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  • 2021-11-12 发布

2013年四川省成都市中考数学试题(含答案)

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四川省成都市 2013 年中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.每小题均有四个选项.其中只有一 项符合题目要求,答案涂在答题卡上) 1.(3 分)(2013•成都)2 的相反数是(  )  A.2 B.﹣2 C. D. 考点:相反数 分析:根据相反数的定义求解即可. 解答:解:2 的相反数为:﹣2. 故选 B. 点评:本题考查了相反数的知识,属于基础题,掌握相反数的定义是解题的关键.   2.(3 分)(2013•成都)如图所示的几何体的俯视图可能是(  )  A. B. C. D. 考点:简单几何体的三视图 分析:俯视图是从上往下看得到的视图,由此可得出答案. 解答:解:所给图形的俯视图是一个带有圆心的圆. 故选 C. 点评:本题考查了俯视图的知识,属于基础题,关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视 图.   3.(3 分)(2013•成都)要使分式 有意义,则 x 的取值范围是(  )  A.x≠1 B.x>1 C.x<1 D.x≠﹣1 考点:分式有意义的条件 分析:根据分式有意义的条件是分母不等于零,可得出 x 的取值范围. 解答:解:∵分式 有意义, ∴x﹣1≠0, 解得:x≠1. 故选 A. 点评:本题考查了分式有意义的条件,属于基础题,注意掌握分式有意义分母不为零.   4.(3 分)(2013•成都)如图,在△ABC 中,∠B=∠C,AB=5,则 AC 的长为(  )  A.2 B.3 C.4 D.5 考点:等腰三角形的性质 分析:根据等腰三角形的性质可得 AB=AC,继而得出 AC 的长. 解答:解:∵∠B=∠C, ∴AB=AC=5. 故选 D. 点评:本题考查了等腰三角形的性质,解答本题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等,底边 上的两底角相等.   5.(3 分)(2013•成都)下列运算正确的是(  )  A. ×(﹣3)=1 B.5﹣8=﹣3 C.2﹣3=6 D.(﹣2013)0=0 考点:负整数指数幂;有理数的减法;有理数的乘法;零指数幂 分析:根据有理数的乘法、减法及负整数指数幂、零指数幂的运算法则,结合各选项进行判 断即可. 解答:解:A、 ×(﹣3)=﹣1,运算错误,故本选项错误; B、5﹣8=﹣3,运算正确,故本选项正确; C、2﹣3= ,运算错误,故本选项错误; D、(﹣2013)0=1,运算错误,故本选项错误; 故选 B. 点评:本题考查了负整数指数幂、零指数幂及有理数的运算,属于基础题,掌握各部分的运 算法则是关键.   6.(3 分)(2013•成都)参加成都市今年初三毕业会考的学生约有 13 万人,将 13 万用科学 记数法表示应为(  )  A.1.3×105 B.13×104 C.0.13×105 D.0.13×106 考点:科学记数法—表示较大的数 分析:科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答:解:将 13 万用科学记数法表示为 1.3×105. 故选 A. 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 7.(3 分)(2013•成都)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使点 C 和点 C′重合,若 AB=2,则 C′D 的长为(  )  A.1 B.2 C.3 D.4 考点:矩形的性质;翻折变换(折叠问题) 分析:根据矩形的对边相等可得 CD=AB,再根据翻折变换的性质可得 C′D=CD,代入数据 即可得解. 解答:解:在矩形 ABCD 中,CD=AB, ∵矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠后点 C 和点 C′重合, ∴C′D=CD, ∴C′D=AB, ∵AB=2, ∴C′D=2. 故选 B. 点评:本题考查了矩形的对边相等的性质,翻折变换的性质,是基础题,熟记性质是解题的 关键.   8.(3 分)(2013•成都)在平面直角坐标系中,下列函数的图象经过原点的是(  )  A.y=﹣x+3 B.y= C.y=2x D.y=﹣2x2+x﹣7 考点:二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点 的坐标特征 分析:将(0,0)代入各选项进行判断即可. 