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- 2021-11-12 发布
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2019年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)实数2019的相反数是( )
A.2019 B.﹣2019 C.12019 D.-12019
2.(3分)式子x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥﹣1 C.x≥1 D.x≤1
3.(3分)不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别,随机从袋子中一次摸出3个球,下列事件是不可能事件的是( )
A.3个球都是黑球 B.3个球都是白球
C.三个球中有黑球 D.3个球中有白球
4.(3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.(3分)如图是由5个相同的小正方体组成的几何体,该几何体的左视图是( )
A. B.
C. D.
6.(3分)“漏壶”是一种古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间,用t
表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,下列图象适合表示y与x的对应关系的是( )
A. B.
C. D.
7.(3分)从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a、c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为( )
A.14 B.13 C.12 D.23
8.(3分)已知反比例函数y=kx的图象分别位于第二、第四象限,A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在该图象上,下列命题:①过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA.若△ACO的面积为3,则k=﹣6;②若x1<0<x2,则y1>y2;③若x1+x2=0,则y1+y2=0,其中真命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(3分)如图,AB是⊙O的直径,M、N是AB(异于A、B)上两点,C是MN上一动点,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是( )
A.2 B.π2 C.32 D.52
10.(3分)观察等式:2+22=23﹣2;2+22+23=24﹣2;2+22+23+24=25﹣2…已知按一定规律排列的一组数:250、251、252、…、299、2100.若250=a,用含a的式子表示这组数的和是( )
A.2a2﹣2a B.2a2﹣2a﹣2 C.2a2﹣a D.2a2+a
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)计算16的结果是 .
12.(3分)武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温(单位:℃),分别是25、20、18、23、27,这组数据的中位数是 .
13.(3分)计算2aa2-16-1a-4的结果是 .
14.(3分)如图,在▱ABCD中,E、F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为 .
15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x﹣1)2+c=b﹣bx的解是 .
16.(3分)问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=42.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 .
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)计算:(2x2)3﹣x2•x4.
18.(8分)如图,点A、B、C、D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF,求证:∠E=∠F.
19.(8分)为弘扬中华传统文化,某校开展“双剧进课堂”的活动,该校童威随机抽取部分学生,按四个类别:A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,调查他们对汉剧的喜爱情况,将结果绘制成如下两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取 名学生进行统计调查,扇形统计图中,D类所对应的扇形圆心角的大小为 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该校共有1500名学生,估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人?
20.(8分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的顶点在格点上,点E是边DC与网格线的交点.请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)如图1,过点A画线段AF,使AF∥DC,且AF=DC.
(2)如图1,在边AB上画一点G,使∠AGD=∠BGC.
(3)如图2,过点E画线段EM,使EM∥AB,且EM=AB.
21.(8分)已知AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,DC与⊙O相切于点E,分别交AM、BN于D、C两点.
(1)如图1,求证:AB2=4AD•BC;
(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积.
22.(10分)某商店销售一种商品,童威经市场调查发现:该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价﹣进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元.
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
23.(10分)在△ABC中,∠ABC=90°,ABBC=n,M是BC上一点,连接AM.
(1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直,求证:BM=BN.
(2)过点B作BP⊥AM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q.
①如图2,若n=1,求证:CPPQ=BMBQ.
②如图3,若M是BC的中点,直接写出tan∠BPQ的值.(用含n的式子表示)
24.(12分)已知抛物线C1:y=(x﹣1)2﹣4和C2:y=x2
(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?
(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=-43x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B.请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.
①若AP=AQ,求点P的横坐标;
②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标.
(3)如图2,△MNE的顶点M、N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME、NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为m、n,求m与n的数量关系.
2019年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)实数2019的相反数是( )
A.2019 B.﹣2019 C.12019 D.-12019
【解答】解:实数2019的相反数是:﹣2009.
故选:B.
