初三数学上册基础知识讲解练习 认识一元二次方程 3页

认识一元二次方程 【知识点总结】 一、一元二次方程概念： 一元二次 方程： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式： 2 0 ( 0)ax bx c a    ， a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项． ⑴ 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ① 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ② 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③ 一元二次方程是 二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是 2 ． ⑵ 任何一个关于 x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式 2 0a x b x c    0a  ． 要特别注意对于关于 x 的方程 2 0a x b x c   ，[来源:Zxxk.Com] 当 0a  时，方程是一元二次方程； 当 0a  且 0b  时，方程是一元一次方程． ⑶ 关于 x 的一元二次方程式 2 0axbxc  0a  的项与各项的系数． 2ax 为二次项，其系数为 a ； bx 为一次项，其系数为 b ； c 为常数项． 二、判断方程是否为一元二次方程的方法有两种 1、根据定义判定．将方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果能同时满足一元二次方 程定义所包含的三个条件： ① 是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2．那么这个方程就是一元二次方程，否则，这个方程就不是一元二次方程． 2、根据一般形式判定．将方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后， 如果能化为一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），那么这个方 程就是一元二次方程，否则，这个 方程就不是一元二次方程． 【例题精讲】 1、 下列关于 x 的方程： 2、 ①ax2＋bx＋c＝0；②k2＋5k＋6＝0；③ 3 3 x3 一 2 4 x 一 1 2 ＝0； ④（ｍ2＋3）x2＋ 3 x－2＝0；⑤x2—2x＋ 1 x ＝0；[来源:Zxxk.Com] ⑥（x＋1）（ x－1）＝x（2x＋1）； ⑦ 1 2 x（x 一 1）＝(2x＋1）（ 1 4 x－1）． 其中一定是关于 x 的一元二次方程的是 ．（只填序号） 【解析】本题考查一元二次方程的定义及一般形式．可根据一元二次方程的定义或一般形式来分析关于 x 的方程，即方程中只有 x 是未知数，而其他字母都看成已知数．①不一定是一元二次方程，因为当 a＝0 时， 它不是一元二次方程．②没有未知数 x，不是关于 x 的一元二次方程．③中 x 的最高次数为 3，不是一元二 次方程．④中 m2＋3>0，所以④为一元二次方程．⑤分母中有未知数，方程不是整式方程，故不是一元二次 方程．⑥化成一般形式为 x2＋x＋1＝0，是一元二次方程．⑦化成一般形式为 5x＋4＝0，不是一元二次方程．故 填④⑥． 2、关于 x 的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2－1＝0 的一个根是 x＝0，则 a 的值为（ ） A．1 B．－1 C．1 或－1 D． 1 2 【解析】由方程的根的意义可知，0 使方程左、右两边相等，把 x＝0 代入后可求出 a 的值．注意原方程为 关于 x 的一元二次方程，隐含了 a－1≠0 的条件．把 x＝0 代入方程，得 a2－1＝0，∴a2＝1，∴a＝±1 ．又 ∵a－1≠0∴a≠1∴a＝ －1．故选 B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的意义及定义中“a≠0”的条件．[来源 :学科网 ZXXK] 3、求关于 x 的一元二次方程m 2－2 m＋m（x2＋1）＝x 的二次项系数、一次项系数及常数项． 【解析】本题虽然没要求把原方程化为一般形式，但由于二次项系数、一次项系[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 数及常数项都是在一般形式下定义的，所以为了求出各项系数，必须先把原方程化为 一般形式． 将方程 m 2－2 m＋m（x2＋1）＝x 化为一般形式，得 m x2－x＋m 2－m＝0． 因为已知原方程是一元二次方程，所以题中存在隐含条件 m≠0． 此方程的二次项系数为ｍ，一次项系数为－1，常数项为 m2－m．[来源:学+科+网] 4、已知关于 x 的方程（m＋ 3 ） 12 mx ＋2（m 一 1）x －l＝0． （1）m 为何值时，原方程是一元二次方程? （2）m 为何值时，原方程是一元一次方程? 【解析】此题要根据一元二次方程及一元一次方程的定义确定 ｍ的值．（1）当 m＋ 3 ≠0，且 m 2－1＝2 时， 此方程为一元二次方程．（2）当 m 分别满足以下几个条件时，此方程都是一元一次方程．①m＋ ＝0， 且 m－1≠0；②m 2－1＝1，且 m＋ 3 ＋2（m－1） ≠0；③m 2－l＝0，且 2（m－1）≠0． 解：（1）要使（m＋ ） 12 mx ＋2（m－ 1）x－1＝0 是一元二次方程，[来源:学科网][来源:学.科.网] 则必须满足 2 3 0 . 1 2 . m m    － 解得 m＝ ． 所以当 m＝ 时，原方程是一元二次方程． （2）若使原方程为一元一次方程，则应分以下几种情况进行讨论： ① 30 10 m m    解得 m＝－ ② 2 11 32(1)0 m mm    解得 m＝ ③ 2 10 2 ( 1 ) 0 m m     解得 m＝－1． 所以当 m＝－ 或 2 或－l 时，原方程是一元一次方程．[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 【点睛】讨论关于 x 的方程是不是一元二次方程或一元一次方程的问题，关键要考虑两点：（1）未知数的 最高次数；（2）最高次项的系数是否为 0． 2