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- 2021-11-12 发布
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2019 年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷
一.选择题(共 10 小题,满分 40 分,每小题 4 分)
1.下列所给的汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.十九大报告指出,我国目前经济保持了中高速增长,在世界主要国家中名列前茅,国内生产总值
从 54 万亿元增长 80 万亿元,稳居世界第二,其中 80 万亿用科学记数法表示为( )
A.8×1012 B.8×1013 C.8×1014 D.0.8×1013
3.下列运算正确的是( )
A.(﹣a2)3=a6 B.3a2•a=3a2
C.﹣2a+a=﹣a D.6a6÷2a2=3a3
4.如图,在△ABC 中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=33°,则∠A 的度数为( )
A.57° B.47° C.43° D.33°
5.已知一次函数 y=(m﹣1)x 的图象上两点 A(x1,y1),B(x2,y2),当 x1>x2 时,有 y1<y2,
那么 m 的取值范围是( )
A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1
6.如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,已知 CD=1.5,BC=2,则 cosB 的值是( )
A. B. C. D.
7.在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角,且有|tanB﹣ |+(2cosA﹣1)2=0,则△ABC 是( )
A.直角(不等腰)三角形 B.等边三角形
C.等腰(不等边)三角形 D.等腰直角三角形
8.在一个口袋中有 4 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4,随机摸出一个小球不放
回,再随机摸出一个小球,则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图,在▱ABCD 中,AD=16,点 E,F 分别是 BD,CD 的中点,则 EF 等于( )
A.10 B.8 C.6 D.4
10.如图,D3081 次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道(隧道长大于火车长),火车进
入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之间的关系用图象描述大致是( )
A. B.
C. D.
二.填空题(共 6 小题,满分 24 分,每小题 4 分)
11.对于任意不相等的两个数 a,b,定义一种运算※如下:a※b= ,如 3※2= = ,
那么 6※3= .
12.把多项式 3a3b﹣27ab3 分解因式的结果是 .
13.等边△ABO 的边长为 3,在平面直角坐标系中的位置如图所示,则 A 点的坐标是
14.如图,10 块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,设小长方形墙砖的长和宽分别为 x 厘米和 y
厘米,则列出的方程组为 .
15.如图,一等腰三角形,底边长是 21 厘米,底边上的高是 21 厘米,现在沿底边依次从下往上画
宽度均为 3 厘米的矩形,画出的矩形是正方形时停止,则这个矩形是第 个.
16.如图,正方形 ABCB1 中,AB=1,AB 与直线 l 的夹角为 30°,延长 CB1 交直线 l 于点 A1,作正
方形 A1B1C1B2,延长 C1B2 交直线 l 于点 A2,作正方形 A2B2C2B3,延长 C2B3 交直线 l 于点 A3,
作正方形 A3B3C3B4,…,依此规律,则 A2016A2017= .
三.解答题(共 9 小题,满分 86 分)
17.解不等式组 ,并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
18.已知 m2+3m﹣4=0,求代数式(m+2﹣ )÷ 的值.
19.已知:如图,点 C,D 在线段 AB 上,△PCD 是等边三角形,且 AC=1,CD=2,DB=4.求证
:△ACP∽△PDB.[来源:学科网]
20.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠C=90°,∠BAD=120°,AB=AD=4,BC=6,以点 A
为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分).
(1)求这个扇形的面积;
(2)若将这个扇形围成圆锥,求这个圆锥的底面积.
21.一商店销售某种商品,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利,该
店采取了降价措施,在每件盈利不少于 25 元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降
低 1 元,平均每天可多售出 2 件.[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
(1)若降价 3 元,则平均每天销售数量为 件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为 1200 元?
22.“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握
情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按 A,B,C,D 四个等级进
行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明:A 级:8 分﹣10 分,B 级:7 分﹣7.9 分,C 级:6
分﹣6.9 分,D 级:1 分﹣5.9 分)
根据所给信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,C 对应的扇形的圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级;
(4)该校九年级有 300 名学生,请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多少人?
23.如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,且 AB=BC=CD,AB∥CD,连接 BD.
(1)求证:BD 是⊙O 的切线;
(2)若 AB=10,cos∠BAC= ,求 BD 的长及⊙O 的半径.
24.如图,抛物线 y=﹣ x2+bx+c(b 为常数)与 x 轴交于 A、C 两点,与 y 轴交于 B 点,直线 AB
的函数关系式为 y= x+ .
(1)求该抛物线的函数关系式与 C 点坐标;
(2)已知点 M(m,0)是线段 OA 上的一个动点,过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛
物线交于 D、E 两点,当 m 为何值时,△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形?