2.(3分)式子x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥﹣1 C.x≥1 D.x≤1
【解答】解:由题意,得
x﹣1≥0,
解得x≥1,
故选:C.
3.(3分)不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别,随机从袋子中一次摸出3个球,下列事件是不可能事件的是( )
A.3个球都是黑球 B.3个球都是白球
C.三个球中有黑球 D.3个球中有白球
【解答】解:A、3个球都是黑球是随机事件;
B、3个球都是白球是不可能事件;
C、三个球中有黑球是必然事件;
D、3个球中有白球是随机事件;
故选:B.
4.(3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:四个汉字中,可以看作轴对称图形的是,
故选:D.
5.(3分)如图是由5个相同的小正方体组成的几何体,该几何体的左视图是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:从左面看易得下面一层有2个正方形,上面一层左边有1个正方形,如图所示:.
故选:A.
6.(3分)“漏壶”是一种古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间,用t表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,下列图象适合表示y与x的对应关系的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:∵不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,t表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,
∴y随t的增大而减小,符合一次函数图象,
故选:A.
7.(3分)从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a、c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为( )
A.14 B.13 C.12 D.23
【解答】解:画树状图得:
由树形图可知:一共有12种等可能的结果,其中使ac≤4的有6种结果,
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为12,
故选:C.
8.(3分)已知反比例函数y=kx的图象分别位于第二、第四象限,A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在该图象上,下列命题:①过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA.若△ACO的面积为3,则k=﹣6;②若x1<0<x2,则y1>y2;③若x1+x2=0,则y1+y2=0,其中真命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA.
∵△ACO的面积为3,
∴|k|=6,
∵反比例函数y=kx的图象分别位于第二、第四象限,
∴k<0,
∴k=﹣6,正确,是真命题;
②∵反比例函数y=kx的图象分别位于第二、第四象限,
∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大,
若x1<0<x2,则y1>0>y2,正确,是真命题;
③当A、B两点关于原点对称时,x1+x2=0,则y1+y2=0,正确,是真命题,
真命题有3个,
故选:D.
9.(3分)如图,AB是⊙O的直径,M、N是AB(异于A、B)上两点,C是MN上一动点,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是( )
A.2 B.π2 C.32 D.52
【解答】解:如图,连接EB.设OA=r.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵E是△ACB的内心,
∴∠AEB=135°,
∵∠ACD=∠BCD,
∴AD=DB,
∴AD=DB=2r,
∴∠ADB=90°,
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上,运动轨迹是GF,点C的运动轨迹是MN,
∵∠MON=2∠GDF,设∠GDF=α,则∠MON=2α
∴MN的长GF的长=2α⋅π⋅r180α⋅π⋅2r180=2.
故选:A.
10.(3分)观察等式:2+22=23﹣2;2+22+23=24﹣2;2+22+23+24=25﹣2…已知按一定规律排列的一组数:250、251、252、…、299、2100.若250=a,用含a的式子表示这组数的和是( )
A.2a2﹣2a B.2a2﹣2a﹣2 C.2a2﹣a D.2a2+a
【解答】解:∵2+22=23﹣2;
2+22+23=24﹣2;
2+22+23+24=25﹣2;
…
∴2+22+23+…+2n=2n+1﹣2,
∴250+251+252+…+299+2100
=(2+22+23+…+2100)﹣(2+22+23+…+249)
=(2101﹣2)﹣(250﹣2)
=2101﹣250,
∵250=a,
∴2101=(250)2•2=2a2,
∴原式=2a2﹣a.
故选:C.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)计算16的结果是 4 .
【解答】解:16=4,
故答案为:4.
12.(3分)武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温(单位:℃),分别是25、20、18、23、27,这组数据的中位数是 23℃ .
【解答】解:将数据重新排列为18、20、23、25、27,
所以这组数据的中位数为23℃,
故答案为:23℃.
13.(3分)计算2aa2-16-1a-4的结果是 1a+4 .