解答:解:A、当 x=0 时,y=3,不经过原点,故本选项错误; B、反比例函数,不经过原点,故本选项错误; C、当 x=0 时,y=0,经过原点,故本选项正确; D、当 x=0 时,y=﹣7,不经过原点,故本选项错误; 故选 C. 点评:本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征,注意代 入判断,难度一般.   9.(3 分)(2013•成都)一元二次方程 x2+x﹣2=0 的根的情况是(  )  A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根  C.只有一个实数根 D.没有实数根 考点:根的判别式 分析:先计算出根的判别式△的值,根据△的值就可以判断根的情况. 解答:解:△=b2﹣4ac=12﹣4×1×(﹣2)=9, ∵9>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. 故选 A. 点评:本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值.△>0,有两 个不相等的实数根;△=0,有两个不相等的实数根;△<0,没有实数根.   10.(3 分)(2013•成都)如图,点 A,B,C 在⊙O 上,∠A=50°,则∠BOC 的度数为(  )  A.40° B.50° C.80° D.100° 考点:圆周角定理 分析:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半, 由此可得出答案. 解答:解:由题意得,∠BOC=2∠A=100°. 故选 D. 点评:本题考查了圆周角定理,属于基础题,掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键.   二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,答案写在答题卡上) 11.(4 分)(2013•成都)不等式 2x﹣1>3 的解集是 x>2 . 考点:解一元一次不等式;不等式的性质 专题:计算题. 分析:移项后合并同类项得出 2x>4,不等式的两边都除以 2 即可求出答案. 解答:解:2x﹣1>3, 移项得:2x>3+1, 合并同类项得:2x>4, 不等式的两边都除以 2 得:x>2, 故答案为:x>2. 点评:本题主要考查对不等式的性质,解一元一次不等式等知识点的理解和掌握,能根据不 等式的性质正确解不等式是解此题的关键.   12.(4 分)(2013•成都)今年 4 月 20 日在雅安市芦山县发生了 7.0 级的大地震,全川人民 众志成城,抗震救灾.某班组织“捐零花钱,献爱心”活动,全班 50 名学生的捐款情况如图 所示,则本次捐款金额的众数是 10 元. 考点:众数;条形统计图 分析:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,结合条形统计图即可作出判断. 解答:解:捐款 10 元的人数最多, 故本次捐款金额的众数是 10 元. 故答案为:10. 点评:本题考查了众数及条形统计图的知识,解答本题的关键是掌握众数的定义.   13.(4 分)(2013•成都)如图,∠B=30°,若 AB∥CD,CB 平分∠ACD,则∠ACD= 60  度. 考点:平行线的性质 分析:根据 AB∥CD,可得∠BCD=∠B=30°,然后根据 CB 平分∠ACD,可得 ∠ACD=2∠BCD=60°. 解答:解:∵AB∥CD,∠B=30°, ∴∠BCD=∠B=30°, ∵CB 平分∠ACD, ∴∠ACD=2∠BCD=60°. 故答案为:60. 点评:本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,掌握平行线的性质:两直线平行,内错 角相等是解题的关键.   14.(4 分)(2013•成都)如图,某山坡的坡面 AB=200 米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高 BC 的长为 100 米. 考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题 分析:在 Rt△ABC 中,由∠BAC=30°,AB=200 米,即可得出 BC 的长度. 解答:解:由题意得,∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=200 米, 故可得 BC= AB=100 米. 