2018年湖南省衡阳市中考数学试卷含答案 25页

‎2018年湖南省衡阳市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）﹣4的相反数是（　　）‎ A．4 B．﹣4 C．﹣ D．‎ ‎2．（3分）2018年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约1800000000元支持民生幸福工程，数1800000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．18×108 B．1.8×108 C．1.8×109 D．0.18×1010‎ ‎3．（3分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　）‎ A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 ‎6．（3分）下列各式中正确的是（　　）‎ A．=±3 B．=﹣3 C．=3 D．﹣=‎ 25‎ ‎7．（3分）下面运算结果为a6的是（　　）‎ A．a3+a3 B．a8÷a2 C．a2•a3 D．（﹣a2）3‎ ‎8．（3分）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（　　）‎ A．﹣=10 B．﹣=10‎ C．﹣=10 D．+=10‎ ‎9．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．正五边形的内角和为540°‎ B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．圆内接四边形的对角互补 ‎10．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（3分）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（　　）‎ A．图象分布在第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点（1，﹣2）‎ D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2‎ ‎12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　）‎ 25‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为　 　．‎ ‎14．（3分）某公司有10名工作人员，他们的月工资情况如表，根据表中信息，该公司工作人员的月工资的众数是　 　．‎ 职务 经理 副经理 A类职员 B类职员 C类职员 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ 月工资（万元/人）‎ ‎2‎ ‎1.2‎ ‎0.8‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎15．（3分）计算：=　 　．‎ ‎16．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为　 　．‎ ‎17．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是　 　．‎ 25‎ ‎18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，﹣）作x轴的垂线交11于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分）‎ ‎19．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x=﹣1．‎ ‎20．（6分）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DCE；‎ ‎（2）当AB=5时，求CD的长．‎ ‎21．（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．‎ 25‎ 请根据图中信息完成下列各题．‎ ‎（1）将频数分布直方图补充完整人数；‎ ‎（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；‎ ‎（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．‎ ‎22．（8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．‎ ‎（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；‎ ‎（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？‎ ‎23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）‎ 25‎ ‎24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎25．（10分）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．‎ ‎（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．‎ ‎①求点M、N的坐标；‎ ‎②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；‎ ‎（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ 25‎ ‎26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．‎ ‎　‎ 25‎ ‎2018年湖南省衡阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）﹣4的相反数是（　　）‎ A．4 B．﹣4 C．﹣ D．‎ ‎【解答】解：﹣4的相反数是4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）2018年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约1800000000元支持民生幸福工程，数1800000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．18×108 B．1.8×108 C．1.8×109 D．0.18×1010‎ ‎【解答】解：1800000000=1.8×109，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、是中心对称图形，故本选项正确；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 25‎ ‎4．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层有1个正方形，且位于中间．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　）‎ A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 ‎【解答】解：A、连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；‎ B、连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；‎ C、大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；‎ D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）下列各式中正确的是（　　）‎ A．=±3 B．=﹣3 C．