【解答】解:原式=2a(a+4)(a-4)-a+4(a+4)(a-4)
=2a-a-4(a+4)(a-4)
=a-4(a+4)(a-4)
=1a+4.
故答案为:1a+4
14.(3分)如图,在▱ABCD中,E、F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为 21° .
【解答】解:设∠ADE=x,
∵AE=EF,∠ADF=90°,
∴∠DAE=∠ADE=x,DE=12AF=AE=EF,
∵AE=EF=CD,
∴DE=CD,
∴∠DCE=∠DEC=2x,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠BCA=x,
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x,
∴2x=63°﹣x,
解得:x=21°,
即∠ADE=21°;
故答案为:21°.
15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x﹣1)2+c=b﹣bx的解是 x1=﹣2,x2=5 .
【解答】解:关于x的一元二次方程a(x﹣1)2+c=b﹣bx变形为a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0,
把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c,
因为抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(4,0),
所以抛物线y=a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c与x轴的两交点坐标为(﹣2,0),(5,0),
所以一元二方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的解为x1=﹣2,x2=5.
故答案为x1=﹣2,x2=5.
16.(3分)问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=42.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 229 .
【解答】(1)证明:如图1,在BC上截取BG=PD,
在△ABG和△ADP中
AB=AD∠B=∠DBG=PD,
∴△ABG≌△ADP(SAS),
∴AG=AP,∠BAG=∠DAP,
∵∠GAP=∠BAD=60°,
∴△AGP是等边三角形,
∴∠AGC=60°=∠APG,
∴∠APE=60°,
∴∠EPC=60°,
连接EC,延长BC到F,使CF=PA,连接EF,
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,
∴∠EAC=60°,∠EPC=60°,
∵AE=AC,
∴△ACE是等边三角形,
∴AE=EC=AC,
∵∠PAE+∠APE+∠AEP=180°,∠ECF+∠ACE+∠ACB=180°,∠ACE=∠APE=60°,∠AED=∠ACB,
∴∠PAE=∠ECF,
在△APE和△ECF中
AE=EC∠EAP=∠ECFPA=CF
∴△APE≌△ECF(SAS),
∴PE=PF,
∴PA+PC=PE;
(2)解:如图2:以MG为边作等边三角形△MGD,以OM为边作等边△OME.连接ND,作DF⊥NM,交NM的延长线于F.
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE=OM=ME,∠DMG=∠OME=60°,MG=MD,
∴∠GMO=∠DME
在△GMO和△DME中
OM=ME∠GMO=∠DMEMG=MD
∴△GMO≌△DME(SAS),
∴OG=DE
∴NO+GO+MO=DE+OE+NO
∴当D、E、O、M四点共线时,NO+GO+MO值最小,
∵∠NMG=75°,∠GMD=60°,
∴∠NMD=135°,
∴∠DMF=45°,
∵MG=42.
∴MF=DF=4,
∴NF=MN+MF=6+4=10,
∴ND=NF2+DF2=102+42=229,
∴MO+NO+GO最小值为229,
故答案为229,
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)计算:(2x2)3﹣x2•x4.
【解答】解:(2x2)3﹣x2•x4
=8x6﹣x6
=7x6.
18.(8分)如图,点A、B、C、D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF,求证:∠E=∠F.
【解答】解:∵CE∥DF,
∴∠ACE=∠D,
∵∠A=∠1,
∴180°﹣∠ACE﹣∠A=180°﹣∠D﹣∠1,
又∵∠E=180°﹣∠ACE﹣∠A,∠F=180°﹣∠D﹣∠1,
∴∠E=∠F.
19.(8分)为弘扬中华传统文化,某校开展“双剧进课堂”的活动,该校童威随机抽取部分学生,按四个类别:A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,调查他们对汉剧的喜爱情况,将结果绘制成如下两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取 50 名学生进行统计调查,扇形统计图中,D类所对应的扇形圆心角的大小为 72° ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该校共有1500名学生,估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人?
