2019年桂林中考数学试题（解析版） 17页

魏祥勤解析2019年广西桂林市中考数学试题 一．选择题(本题有12小题,每小题3分,共36 分)‎ ‎{题目}1（2019年桂林）的倒数是（ ）‎ A B C D ‎ ‎{答案} A ‎{解析} 一个数字的倒数与你这个数字乘积是1，因此的倒数 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-1]有理数}‎ ‎{考点:两个有理数相除}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}2（2019年桂林）若海平面以上1045米，记做＋1045米，则海平面以下155米，记做（ ）‎ A －1200米 B －155米 C 155米 D 1200米 ‎ ‎{答案}B ‎{解析}海平面以下记做负数，海平面以下155米，记做－155米 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-1-1]正数和负数}‎ ‎{考点:负数意义的应用问题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-简单}‎ ‎{题目}3（2019年桂林）将数47 300 000用科学记数法表示为（ ）‎ ‎473×105 ‎ A 473×105 B 47.3×106 C 4.73×107 D 4.73×105 ‎ ‎{答案} C ‎{解析}47 300 000是8位正整数，因此运用科学记数法表示时，10的指数是7次，因此答案是 ‎4.73×107 ‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-1]乘方}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}4 （2019年桂林）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）‎ ‎{答案}A ‎{解析} 解： 圆是中心对称图形，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；答案选择A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}5 （2019年桂林） 9的平方根是（ ）‎ A 3 B ±3 C －3 D 9‎ ‎{答案} B ‎{解析} 9的平方根是±3，答案选择B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-6-1]平方根}‎ ‎{考点:平方根的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎ ‎ ‎{题目}6 （2019年桂林）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时 指针指向阴影部分的概率是（ ）‎ A B C D ‎ ‎{答案} D ‎{解析} 解：由于圆被平均分成6等份，阴影部分占其中1等份，因此则当转盘停止转动时 指针指向阴影部分的概率是，答案选择D ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:几何概率}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎ ‎ ‎{题目}7 （2019年桂林） 下列命题中，是真命题的是（ ）‎ A两直线平行，内错角相等 B两个锐角的和是钝角 C直角三角形都相似 ‎ ‎ D正六边形的内角和是360°‎ ‎{答案}A ‎{解析} 解：A两直线平行，内错角相等正确，答案选择A.‎ B两个锐角的和不一定是钝角，如30°＋20°=50°是锐角；‎ C直角三角形不一定相似，如含30°锐角的直角三角形与含45°锐角的直角三角形不相似；‎ D错误，正六边形的内角和是720°‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:角的计算}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:多边形的内角和}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}8（2019年桂林）下列计算正确的是（ ）‎ A B C D ‎ ‎{答案}C ‎{解析} 解A 错误；正确答案是 ‎ B错误，正确答案是 ‎ C 正确，合并同类项，系数加减，字母及次数不变；‎ ‎ D 错误，缺少一次项6a,正确答案是 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-2-2]整式的加减}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:同底数幂的除法}‎ ‎{考点:合并同类项}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3- 中等}‎ ‎{题目}9 （2019年桂林）如果，，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A B C D ‎{答案}D ‎{解析} D正确：‎ 由于，，因此，所以，答案选择D.‎ A 错误，如2＞－1，c=－4＜0,显然2＋（－4）=－2＜－1，不满足A中结论；‎ B错误，如2＞－1，c=－4＜0,显然2＋（－4）=－2，－1－（－4）=3，‎ ‎,2＜3，不满足B中结论；‎ C错误，，，那么，因此，‎ ‎ {分值}3‎ ‎{章节:[1-9-1]不等式}‎ ‎{考点:不等式的性质}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3- 中等}‎ ‎{题目}10 （2019年桂林） 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为 ‎ （ ）‎ A B 2 C 3 D ‎ ‎{答案} C ‎ ‎{解析} 由于等边三角形高是，因此其边长是÷sin60°=÷=2.