故答案为:100. 点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是掌握含 30°角的直角三角形的性 质.   三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分) 15.(12 分)(2013•成都)(1)计算: (2)解方程组: . 考点:解二元一次方程组;实数的运算;特殊角的三角函数值 专题:计算题. 分析:(1)分别进行平方、绝对值、二次根式的化简,然后代入特殊角的三角函数值,继 而合并可得出答案. (2)①+②可得出 x 的值,将 x 的值代入①可得 y 的值,继而得出方程组的解. 解答:解:(1)原式=4+ +2× ﹣2 =4; (2) , ①+②可得:3x=6, 解得:x=2, 将 x=2 代入①可得:y=﹣1, 故方程组的解为 . 点评:本题考查了实数的运算及特殊角的三角函数值,解答本题的关键是熟练各部分的运算 法则,注意细心运算,避免出错.   16.(6 分)(2013•成都)化简 . 考点:分式的混合运算 分析:除以一个分式等于乘以这个分式的倒数,由此计算即可. 解答: 解:原式=a(a﹣1)× =a. 点评:本题考查了分式的混合运算,注意除以一个分式等于乘以这个分式的倒数.   17.(8 分)(2013•成都)如图,在边长为 1 的小正方形组成的方格纸上,将△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90° (1)画出旋转之后的△AB′C′; (2)求线段 AC 旋转过程中扫过的扇形的面积. 考点:作图-旋转变换;扇形面积的计算 专题:作图题. 分析:(1)根据网格结构找出点 B、C 旋转后的对应点 B′、C′的位置,然后顺次连接即可; (2)先求出 AC 的长,再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解. 解答:解:(1)△AB′C′如图所示; (2)由图可知,AC=2, 所以,线段 AC 旋转过程中扫过的扇形的面积= =π. 点评:本题考查了利用旋转变换作图,扇形面积的计算,是基础题,熟练掌握网格结构,准 确找出对应点的位置是解题的关键.   18.(8 分)(2013•成都)“中国梦”关乎每个人的幸福生活,为进一步感知我们身边的幸福, 展现成都人追梦的风采,我市某校开展了以“梦想中国,逐梦成都”为主题的摄影大赛,要求 参赛学生每人交一件作品.现将参赛的 50 件作品的成绩(单位:分)进行统计如下: 等级 成绩(用 s 表示) 频数 频率 A 90≤s≤100 x 0.08 B 80≤s<90 35 y C s<80 11 0.22 合 计 50 1 请根据上表提供的信息,解答下列问题: (1)表中的 x 的值为 4 ,y 的值为 0.7  (2)将本次参赛作品获得 A 等级的学生一次用 A1,A2,A3,…表示,现该校决定从本次参 赛作品中获得 A 等级学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,请用树状图或列表 法求恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率. 考点:频数(率)分布表;列表法与树状图法 分析:(1)用 50 减去 B 等级与 C 等级的学生人数,即可求出 A 等级的学生人数 x 的值, 用 35 除以 50 即可得出 B 等级的频率即 y 的值; (2)由(1)可知获得 A 等级的学生有 4 人,用 A1,A2,A3,A4 表示,画出树状图, 通过图确定恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率. 解答:解:(1)∵x+35+11=50,∴x=4,或 x=50×0.08=4; y= =0.7,或 y=1﹣0.08﹣0.22=0.7; (2)依题得获得 A 等级的学生有 4 人,用 A1,A2,A3,A4 表示,画树状图如下: 由上图可知共有 12 种结果,且每一种结果可能性都相同,其中抽到学生 A1 和 A2 的 有两种结果, 所以从本次参赛作品中获得 A 等级学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会, 恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率为:P= . 点评:本题考查读频数(率)分布表的能力和利用图表获取信息的能力.