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  • 2021-11-12 发布

2018年浙江省宁波市中考数学试卷

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‎2018年浙江省宁波市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)‎ ‎1.(4分)在﹣3,﹣1,0,1这四个数中,最小的数是(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.1‎ ‎2.(4分)2018中国(宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天,参观总人数超55万人次,其中55万用科学记数法表示为(  )‎ A.0.55×106 B.5.5×105 C.5.5×104 D.55×104‎ ‎3.(4分)下列计算正确的是(  )‎ A.a3+a3=2a3 B.a3•a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a3)2=a5‎ ‎4.(4分)有五张背面完全相同的卡片,正面分别写有数字1,2,3,4,5,把这些卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,其正面的数字是偶数的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(4分)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎6.(4分)如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称图形的是(  )‎ A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.主视图和左视图 ‎7.(4分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为(  )‎ A.50° B.40° C.30° D.20°‎ ‎8.(4分)若一组数据4,1,7,x,5的平均数为4,则这组数据的中位数为(  )‎ A.7 B.5 C.4 D.3‎ ‎9.(4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则的长为(  )‎ A.π B.π C.π D.π ‎10.(4分)如图,平行于x轴的直线与函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1﹣k2的值为(  )‎ A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4‎ ‎11.(4分)如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为﹣1,则一次函数y=(a﹣b)x+b的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(4分)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为(  )‎ A.2a B.2b C.2a﹣2b D.﹣2b ‎ ‎ 二、填空题(每小题4分,共24分)‎ ‎13.(4分)计算:|﹣2018|=   .‎ ‎14.(4分)要使分式有意义,x的取值应满足   .‎ ‎15.(4分)已知x,y满足方程组,则x2﹣4y2的值为   .‎ ‎16.(4分)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为   米(结果保留根号).‎ ‎17.(4分)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为   .‎ ‎18.(4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题有8小题,共78分)‎ ‎19.(6分)先化简,再求值:(x﹣1)2+x(3﹣x),其中x=﹣.‎ ‎20.(8分)在5×3的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.‎ ‎(1)在图1中画出线段BD,使BD∥AC,其中D是格点;‎ ‎(2)在图2中画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点.‎ ‎21.(8分)在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示,单位:小时),采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥4分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求本次调查的学生人数;‎ ‎(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;‎ ‎(3)若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数.‎ ‎22.(10分)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).‎ ‎(1)求该抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.‎ ‎23.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.‎ ‎(1)求证:△ACD≌△BCE;‎ ‎(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.‎ ‎24.(10分)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.‎ ‎(1)求甲、乙两种商品的每件进价;‎ ‎(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?‎ ‎25.(12分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.‎ ‎(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;‎ ‎(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.