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- 2021-11-12 发布
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*
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
知识点一
知识点二
知识点一
二次项系数为
“
1”
的一元二次方程的根与系数的关系
由于二次项系数为
“
1”
的方程可以化简成
x
2
+px+q=
0
的形式
,
所以当方程有两个根
x
1
,
x
2
时
,
一定有一次项系数
p=-
(
x
1
+x
2
),
常数项
q=x
1
·
x
2
.
名师解读
:
由
x
1
+x
2
=-p
,
x
1
·x
2
=q
知
,
若已知
x
1
,
x
2
,
p
,
q
这四个量中的任何两个
,
都能确定另外两个
,
利用这种关系可以解答相关的问题
.
知识点一
知识点二
例
1
(2015·
遵义模拟
)
如果关于
x
的一元二次方程
x
2
+px+q=
0
的两根分别为
x
1
=
2,
x
2
=-
1,
那么
p
,
q
的值分别是
(
)
A.1,
-
2 B.
-
1,
-
2
C.
-
1,2 D.1,2
解析
:
观察可以发现
,
方程的二次项系数为
“
1”,
所以有
p=-
[2
+
(
-
1)]
=-
1,
q=
2
×
(
-
1)
=-
2
.
答案
:
B
知识点一
知识点二
解答这类问题
,
关键是正确掌握二次项系数为
“
1”
的一元二次方程的根与系数的关系
,
当方程的二次项系数不为
“
1”
时
,
不能使用
.
知识点一
知识点二
例
2
已知
x
1
,
x
2
是方程
x
2
-
5
x-
2
=
0
的两个实数根
,
则
的值为
(
)
A.31 B.29 C.25 D.17
解析
:
此题若先解方程求得两个根
,
再代入求值
,
计算量会很大
,
但是根据一元二次方程的根与系数的关系
,
容易求得
x
1
与
x
2
的和与积
,
如果再把所求的代数式转变成用两根的和与积表示出来的式子
,“
整体代入
”
求值则比较方便
.
∵
x
1
,
x
2
是方程
x
2
-
5
x-
2
=
0
的两个根
,
∴
x
1
+x
2
=
5,
x
1
x
2
=-
2
.
答案
:
A
知识点一
知识点二
解答这类求代数式的值的问题
,
先利用根与系数的关系分别求出
“
x
1
+x
2
”
和
“
x
1
x
2
”
的值
,
然后把所求值的代数式变形转化成含有
“
x
1
+x
2
”
和
“
x
1
x
2
”
的式子
,
利用
“
整体代入
”
的思想代入求值
.
知识点一
知识点二
知识点二
二次项系数不是
“
1”
的一元二次方程的根与系数的关系
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为
:
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数
,
两个根的积等于常数项与二次项系数的比
.
用式子表示为
这个关系还叫做韦达定理
.
名师解读
:
利用这两个关系式可以解答
“
已知其中的三个量
,
求另外的两个量的问题
”
,
还可以解答求代数式的值的问题
.
要特别注意等式中的
a
,
b
,
c
所表示的含义
.
知识点一
知识点二
知识点一
知识点二
解答这类问题
,
先求出方程的解再代入代数式求值
,
计算量会很大
,
一般先把求值的代数式进行变形
,
使其变成包含两根的和与两根的积的式子
,
再利用整体代入的方法求值
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
利用韦达定理由方程的根确定原方程
例
1
已知
α
,
β
满足
α+β=
5,
且
αβ=
6,
则以
α
,
β
为两根的二次项系数为
“
1”
的一元二次方程是
(
)
A.
x
2
+
5
x+
6
=
0 B.
x
2
-
5
x+
6
=
0
C.
x
2
-
5
x-
6
=
0 D.
x
2
+
5
x-
6
=
0
解析
:
以
α
,
β
为两根的一元二次方程的两根是
α
,
β
,
且
α
,
β
满足
α+β=
5,
αβ=
6
.
所以这个方程的系数应满足两根之和是
,
两根之积是
,
当二次项系数
a=
1
时
,
一次项系数
b=-
5,
常数项
c=
6,
所以方程为
x
2
-
5
x+
6
=
0
.
答案
:
B
拓展点一
拓展点二
拓展点三
满足
α+β=
5,
且
αβ=
6,
则以
α
,
β
为两根的一元二次方程有无数多个
,
形式为
a
(
x-α
)(
x-β
)
=
0(
a
≠0),
只要二次项系数
a
改变
,
方程就会随着改变
.
但是此题可以利用排除法解答
,
也可以通过解各个方程找到正确答案
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点二
已知方程的一根
,
利用根与系数的关系求另一根或字母的值
例
2
(2015·
北京校级模拟
)
方程
4
x
2
-kx+
6
=
0
的一个根是
2,
那么
k
的值和方程的另一个根分别是
(
)
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类问题时
,
两种方法都能解决问题
,
根据问题的实际情况灵活选取
,
只要计算简便即可
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点三
根与系数的关系与判别式的综合运用
例
3
已知
x
1
,
x
2
是关于
x
的一元二次方程
x
2
-
2(
k+
1)
x+k
2
-
3
=
0
的两实根
,
且
(
x
1
+
1)·(
x
2
+
1)
=
8,
求
k
的值
.
分析
:
根据一元二次方程的根与系数的关系知
x
1
+x
2
=
2(
k+
1),
x
1
x
2
=k
2
-
3,
代入
(
x
1
+
1)·(
x
2
+
1)
=
8,
即
x
1
x
2
+
(
x
1
+x
2
)
+
1
=
8
即可得到关于
k
的方程
,
可求出
k
的值
,
再根据
Δ
与
0
的关系舍去不合理的
k
值
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解
:
依题意可知
,
x
1
+x
2
=
2(
k+
1)
=
2
k+
2,
x
1
x
2
=k
2
-
3,
由
(
x
1
+
1)(
x
2
+
1)
=
8
得
x
1
x
2
+x
1
+x
2
+
1
=
8,
得
k
2
-
3
+
2
k+
2
+
1
=
8,
即
k
2
+
2
k-
8
=
0,
解得
k
1
=
2,
k
2
=-
4
.
而
Δ=
[
-
2(
k+
1)]
2
-
4(
k
2
-
3)
≥
0,
所以
k
≥
-
2
.
所以
k=
2
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
一元二次方程只有有根的情况下
,
才能研究根的情况
,
所以解答此类问题时所求出的字母的值须使原方程有实根
.
如
:
本题中不要只根据
(
x
1
+
1)(
x
2
+
1)
=
8,
求出
k
的值
,
而忽略
Δ
与
0
的关系
.
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