(3)在(2)问条件下,当△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形时,动点 M 相应位置记为点
M′,将 OM′绕原点 O 顺时针旋转得到 ON(旋转角在 0°到 90°之间);
①探究:线段 OB 上是否存在定点 P(P 不与 O、B 重合),无论 ON 如何旋转, 始终保持不
变,若存在,试求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;
②试求出此旋转过程中,(NA+ NB)的最小值.
25.如图,AB 是⊙O 的直径, = ,连结 AC,过点 C 作直线 l∥AB,点 P 是直线 l 上的一个动
点,直线 PA 与⊙O 交于另一点 D,连结 CD,设直线 PB 与直线 AC 交于点 E.
(1)求∠BAC 的度数;
(2)当点 D 在 AB 上方,且 CD⊥BP 时,求证:PC=AC;
(3)在点 P 的运动过程中
①当点 A 在线段 PB 的中垂线上或点 B 在线段 PA 的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD 的
度数;
②设⊙O 的半径为 6,点 E 到直线 l 的距离为 3,连结 BD,DE,直接写出△BDE 的面积.
2019 年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题,满分 40 分,每小题 4 分)
1.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.[来源:Zxxk.Com]
故选:B.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形
两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合.
2.【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,
要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对
值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.
【解答】解:80 万亿用科学记数法表示为 8×1013.
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|
<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
3.【分析】根据幂的乘方、单项式与单项式的乘除运算法则、合并同类项法则逐一计算可得.
【解答】解:A、(﹣a2)3=﹣a6,此选项错误;
B、3a2•a=3a3,此选项错误;
C、﹣2a+a=﹣a,此选项正确;
D、6a6÷2a2=3a4,此选项错误;
故选:C.
【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幂的乘方、单项式与单项式的乘除运算法
则、合并同类项法则.
4.【分析】先根据平行线的性质求出∠B 的度数,再由直角三角形的性质求出∠A 的度数即可.
【解答】解:∵EF∥AB,∠1=33°,
∴∠B=∠1=33°,
∵△ABC 中,∠C=90°,∠B=33°,
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣33°=57°.
故选:A.
【点评】本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错
角相等.
5.【分析】根据一次函数的增减性可求解.
【解答】解:∵一次函数 y=(m﹣1)x 的图象上两点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2 时,
有 y1<y2
∴m﹣1<0
∴m<1
故选:D.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,利用一次函数增减性解决问题是本题的关键
.
6.【分析】根据直角三角形的性质求出 AB,根据余弦的定义计算即可.
【解答】解:∵Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,
∴AB=2CD=3,
在 Rt△ABC 中,cosB= = ,
故选:A.
【点评】本题考查的是解直角三角形、直角三角形的性质,掌握余弦的定义、直角三角形斜边上
的中线是斜边的一半是解题的关键.
7.【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠B,∠A 的度数,进而得出答案.
【解答】解:∵|tanB﹣ |+(2cosA﹣1)2=0,
∴tanB= ,2cosA=1,
则∠B=60°,∠A=60°,
∴△ABC 是等边三角形.
故选:B.
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.
8.【分析】先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数,再找出其中两次摸出的小球的标号的和为
奇数的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
共有 12 种等可能的结果数,其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为 8,
所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为 = ,
故选:B.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n,再从
中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m,然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率.
9.【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题;
【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴BC=AD=16,
∵点 E,F 分别是 BD,CD 的中点,
∴EF= BC=8,
故选:B.
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本
知识,属于中考基础题.
10.【分析】先分析题意,把各个时间段内 y 与 x 之间的关系分析清楚,本题是分段函数,分为三
段.
【解答】解:根据题意可知火车进入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之间的关系具体可描
述为:当火车开始进入时 y 逐渐变大,火车完全进入后一段时间内 y 不变,当火车开始出来时 y
逐 渐变小,故反映到图象上应选 A.
故选:A.
【点评】本题考查了动点问题的函数图象,主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力.解题
的关键是要知道本题是分段函数,分情况讨论 y 与 x 之间的函数关系.
二.填空题(共 6 小题,满分 24 分,每小题 4 分)
11.【分析】根据※的运算方法列式算式,再根据算术平方根的定义解答.
【解答】解:6※3= =1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了算术平方根的定义,读懂题目信息,理解※的运算方法是解题的关键.
12.【分析】先提出公因式 3ab,再利用平方差公式进行因式分解.
【解答】解:原式=3ab(a2﹣9b2)=3ab(a+3b)(a﹣3b).
