2019年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷（含解析） 26页

‎2019年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．‎ ‎1．（4分）2019的相反数是（　　）‎ A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣‎ ‎2．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（a3）4＝a7 B．a3+a4＝a7 [来源:学科网ZXXK]‎ C．（﹣a）3•（﹣a）4＝a7 D．a7÷（﹣a）4＝a3‎ ‎3．（4分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4分）2018年8月，非洲猪瘟首次传入我国，非洲猪瘟病毒粒子的直径约为175～215纳米，1纳米等于10﹣9米，215纳米用科学记数法表示为（　　）‎ A．215×10﹣9米 B．2.15×10﹣9米 ‎ C．2.15×10﹣11米 D．2.15×10﹣7米 ‎5．（4分）关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，那么m的取值范围为（　　）‎ A．m＞1 B．m＜1 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1‎ ‎6．（4分）由于各地雾霾天气越来越严重，2018年春节前夕，安庆市政府号召市民，禁放烟花炮竹．学校向3000名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A类：不放烟花爆竹；B类：少放烟花爆竹；C类：使用电子鞭炮；D类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选），并将对100名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示）．根据抽样结果，请估计全校“使用电子鞭炮”的学生有（　　）‎ A．900名 B．1050名 C．600名 D．450名 ‎7．（4分）用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是两个全等的矩形，窗框的总面积为3m2（材料的厚度忽略不计）．若设等腰直角三角形的斜边长为xm，下列方程符合题意的是（　　）‎ A． B． ‎ C．x•＝3 D．x•＝3‎ ‎8．（4分）如图，点A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝，则k＝（　　）‎ A．6 B．﹣6 C． D．﹣‎ ‎9．（4分）如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝3，DA＝5，则CD的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．1‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11．（5分）﹣27的立方根是　 　．‎ ‎12．（5分）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝　 　．‎ ‎13．（5分）如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝　 　度．‎ ‎14．（5分）已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．‎ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎15．（8分）计算：．‎ ‎16．（8分）古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．‎ 诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．‎ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．‎ ‎（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB'C'，请画出△AB'C'．‎ ‎②填空：tan∠AB'C'＝　 　．‎ ‎18．（8分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图①所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图②所示，其示意图如图③所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2m．‎ 现有一高度为2.4m的货车要送货进入地下车库，问此货车能否安全通过？请通过计算说明．（栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎19．（10分）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．‎ 观察下列两类“勾股数”：‎ 第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…‎ 第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…‎ ‎（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；‎ ‎（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．‎ ‎20．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．‎ ‎（1）若⊙O的半径为，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．‎ ‎（2）求证：∠AFC＝∠DFG．‎ 六、（本题满分12分）‎ ‎21．（12分）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：‎ 组别 步数分组 频率 A x＜6000‎ ‎0.1‎ B ‎6000≤x＜7000‎ ‎0.5‎ C ‎7000≤x＜8000‎ m D x≥8000‎ n 合计 ‎1‎ 根据信息解答下列问题：‎ ‎（1）填空：m＝　 　，n＝　 　；并补全条形统计图；‎ ‎（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在　 　组；（填组别）‎ ‎（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．