‎ 圆锥的底面半径是1，展开图底面圆周长是扇形弧长，则弧长是2×1=2，母线长是2，所以展开图侧面面积是×2×2=2，底面面积是×12=，‎ 所以其表面积是2＋= 3，答案选择C ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:由三视图判断几何体}‎ ‎{考点:圆锥侧面展开图}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3- 中等}‎ ‎{题目}11 （2019年桂林） 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O 处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（ ）‎ A B C D ‎ ‎{答案} B ‎{解析} 可以发现△ABE∽△EDG∽△GCF，设AB=1，AE=x，因此AD=AE＋DE=AE＋OE=2AE=2x，‎ DG= ，易得DG=GC= ，所以DC= ,则=1,‎ 解得符合题意的x值是 ‎，所以AD=2x=2×=,因此的值为 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-1]轴对称}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:折叠问题}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3- 中等}‎ ‎ ‎ ‎{题目}12（2019年桂林）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（－4，0），B（－2，－1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（ ）‎ A． B C D ‎ ‎{答案} D ‎{解析}‎ 根据图形信息，直接得出四边形ABCD的面积是（4＋3）×3÷2＋（4＋3）×1÷2‎ ‎=（4＋3）×4÷2=14.易得直线BC 的解析式是，因此直线与y轴的交点的纵坐标是，设交点是点E，因此DE=3＋=，可以计算△BCD面积是 ‎（2＋3）×÷2=9，把线段DC分成9等份，取距离点B较近的2的等分点F，易得直线DC的解析式是y=－x＋3,所以点F坐标是（，），设经过点B、F的直线的解析式是 y=kx＋b，因此得出方程组，解得，所以直线l所表示的函数解析式是.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:坐标与图形的性质}‎ ‎{考点:一次函数与几何图形综合}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-较难 }‎ ‎ ‎ 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共18分）‎ ‎{题目}13 （2019年桂林） 计算：=___________‎ ‎{答案} 2019‎ ‎{解析} =2019‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}14 （2019年桂林） 某班学生采用“小组合作学习”的方式进行学习，网老师每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是各小组其中一周的得分情况：‎ 组别 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 ‎90‎ ‎95‎ ‎90‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎85‎ ‎90‎ 则这组数据的众数是___________‎ ‎{答案} 90‎ ‎{解析} 解：由于90出现次数最多，是3次，因此众数是90.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎ ‎ ‎{题目}15 （2019年桂林）一元二次方程的根是_____________‎ ‎{答案} x1=3， x2=2‎ ‎{解析} ，因此（x－3）=0或（x－2）=0，因此x1=3， x2=2‎ ‎ {分值}3‎ ‎{章节:[1-21-2-3] 因式分解法}‎ ‎{考点:解一元二次方程－因式分解法}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎ ‎ ‎{题目}16 （2019年桂林） 若，则 ‎{答案} －4 ‎ ‎{解析} ，所以a=－4‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-2]乘法公式}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎ ‎ ‎{题目}17（2019年桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB=AC=，BC∥x轴，且BC=4，点A的坐标为（3，5），若将△ABC向下平移m个单位长度，AC两点同时落在反比例函数图象上，则k的值为_____________‎ ‎{答案} ‎ ‎{解析} 过点A引AD垂直于BC于点D，因此DC=BD=4÷2=2，‎ 得出点D是线段BC中点，则AD=，把△ABC向下平移m个单位长度，点A平移后对应点的坐标是（3，5－m），点C的对应点坐标是（2＋3，5－m－），即是坐标为（5，），由于点A和点C 向下平移m个单位后对应点同时在反比例函数的图象上，因此点的坐标适合函数解析式，得出方程：，解得m=.‎ 因此点A对应点的坐标是（3，5－m ），即是（3， ），因此k=xy=3×=‎ 则k 的值是 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:坐标系内图形的平移}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-难 }‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎{题目}18（2019年桂林）如图，在矩形ABCD中，AB= ，AD=3，点P 是AD边上一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P 从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为_______________‎ ‎{答案} ‎ ‎{解析} 如图，扇形的圆心角度数是60°×2=120°，因此弧长是，点Q是A1C的中点，根据位似变换的性质，因此点Q所经过的弧长是=‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:轴对称的性质}‎ ‎{考点:弧长的计算}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-难 }‎ ‎ ‎ 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）‎ ‎{题目}19（2019年桂林）（本题6分）计算：‎ ‎{解析}‎ ‎=－1－＋＋1‎ ‎………………………………………… 4分 ‎=－‎ ‎………………………………………… 6分 ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-6-3]实数}‎ ‎{考点:有理数乘方的定义}‎ ‎{考点:最简二次根式}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎ ‎ ‎{题目}20（2019年桂林）（本题6分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上.