利用统计图表获取 信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.用到 的知识点为:各小组频数之和等于数据总数;各小组频率之和等于 1;频率=频数÷数 据总数;概率=所求情况数与总情况数之比.   19.(10 分)(2013•成都)如图,一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 (k 为常数, 且 k≠0)的图象都经过点 A(m,2) (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式; (2)结合图象直接比较:当 x>0 时,y1 和 y2 的大小. 考点:反比例函数与一次函数的交点问题 分析:(1)将 A 点代入一次函数解析式求出 m 的值,然后将 A 点坐标代入反比例函数解析 式,求出 k 的值即可得出反比例函数的表达式; (2)结合函数图象即可判断 y1 和 y2 的大小. 解答:解:(1)将 A 的坐标代入 y1=x+1, 得:m+1=2, 解得:m=1, 故点 A 坐标为(1,2), 将点 A 的坐标代入: , 得:2= , 解得:k=2, 则反比例函数的表达式 y2= ; (2)结合函数图象可得: 当 0<x<1 时,y1<y2; 当 x=1 时,y1=y2; 当 x>1 时,y1>y2. 点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题注意数形结合思想的运用, 数形结合是数学解题中经常用到的,同学们注意熟练掌握.   20.(10 分)(2013•成都)如图,点 B 在线段 AC 上,点 D,E 在 AC 同侧,∠A=∠C=90°, BD⊥BE,AD=BC. (1)求证:AC=AD+CE; (2)若 AD=3,CE=5,点 P 为线段 AB 上的动点,连接 DP,作 PQ⊥DP,交直线 BE 于点 Q; (i)当点 P 与 A,B 两点不重合时,求 的值; (ii)当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时,求线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)长.(直 接写出结果,不必写出解答过程) 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质 专题:几何综合题. 分析:(1)根据同角的余角相等求出∠1=∠E,再利用“角角边”证明△ABD 和△CEB 全等, 根据全等三角形对应边相等可得 AB=CE,然后根据 AC=AB+BC 整理即可得证; (2)(i)过点 Q 作 QF⊥BC 于 F,根据△BFQ 和△BCE 相似可得 = ,然后求出 QF= BF,再根据△ADP 和△FBQ 相似可得 = ,然后整理得到(AP﹣BF) (5﹣AP)=0,从而求出 AP=BF,最后利用相似三角形对应边成比例可得 = , 从而得解; (ii)判断出 DQ 的中点的路径为△BDQ 的中位线 MN.求出 QF、BF 的长度,利用 勾股定理求出 BQ 的长度,再根据中位线性质求出 MN 的长度,即所求之路径长. 解答:(1)证明:∵BD⊥BE, ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°, ∵∠C=90°, ∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°, ∴∠1=∠E, ∵在△ABD 和△CEB 中, , ∴△ABD≌△CEB(AAS), ∴AB=CE, ∴AC=AB+BC=AD+CE; (2)(i)如图,过点 Q 作 QF⊥BC 于 F, 则△BFQ∽△BCE, ∴ = , 即 = , ∴QF= BF, ∵BD⊥BE, ∴∠ADP+∠FPQ=180°﹣90°=90°, ∵∠FPQ+∠PQF=180°﹣90°=90°, ∴∠ADP=∠FPQ, 又∵∠A=∠PFQ=90°, ∴△ADP∽△FBQ, ∴ = , 即 = , ∴5AP﹣AP2+AP•BF=3• BF, 整理得,(AP﹣BF)(AP﹣5)=0, ∵点 P 与 A,B 两点不重合, ∴AP≠5, ∴AP=BF, 由△ADP∽△FBQ 得, = , ∴ = ; (ii)线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)就是△BDQ 的中位线 MN. 由(2)(i)可知,QF= AP. 当点 P 运动至 AC 中点时,AP=4,∴QF= . ∴BF=QF× =4. 