故答案是:3ab(a+3b)(a﹣3b).
【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式,解决本题的关键是熟记提公因式法和公
式法.
13.【分析】过 A 作 AE⊥x 轴于 E,根据等边三角形性质求出 OE,根据勾股定理求出 AE,即可得
出答案.
【解答】解:过 A 作 AE⊥x 轴于 E,
∵△ABO 是等边三角形,边长为 3,
∴OA=3,OE=BE=1.5,
在 Rt△AEO 中,由勾股定理得:AE= = =1.5 ,
即点 A 的坐标为(﹣1.5,1.5 ),
故答案为:(﹣1.5,1.5 ).
【点评】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理,能够正确作出辅助线是解此题的关键.
14.【分析】根据图示可得:长方形的长可以表示为 x+2y,长又是 75 厘米,故 x+2y=75,长方形
的宽可以表示为 2x,或 x+3y,故 2x=3y+x,整理得 x=3y,联立两个方程即可.
【解答】解:根据图示可得 ,
故答案是: .
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是看懂图示,分别表示出长方
形的长和宽.
15.【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长,再根据矩形的宽求得是第几张.
【解答】解:已知剪得的纸条中有一张是正方形,则正方形中平行于底边的边是 3,
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为 x,
则 ,解得 x=3,
所以另一段长为 21﹣3=18,
因为 18÷3=6,所以是第 6 个.
故答案为:6
【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质,关键是根据似三角形的性质及等腰三角形
的性质的综合运用解答.
16.【分析】由四边形ABCB1 是正方形,得到 AB=AB1,AB∥CB1,于是得到 AB∥A1C,根据平行
线的性质得到∠CA1A=30°,解直角三角形得到 A1B1= ,AA1=2,同理:A2A3=2( )2,
A3A4=2( )3,找出规律 AnAn+1=2( )n,答案即可求出.
【解答】解:∵四边形 ABCB1 是正方形,
∴AB=AB1,AB∥CB1,
∴AB∥A1C,
∴∠CA1A=30°,
∴A1B1= ,AA1=2,
∴A1B2=A1B1= ,
∴A1A2=2 ,
同理:A2A3=2( )2,
A3A4 =2( )3,
…
∴AnAn+1=2( )n,
∴A2016A2017=2( )2016=2×31008.
故答案为:2×31008.
【点评】本题考查了正方形的性质,含30°直角三角形的性质,平行线的性质的综合应用,求出
后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 倍是解题的关键.
三.解答题(共 9 小题,满分 86 分)
17.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解: ,
解不等式①,得:x≥﹣1,
解不等式②,得:x<3,
则不等式组的解集为﹣1≤x<3,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取
大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
18.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约
分得到最简结果,把已知等式变形后代入计算即可求出值.
【解答】解:原式= • = • =m(m+3)=m2+3m,
∵m2+3m﹣4=0,
∴m2+3m=4,
∴原式=4.
【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19.【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=60°,PC=CD=PD=2,得到∠PCA=∠
PDB=120°,根据已知条件得到 = ,于是得到结论.
【解答】证明:∵△PCD 是等边三角形,
∴∠PCD=∠PDC=60°,PC=CD=PD=2,
∴∠PCA=∠PDB=120°,
∵AC=1,BD=4,
∴ , = ,
∴ = ,
∴△ACP∽△PDB.
【点评】本题考查了相似三角形的判定,等边三角形的性质,熟练掌握相似三角形的判定定理是
解题的关键.
20.【分析】(1)作 AE⊥BC,根据三角函数求得扇形的半径 AE,由梯形的性质得出圆心角度数,
继而根据扇形的面积公式可得.
(2)根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长,从而求得底面半径,从而求得面积.
【解答】解:(1)过点 A 作 AE⊥BC 于 E,
则 AE=ABsinB=4× =2 ,
∵AD∥BC,∠B=60°,
∴∠BAD=120°,
∴扇形的面积为 =4π,
(2)设圆锥的底面半径为 r,则 2πr= ,
解得:r=
若 将这个扇形围成圆锥,这个圆锥的底面积 π.
【点评】本题要熟知切线的性质,直角梯形的性质和扇形弧长计算公式.利用切线的性质求得AE
的长即半径是解题的关键,注意扇形的周长为两条半径的长加上弧长.
21.【分析】(1)根据销售单价每降低 1 元,平均每天可多售出 2 件,可得若降价 3 元,则平均每
天可多售出 2×3=6 件,即平均每天销售数量为 20+6=26 件;
(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.
【解答】解:(1)若降价 3 元,则平均每天销售数量为 20+2×3=26 件.
