2019年贵州省贵阳市中考数学试卷 32页

‎2019年贵州省贵阳市中考数学试卷 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分 ‎1．（3分）32可表示为（　　）‎ A．3×2 B．2×2×2 C．3×3 D．3+3‎ ‎2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（　　）‎ A．运用多项式乘多项式法则 ‎ B．运用平方差公式 ‎ C．运用单项式乘多项式法则 ‎ D．运用完全平方公式 ‎4．（3分）如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（　　）‎ A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm 第30页（共30页）‎ ‎5．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7．（3分）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（　　）‎ A．甲比乙大 B．甲比乙小 ‎ C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较 ‎8．（3分）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（　　）‎ 第30页（共30页）‎ A．3 B．4.5 C．6 D．18‎ ‎9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≤﹣2 B．a＜ ‎ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜‎ 二、填空题：每小题4分，共20分。‎ ‎11．（4分）若分式的值为0，则x的值是　 　．‎ ‎12．（4分）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是　 　．‎ 第30页（共30页）‎ ‎13．（4分）一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是　 　．‎ ‎14．（4分）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是　 　．‎ ‎15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是　 　．‎ 三、解答题：本大题10小题，共100分.‎ ‎16．（8分）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．‎ ‎（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；‎ ‎（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．‎ 第30页（共30页）‎ ‎17．（10分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：‎ 收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88‎ ‎（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．‎ 整理、描述数据：‎ 成绩/分 ‎88‎ ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎95‎ ‎96‎ ‎97‎ ‎98‎ ‎99‎ 学生人数 ‎2‎ ‎1‎ ‎　 　‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎　 　‎ ‎2‎ ‎1‎ 数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表 平均数 众数 中位数 ‎93‎ ‎　 　‎ ‎91‎ 得出结论：‎ ‎（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为　 　分．‎ 数据应用：‎ ‎（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．‎ ‎18．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD．‎ ‎（1）求证：四边形BCED是平行四边形；‎ ‎（2）若DA＝DB＝2，cosA＝，求点B到点E的距离．‎ 第30页（共30页）‎ ‎19．（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 ‎（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是　 　：‎ ‎（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．‎ ‎20．（10分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元．‎ ‎（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；‎ ‎（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．‎ ‎21．（8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB．‎ ‎（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；‎ ‎（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）‎ ‎（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）‎ ‎22．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C．‎ ‎（1）切点C的坐标是　 　；‎ ‎（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m 第30页（共30页）‎ ‎＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上时，求k的值．‎ ‎23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．‎ ‎（1）求证：OP∥BC；‎ ‎（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．‎ ‎24．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；‎ ‎（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．‎ ‎25．（12分）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D 第30页（共30页）‎ 作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；‎ ‎（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．‎ 第30页（共30页）‎ ‎2019年贵州省贵阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分 ‎1．（3分）32可表示为（　　）‎ A．3×2 B．2×2×2 C．3×3 D．3+3‎ ‎【分析】直接利用有理数乘方的意义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：32可表示为：3×3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确把握有理数的乘方定义是解题关键．‎ ‎2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2．‎ ‎【解答】解：如图所示：它的主视图是：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．‎ ‎3．（3分）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（　　）‎ 第30页（共30页）‎ A．运用多项式乘多项式法则 ‎ B．运用平方差公式 ‎ C．运用单项式乘多项式法则 ‎ D．运用完全平方公式 ‎【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．‎ ‎【解答】解：选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确应用公式是解题关键．‎ ‎4．