【解答】解:(1)这次共抽取:12÷24%=50(人),
D类所对应的扇形圆心角的大小360°×1050=72°,
故答案为50,72°;
(2)A类学生:50﹣23﹣12﹣10=5(人),
条形统计图补充如下
该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×2350=690(人),
答:该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人;
20.(8分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的顶点在格点上,点E是边DC与网格线的交点.请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)如图1,过点A画线段AF,使AF∥DC,且AF=DC.
(2)如图1,在边AB上画一点G,使∠AGD=∠BGC.
(3)如图2,过点E画线段EM,使EM∥AB,且EM=AB.
【解答】解:(1)如图所示,线段AF即为所求;
(2)如图所示,点G即为所求;
(3)如图所示,线段EM即为所求.
21.(8分)已知AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,DC与⊙O相切于点E,分别交AM、BN于D、C两点.
(1)如图1,求证:AB2=4AD•BC;
(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积.
【解答】(1)证明:连接OC、OD,如图1所示:
∵AM和BN是它的两条切线,
∴AM⊥AB,BN⊥AB,
∴AM∥BN,
∴∠ADE+∠BCE=180°
∵DC切⊙O于E,
∴∠ODE=12∠ADE,∠OCE=12∠BCE,
∴∠ODE+∠OCE=90°,
∴∠DOC=90°,
∴∠AOD+∠COB=90°,
∵∠AOD+∠ADO=90°,
∴∠AOD=∠OCB,
∵∠OAD=∠OBC=90°,
∴△AOD∽△BCO,
∴ADBO=OABC,
∴OA2=AD•BC,
∴(12AB)2=AD•BC,
∴AB2=4AD•BC;
(2)解:连接OD,OC,如图2所示:
∵∠ADE=2∠OFC,
∴∠ADO=∠OFC,
∵∠ADO=∠BOC,∠BOC=∠FOC,
∴∠OFC=∠FOC,
∴CF=OC,
∴CD垂直平分OF,
∴OD=DF,
在△COD和△CFD中,OC=CFOD=DFCD=CD,
∴△COD≌△CFD(SSS),
∴∠CDO=∠CDF,
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF=180°,
∴∠ODA=60°=∠BOC,
∴∠BOE=120°,
在Rt△DAO,AD=33OA,
Rt△BOC中,BC=3OB,
∴AD:BC=1:3,
∵AD=1,
∴BC=3,OB=3,
∴图中阴影部分的面积=2S△OBC﹣S扇形OBE=2×12×3×3-120π×(3)2360=33-π.
22.(10分)某商店销售一种商品,童威经市场调查发现:该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价﹣进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是 40 元/件;当售价是 70 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 1800 元.
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
【解答】解:(1)①依题意设y=kx+b,
则有50k+b=10060k+b=80
解得:k=-2b=200
所以y关于x的函数解析式为y=﹣2x+200;
②该商品进价是50﹣1000÷100=40,
设每周获得利润w=ax2+bx+c:
则有2500a+50b+c=10003600a+60b+c=16006400a+80b+c=1600,
解得:a=-2b=280c=-8000,
∴w=﹣2x2+280x﹣8000=﹣2(x﹣70)2+1800,
∴当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元;
故答案为:40,70,1800;
(2)根据题意得,w=(x﹣40﹣m)(﹣2x+200)=﹣2x2+(280+2m)x﹣8000﹣200m,
∵对称轴x=140+m2,
∴①当140+m2<65时(舍),②当140+m2≥65时,x=65时,w求最大值1400,
解得:m=5.
23.(10分)在△ABC中,∠ABC=90°,ABBC=n,M是BC上一点,连接AM.
(1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直,求证:BM=BN.
(2)过点B作BP⊥AM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q.
①如图2,若n=1,求证:CPPQ=BMBQ.