‎ ‎(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.‎ ‎26.(14分)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交⊙A于点F.‎ ‎(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;‎ ‎(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,‎ ‎①求证:△OCE∽△OEA;‎ ‎②求点E的坐标;‎ ‎(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2018年浙江省宁波市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)‎ ‎1.(4分)在﹣3,﹣1,0,1这四个数中,最小的数是(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.1‎ ‎【分析】根据正数大于零,零大于负数,可得答案.‎ ‎【解答】解:由正数大于零,零大于负数,得 ‎﹣3<﹣1<0<1,‎ 最小的数是﹣3,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)2018中国(宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天,参观总人数超55万人次,其中55万用科学记数法表示为(  )‎ A.0.55×106 B.5.5×105 C.5.5×104 D.55×104‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:550000=5.5×105,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)下列计算正确的是(  )‎ A.a3+a3=2a3 B.a3•a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a3)2=a5‎ ‎【分析】‎ 根据同底数幂的除法法则,同底数幂的乘法的运算方法,合并同类项的方法,以及幂的乘方与积的乘方的运算方法,逐项判定即可.‎ ‎【解答】解:∵a3+a3=2a3,‎ ‎∴选项A符合题意;‎ ‎∵a3•a2=a5,‎ ‎∴选项B不符合题意;‎ ‎∵a6÷a2=a4,‎ ‎∴选项C不符合题意;‎ ‎∵(a3)2=a6,‎ ‎∴选项D不符合题意.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)有五张背面完全相同的卡片,正面分别写有数字1,2,3,4,5,把这些卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,其正面的数字是偶数的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率.‎ ‎【解答】解:∵从写有数字1,2,3,4,5这5张纸牌中抽取一张,其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果,‎ ‎∴正面的数字是偶数的概率为,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数,求得边数.‎ ‎【解答】解:正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,‎ 则这个正多边形的边数是:360°÷40°=9.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称图形的是(  )‎ A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.主视图和左视图 ‎【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从上边看是一个田字,‎ ‎“田”字是中心对称图形,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为(  )‎ A.50° B.40° C.30° D.20°‎ ‎【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数,再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案.‎ ‎【解答】解:∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,‎ ‎∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°,‎ ‎∵对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,‎ ‎∴EO是△DBC的中位线,‎ ‎∴EO∥BC,‎ ‎∴∠1=∠ACB=40°.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)若一组数据4,1,7,x,5的平均数为4,则这组数据的中位数为(  )‎ A.7 B.5 C.4 D.3‎ ‎【分析】先根据平均数为4求出x的值,然后根据中位数的概念求解.‎ ‎【解答】解:∵数据4,1,7,x,5的平均数为4,‎ ‎∴=4,‎ 解得:x=3,‎ 则将数据重新排列为1、3、4、5、7,‎ 所以这组数据的中位数为4,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则的长为(  )‎ A.π B.π C.π D.π ‎【分析】先根据ACB=90°,AB=4,∠A=30°,得圆心角和半径的长,再根据弧长公式可得到弧CD的长.‎ ‎【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=4,∠A=30°,‎ ‎∴∠B=60°,BC=2‎ ‎∴的长为=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)如图,平行于x轴的直线与函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>‎ ‎0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1﹣k2的值为(  )‎ A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4‎ ‎【分析】设A(a,h),B(b,h),根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1,bh=k2.