‎ 七、（本题满分12分）‎ ‎22．（12分）今年五一期间采石矶景区将启用新的大门，景区决定利用现有的不同种类花卉设计出两种不同的造型A和B摆放于大门广场．已知每个A种造型的成本y1与造型个数x（0＜x＜60）满足关系式y1＝82﹣x，每个B种造型的成本 y2与造型个数x（0＜x＜60）的关系如表所示：‎ x（个）‎ ‎…‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎…‎ y2（元）‎ ‎…‎ ‎93‎ ‎86‎ ‎79‎ ‎65‎ ‎…‎ ‎（1）请求出y2与x的函数关系式；‎ ‎（2）现在广场需搭配A、B两种园艺造型共60个，要求每种园艺造型不得少于20个，并且成本总额W（元）不超过5000元．以上要求能否同时满足？请你通过计算说明理由．‎ 八、（本题满分14分）‎ ‎23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BG⊥AC交AC于点G，E为AB中点，EG的延长线交AD于点F，连接CF．‎ ‎（1）若∠ABG＝30°，证明AF＝FD；‎ ‎（2）如图2，若∠EFC＝90°，连接BF，FM⊥FB交CD于点M．‎ ‎①证明：DM＝MC；‎ ‎②求的值．‎ ‎2019年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．‎ ‎1．（4分）2019的相反数是（　　）‎ A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣‎ ‎【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：2019的相反数是﹣2019．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．‎ ‎2．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（a3）4＝a7 B．a3+a4＝a7 ‎ C．（﹣a）3•（﹣a）4＝a7 D．a7÷（﹣a）4＝a3‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则分别求每个式子的值，再判断即可．‎ ‎【解答】解：A、（a3）4＝a12，故本选项不符合题意；‎ B、a3和a4不能合并，故本选项不符合题意；‎ C、（﹣a）3•（﹣a）4＝（﹣a）7＝﹣a7，故本选项不符合题意；‎ D、a7÷（﹣a）4＝a7÷a4＝a3，故本选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．‎ ‎3．（4分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：A、主视图是正方形，故此选项错误；‎ B、主视图是圆，故此选项正确；‎ C、主视图是三角形，故此选项错误；‎ D、主视图是长方形，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．‎ ‎4．（4分）2018年8月，非洲猪瘟首次传入我国，非洲猪瘟病毒粒子的直径约为175～215纳米，1纳米等于10﹣9米，215纳米用科学记数法表示为（　　）‎ A．215×10﹣9米 B．2.15×10﹣9米 ‎ C．2.15×10﹣11米 D．2.15×10﹣7米 ‎【分析】215＝2.15×100＝2.15×102，再根据1纳米等于10﹣9米，即可表示出215纳米的结果．‎ ‎【解答】解：∵1nm＝10﹣9m ‎∴215纳米可表示为215×10﹣9米 而215＝2.15×100＝2.15×102‎ ‎∴215纳米＝2.15×102×10﹣9＝2.15×10﹣7‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是小于1的科学记数法，把握a×10﹣n中a、n的意义与表示方法是重点．‎ ‎5．（4分）关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，那么m的取值范围为（　　）‎ A．m＞1 B．m＜1 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1‎ ‎【分析】根据不等式的性质3得出不等式1﹣m＜0，求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，‎ ‎∴1﹣m＜0，‎ 解得：m＞1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查不等式的基本性质，能得出关于m的不等式是解此题的关键．‎ ‎6．（4分）由于各地雾霾天气越来越严重，2018年春节前夕，安庆市政府号召市民，禁放烟花炮竹．学校向3000名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕 ‎“A类：不放烟花爆竹；B类：少放烟花爆竹；C类：使用电子鞭炮；D类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选），并将对100名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示）．根据抽样结果，请估计全校“使用电子鞭炮”的学生有（　　）‎ A．900名 B．1050名 C．600名 D．450名 ‎【分析】用全校的学生数乘以“使用电子鞭炮”所占的百分比即可得出答案．‎ ‎【解答】解：被调查的学生中“使用电子鞭炮”的学生由100﹣（30+35+15）＝20‎ 全校“使用电子鞭炮”的学生有：20÷100×3000＝600．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．‎ ‎7．（4分）用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是两个全等的矩形，窗框的总面积为3m2（材料的厚度忽略不计）．若设等腰直角三角形的斜边长为xm，下列方程符合题意的是（　　）‎ A． B． ‎ C．x•＝3 D．x•＝3‎ ‎【分析】设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm，宽为，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式结合窗框的总面积为3m2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．