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- 2021-11-12 发布
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2020年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1. 2的相反数是（ ）
A.-2 B.-12 C.12 D.2
2. 计算m6÷m2的结果是（ ）
A.m3 B.m4 C.m8 D.m12
3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱锥
4. 8的立方根为（ ）
A.22 B.±22 C.2 D.±2
5. 如果xy-1 D.x+1>y+1
6. 如图，直线a、b被直线c所截，a // b，∠1＝140∘，则∠2的度数是（ ）
A.30∘ B.40∘ C.50∘ D.60∘
7. 如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8. 如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=2，∠ADB＝135∘，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A、D两点，则k的值是（ ）
A.22 B.4 C.32 D.6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 计算：|-2|+(π-1)0＝________．
10. 若代数式1x-1有意义，则实数x的取值范围是________．
11. 地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为________．
12. 分解因式：x3-x＝________．
13. 若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是________．
14. 若关于x的方程x2+ax-2＝0有一个根是1，则a＝________．
15. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等
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边三角形，则∠B＝________∘．
16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120∘．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________．
17. 如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝________．
18. 如图，在△ABC中，∠B＝45∘，AB＝62，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为________．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 先化简，再求值：(x+1)2-x(x+1)，其中x＝2．
20. 解方程和不等式组：
（1）xx-1+21-x=2；
（2）2x-6<0-3x≤6 ．
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21. 为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量是________；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
22. 在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是________；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．
23. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA // FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40∘，∠D＝80∘，求∠E的度数．
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24. 某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
25. 如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x(x>0)的图象交于点A(a, 4)．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
26. 如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≅Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90∘，∠BAC＝30∘，BC＝1．
（1）点F到直线CA的距离是________；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30∘，使得CF与CA重合，并停止
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旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为________；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
27. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ⋅PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0, 4)．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点________（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为________；
②若直线n的函数表达式为y=3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1, 4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N(-1, 0)是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是45，求直线l的函数表达式．
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28. 如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C(1, 0)，且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
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参考答案与试题解析
2020年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1.A
2.B
3.C
4.C
5.A
6.B
7.A
8.D
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）
9.3
10.x≠1
11.6.4×103
12.x(x+1)(x-1)
13.k>0
14.1