‎ ‎（1）将△ABC先向右平移6个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；‎ ‎（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐标为（－4，3）；（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标.‎ ‎{解析} 如图所示：………………………………………… 3分 建立如图所示的坐标系，点A的坐标是（－4，3）；（3）在（2）的条件下，直接看出点A1的坐标是（2，6）. ………………………………………… 6分 ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-7-4] 用坐标表示平移}‎ ‎{考点:坐标与图形的性质}‎ ‎{考点:坐标系内图形的平移}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3- 中等}‎ ‎{题目}21（2019年桂林）（本题 8 分）‎ 先化简，再求值：，其中x= ,y=2.‎ ‎{答案}‎ ‎=………………………………………… 3分 ‎==………………………………………… 5分 x= ,y=2，‎ 所以原式化简后的结果是= = ‎ ‎………………………………………… 8分 ‎{分值}8‎ ‎ ‎ ‎ {章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:最简分式}‎ ‎{考点:最简公分母}‎ ‎{考点:两个分式的乘除}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3- 中等}‎ ‎{题目}22（2019年桂林）（本题 8 分）某校在以“青春心向党，建功新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A合唱,B群舞，C书法,D演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小红随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是多少？（2）请将条形图补充完整；（3）若该校共有1800名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？‎ ‎{答案}（1）B组人数是52，扇形图中所占百分比是26%，因此调查的总人数是52÷26%=200，‎ 扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是8÷200×360°=14.4°.‎ 答：本次调查的学生总人数是200人；扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是14.4°‎ ‎………………………………………… 3分 ‎（2）C组调查人数是200－120－52－8=20，条形图中C组矩形高是20个单位长度.‎ ‎………………………………………… 5分 ‎（3）该校共有1800名学生，估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生总共有：‎ ‎（1－60%－26%）×1800=252（人）‎ 答：估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有252人.‎ ‎………………………………………… 8分 ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-10-2]直方图}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎ ‎ ‎{题目}23（2019年桂林）（本题 8 分）如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上.（1）求证AC平分∠BAD;（2）求证BE=DE.‎ ‎{答案}（1）在△ABC与 △ADC中，‎ 由于AB=AD, BC=DC，而AC=AC，所以△ABC≌ △ADC，‎ ‎………………………………………… 3分 因此∠BAC=∠DAC，所以AC平分∠BAD;‎ ‎………………………………………… 4分 ‎（2）在△ABE与△ADE中，AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE,所以 ‎△ABE≌ △ADE，………………………………………… 7分 因此BE=DE. ………………………………………… 8分 ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SSS}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3- 中等}‎ ‎ ‎ ‎{题目}24（2019年桂林）（本题 8 分）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A类足球和25个B类足球共花费7500元，已知购买一个B类 足球比购买一个A类足球多花30元.（1）求购买一个A类足球和一个B类足球各需多少元？（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个A类足球？