=3 D．﹣=‎ ‎【解答】解：A、原式=3，不符合题意；‎ 25‎ B、原式=|﹣3|=3，不符合题意；‎ C、原式不能化简，不符合题意；‎ D、原式=2﹣=，符合题意，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）下面运算结果为a6的是（　　）‎ A．a3+a3 B．a8÷a2 C．a2•a3 D．（﹣a2）3‎ ‎【解答】解：A、a3+a3=2a3，此选项不符合题意；‎ B、a8÷a2=a6，此选项符合题意；‎ C、a2•a3=a5，此选项不符合题意；‎ D、（﹣a2）3=﹣a6，此选项不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（　　）‎ A．﹣=10 B．﹣=10‎ C．﹣=10 D．+=10‎ ‎【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，‎ 根据题意列方程为：﹣=10．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．正五边形的内角和为540°‎ B．矩形的对角线相等 25‎ C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．圆内接四边形的对角互补 ‎【解答】解：正五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，A是真命题；‎ 矩形的对角线相等，B是真命题；‎ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；‎ 圆内接四边形的对角互补，D是真命题；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得x＞﹣1，‎ 解②得x≤3，‎ 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（　　）‎ A．图象分布在第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点（1，﹣2）‎ D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2‎ ‎【解答】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；‎ B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；‎ C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；‎ 25‎ D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），‎ ‎∴x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，‎ 而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，‎ ‎∴3a+c=0，所以①错误；‎ ‎∵2≤c≤3，‎ 而c=﹣3a，‎ ‎∴2≤﹣3a≤3，‎ ‎∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；‎ ‎∵抛物线的顶点坐标（1，n），‎ ‎∴x=1时，二次函数值有最大值n，‎ ‎∴a+b+c≥am2+bm+c，‎ 即a+b≥am2+bm，所以③正确；‎ 25‎ ‎∵抛物线的顶点坐标（1，n），‎ ‎∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点，‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为　90°　．‎ ‎【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，‎ ‎∴OB=OD，‎ ‎∴旋转的角度是∠BOD的大小，‎ ‎∵∠BOD=90°，‎ ‎∴旋转的角度为90°．‎ 故答案为：90°．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）某公司有10名工作人员，他们的月工资情况如表，根据表中信息，该公司工作人员的月工资的众数是　0.6万元、0.4万元　．‎ 职务 经理 副经理 A类职员 B类职员 C类职员 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ 月工资（万元/人）‎ ‎2‎ ‎1.2‎ ‎0.8‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎【解答】解：由表可知0.6万元和0.4万元出现次数最多，有4次，‎ 所以该公司工作人员的月工资的众数是0.6万元和0.4万元，‎ 故答案为：0.6万元、0.4万元．‎ ‎　‎ 25‎ ‎15．（3分）计算：=　x﹣1　．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=x﹣1．‎ 故答案为：x﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为　75°　．‎ ‎【解答】解：∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠FBC=∠EAB=（180°﹣90°）=45°，‎ ‎∵∠AFC是△AEF的外角，‎ ‎∴∠AFC=∠FAE+∠E=45°+30°=75°．‎ 故答案为：75°．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是　16　．‎ ‎【解答】解：∵ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∵OM⊥AC，‎ ‎∴AM=MC．‎ ‎∴△CDM的周长=AD+CD=8，‎ 25‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．‎ 故答案为16．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，﹣）作x轴的垂线交11于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为　1009　．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ A1（1，﹣），A2（1，1），A3（﹣2，1），A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），…，‎ ‎∵2018÷4=504…2，2018÷2=1009，‎ ‎∴点A2018的横坐标为：1009，‎ 故答案为：1009．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分）‎ ‎19．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x=﹣1．‎ ‎【解答】解：原式=x2﹣4+x﹣x2=x﹣4，‎ 当x=﹣1时，原式=﹣5．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DCE；‎ 25‎ ‎（2）当AB=5时，求CD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEB≌△DEC（SAS）．‎ ‎（2）解：∵△AEB≌△DEC，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∵AB=5，‎ ‎∴CD=5．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．‎ 请根据图中信息完成下列各题．‎ ‎（1）将频数分布直方图补充完整人数；‎ ‎（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；‎ ‎（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．