中考数学选择填空压轴题汇编：二次函数图像与系数 18页

‎2020年中考数学选择填空压轴题汇编：二次函数图像与系数 ‎1．（2020福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）‎ A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2 ‎ C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，‎ ‎∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，‎ 当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；‎ 当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；‎ 若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；‎ 若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；‎ 故选：C．‎ ‎2．（2020广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：‎ ‎①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，‎ 正确的有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，‎ 根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，‎ 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，‎ ‎∴abc＜0，故①错误；‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，故②正确；‎ ‎∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以‎-b‎2a=‎1，可得b＝﹣2a，‎ 由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，‎ ‎∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，‎ 即8a+c＜0，故③正确；‎ 由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，‎ 两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；‎ ‎∴结论正确的是②③④3个，‎ 故选：B．‎ ‎3．（2020贵州黔西南）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x‎=‎‎5‎‎2‎，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　）‎ A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD ‎ C．a‎=-‎‎1‎‎6‎ D．OC•OD＝16‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，‎ ‎∴A（0，4），‎ ‎∵对称轴为直线x‎=‎‎5‎‎2‎，AB∥x轴，‎ ‎∴B（5，4）．‎ 故A无误；‎ 如图，过点B作BE⊥x轴于点E，‎ 则BE＝4，AB＝5，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACO，‎ ‎∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，‎ ‎∴∠ACO＝∠ACB，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACB，‎ ‎∴BC＝AB＝5，‎ ‎∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，‎ ‎∴C（8，0），‎ ‎∵对称轴为直线x‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴D（﹣3，0）‎ ‎∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，‎ ‎∴AD＝5，‎ ‎∴AB＝AD，‎ 故B无误；‎ 设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），‎ 将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），‎ ‎∴a‎=-‎‎1‎‎6‎，‎ 故C无误；‎ ‎∵OC＝8，OD＝3，‎ ‎∴OC•OD＝24，‎ 故D错误．‎ 综上，错误的只有D．‎ 故选：D．‎ ‎4．（2020贵州遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）‎ ‎①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x‎=-b‎2a=-‎2，‎ ‎∴4a﹣b＝0，所以①正确；‎ ‎∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，‎ ‎∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，‎ ‎∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，‎ 即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，‎ ‎∴c＞3a，所以②错误；‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），‎ ‎∴抛物线与直线y＝2有两个交点，‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；‎ ‎∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），‎ ‎∴‎4ac-‎b‎2‎‎4a‎=‎3，‎ ‎∴b2+12a＝4ac，‎ ‎∵4a﹣b＝0，‎ ‎∴b＝4a，‎ ‎∴b2+3b＝4ac，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴b＝4a＜0，‎ ‎∴b2+2b＞4ac，所以④正确；‎ 故选：C．‎ ‎5．（2020黑龙江大兴安岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：‎ ‎①ac＜0；‎ ‎②4a﹣2b+c＞0；‎ ‎③当x＞2时，y随x的增大而增大；‎ ‎④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；‎ 抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；‎ x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；‎ 抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；‎ 综上所述，正确的结论有：①③④，‎ 故选：C．‎ ‎6．（2020黑龙江牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点 C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（　　）‎ ‎①abc＞0；‎ ‎②4a+b＞0；‎ ‎③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；‎ ‎④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，‎ ‎∴a＜0，c＜0，‎-b‎2a＞0‎，∴b＞0，‎ ‎∴abc＞0，故①正确；‎ 如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，‎ ‎∴对称轴在直线x＝2右侧，即‎-b‎2a＞2‎，‎ ‎∴‎2+b‎2a=‎4a+b‎2a＜0‎，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；‎ ‎∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，‎ 可得：抛物线y＝ax2+bx+c在‎0＜x＜-‎b‎2a上，y随x的增大而增大，‎ 在x＞-‎b‎2a上，y随x的增大而减小，‎ ‎∴y1＞y2不一定成立，故③错误；‎ 若抛物线对称轴为直线x＝3，则‎-b‎2a=3‎，即b＝﹣6a，‎ 则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，‎ ‎∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，‎ 当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，‎ 当x＝4时，16a+4b+c＝0，‎ ‎∴a‎=‎‎4b+c‎-16‎，‎ 则‎4b+c‎-16‎‎+b+c≥0‎，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，‎ ‎﹣2c＞0，‎ ‎∴4b+3c＞0，故⑤正确，‎ 故正确的有4个．‎ 故选：B．‎ ‎7．（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：‎ ‎①ac＜0；‎ ‎②4a﹣2b+c＞0；‎ ‎③当x＞2时，y随x的增大而增大；‎ ‎④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；‎ 抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；‎ x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；‎ 抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；‎ 综上所述，正确的结论有：①③④，‎ 故选：C．‎ ‎8．（2020湖北荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为　①④　．