‎ ‎{答案}‎ 解：‎ ‎（1）设一个A类足球单价x元，因此一个B类足球单价是（x＋30）元，根据题意列方程为50x＋25（x＋30）=7500，………………………………………… 2分 解得x=90，因此x＋30=120………………………………………… 3分 答：购买一个A类足球需要花费90元，购买一个B类足球需120元；‎ ‎………………………………………… 4分 ‎（2）设购买m个A类足球，（50－m）个B类足球花费钱数不超过4800元 列不等式为90m＋120（50－m）≤4800，‎ ‎………………………………………… 6分 解得m≥40，由于m 是正整数，因此整数m的值满足条件m≥40.‎ 答：本次至少购买40个A类足球，所需费用不超过4800元.‎ ‎………………………………………… 8分 ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-3-1-1]一元一次方程}‎ ‎{考点:一元一次方程的应用（其他问题）}‎ ‎{考点:二元一次方程组的应用}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3- 中等}‎ ‎{题目}25（2019年桂林）（本题 10 分）‎ 如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE=OE；（1）求证△ACB是等腰直角三角形；（2）求证OA2=OE·DC.（3）求tan∠ACD的值.‎ ‎{答案}‎ ‎（1）由于AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，BM是 ⊙O的切线，所以∠ABM=90°，‎ ‎………………………………………… 1分 BC平分∠ABM，则∠ABC=∠CBM=90°÷2=45°，因此 ‎∠CAB=90°∠ACB=45°=∠ABC，因此AC=BC，‎ ‎………………………………………… 2分 所以△ACB是等腰直角三角形；‎ ‎………………………………………… 3分 ‎（2）连接OC，OD，所以OC=OD，因此∠CDO=∠DCO，又DE=OE；则∠EDO=∠DOE，‎ 而∠EDO=∠CDO，因此∠DCO=∠DOE，‎ 所以△DOE∽△DCO，………………………………………… 5分 因此，‎ 因此，因此，显然OA=OD=OC，因此得出 OA2=OE·DC. ………………………………………… 7分 ‎（3）连接BD，OD,OC,如图所示，‎ 运用三角形的外角性质，因此 ‎∠1=∠A＋∠2，∠2=∠6，OD=OB，所以∠5=∠6，‎ ‎∠1=∠3＋∠4，∠3=∠5＋∠6=2∠6=2∠2，OE=DE，所以∠3=∠4，‎ 则∠1=2∠3=4∠2，所以∠1=∠A＋∠2=4∠2，因此∠2=∠A，而∠A=45°，因此 ‎∠2=15°，………………………………………… 9分 过点D引DH垂直于AB于H，‎ 不妨设OD=2，因此∠3=2∠6=2∠2=30°，因此DH=OD÷2=1，因此OH=，所以 BH=2＋，因此tan∠ABD==‎ ‎………………………………………… 10分 ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:正切}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-较难 }‎ ‎ ‎ ‎{题目}26（2019年桂林）（本题12分）如图，抛物线y＝－x2＋b x＋c与x轴交于A（－2，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使得△CHB的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当－2＜t＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表达式. ‎ ‎{答案}‎ ‎（1）根据题意，得出方程组，解得，‎ 因此抛物线的解析式是 ‎；………………………………………… 3分 ‎（2）不难得出点C的坐标是（0，2），因此OA=OC=2，因此△AOC是等腰直角三角形，∠OAC=45°,‎ 由于AD垂直于AC，所以∠OAD=45°,则直线AD与y轴的交点坐标是（0，－2）；‎ 求得直线AD的解析式是y=－x－2，作点C关于直线AD的对称点E，由于AC⊥AD，所以点A的对称点即是点C关于点A的中心对称点，其对称点E的坐标是（－4，－2），‎ 设经过B、E两点的直线的解析式是y=mx＋n，代入点B与点E的坐标，得出方程组，解得，因此直线BE的解析式是，………………………………………… 5分 解与y=－x－2联立组成的方程 ‎，得出，………………………………………… 7分 则y=－x－2=－（）－2=，‎ 因此点H 坐标是（，）；‎ 在射线AD上存在一点H，使得△CHB的周长最小，此时点H的坐标是（，）；………………………………………… 9分 ‎ ‎ 图象顶点坐标是（，），因此当点P 的横坐标t满足条件 ‎①－2＜t＜时，如图，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，在直线l左侧部分图形是三角形，设过点P平行于y轴的直线交AQ于点I，则l左侧部分图形是△AIE，其面积满足式子：，易得 直线AQ的解析式是y=x＋3，因此当x=t时，y=t＋3,点I（t，t＋3），‎ 所以IE=t＋3,‎ AE=t－（－2）=t＋2，‎ S===;‎ ‎………………………………………… 10分 ‎②当＜t＜0时，如图，直线l左侧部分是一个面积是×（2）×（＋）的三角形与一个梯形面积之和，点Q（，），C（0，2）,易得直线QC的解析式是,‎ 如图，设直线QC与直线l的交点是点G，因此点G的坐标是（t，），‎ EF=t－（）=t＋，所以线段GE长度是GE=，‎ 梯形QFEG的面积是EF=‎ ‎×（）×（t＋）=；‎ ‎………………………………………… 11分 ‎③当0＜t＜1时，直线l右侧部分是三角形，可以得出直线BC的解析式是y=－2x＋2‎ 如图，直线l与直线BC的交点为点F，因此直接得出BE=1－t，EF=－2t＋2，因此△BEF的面积是=，由于四边形ABCQ的面积是 ‎=×2×＋×2×＋×1×2=，‎ 所以当0＜t＜1时，直线l左侧部分面积S=－‎ 即是S;‎ 综合以上的论述，因此当－2＜t＜时，S=；‎ 当＜t＜0时，S=，‎ 当0＜t＜1时，S.………………………………………… 12分 ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{考点:最短路线问题}‎ ‎{考点:一次函数与几何图形综合}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎ ‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-较难 }‎