根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=(a﹣b)h=(ah﹣bh)=(k1﹣k2)=4,求出k1﹣k2=8.‎ ‎【解答】解:∵AB∥x轴,‎ ‎∴A,B两点纵坐标相同.‎ 设A(a,h),B(b,h),则ah=k1,bh=k2.‎ ‎∵S△ABC=AB•yA=(a﹣b)h=(ah﹣bh)=(k1﹣k2)=4,‎ ‎∴k1﹣k2=8.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.(4分)如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为﹣1,则一次函数y=(a﹣b)x+b的图象大致是(  )‎ A. B. C.‎ ‎ D.‎ ‎【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况,从而可以得到一次函数经过哪几个象限,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:由二次函数的图象可知,‎ a<0,b<0,‎ 当x=﹣1时,y=a﹣b<0,‎ ‎∴y=(a﹣b)x+b的图象在第二、三、四象限,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为(  )‎ A.2a B.2b C.2a﹣2b D.﹣2b ‎【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2,然后利用整式的混合运算计算它们的差.‎ ‎【解答】解:S1=(AB﹣a)•a+(CD﹣b)(AD﹣a)=(AB﹣a)•a+(AB﹣b)(AD﹣a),‎ S2=AB(AD﹣a)+(a﹣b)(AB﹣a),‎ ‎∴S2﹣S1=AB(AD﹣a)+‎ ‎(a﹣b)(AB﹣a)﹣(AB﹣a)•a﹣(AB﹣b)(AD﹣a)=(AD﹣a)(AB﹣AB+b)+(AB﹣a)(a﹣b﹣a)=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b(AD﹣AB)=2b.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题4分,共24分)‎ ‎13.(4分)计算:|﹣2018|= 2018 .‎ ‎【分析】直接利用绝对值的性质得出答案.‎ ‎【解答】解:|﹣2018|=2018.‎ 故答案为:2018.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)要使分式有意义,x的取值应满足 x≠1 .‎ ‎【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:要使分式有意义,则:x﹣1≠0.‎ 解得:x≠1,故x的取值应满足:x≠1.‎ 故答案为:x≠1.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)已知x,y满足方程组,则x2﹣4y2的值为 ﹣15 .‎ ‎【分析】根据平方差公式即可求出答案.‎ ‎【解答】解:原式=(x+2y)(x﹣2y)‎ ‎=﹣3×5‎ ‎=﹣15‎ 故答案为:﹣15‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为 1200(‎ ‎﹣1) 米(结果保留根号).‎ ‎【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中,利用锐角三角函数,用CH表示出AH、BH的长,然后计算出AB的长.‎ ‎【解答】解:由于CD∥HB,‎ ‎∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°‎ 在Rt△ACH中,∵∴∠CAH=45°‎ ‎∴AH=CH=1200米,‎ 在Rt△HCB,∵tan∠B=‎ ‎∴HB==‎ ‎==1200(米).‎ ‎∴AB=HB﹣HA ‎=1200﹣1200‎ ‎=1200(﹣1)米 故答案为:1200(﹣1)‎ ‎ ‎ ‎17.(4分)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 3或4 .‎ ‎【分析】分两种情形分别求解:如图1中,当⊙P与直线CD相切时;如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形;‎ ‎【解答】解:如图1中,当⊙P与直线CD相切时,设PC=PM=m.‎ 在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,‎ ‎∴x2=42+(8﹣x)2,‎ ‎∴x=5,‎ ‎∴PC=5,BP=BC﹣PC=8﹣5=3.‎ 如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形.‎ ‎∴PM=PK=CD=2BM,‎ ‎∴BM=4,PM=8,‎ 在Rt△PBM中,PB==4.‎ 综上所述,BP的长为3或4.‎ ‎ ‎ ‎18.(4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为  .‎ ‎【分析】延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE=EH,设BE=x,利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题.‎ ‎【解答】解:延长DM交CB的延长线于点H.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=AD=2,AD∥CH,‎ ‎∴∠ADM=∠H,‎ ‎∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,‎ ‎∴△ADM≌△BHM,‎ ‎∴AD=HB=2,‎ ‎∵EM⊥DH,‎ ‎∴EH=ED,设BE=x,‎ ‎∵AE⊥BC,‎ ‎∴AE⊥AD,‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=90°‎ ‎∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2,‎ ‎∴22﹣x2=(2+x)2﹣22,‎ ‎∴x=﹣1或﹣﹣1(舍弃),‎ ‎∴cosB==,‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题有8小题,共78分)‎ ‎19.