故答案为 26;
(2)设每件商品应降价 x 元时,该商店每天销售利润为 1200 元.
根据题意,得 (40﹣x)(20+2x)=1200,[来源:学科网 ZXXK]
整理,得 x2﹣30x+200=0,
解得:x1=10,x2=20.
∵要求每件盈利不少于 25 元,
∴x2=20 应舍去,
解得:x=10.
答:每件商品应降价 10 元时,该商店每天销售利润为 1200 元.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件
盈利=每天销售的利润是解题关键.
22.【分析】(1)先根据 B 等级人数及其百分比求得总人数,总人数减去其他等级人数求得 C 等
级人数,继而用 360°乘以 C 等级人数所占比例即可得;
(2)根据以上所求结果即可补全图形;
(3)根据中位数的定义求解可得;
(4)总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例可得.
【解答】解:(1)∵总人数为 18÷45%=40 人,
∴C 等级人数为 40﹣(4+18+5)=13 人,
则 C 对应的扇形的圆心角是 360°× =117°,
故答案为:117;
(2)补全条形图如下:
(3)因为共有 40 个数据,其中位数是第 20、21 个数据的平均数,而第 20、21 个数据均落在 B
等级,
所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 B 等级,
故答案为:B.
(4)估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有 300× =30 人.
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接
反映部分占总体的百分比大小.
23.【分析】(1)如图 1,作直径 BE,半径 OC,证明四边形 ABDC 是平行四边形,得∠A=∠D,
由等腰三角形的性质得:∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,可得∠EBD=90°,所以 BD 是⊙O 的切
线;
(2)如图 2,根据三角函数设 EC=3x,EB=5x,则 BC=4x 根据 AB=BC=10=4x,得 x 的值,
求得⊙O 的半径 为 ,作高线 CG,根据等腰三角形三线合一得 BG=DG,根据三角函数可得结
论.
【解答】(1)证明:如图 1,作直径 BE,交⊙O 于 E,连接 EC、OC,
则∠BCE=90°,
∴∠OCE+∠OCB=90°,
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形 ABDC 是平行四边形,
∴∠A=∠D,
∵OE=OC,
∴∠E=∠OCE,
∵BC=CD,
∴∠CBD=∠D,
∵∠A=∠E,
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBC+∠CBD=90°,
即∠EBD=90°,
∴BD 是⊙O 的切线;
(2)如图 2,∵cos∠BAC=cos∠E= ,
设 EC=3x,EB=5x,则 BC=4x,
∵AB=BC=10=4x,
x= ,
∴EB=5x= ,
∴⊙O 的半径为 ,
过 C 作 CG⊥BD 于 G,
∵BC=CD=10,
∴BG=DG,
Rt△CGD 中,cos∠D=cos∠BAC= ,
∴ ,
∴DG=6,
∴BD=12.
【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过
圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可,在圆的有关计算中,常根据三角函数
的比设未知数,列方程解决问题.
24.【分析】(1)根据已知条件得到 B(0, ),A(﹣6,0),解方程组得到抛物线的函数关
系式为:y=﹣ x2﹣ x+ ,于是得到 C(1,0);
(2)由点 M(m,0),过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D、E 两点,得到 D
(m, m+ ),当 DE 为底时,作 BG⊥DE 于 G,根据等腰三角形的性质得到 EG=GD= ED
,GM=OB= ,列方程即可得到结论;
(3)①根据已知条件得到 ON=OM′=4,OB= ,由∠NOP=∠BON,特殊的当△NOP∽△
BON 时,根据相似三角形的性质得到 = = = ,于是得到结论;
②根据题意得到 N 在以 O 为圆心,4 为半径的半圆上,由①知, = = ,得到 NP= NB
,于是得到(NA+ NB)的最小值=NA+NP,此时 N,A,P 三点共线,根据勾股定理得到结论.
【解答】解:(1)在 y= x+ 中,令 x=0,则 y= ,令 y=0,则 x=﹣6,
∴B(0, ),A(﹣6,0),
把 B(0, ),A(﹣6,0)代入 y=﹣ x2+bx+c 得,
,
∴ ,
∴抛物线的函数关系式为:y=﹣ x2﹣ x+ ,
令 y=0,则 0=﹣ x2﹣ x+ ,
∴x1=﹣6,x2=1,
∴C(1,0);
(2)∵点 M(m,0),过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D、E 两点,
∴D(m, m+ ),当 DE 为底时,
如图 1,作 BG⊥DE 于 G,则 EG=GD= ED,GM=OB= ,
∵DM+DG=GM=OB,
∴ m+ + (﹣ m2﹣ m+ ﹣ m﹣ )= ,
解得:m1=﹣4,m2=0(不合题意,舍去),
∴当 m=﹣4 时,△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形;
(3)①存在,如图 2.