‎ ‎【解答】解：设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm，宽为，‎ 依题意，得：x•+×（x）2＝3，‎ 即x•+x2＝3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等腰直角三角形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎8．（4分）如图，点A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝，则k＝（　　）‎ A．6 B．﹣6 C． D．﹣‎ ‎【分析】延长AB，与y轴交于点D，由AB与x轴平行，得到AD垂直于y轴，利用反比例函数k的几何意义表示出三角形AOD与三角形BOD面积，由三角形AOD面积减去三角形BOD面积表示出三角形AOB面积，由于S△AOB＝S△ABC，将已知三角形ABC面积代入求出k的值即可．‎ ‎【解答】解：延长AB，与y轴交于点D，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴AD⊥y轴，‎ ‎∵点A是反比例函数y＝图象上一点，B反比例函数y＝﹣的图象上的点，‎ ‎∴S△AOD＝﹣k，S△BOD＝，‎ ‎∵S△AOB＝S△ABC＝，即﹣k﹣＝，‎ 解得：k＝﹣6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．‎ ‎9．（4分）如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】本题是动点函数图象问题，可由菱形的对角线互相平分，选取特殊位置﹣﹣两对角线交点来考虑，问题不难解答．‎ ‎【解答】解：y随x的增大，先是由大变小，当点P位于AC与BD交点处时，y＝0；由于菱形的对角线互相平分，所以点P在从AC与BD的交点处向点D的运动过程中，函数图象应该与之前的对称，故排除掉选项B，C，D．只有A正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 考查了菱形对角线互相平分的性质．动点函数图象问题，可以着重考虑起始位置，中间某个特殊位置，采用排除法来解题比较简单．‎ ‎10．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝3，DA＝5，则CD的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，CD转化为BE，由于AE、AD、BD都是定值，所以当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．‎ ‎【解答】解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE．‎ 则CD＝BE，△ADE是等腰直角三角形，ED＝5．‎ ‎∵AE、AD、BD都是定值，‎ 所以当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．‎ 此时BE最小值为DE﹣BD＝5﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转转化线段，利用两点之间线段最短求最值．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11．（5分）﹣27的立方根是　﹣3　．‎ ‎【分析】根据立方根的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，‎ ‎∴＝﹣3‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．‎ ‎12．（5分）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝　（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）　．‎ ‎【分析】根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解．‎ ‎【解答】解：4x2﹣y2+2y﹣1‎ ‎＝4x2﹣（y2﹣2y+1）‎ ‎＝（2x）2﹣（y﹣1）2‎ ‎＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）‎ 故答案为：（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．‎ ‎【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解法进行因式分解的一般步骤是解题的关键．‎ ‎13．（5分）如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝　35　度．‎ ‎【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵∠AOB＝40°，OA＝OB，‎ ‎∴∠ABO＝＝70°．‎ ‎∵直径CD∥AB，‎ ‎∴∠BOC＝∠ABO＝70°，‎ ‎∴∠BAC＝∠BOC＝35°．‎ 故答案为：35．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．‎ ‎14．（5分）已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＝0或m＞4　．‎ ‎【分析】有2个不相等的实数根，其含义是当y＝m时，对应的x值有两个不同的数值，根据图象可以看出与x轴有两个交点，所以此时m＝0；当y取的值比抛物线顶点处值大时，对应的x值有两个，所以m值应该大于抛物线顶点的纵坐标．综合表述即可．‎ ‎【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根，‎ 即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根；‎ 从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个，‎ 当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根．‎ ‎|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，‎ 综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根．‎ 故答案为m＝0或m＞4．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，解题的关键是根据图象分析判断函数值与自变量之间的关系．