15.30
16.(2, 3)
17.12
18.4或2
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19.(x+1)2-x(x+1)
＝x2+2x+1-x2-x
＝x+1，
当x＝2时，原式＝2+1＝3．
20.方程两边都乘以x-1得：x-2＝2(x-1)，
解得：x＝0，
检验：把x＝0代入x-1得：x-1≠0，
所以x＝0是原方程的解，
即原方程的解是：x＝0；
2x-6<0-3x≤6 ，
∵ 解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥-2，
∴ 不等式组的解集是：-2≤x<3．
21.100
打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），
踢足球的人数有：100-25-35-15＝25（人），补全统计图如下：
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根据题意得：
2000×15100=300（人），
答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．
22.13
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，
∴ P（和为奇数）=46=23．
23.∵ EA // FB，
∴ ∠A＝∠FBD，
∵ AB＝CD，
∴ AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC与△FBD中，
EA=FB∠A=∠FBDAC=BD ，
∴ △EAC≅△FBD(SAS)，
∴ ∠E＝∠F；
∵ △EAC≅△FBD，
∴ ∠ECA＝∠D＝80∘，
∵ ∠A＝40∘，
∴ ∠E＝180∘-40∘-80∘＝60∘，
答：∠E的度数为60∘．
24.每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元
最多购买5千克苹果
25.把点A(a, 4)代入反比例函数y=8x(x>0)得，
a=84=2，
∴ 点A(2, 4)，代入y＝kx得，k＝2，
∴ 正比例函数的关系式为y＝2x；
当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，
∴ OB＝5，
当x＝5代入y=8x得，y=85，即BC=85，
∴ CD＝BD-BC＝10-85=425，
∴ S△ACD=12×425×(5-2)＝12.6，
26.1
π12
27.D,10
如图2-1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．
当k>0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．
由题意，EN＝22，EN⋅NH＝45，
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∴ NH=10，
∵ N(-1, 0)，M(1, 4)，
∴ MN=22+42=25，
∴ HM=MN2-NH2=20-10=10，
∴ △MNH是等腰直角三角形，
∵ MN的中点K(0, 2)，
∴ KN＝HK＝KM=5，
∴ H(-2, 3)，
把H(-2, 3)，M(1, 4)代入y＝kx+b，则有k+b=4-2k+b=3 ，
解得k=13b=113 ，
∴ 直线l的解析式为y=13x+113，
当k<0时，同法可知直线i经过H'(2, 1)，可得直线l的解析式为y＝-3x+7．
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y=13x+113或y＝-3x+7．
28.-4
∵ b＝4，
∴ 抛物线解析式为y＝x2-4x+3
∵ 抛物线y＝x2-4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
∴ 点A(0, 3)，3＝x2-4x，
∴ x1＝0（舍去），x2＝4，
∴ 点B(4, 3)，
∵ y＝x2-4x+3＝(x-2)2-1，
∴ 顶点D坐标(2, -1)，
如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，
∵ 点A(0, 3)，点B(4, 3)，点C(1, 0)，CE⊥AB，
∴ 点E(1, 3)，CE＝BE＝3，AE＝1，
∴ ∠EBC＝∠ECB＝45∘，tan∠ACE=AEEC=13，
∴ ∠BCF＝45∘，
∵ 点B(4, 3)，点C(1, 0)，点D(2, -1)，
∴ BC=9+9=32，CD=1+1=2，BD=(4-2)2+(3+1)2=25，
∵ BC2+CD2＝20＝BD2，
∴ ∠BCD＝90∘，
∴ tan∠DBC=CDBC=232=13=tan∠ACE，
∴ ∠ACE＝∠DBC，
∴ ∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，
∴ ∠ACB＝∠CFD，
又∵ ∠CQD＝∠ACB，
∴ 点F与点Q重合，
∴ 点P是直线CF与抛物线的交点，
∴ 0＝x2-4x+3，
∴ x1＝1，x2＝3，
∴ 点P(3, 0)；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ
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交抛物线于点P，
∵ CH⊥DB，HF＝QH，
∴ CF＝CQ，
∴ ∠CFD＝∠CQD，
∴ ∠CQD＝∠ACB，
∵ CH⊥BD，
∵ 点B(4, 3)，点D(2, -1)，
∴ 直线BD解析式为：y＝2x-5，
∴ 点F(52, 0)，
∴ 直线CH解析式为：y=-12x+12，
∴ y=-12x+12y=2x-5 ，
解得x=115y=-35 ，
∴ 点H坐标为(115, -35)，
∵ FH＝QH，
∴ 点Q(1910, -65)，
∴ 直线CQ解析式为：y=-43x+43，
联立方程组y=-43x+43y=x2-4x+3 ，
解得：x1=1y1=0 或x2=53y2=-89 ，
∴ 点P(53, -89)；
综上所述：点P的坐标为(3, 0)或(53, -89)；
如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，
∵ 点A(0, 3)，点C(1, 0)，
∴ 直线AC解析式为：y＝-3x+3，
∴ y=-3x+3y=2x-5 ，
∴ x=85y=-95 ，
∴ 点N坐标为(85, -95)，
∵ 点H坐标为(115, -35)，
∴ CH2＝(115-1)2+(35)2=95，HN2＝(115-85)2+(-35+95)2=95，
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∴ CH＝HN，
∴ ∠CNH＝45∘，
∵ 点E关于直线BD对称的点为F，
∴ EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45∘，
∴ ∠ENF＝90∘，
∴ ∠ENM+∠FNM＝90∘，
又∵ ∠ENM+∠MEN＝90∘，
∴ ∠MEN＝∠FNM，
∴ △EMN≅△NKF(AAS)
∴ EM＝NK=95，MN＝KF，
∴ 点E的横坐标为-15，
∴ 点E(-15, 185)，
∴ MN=275=KF，
∴ CF=85+275-1＝6，
∵ 点F关于直线BC对称的点为G，
∴ FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45∘，
∴ ∠GCF＝90∘，
∴ 点G(1, 6)，
∴ AG=12+(6-3)2=10．
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