（3分）如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（　　）‎ A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm ‎【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD，‎ ‎∵∠ABC＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝AC，‎ ‎∵菱形ABCD的周长是4cm，‎ ‎∴AB＝BC＝AC＝1cm．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．‎ ‎5．（3分）如图，在3×‎ 第30页（共30页）‎ ‎3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，‎ 故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．‎ ‎6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，‎ ‎∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．‎ 第30页（共30页）‎ ‎7．（3分）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（　　）‎ A．甲比乙大 B．甲比乙小 ‎ C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较 ‎【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，再由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比，进行比较即可．‎ ‎【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，‎ 由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是15÷（15+30+10+5）＝25%，‎ 所以甲党员的百分比比乙党员的百分比大．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎8．（3分）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（　　）‎ A．3 B．4.5 C．6 D．18‎ ‎【分析】根据题意列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，‎ ‎∴9﹣a＝2a﹣9，‎ 解得：a＝6，‎ 第30页（共30页）‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．也考查了数轴．‎ ‎9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．‎ ‎【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，‎ AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，‎ 在Rt△ACE中，CE＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）‎ 第30页（共30页）‎ A．a≤﹣2 B．a＜ ‎ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜‎ ‎【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，‎ ‎∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0‎ ‎∴△＝9﹣8a＞0‎ ‎∴a＜‎ ‎①当a＜0时，‎ 解得：a≤﹣2‎ ‎∴a≤﹣2‎ ‎②当a＞0时，‎ 解得：a≥1‎ ‎∴1≤a＜‎ 综上所述：1≤a＜或a≤﹣2‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．‎ 二、填空题：每小题4分，共20分。‎ ‎11．（4分）若分式的值为0，则x的值是　2　．‎ ‎【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【解答】解：∵分式的值为0，‎ ‎∴x2﹣2x＝0，且x≠0，‎ 解得：x＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．‎ ‎12．（4分）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是　　．‎ ‎【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），‎ ‎∴关于x，y的方程组的解是．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．‎ ‎13．（4分）一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是　m+n＝10　．‎ ‎【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，‎ ‎∴m与n的关系是：m+n＝10．‎ 故答案为：m+n＝10．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键．‎ ‎14．（4分）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是　8π　．‎ ‎【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果．‎ ‎【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，‎ ‎∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π；‎ 故答案为：8π．‎ ‎【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长＝2个圆的周长是解题的关键．‎ ‎15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是　　．‎ ‎【分析】当F与A点重合时和F与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是EE'的长；由已知条件可以推导出△DEE'是直角三角形，且∠DEE'＝30°，在Rt△ADE'中，求出DE'＝即可求解．‎ ‎【解答】解：E的运动路径是EE'的长；‎ ‎∵AB＝4，∠DCA＝30°，‎ ‎∴BC＝，‎ 当F与A点重合时，‎ 在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∴DE'＝，∠CDE'＝30°，‎ 当F与C重合时，∠EDC＝60°，‎ ‎∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，‎ 在Rt△DEE'中，EE'＝；‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查点的轨迹；能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键．‎ 三、解答题：本大题10小题，共100分.‎ ‎16．（8分）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．‎ ‎（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；‎ ‎（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．‎ ‎【分析】（1）空白区域面积＝矩形面积﹣两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；‎ ‎（2）将a＝3，b＝2代入（1）中即可；‎ ‎【解答】解：（1）S＝ab﹣a﹣b+1；‎ 第30页（共30页）‎ ‎（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；‎ ‎【点评】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．‎ ‎17．（10分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：‎ 收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88‎ ‎（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．