‎ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎15．（8分）计算：．‎ ‎【分析】‎ 原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式＝2﹣2×+1﹣3＝﹣2．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎16．（8分）古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．‎ 诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．‎ ‎【分析】由题目条件可设客房x间，房客y人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组求得．‎ ‎【解答】解：设有客房x间，房客y人，由题意得：‎ ‎ 解得 故该店有客房8间，房客63人．‎ ‎【点评】本题考查二元一次方程组的应用或一元一次方程的应用，也可用一元一次方程解决，理清题中的等量关系是解题的关键．‎ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．‎ ‎（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB'C'，请画出△AB'C'．‎ ‎②填空：tan∠AB'C'＝　2　．‎ ‎【分析】（1）利用网格作出BC的中点，再连接AD即可得；‎ ‎（2）①根据位似变换的定义作图可得；‎ ‎②先利用勾股定理逆定理证△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，再利用tan∠AB′C ‎′＝tan∠ABC＝可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；‎ ‎（2）①如图所示，△AB'C'即为所求；‎ ‎②∵BC2＝32+32＝18，AC2＝62+62＝72，AB2＝32+92＝90，‎ ‎∴BC2+AC2＝AB2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，‎ ‎∵△ABC∽△AB′C′，‎ ‎∴tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝＝＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及勾股定理逆定理．‎ ‎18．（8分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图①所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图②所示，其示意图如图③所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2m．‎ 现有一高度为2.4m的货车要送货进入地下车库，问此货车能否安全通过？请通过计算说明．（栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎【分析】过E作ED⊥BC于D，AG⊥ED于G，求出DE的长与2.4比较即可判断．‎ ‎【解答】解：过E作ED⊥BC于D，AG⊥ED于G，‎ 则∠AEG＝37°，DG＝AB＝1.2m，EG＝AEcos37°＝1.2×0.80＝0.96m，‎ ‎∴ED＝EG+DG＝1.2+0.96＝2.16m＜2.4m，‎ 故此货车不能安全通过．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．‎ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎19．（10分）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．‎ 观察下列两类“勾股数”：‎ 第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…‎ 第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…‎ ‎（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；‎ ‎（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．‎ ‎【分析】（1）根据勾股数的定义即可得到结论；‎ ‎（2）当a为奇数时，当a为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；‎ 第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；‎ ‎（2）当a为奇数时，，；‎ 当a为偶数时，，；‎ 证明：当a为奇数时，a2+b2＝，‎ ‎∴（a，b，c）是“勾股数”．‎ 当a为偶数时，a2+b2＝‎ ‎∴（a，b，c）是“勾股数“．”‎ ‎【点评】本题考查了勾股数，数字的变化类﹣规律型，读懂表格，从表格中获取有用信息进而发现规律是解题的关键．‎ ‎20．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．‎ ‎（1）若⊙O的半径为，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．‎ ‎（2）求证：∠AFC＝∠DFG．‎ ‎【分析】（1）连接OD，OC，先证明△DOE是等腰直角三角形，再由垂径定理和勾股定理可得DE＝CE＝3，从而得CD的长；‎ ‎（2）先由垂径定理可得：＝，则∠ACD＝∠AFC，根据圆内接四边形的性质得：∠DFG＝∠ACD，从而得结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接OD，OC，‎ ‎∵直径AB⊥CD，‎ ‎∴，DE＝CE，‎ ‎∴，‎ 又∵在Rt△DEO中，，‎ ‎∴DE＝3，‎ ‎∴CD＝6；‎ ‎（2）证明：如图2，连接AC，‎ ‎∵直径AB⊥CD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠ACD＝∠AFC，‎ ‎∵四边形ACDF内接于⊙O，‎ ‎∴∠DFG＝∠ACD，‎ ‎∴∠DFG＝∠AFC．‎ ‎【点评】本题考查垂径定理，圆周角等知识，中等题，根据题意作出辅助线，构造出圆内接四边形是解答此题的关键．‎ 六、（本题满分12分）‎ ‎21．