在 Rt△BFQ 中,根据勾股定理得:BQ= = = . ∴MN= BQ= . ∴线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)长为 . 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,(1)求出三角形全 等的条件∠1=∠E 是解题的关键,(2)(i)根据两次三角形相似求出 AP=BF 是解题的 关键,(ii)判断出路径为三角形的中位线是解题的关键.   四、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,) 21.(4 分)(2013•成都)已知点(3,5)在直线 y=ax+b(a,b 为常数,且 a≠0)上,则 的值为 ﹣  . 考点:一次函数图象上点的坐标特征 分析:将点(3,5)代入直线解析式,可得出 b﹣5 的值,继而代入可得出答案. 解答:解:∵点(3,5)在直线 y=ax+b 上, ∴5=3a+b, ∴b﹣5=﹣3a, 则 = = . 故答案为:﹣ . 点评:本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,注意直线上点的坐标满足直线解析式.   22.(4 分)(2013•成都)若正整数 n 使得在计算 n+(n+1)+(n+2)的过程中,各数位均 不产生进位现象,则称 n 为“本位数”.例如 2 和 30 是“本位数”,而 5 和 91 不是“本位数”.现 从所有大于 0 且小于 100 的“本位数”中,随机抽取一个数,抽到偶数的概率为   . 考点:概率公式 专题:新定义. 分析:先确定出所有大于 0 且小于 100 的“本位数”,再根据概率公式计算即可得解. 解答:解:所有大于 0 且小于 100 的“本位数”有:1、2、10、11、12、20、21、22、30、 31、32, 共有 11 个,7 个偶数,4 个奇数, 所以,P(抽到偶数)= . 故答案为: . 点评:本题考查了概率公式,根据定义确定出所有的本位数是解题的关键.   23.(4 分)(2013•成都)若关于 t 的不等式组 ,恰有三个整数解,则关于 x 的一 次函数 的图象与反比例函数 的图象的公共点的个数为 1 或 0 . 考点:反比例函数与一次函数的交点问题;一元一次不等式组的整数解.3718684 分析:根据不等式组 恰有三个整数解,可得出 a 的取值范围;联立一次函数及反 比例函数解析式,利用二次函数的性质判断其判别式的值的情况,从而确定交点的个 数. 解答:解:不等式组的解为:a≤t≤ , ∵不等式组恰有 3 个整数解, ∴﹣2<a≤﹣1. 联立方程组 , 得: x2﹣ax﹣3a﹣2=0, △=a2+3a+2=(a+ )2﹣ =(a+1)(a+2) 这是一个二次函数,开口向上,与 x 轴交点为(﹣2,0)和(﹣1,0),对称轴为直 线 a=﹣ , 其图象如下图所示: 由图象可见: 当 a=﹣1 时,△=0,此时一元二次方程有两个相等的根,即一次函数与反比例函数有 一个交点; 当﹣2<a<﹣1 时,△=0,此时一元二次方程无实数根,即一次函数与反比例函数没 有交点. ∴交点的个数为:1 或 0. 故答案为:1 或 0. 点评:本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数、解不等式、一元二次方程等知识点, 有一定的难度.多个知识点的综合运用,是解决本题的关键.   24.(4 分)(2013•成都)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx(k 为常数)与抛物线 y= x2﹣2 交于 A,B 两点,且 A 点在 y 轴左侧,P 点的坐标为(0,﹣4),连接 PA,PB.有以 下说法: ①PO2=PA•PB; ②当 k>0 时,(PA+AO)(PB﹣BO)的值随 k 的增大而增大; ③当 k= 时,BP2=BO•BA; ④△PAB 面积的最小值为 . 其中正确的是 ③④ .(写出所有正确说法的序号) 考点:二次函数综合题 分析:首先得到两个基本结论: (I)设 A(m,km),B(n,kn),联立两个解析式,由根与系数关系得到: m+n=3k,mn=﹣6; (II)直线 PA、PB 关于 y 轴对称. 利用以上结论,解决本题: (1)说法①错误.如答图 1,设点 A 关于 y 轴的对称点为 A′,若结论①成立,则 可以证明△POA′∽△PBO,得到∠AOP=∠PBO.而∠AOP 是△PBO 的外角,∠AOP>∠PBO, 由此产生矛盾,故说法①错误; (2)说法②错误.如答图 2,可求得(PA+AO)(PB﹣BO)=16 为定值,故错误; (3)说法③正确.