‎ ‎【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；‎ ‎②△ABC的面积‎=‎‎1‎‎2‎AB•yC‎=‎1‎‎2‎×‎AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；‎ ‎③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则‎1‎‎2‎（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故②错误，不符合题意；‎ ‎④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），‎ 根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3，故④正确，符合题意；‎ 故答案为：①④．‎ ‎9.（2020湖北随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：‎ ‎①2a+b＝0；‎ ‎②2c＜3b；‎ ‎③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；‎ ‎④当△BCD是直角三角形时，a‎=-‎‎2‎‎2‎．‎ 其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，‎ ‎∴对称轴为直线x‎=-b‎2a=‎1，‎ ‎∴b＝﹣2a，‎ ‎∴2a+b＝0，故①正确，‎ 当x＝1时，0＝a﹣b+c，‎ ‎∴a+2a+c＝0，‎ ‎∴c＝﹣3a，‎ ‎∴2c＝3b，故②错误；‎ ‎∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）‎ ‎∴点C（0，﹣3a），‎ 当BC＝AB时，4‎=‎‎9+9a‎2‎，‎ ‎∴a‎=-‎‎7‎‎3‎，‎ 当AC＝BC时，4‎=‎‎1+9a‎2‎，‎ ‎∴a‎=-‎‎15‎‎3‎，‎ ‎∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；‎ ‎∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，‎ ‎∴顶点D（1，4a），‎ ‎∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，‎ 若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，‎ ‎∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，‎ ‎∴a‎=-‎‎2‎‎2‎，‎ 若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，‎ ‎∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，‎ ‎∴a＝﹣1，‎ ‎∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或‎-‎‎2‎‎2‎，故④错误．‎ 故选：B．‎ ‎10．（2020湖南湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：‎ ‎①abc＞0，‎ ‎②b﹣2a＜0，‎ ‎③a﹣b+c＞0，‎ ‎④a+b＞n（an+b），（n≠1），‎ ‎⑤2c＜3b．‎ 正确的是（　　）‎ A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤‎ ‎【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；‎ ‎②由于a＜0，所以﹣2a＞0．‎ 又b＞0，‎ 所以b﹣2a＞0，‎ 故此选项错误；‎ ‎③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故此选项错误；‎ ‎④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，‎ 而当x＝n时，y＝an2+bn+c，‎ 所以a+b+c＞an2+bn+c，‎ 故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确；‎ ‎⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x‎=-b‎2a=‎1，即a‎=-‎b‎2‎，代入得9（‎-‎b‎2‎）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；‎ 故④⑤正确．‎ 故选：D．‎ ‎11．（2020江苏南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是　①②④　．‎ ‎【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，‎ ‎∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；‎ ‎②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，‎ ‎∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；‎ ‎③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，‎ ‎∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；‎ ‎④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，‎ ‎∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，‎ 故答案为①②④．‎ ‎12．（2020山东青岛）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y‎=‎cx的图象如图所示，则一次函数y‎=‎cax﹣b的图象可能是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【解答】解：∵二次函数开口向下，‎ ‎∴a＜0；‎ ‎∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，‎ ‎∴b符号与a相异，b＞0；‎ ‎∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，‎ ‎∴ca‎＜‎0，﹣b＜0，‎ ‎∴一次函数y‎=‎cax﹣b的图象经过二三四象限．‎ 故选：B．‎ ‎13．（2020四川南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则‎-‎4‎‎3‎＜‎a≤﹣1或1≤a‎＜‎‎4‎‎3‎；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a‎＜-‎‎5‎‎4‎或a≥1．其中正确的结论是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x‎=‎-4a‎2a=2‎，‎ ‎∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，‎ ‎∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；‎ 故①正确；‎ 当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，‎ 若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，‎ ‎∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，‎ ‎∴1≤a‎＜‎‎4‎‎3‎，‎ 若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，‎ ‎∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，‎ ‎∴‎-‎4‎‎3‎＜‎a≤﹣1，‎ 故②正确；‎ 若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，‎ ‎∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，‎ ‎∴‎16a‎2‎+20a＞0‎‎5a-5≥0‎，‎ ‎∴a≥1，‎ 若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，‎ ‎∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，‎ ‎∴‎16a‎2‎+20a＞0‎‎5a-5≤0‎，‎ ‎∴a‎＜-‎‎5‎‎4‎，‎ 综上所述：当a‎＜-‎‎5‎‎4‎或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．‎ 故选：D．‎ ‎14．（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（　　）‎ ‎①abc＞0；‎ ‎②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；‎ ‎③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；‎ ‎④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．‎ A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④‎ ‎【解答】解：依照题意，画出图形如下：‎ ‎∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．‎ ‎∴a＜0，c＞0，对称轴为x‎=-b‎2a=-‎1，‎ ‎∴b＝2a＜0，‎ ‎∴abc＞0，故①正确，‎ ‎∵对称轴为x＝﹣1，‎ ‎∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；‎ ‎∵顶点为（﹣1，n），‎ ‎∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，‎ 联立方程组可得：y=kx+1‎y=ax‎2‎+2ax+a+n，‎ 可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，‎ ‎∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，‎ ‎∵无法判断△是否大于0，‎ ‎∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；‎ 当﹣3≤x≤3时，‎ 当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，‎ 故选：C．‎