‎ 整理、描述数据：‎ 成绩/分 ‎88‎ ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎95‎ ‎96‎ ‎97‎ ‎98‎ ‎99‎ 学生人数 ‎2‎ ‎1‎ ‎　5　‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎　3　‎ ‎2‎ ‎1‎ 数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表 平均数 众数 中位数 ‎93‎ ‎　90　‎ ‎91‎ 得出结论：‎ ‎（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为　91　分．‎ 数据应用：‎ ‎（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）由题意即可得出结果；‎ ‎（2）由20×50%＝10，结合题意即可得出结论；‎ ‎（3）由20×30%＝6，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；‎ 出现次数最多的是90分，‎ ‎∴众数是90分；‎ 故答案为：5；3；90；‎ 第30页（共30页）‎ ‎（2）20×50%＝10，‎ 如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定为91分；‎ 故答案为：91；‎ ‎（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：‎ ‎∵20×30%＝6，‎ ‎∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．‎ ‎【点评】本题考查了众数、中位数、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数、用样本估计总体是解题的关键．‎ ‎18．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD．‎ ‎（1）求证：四边形BCED是平行四边形；‎ ‎（2）若DA＝DB＝2，cosA＝，求点B到点E的距离．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，等量代换得到DE＝BC，DE∥BC，于是得到四边形BCED是平行四边形；‎ ‎（2）连接BE，根据已知条件得到AD＝BD＝DE＝2，根据直角三角形的判定定理得到∠ABE＝90°，AE＝4，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∵DE＝AD，‎ ‎∴DE＝BC，DE∥BC，‎ ‎∴四边形BCED是平行四边形；‎ ‎（2）解：连接BE，‎ ‎∵DA＝DB＝2，DE＝AD，‎ ‎∴AD＝BD＝DE＝2，‎ ‎∴∠ABE＝90°，AE＝4，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∵cosA＝，‎ ‎∴AB＝1，‎ ‎∴BE＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得∠ABE＝90°是解题的关键．‎ ‎19．（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 ‎（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是　　：‎ ‎（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．‎ ‎【分析】（1）由概率公式即可得出结果；‎ ‎（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是＝；‎ 故答案为：；‎ ‎（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，‎ 画树状图如图：‎ 共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，‎ ‎∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为＝．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．‎ ‎20．（10分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元．‎ ‎（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；‎ ‎（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．‎ ‎【分析】（1）直接利用第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元，分别得出方程求出答案；‎ ‎（2）利用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，得出不等式求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设A款毕业纪念册的销售为x元，B款毕业纪念册的销售为y元，根据题意可得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 答：A款毕业纪念册的销售为10元，B款毕业纪念册的销售为8元；‎ ‎（2）设能够买a本A款毕业纪念册，则购买B款毕业纪念册（60﹣a）本，根据题意可得：‎ ‎10a+8（60﹣a）≤529，‎ 解得：a≤24.5，‎ 则最多能够买24本A款毕业纪念册．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．‎ ‎21．（8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB．‎ 第30页（共30页）‎ ‎（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；‎ ‎（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）‎ ‎（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）‎ ‎【分析】（1）根据题意即可得到结论；‎ ‎（2）根据余角的定义得到∠BAO＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO＝22.5°，由三角形的外角的性质得到∠BOP＝45°，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；‎ ‎（2）如图，∵∠CAB＝67.5°，‎ ‎∴∠BAO＝22.5°，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°，‎ ‎∴∠BOP＝45°，‎ ‎∵OB＝100，‎ ‎∴OE＝OB＝50，‎ ‎∴PE＝OP﹣OE＝100﹣50≈29.5cm，‎ 答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．‎ ‎22．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C．‎ ‎（1）切点C的坐标是　（2，4）　；‎ ‎（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上时，求k的值．‎ ‎【分析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可；‎ ‎（2）先求出点M坐标，再求出点C和点M平移后的对应点的坐标，列出方程可求m和k的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y＝的图象相切于点C ‎∴﹣2x+8＝‎ ‎∴x＝2，‎ ‎∴点C坐标为（2，4）‎ 故答案为：（2，4）；‎ ‎（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∴点B（4，0）‎ ‎∵点M为线段BC的中点，‎ ‎∴点M（3，2）‎ ‎∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2）‎ ‎∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m）‎ ‎∴m＝1‎ ‎∴k＝4‎ ‎【点评】本题是反比例函数与一次函数的综合题，一次函数的性质和反比例函数的性质，由点的坐标在函数图象上列等式可解决问题．‎ ‎23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．‎ ‎（1）求证：OP∥BC；‎ ‎（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．