（12分）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：‎ 组别 步数分组 频率 A x＜6000‎ ‎0.1‎ B ‎6000≤x＜7000‎ ‎0.5‎ C ‎7000≤x＜8000‎ m D x≥8000‎ n 合计 ‎1‎ 根据信息解答下列问题：‎ ‎（1）填空：m＝　0.3　，n＝　0.1　；并补全条形统计图；‎ ‎（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在　B　组；（填组别）‎ ‎（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．‎ ‎【分析】（1）用A组的频数除以它的频率得到调查的总人数，再分别用C组、D组的频数除以总人数得到m、n的值，然后画条形统计图；‎ ‎（2）利用中位数的定义进行判断；‎ ‎（3）画树状图展示12种等可能的结果数，找出甲、乙被同时点赞的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）2÷0.1＝20，‎ m＝＝0.3，n＝＝0.1；‎ 故答案为0.3；0.1；‎ 条形统计图如图 ‎（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在B组；‎ 故答案为B；‎ ‎（3）画树状图如下：‎ 共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为2，‎ ‎∴P（甲、乙被同时点赞）＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．‎ 七、（本题满分12分）‎ ‎22．（12分）今年五一期间采石矶景区将启用新的大门，景区决定利用现有的不同种类花卉设计出两种不同的造型A和B摆放于大门广场．已知每个A种造型的成本y1与造型个数x（0＜x＜60）满足关系式y1＝82﹣x，每个B种造型的成本 y2与造型个数x（0＜x＜60）的关系如表所示：‎ x（个）‎ ‎…‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎…‎ y2（元）‎ ‎…‎ ‎93‎ ‎86‎ ‎79‎ ‎65‎ ‎…‎ ‎（1）请求出y2与x的函数关系式；‎ ‎（2）现在广场需搭配A、B两种园艺造型共60个，要求每种园艺造型不得少于20个，并且成本总额W（元）不超过5000元．以上要求能否同时满足？请你通过计算说明理由．‎ ‎【分析】（1）设y2＝kx+b，根据待定系数法即可求得；‎ ‎（2）设A种园艺造型设计了a个，则B种园艺造型设计了（60﹣a）个，根据题意得到W＝（a﹣60）2+4200，根据二次函数的性质即可求得 ‎【解答】解：（1）由表格可知y2与x满足一次函数关系 故可设y2＝kx+b，则有，‎ 解得 ‎∴y＝100﹣x；‎ ‎（2）能同时满足，‎ 理由：设A种园艺造型设计了a个，则B种园艺造型设计了（60﹣a）个 ‎∴＝，‎ ‎∵a≥20，60﹣a≥20‎ ‎∴20≤a≤40，‎ ‎∴当a＝20时，W取得最大值，此时W＝5000‎ ‎∴能同时满足．‎ ‎【点评】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题等综合应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出不等式组，属于中档题．‎ 八、（本题满分14分）‎ ‎23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BG⊥AC交AC于点G，E为AB中点，EG的延长线交AD于点F，连接CF．‎ ‎（1）若∠ABG＝30°，证明AF＝FD；‎ ‎（2）如图2，若∠EFC＝90°，连接BF，FM⊥FB交CD于点M．‎ ‎①证明：DM＝MC；‎ ‎②求的值．‎ ‎【分析】（1）方法一：证明△AEF～△BAC，利用相似三角形的性质即可解决问题．‎ 方法二：连接BD，证明EF∥BD即可解决问题．‎ ‎（2）①方法一：利用相似三角形的性质证明即可．方法二：如图2，延长FM、BC交于点N，证明四边形DFCN是平行四边形即可．‎ ‎②设AE＝x，AF＝y，求出AB2，AD2（用a表示），即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ABG＝30°，∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠BAG＝60°，‎ 在Rt△ABG中，AE＝BE，‎ ‎∴∠AEF＝60°＝∠BAC，‎ 又∵∠EAF＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴△AEF～△BAC，‎ ‎∴，‎ 又∵BC＝AD，‎ ‎∴，‎ 即AF＝FD．‎ ‎（2）①∵∠EAF＝∠EFC＝∠FDC＝90°，‎ ‎∴△EAF～△FDC，‎ ‎∴，‎ 同理可证△ABF～△DFM，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DC＝2DM，‎ 即DM＝CM，‎ ‎②设AE＝x，AF＝y，‎ 在Rt△ABG中，AE＝BE，‎ ‎∴EA＝EG，‎ ‎∴∠EAG＝∠EGA＝∠FGC，‎ 又∵∠EAF＝∠EFC＝90°，‎ ‎∴∠FAC＝∠FCA，‎ ‎∴FA＝FC，‎ ‎∵∠EAF＝∠EFC＝∠FDC＝90°，‎ ‎∴△EAF～△FDC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在Rt△DFC中，DF2+DC2＝FC2＝AF2‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝＝，‎ 方法二：（1）如图1，连接BD．‎ 在Rt△ABG中，∠BAG＝90°﹣30°＝60°，‎ ‎∵矩形ABCD，‎ ‎∴OA＝OB，‎ ‎∴∠OBA＝∠OAB＝60°，‎ 在Rt△ABG中，AE＝BE，‎ ‎∴EA＝EG，‎ 又∵∠OAB＝60°，‎ ‎∴∠AEG＝60°＝∠ABO，‎ ‎∴EF∥BD，‎ 又∵AE＝BE，‎ ‎∴AF＝FD ‎（2）①另证：如图2，延长FM、BC交于点N，‎ ‎∵∠EAF＝∠EFC＝∠FDC＝90°，‎ ‎∴△EAF～△FDC，‎ ‎∴‎ ‎∵∠EBC＝∠EFC＝90°，‎ ‎∴∠FCN＝∠FEB ‎∵∠EFC＝∠BFN＝90°，‎ ‎∴∠EFB＝∠CFN ‎∴△EFB～△CFN，‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴CN＝DF 又∵CN∥DF，‎ ‎∴四边形DFCN是平行四边形，‎ ‎∴DM＝MC．‎ ‎【点评】本题属于相似形综合题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．‎