联立方程组,求得点 A、B 坐标,进而求得 BP、BO、BA,验证 等式 BP2=BO•BA 成立,故正确; (4)说法④正确.由根与系数关系得到:S△PAB=2 ,当 k=0 时,取得最小 值为 ,故正确. 解答:解:设 A(m,km),B(n,kn),其中 m<0,n>0. 联立 y= x2﹣2 与 y=kx 得: x2﹣2=kx,即 x2﹣3kx﹣6=0, ∴m+n=3k,mn=﹣6. 设直线 PA 的解析式为 y=ax+b,将 P(0,﹣4),A(m,km)代入得: ,解得 a= ,b=﹣4, ∴y=( )x﹣4. 令 y=0,得 x= , ∴直线 PA 与 x 轴的交点坐标为( ,0). 同理可得,直线 PB 的解析式为 y=( )x﹣4,直线 PB 与 x 轴交点坐标为 ( ,0). ∵ + = = =0, ∴直线 PA、PA 与 x 轴的交点关于 y 轴对称,即直线 PA、PA 关于 y 轴对称. (1)说法①错误.理由如下: 如答图 1 所示,∵PA、PB 关于 y 轴对称, ∴点 A 关于 y 轴的对称点 A′落在 PB 上. 连接 OA′,则 OA=OA′,∠POA=∠POA′. 假设结论:PO2=PA•PB 成立,即 PO2=PA′•PB, ∴ , 又∵∠BOP=∠BOP, ∴△POA′∽△PBO, ∴∠POA′=∠PBO, ∴∠AOP=∠PBO. 而∠AOP 是△PBO 的外角, ∴∠AOP>∠PBO,矛盾, ∴说法①错误. (2)说法②错误.理由如下: 易知: =﹣ , ∴OB=﹣ OA. 由对称可知,PO 为△APB 的角平分线, ∴ , ∴PB=﹣ PA. ∴(PA+AO)(PB﹣BO)=(PA+AO)[﹣ PA﹣(﹣ OA)]=﹣ (PA+AO) (PA﹣OA)=﹣ (PA2﹣AO2). 如答图 2 所示,过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D,则 OD=﹣km,PD=4+km. ∴PA2﹣AO2=(PD2+AD2)﹣(OD2+AD2)=PD2﹣OD2=(4+km)2﹣(﹣km) 2=8km+16, ∵m+n=3k,∴k= (m+n), ∴PA2﹣AO2=8• (m+n)•m+16= m2+ mn+16= m2+ ×(﹣6)+16= m2. ∴(PA+AO)(PB﹣BO)=﹣ (PA2﹣AO2)=﹣ • m2=﹣ mn=﹣ ×(﹣6)=16. 即:(PA+AO)(PB﹣BO)为定值,所以说法②错误. (3)说法③正确.理由如下: 当 k= 时,联立方程组: ,得 A( ,2),B( ,﹣1), ∴BP2=12,BO•BA=2×6=12, ∴BP2=BO•BA,故说法③正确. (4)说法④正确.理由如下: S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP•(﹣m)+ OP•n= OP•(n﹣m)=2(n﹣m)=2 =2 , ∴当 k=0 时,△PAB 面积有最小值,最小值为 = . 故说法④正确. 综上所述,正确的说法是:③④. 故答案为:③④. 点评:本题是代数几何综合题,难度很大.解答中首先得到两个基本结论,其中 PA、PB 的 对称性是判定说法①的基本依据,根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依 据.正确解决本题的关键是打好数学基础,将平时所学知识融会贯通、灵活运用.   25.(4 分)(2013•成都)如图,A,B,C 为⊙O 上相邻的三个 n 等分点, = ,点 E 在 上,EF 为⊙O 的直径,将⊙O 沿 EF 折叠,使点 A 与 A′重合,点 B 与 B′重合,连接 EB′,EC,EA′.设 EB′=b,EC=c,EA′=p.现探究 b,c,p 三者的数量关系:发现当 n=3 时,p=b+c.请继续探究 b,c,p 三者的数量关系:当 n=4 时,p= c+ b ;当 n=12 时, p= c+ b . (参考数据: , ) 考点:圆的综合题 分析:如解答图所示,作辅助线,构造相似三角形.首先,在 AE 上取一点 D,使 ED=EC, 连接 CD,则△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形,所以△ABC∽△CED,得 到 ;其次,证明△ACD∽△BCE,得到 ;由 EA=ED+DA,整理得到 p 的通项公式为:p=c+2cos •b.将 n=4,n=12 代入,即可求得答案. 解答:解:如解答图所示,连接 AB、AC、BC. 由题意,点 A、B、C 为圆上的 n 等分点, ∴AB=BC,∠ACB= × = (度). 在等腰△ABC 中,过顶点 B 作 BN⊥AC 于点 N, 则 AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos •BC, ∴ =2cos . 