∵ON=OM′=4,OB= ,
∵∠NOP=∠BON,
∴当△NOP∽△BON 时, = = = ,
∴ 不变,
即 OP= ON= ×4=3,
∴P(0,3);
②∵N 在以 O 为圆心,4 为半径的半圆上,由①知, = = ,
∴NP= NB,
∴(NA+ NB)的最小值=NA+NP,
∴此时 N,A,P 三点共线,
∴(NA+ NB)的最小值= =3 .
【点评】本题是二次函数综合题,其中涉及到待定系数法求抛物线的解析式,函数图象上点的坐
标特征,等腰三角形的性质,相似三角形的性质,勾股定理等知识,正确作出辅助线是解题的关
键.
25.【分析】(1)只要证明△ABC 是等腰直角三角形即可;
(2)只要证明 CB=CP,CB=CA 即可;、
(3)①分四种情形分别画出图形一一求解即可;
②分两种情形如图 6 中,作 EK⊥PC 于 K.只要证明四边形 ADBC 是正方形即可解决问题;如图
7 中,连接 OC,作 BG⊥CP 于 G,EK⊥PC 于 K.由△AOQ∽△ADB,可得 S△ABD= ,可得
S△PBD=S△ABP﹣S△ABD= ,再根据 S△BDE= •S△PBD 计算即可解决问题;
【解答】解:(1)如图 1 中,连接 BC.
∵ = ,
∴BC=CA,
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠CBA=45°.
(2)解:如图 1 中,设 PB 交 CD 于 K.
∵ = ,
∴∠CDB=∠CDP=45°,CB=CA,
∴CD 平分∠BDP,又∵CD⊥BP,
∴∠DKB=∠DKP=90°,∵DK=DK,
∴△DKB≌△DKP,
∴BK=KP,
即 CD 是 PB 的中垂线,
∴CP=CB=CA.
(3)①(Ⅰ)如图 2,当 B 在 PA 的中垂线上,且 P 在右时,∠ACD=15°;
理由:连接 BD、OC.作 BG⊥PC 于 G.则四边形 OBGC 是正方形,
∵BG=OC=OB=CG,
∵BA=BA,
∴PB=2BG,
∴∠BPG=30°,
∵AB∥PC,
∴∠ABP=30°,
∵BD 垂直平分 AP,
∴∠ABD= ∠ABP=15°,
∴∠ACD=15°
(Ⅱ)如图 3,当 B 在 PA 的中垂线上,且 P 在左,∠ACD=105°;
理由:作 BG⊥CP 于 G.
同法可证∠BPG=30°,可得∠APB=∠BAP=∠APC=15°,
∴∠ABD=75°,
∵∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠ACD=105°;
(Ⅲ)如图 4,A 在 PB 的中垂线上,且 P 在右时∠ACD=60°;
理由:作 AH⊥PC 于 H,连接 BC.
同法可证∠APH=30°,可得∠DAC=75°,∠D=∠ABC=45°,
∴∠ACD=60°;
(Ⅳ)如图 5,A 在 PB 的中垂线上,且 P 在左时∠ACD=120°
理由:作 AH⊥PC 于 H.
同法可证:∠APH=30°,可得∠ADC=45°,∠DAC=60°﹣45°=15°,
∴∠ACD=120°.
②如图 6 中,作 EK⊥PC 于 K.
∵EK=CK=3,[来源:学。科。网]
∴EC=3 ,
∵AC=6 ,
∴AE=EC,
∵AB∥PC,
∴∠BAE=∠PCE,∵∠AEB=∠PEC,
∴△ABE≌△CPE,
∴PC=AB=CD,
∴△PCD 是等腰直角三角形,可得四边形 ADBC 是正方形,
∴S△BDE= •S 正方形 ADBC=36.
如图 7 中,连接 OC,作 BG⊥CP 于 G,EK⊥PC 于 K.
由题意 CK=EK=3,PK=1,PG=2,
由△AOQ∽△PCQ,可得 QC= ,
PQ2= ,
由△AOQ∽△ADB,可得 S△ABD= ,
∴S△PBD=S△ABP﹣S△ABD= ,
∴S△BDE= •S△PBD=
综上所,满足条件的△BDE 的面积为 36 或 .
【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的
性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中 30 度角的判定等知识,解题的关键是学
会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题,属于中考压轴
题.
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