n
∴m+n=4,即 n=4﹣m
∴MG=n﹣m=4﹣2m
由已知△EMG∽△BOA
∴
∴EG=
∴▱DEGH 周长 L=2[﹣ + ]=﹣
∵a=﹣ <0
∴m=﹣ 时,L 最大.
∴n=4﹣ =
∴G 点坐标为( , )
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