连接 AE、BE,在 AE 上取一点 D,使 ED=EC,连接 CD. ∵∠ABC=∠CED, ∴△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形, ∴△ABC∽△CED. ∴ ,∠ACB=∠DCE. ∵∠ACB=∠ACD+∠BCD,∠DCE=∠BCE+∠BCD, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 与△BCE 中, ∵ ,∠ACD=∠BCE, ∴△ACD∽△BCE. ∴ , ∴DA= •EB=2cos •EB. ∴EA=ED+DA=EC+2cos •EB. 由折叠性质可知,p=EA′=EA,b=EB′=EB,c=EC. ∴p=c+2cos •b. 当 n=4 时,p=c+2cos45°•b=c+ b; 当 n=12 时,p=c+2cos15°•b=c+ b. 故答案为:c+ b,c+ b. 点评:本题是几何综合题,难度很大.解决本题,需要综合运用圆、相似三角形、等腰三角 形、三角函数、折叠性质等多个知识点,对几何综合能力要求很高.本题解答过程中, 求得 p 的通项公式:p=c+2cos •b,这样的结果更具普遍性;也可以按照题中要求, 对于 4 等分或 12 等分的情况分别求解.   四、解答题(本小题共三个小题,共 30 分.答案写在答题卡上) 26.(8 分)(2013•成都)某物体从 P 点运动到 Q 点所用时间为 7 秒,其运动速度 v(米每 秒)关于时间 t(秒)的函数关系如图所示.某学习小组经过探究发现:该物体前进 3 秒运 动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积.由物理学知识还可知:该物体前 n(3<n≤7) 秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和. 根据以上信息,完成下列问题: (1)当 3<n≤7 时,用含 t 的式子表示 v; (2)分别求该物体在 0≤t≤3 和 3<n≤7 时,运动的路程 s(米)关于时间 t(秒)的函数关系 式;并求该物体从 P 点运动到 Q 总路程的 时所用的时间. 考点:一次函数的应用 分析:(1)设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,运用待定系数法就可以求出 t 与 v 的关系式; (2)由路程=速度×时间,就可以表示出物体在 0≤t≤3 和 3<n≤7 时,运动的路程 s(米) 关于时间 t(秒)的函数关系式,根据物体前 n(3<n≤7)秒运动的路程在数值上等于 矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和求出总路程,然后将其 代入解析式就 可以求出 t 值. 解答:解:(1)设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,由题意,得 , 解得: ∴v=2t﹣4; (2)由题意,得 S= , ∴P 点运动到 Q 点的路程为:2×3+(2+10)×(7﹣3)× =30, ∴30× =21, ∴3×2+(t﹣3)(2+2t﹣4)÷2=21, 解得:t1=﹣2(舍去),t2=6. ∴该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 时所用的时间为 6 秒. 点评:本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用,分段函数的求法的运用,路程与 速度时间之间的关系的运用,解答时求出 P 点运动到 Q 点的路程是解答本题的关 键.   27.(10 分)(2013•成都)如图,⊙O 的半径 r=25,四边形 ABCD 内接圆⊙O,AC⊥BD 于 点 H,P 为 CA 延长线上的一点,且∠PDA=∠ABD. (1)试判断 PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 tan∠ADB= ,PA= AH,求 BD 的长; (3)在(2)的条件下,求四边形 ABCD 的面积. 考点:圆的综合题 分析:(1)首先连接 DO 并延长交圆于点 E,连接 AE,由 DE 是直径,可得∠DAE 的度数, 又由∠PDA=∠ABD=∠E,可证得 PD⊥DO,即可得 PD 与圆 O 相切于点 D; (2)首先由 tan∠ADB= ,可设 AH=3k,则 DH=4k,又由 PA= AH,易求得 ∠P=30°,∠PDH=60°,连接 BE,则∠DBE=90°,DE=2r=50,可得 BD=DE•cos30°= ; (3)由(2)易得 HC= ( ﹣4k),又由 PD2=PA×PC,可得方程:(8k)2=(4 ﹣3)k×[4 k+ (25 ﹣4k)],解此方程即可求得 AC 的长,继而求得四边形 ABCD 的面积. 