‎ ‎【分析】（1）由题意可知＝，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；‎ ‎（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代换可得出∠APO＝∠AOP，再由OA＝OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由OB＝OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC 第30页（共30页）‎ 也为60°，再加上OP＝OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB＝4PD＝4．‎ ‎【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．‎ ‎∴＝‎ ‎∴∠AOP＝∠COP，‎ ‎∴∠AOP＝∠AOC，‎ 又∵∠ABC＝∠AOC，‎ ‎∴∠AOP＝∠ABC，‎ ‎∴PO∥BC；‎ ‎（2）解：连接PC，‎ ‎∵CD为圆O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD，又AD⊥CD，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴∠APO＝∠COP，‎ ‎∵∠AOP＝∠COP，‎ ‎∴∠APO＝∠AOP，‎ ‎∴OA＝AP，‎ ‎∵OA＝OP，‎ ‎∴△APO为等边三角形，‎ ‎∴∠AOP＝60°，‎ 又∵OP∥BC，‎ ‎∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，‎ ‎∴△BCO为等边三角形，‎ ‎∴∠COB＝60°，‎ ‎∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，‎ ‎∴△POC也为等边三角形，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，‎ 又∵∠OCD＝90°，‎ ‎∴∠PCD＝30°，‎ 在Rt△PCD中，PD＝PC，‎ 又∵PC＝OP＝AB，‎ ‎∴PD＝AB，‎ ‎∴AB＝4PD＝4．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．‎ ‎24．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；‎ ‎（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．‎ ‎【分析】（1）先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；‎ ‎（2）分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP 第30页（共30页）‎ 的长，从而得出答案；‎ ‎（3）分对称轴x＝1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，‎ ‎∴点B的坐标为（3，0），‎ 代入y＝x2+bx+c，得：‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）如图所示：‎ 由抛物线解析式知C（0，﹣3），‎ 则OB＝OC＝3，‎ ‎∴∠OBC＝45°，‎ 若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，‎ ‎∴OP＝OBtan∠OBP＝3×＝，‎ ‎∴CP＝3﹣；‎ 若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，‎ ‎∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×＝3，‎ ‎∴CP＝3﹣3；‎ 综上，CP的长为3﹣或3﹣3；‎ 第30页（共30页）‎ ‎（3）若a+1＜1，即a＜0，‎ 则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，‎ 解得a＝1﹣（正值舍去）；‎ 若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，‎ 则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，‎ 解得：a＝﹣2（舍去）；‎ 若a＞1，‎ 则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，‎ 解得a＝2+（负值舍去）；‎ 综上，a的值为1﹣或2+．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．‎ ‎25．（12分）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；‎ ‎（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．‎ ‎【分析】数学理解：‎ ‎（1）由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC，由正方形的性质可得DE＝DF＝CE，∠DFC＝∠DEC＝90°，可求AF＝DF＝CE，即可得AB＝（AF+BE）；‎ 问题解决：‎ ‎（2）延长AC，使FM＝BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得DM＝DB，通过△ADM≌△ADB，可得∠DAC＝∠DAB＝∠CAB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC 第30页（共30页）‎ ‎，由三角形内角和定理可求∠ADB的度数；‎ 联系拓广：‎ ‎（3）由正方形的性质可得DE∥AC，DF∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD，可得AM＝MD，DN＝NB，即可求MN，AM，BN的数量关系．‎ ‎【解答】解：‎ 数学理解：‎ ‎（1）AB＝（AF+BE）‎ 理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形 ‎∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC6‎ ‎∵四边形DECF是正方形 ‎∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°‎ ‎∴∠A＝∠ADF＝45°‎ ‎∴AF＝DF＝CE ‎∴AF+BE＝BC＝AC ‎∴AB＝（AF+BE）‎ 问题解决：‎ ‎（2）如图，延长AC，使FM＝BE，连接DM，‎ ‎∵四边形DECF是正方形 ‎∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°‎ ‎∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED ‎∴△DFM≌△DEB（SAS）‎ ‎∴DM＝DB 第30页（共30页）‎ ‎∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，‎ ‎∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD ‎∴△ADM≌△ADB（SSS）‎ ‎∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB 同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠CAB+∠CBA＝90°‎ ‎∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°‎ ‎∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°‎ 联系拓广：‎ ‎（3）∵四边形DECF是正方形 ‎∴DE∥AC，DF∥BC ‎∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°‎ ‎∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD ‎∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD ‎∴AM＝MD，DN＝NB 在Rt∠DMN中，MN2＝MD2+DN2，‎ ‎∴MN2＝AM2+NB2，‎ ‎【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/7 17:38:50；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557‎ 第30页（共30页）‎