(6分)先化简,再求值:(x﹣1)2+x(3﹣x),其中x=﹣.‎ ‎【分析】首先计算完全平方,再计算单项式乘以多项式,再合并同类项,化简后再把x的值代入即可.‎ ‎【解答】解:原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1,‎ 当x=﹣时,原式=﹣+1=.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)在5×3的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.‎ ‎(1)在图1中画出线段BD,使BD∥AC,其中D是格点;‎ ‎(2)在图2中画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点.‎ ‎【分析】(1)将线段AC沿着AB方向平移2个单位,即可得到线段BD;‎ ‎(2)利用2×3的长方形的对角线,即可得到线段BE⊥AC.‎ ‎【解答】解:(1)如图所示,线段BD即为所求;‎ ‎(2)如图所示,线段BE即为所求.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示,单位:小时),采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥4分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求本次调查的学生人数;‎ ‎(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;‎ ‎(3)若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数.‎ ‎【分析】(1)由条形图、扇形图中给出的级别A的数字,可计算出调查学生人数;‎ ‎(2)先计算出C在扇形图中的百分比,用1﹣[(A+D+C)在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比,再计算出B在扇形的圆心角.‎ ‎(3)总人数×课外阅读时间满足3≤t<4的百分比即得所求.‎ ‎【解答】解:(1)由条形图知,A级的人数为20人,‎ 由扇形图知:A级人数占总调查人数的10%‎ 所以:20÷10%=20×=200(人)‎ 即本次调查的学生人数为200人;‎ ‎(2)由条形图知:C级的人数为60人 所以C级所占的百分比为:×100%=30%,‎ B级所占的百分比为:1﹣10%﹣30%﹣45%=15%,‎ B级的人数为200×15%=30(人)‎ D级的人数为:200×45%=90(人)‎ B所在扇形的圆心角为:360°×15%=54°.‎ ‎(3)因为C级所占的百分比为30%,‎ 所以全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数为:1200×30%=360(人)‎ 答:全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的约有360人.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).‎ ‎(1)求该抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.‎ ‎【分析】(1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可;‎ ‎(2)指出满足题意的平移方法,并写出平移后的解析式即可.‎ ‎【解答】解:(1)把(1,0),(0,)代入抛物线解析式得:,‎ 解得:,‎ 则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+;‎ ‎(2)抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣(x+1)2+2,‎ 将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为y=﹣x2.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.‎ ‎(1)求证:△ACD≌△BCE;‎ ‎(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.‎ ‎【分析】(1)由题意可知:CD=CE,∠DCE=90°,由于∠ACB=90°,所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,所以∠ACD=∠BCE,从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)‎ ‎(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知:∠A=∠CBE=45°,BE=BF,从而可求出∠BEF的度数.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可知:CD=CE,∠DCE=90°,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,‎ ‎∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,‎ ‎∴∠ACD=∠BCE,‎ 在△ACD与△BCE中,‎ ‎∴△ACD≌△BCE(SAS)‎ ‎(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,‎ ‎∴∠A=45°,‎ 由(1)可知:∠A=∠CBE=45°,‎ ‎∵AD=BF,‎ ‎∴BE=BF,‎ ‎∴∠BEF=67.5°‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.‎ ‎(1)求甲、乙两种商品的每件进价;‎ ‎(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?‎ ‎【分析】(1)设甲种商品的每件进价为x元,乙种商品的每件进价为y元.