②如图3,若M是BC的中点,直接写出tan∠BPQ的值.(用含n的式子表示)
【解答】(1)证明:如图1中,延长AM交CN于点H.
∵AM⊥CN,
∴∠AHC=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠BAM+∠AMB=90°,∠BCN+∠CMH=90°,
∵∠AMB=∠CMH,
∴∠BAM=∠BCN,
∵BA=BC,∠ABM=∠CBN=90°,
∴△ABM≌△CBN(ASA),
∴BM=BN.
(2)①证明:如图2中,作CH∥AB交BP的延长线于H.
∵BP⊥AM,
∴∠BPM=∠ABM=90°,
∵∠BAM+∠AMB=90°,∠CBH+∠BMP=90°,
∴∠BAM=∠CBH,
∵CH∥AB,
∴∠HCB+∠ABC=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABM=∠BCH=90°,
∵AB=BC,
∴△ABM≌△BCH(ASA),
∴BM=CH,
∵CH∥BQ,
∴PCPQ=CHBQ=BMBQ.
②解:如图3中,作CH∥AB交BP的延长线于H,作CN⊥BH于N.不妨设BC=2m,则AB=2mn.
则BM=CM=m,CH=mn,BH=mn1+4n2,AM=m1+4n2,
∵12•AM•BP=12•AB•BM,
∴PB=2mn1+4n2,
∵12•BH•CN=12•CH•BC,
∴CN=2m1+4n2,
∵CN⊥BH,PM⊥BH,
∴MP∥CN,∵CM=BM,
∴PN=BP=2mn1+4n2,
∵∠BPQ=∠CPN,
∴tan∠BPQ=tan∠CPN=NCPN=2m1+4n22mn1+4n2=1n.
24.(12分)已知抛物线C1:y=(x﹣1)2﹣4和C2:y=x2
(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?
(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=-43x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B.请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.
①若AP=AQ,求点P的横坐标;
②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标.
(3)如图2,△MNE的顶点M、N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME、NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为m、n,求m与n的数量关系.
【解答】解:(1)y=(x﹣1)2﹣4向左评移1个单位长度,再向上平移4个单位长度即可得到y=x2;
(2)y=(x﹣1)2﹣4与x轴正半轴的交点A(3,0),
∵直线y=-43x+b经过点A,
∴b=4,
∴y=-43x+4,
y=-43x+4与y=(x﹣1)2﹣4的交点为-43x+4=(x﹣1)2﹣4的解,
∴x=3或x=-73,
∴B(-73,649),
设P(t,-43t+4),且-73<t<3,
∵PQ∥y轴,
∴Q(t,t2﹣2t﹣3),
①当AP=AQ时,
|4-43t|=|t2﹣2t﹣3|,
则有﹣4+43t=t2﹣2t﹣3,
∴t=13,
∴P点横坐标为13;
②当AP=PQ时,
PQ=﹣t2+23t+7,PA=53(3﹣t),
∴﹣t2+23t+7=53(3﹣t),
∴t=-23;
∴P点横坐标为-23;
(3)设经过M与N的直线解析式为y=k(x﹣m)+m2,
∴y=x2y=k(x-m)+m2,
则有x2﹣kx+km﹣m2=0,
△=k2﹣4km+4m2=(k﹣2m)2=0,
∴k=2m,
直线ME的解析式为y=2mx﹣m2,直线NE的解析式为y=2nx﹣n2,
∴E(m+n2,mn),
∴12[(n2﹣mn)+(m2﹣mn)]×(m﹣n)-12(n2﹣mn)×(m+n2-n)-12(m2﹣mn)×(m-m+n2)=2,
∴(m﹣n)3-(m-n)32=4,
∴(m﹣n)3=8,
∴m﹣n=2;
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日期:2019/6/30 9:56:46;用户:中考培优辅导;邮箱:p5193@xyh.com;学号:27411521
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