‎ 25‎ ‎【解答】解：（1）70到80分的人数为50﹣（4+8+15+12）=11人，‎ 补全频数分布直方图如下：‎ ‎（2）本次测试的优秀率是×100%=54%；‎ ‎（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，‎ 则所有的可能性为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，‎ 所以小明和小强分在一起的概率为．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．‎ ‎（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；‎ ‎（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？‎ 25‎ ‎【解答】解：（1）作CP⊥AB于P，‎ 由题意可得出：∠A=30°，AP=2000米，‎ 则CP=AC=1000米；‎ ‎（2）∵在Rt△PBC中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°，‎ ‎∴BC=PC=1000米．‎ ‎∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，‎ ‎∴他到达宾馆需要的时间为=10＜15，‎ ‎∴他在15分钟内能到达宾馆．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）‎ ‎【解答】解：（1）如图，连接OD，‎ 25‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA，‎ ‎∵AD平分∠EAF，‎ ‎∴∠DAE=∠DAO，‎ ‎∴∠DAE=∠ADO，‎ ‎∴OD∥AE，‎ ‎∵AE⊥EF，‎ ‎∴OD⊥EF，‎ ‎∴EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图，作OG⊥AE于点G，‎ 则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，‎ ‎∵OD=OG，‎ ‎∴四边形ODEG是正方形，‎ ‎∴OA=OD=OG=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，‎ 在Rt△AOG中，∵OA=2AG，‎ ‎∴∠AOG=30°，‎ ‎∴∠BOD=60°，‎ 则的长度为=．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ 25‎ ‎（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，‎ 将（10，30）、（16，24）代入，得：，‎ 解得：，‎ 所以y与x的函数解析式为y=﹣x+40（10≤x≤16）；‎ ‎（2）根据题意知，W=（x﹣10）y ‎=（x﹣10）（﹣x+40）‎ ‎=﹣x2+50x﹣400‎ ‎=﹣（x﹣25）2+225，‎ ‎∵a=﹣1＜0，‎ ‎∴当x＜25时，W随x的增大而增大，‎ ‎∵10≤x≤16，‎ ‎∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，‎ 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．‎ ‎（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+‎ 25‎ ‎4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．‎ ‎①求点M、N的坐标；‎ ‎②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；‎ ‎（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1，‎ ‎∵y=﹣2x2+2x+4=﹣2（x﹣）2+，‎ ‎∴顶点为M的坐标为（，），‎ 当x=时，y=﹣2×+4=3，则点N坐标为（，3）；‎ ‎②不存在．‎ 理由如下：‎ MN=﹣3=，‎ 设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），‎ ‎∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，‎ ‎∵PD∥MN，‎ 当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，解得m1=（舍去），m2=，此时P点坐标为（，1），‎ ‎∵PN==，‎ ‎∴PN≠MN，‎ ‎∴平行四边形MNPD不为菱形，‎ 25‎ ‎∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；‎ ‎（2）存在．‎ 如图2，OB=4，OA=2，则AB==2，‎ 当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2），‎ ‎∴PB==，‎ 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，‎ 把A（2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a﹣2，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，‎ 当x=1时，y=ax2﹣2（a+1）x+4=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则D（1，2﹣a），‎ ‎∴PD=2﹣a﹣2=﹣a，‎ ‎∵DC∥OB，‎ ‎∴∠DPB=∠OBA，‎ ‎∴当=时，△PDB∽△BOA，即=，解得a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣2x2+2x+4；‎ 当=时，△PDB∽△BAO，即=，解得a=﹣，此时抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；‎ 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=﹣x2+3x+4．‎ 25‎ ‎　‎ ‎26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，连接BP．‎ 在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，‎ ‎∴AB=4‎ ‎∵点B在线段PQ的垂直平分线上，‎ 25‎ ‎∴BP=BQ，‎ ‎∵AQ=t，CP=t，‎ ‎∴BQ=4﹣t，PB2=42+t2，‎ ‎∴（4﹣t）2=16+t2，‎ 解得t=12﹣8或12+8（舍弃），‎ ‎∴t=12﹣8s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．‎ ‎（2）①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．‎ 则有PA=AQ，‎ ‎∴4﹣t=•t，‎ 解得t=．‎ ‎②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．‎ 则有：AQ=AP，‎ ‎∴t=（4﹣t），‎ 25‎ 解得t=2，‎ 综上所述：t=s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．‎ ‎（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．‎ ‎∵S=S△QNC+S△PCQ=•CN•QF+•PC•QE=t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．‎ ‎　‎ 25‎