根据“某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程;‎ ‎(2)设甲种商品按原销售单价销售a件,则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式.‎ ‎【解答】解:(1)设甲种商品的每件进价为x元,则乙种商品的每件进价为(x+8)元.‎ 根据题意,得,=,‎ 解得 x=40.‎ 经检验,x=40是原方程的解.‎ 答:甲种商品的每件进价为40元,乙种商品的每件进价为48元;‎ ‎(2)甲乙两种商品的销售量为=50.‎ 设甲种商品按原销售单价销售a件,则 ‎(60﹣40)a+(60×0.7﹣40)(50﹣a)+(88﹣48)×50≥2460,‎ 解得 a≥20.‎ 答:甲种商品按原销售单价至少销售20件.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.‎ ‎(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;‎ ‎(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.‎ ‎(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.‎ ‎【分析】(1)根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得;‎ ‎(2)先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD,再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得;‎ ‎(3)作AH⊥BD,由AB=AD知BH=BD,再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB,即AB•BC=BD2,结合AB•BC=AC2知BD2=AC2,据此可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2、AC=3,‎ ‎①当AB2=BC•AC时,得:4=3AC,解得:AC=;‎ ‎②当BC2=AB•AC时,得:9=2AC,解得:AC=;‎ ‎③当AC2=AB•BC时,得:AC=6,解得:AC=(负值舍去);‎ 所以当AC=或或时,△ABC是比例三角形;‎ ‎(2)∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ACB=∠CAD,‎ 又∵∠BAC=∠ADC,‎ ‎∴△ABC∽△DCA,‎ ‎∴=,即CA2=BC•AD,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠CBD,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD,‎ ‎∴∠ADB=∠ABD,‎ ‎∴AB=AD,‎ ‎∴CA2=BC•AB,‎ ‎∴△ABC是比例三角形;‎ ‎(3)如图,过点A作AH⊥BD于点H,‎ ‎∵AB=AD,‎ ‎∴BH=BD,‎ ‎∵AD∥BC,∠ADC=90°,‎ ‎∴∠BCD=90°,‎ ‎∴∠BHA=∠BCD=90°,‎ 又∵∠ABH=∠DBC,‎ ‎∴△ABH∽△DBC,‎ ‎∴=,即AB•BC=BH•DB,‎ ‎∴AB•BC=BD2,‎ 又∵AB•BC=AC2,‎ ‎∴BD2=AC2,‎ ‎∴=.‎ ‎ ‎ ‎26.(14分)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交⊙A于点F.‎ ‎(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;‎ ‎(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,‎ ‎①求证:△OCE∽△OEA;‎ ‎②求点E的坐标;‎ ‎(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式,即可求出OA,OB,即可得出结论;‎ ‎(2)①先判断出∠CDF=2∠CDE,进而得出∠OAE=∠ODF,即可得出结论;‎ ‎②设出EM=3m,AM=4m,进而得出点E坐标,即可得出OE的平方,再根据①的相似得出比例式得出OE的平方,建立方程即可得出结论;‎ ‎(3)利用面积法求出OG,进而得出AG,HE,再构造相似三角形,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),‎ ‎∴﹣×4+b=0,‎ ‎∴b=3,‎ ‎∴直线l的函数表达式y=﹣x+3,‎ ‎∴B(0,3),‎ ‎∴OA=4,OB=3,‎ 在Rt△AOB中,tan∠BAO==;‎ ‎(2)①如图2,连接DF,∵CE=EF,‎ ‎∴∠CDE=∠FDE,‎ ‎∴∠CDF=2∠CDE,‎ ‎∵∠OAE=2∠CDE,‎ ‎∴∠OAE=∠ODF,‎ ‎∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形,‎ ‎∴∠OEC=∠ODF,‎ ‎∴∠OEC=∠OAE,‎ ‎∵∠COE=∠EOA,‎ ‎∴△COE∽△EOA,‎ ‎②过点E⊥OA于M,‎ 由①知,tan∠OAB=,‎ 设EM=3m,则AM=4m,‎ ‎∴OM=4﹣4m,AE=5m,‎ ‎∴E(4﹣4m,3m),AC=5m,∴‎ OC=4﹣5m,‎ 由①知,△COE∽△EOA,‎ ‎∴,‎ ‎∴OE2=OA•OC=4(4﹣5m)=16﹣20m,‎ ‎∵E(4﹣4m,3m),‎ ‎∴(4﹣4m)2+9m2=25m2﹣32m+16,‎ ‎∴25m2﹣32m+16=16﹣20m,‎ ‎∴m=0(舍)或m=,‎ ‎∴4﹣4m=,3m=,‎ ‎∴E(,),‎ ‎(3)如图,设⊙O的半径为r,过点O作OG⊥AB于G,‎ ‎∵A(4,0),B(0,3),‎ ‎∴OA=4,OB=3,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∴AB×OG=OA×OB,‎ ‎∴OG=,‎ ‎∴AG==×=,‎ ‎∴EG=AG﹣AE=﹣r,‎ 连接FH,‎ ‎∵EH是⊙O直径,‎ ‎∴EH=2r,∠EFH=90°=∠EGO,‎ ‎∵∠OEG=∠HEF,‎ ‎∴△OEG∽△HEF,‎ ‎∴,‎ ‎∴OE•EF=HE•EG=2r(﹣r)=﹣2(r﹣)2+,‎ ‎∴r=时,OE•EF最大值为.‎ ‎ ‎