解答:解:(1)PD 与圆 O 相切. 理由:如图,连接 DO 并延长交圆于点 E,连接 AE, ∵DE 是直径, ∴∠DAE=90°, ∴∠E+∠ADE=90°, ∵∠PDA=∠ABD=∠E, ∴∠PDA+∠ADE=90°, 即 PD⊥DO, ∴PD 与圆 O 相切于点 D; (2)∵tan∠ADB= ∴可设 AH=3k,则 DH=4k, ∵PA= AH, ∴PA=(4 ﹣3)k, ∴PH=4 k, ∴在 Rt△PDH 中,tan∠P= = , ∴∠P=30°,∠PDH=60°, ∵PD⊥DO, ∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°, 连接 BE,则∠DBE=90°,DE=2r=50, ∴BD=DE•cos30°= ; (3)由(2)知,BH= ﹣4k, ∴HC= ( ﹣4k), 又∵PD2=PA×PC, ∴(8k)2=(4 ﹣3)k×[4 k+ (25 ﹣4k)], 解得:k=4 ﹣3, ∴AC=3k+ (25 ﹣4k)=24 +7, ∴S 四边形 ABCD= BD•AC= ×25 ×(24 +7)=900+ . 点评:此题考查了切线的性质与判定、三角函数的性质以及切割线定理等知识.此题难度较 大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.   28.(12 分)(2013•成都)在平面直角坐标系中,已知抛物线 y= x2+bx+c(b,c 为常数) 的顶点为 P,等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0,﹣1),C 的坐标为(4,3),直 角顶点 B 在第四象限. (1)如图,若该抛物线过 A,B 两点,求该抛物线的函数表达式; (2)平移(1)中的抛物线,使顶点 P 在直线 AC 上滑动,且与 AC 交于另一点 Q. (i)若点 M 在直线 AC 下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以 M、P、Q 三点为 顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点 M 的坐标; (ii)取 BC 的中点 N,连接 NP,BQ.试探究 是否存在最大值?若存在,求出该最 大值;若不存在,请说明理由. 考点:二次函数综合题 分析:(1)先求出点 B 的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式; (2)i)首先求出直线 AC 的解析式和线段 PQ 的长度,作为后续计算的基础. 若△MPQ 为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况: ①当 PQ 为直角边时:点 M 到 PQ 的距离为 .此时,将直线 AC 向右平移 4 个 单位后所得直线(y=x﹣5)与抛物线的交点,即为所求之 M 点; ②当 PQ 为斜边时:点 M 到 PQ 的距离为 .此时,将直线 AC 向右平移 2 个单位 后所得直线(y=x﹣3)与抛物线的交点,即为所求之 M 点. ii)由(i)可知,PQ= 为定值,因此当 NP+BQ 取最小值时, 有最大值. 如答图 2 所示,作点 B 关于直线 AC 的对称点 B′,由分析可知,当 B′、Q、F(AB 中 点)三点共线时,NP+BQ 最小,最小值为线段 B′F 的长度. 解答:解:(1)由题意,得点 B 的坐标为(4,﹣1). ∵抛物线过 A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点, ∴ ,解得:b=2,c=﹣1, ∴抛物线的函数表达式为:y= x2+2x﹣1. (2)i)∵A(0,﹣1),C(4,3), ∴直线 AC 的解析式为:y=x﹣1. 设平移前抛物线的顶点为 P0,则由(1)可得 P0 的坐标为(2,1),且 P0 在直线 AC 上. ∵点 P 在直线 AC 上滑动,∴可设 P 的坐标为(m,m﹣1), 则平移后抛物线的函数表达式为:y= (x﹣m)2+m﹣1. 解方程组: , 解得 , ∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3). 过点 P 作 PE∥x 轴,过点 Q 作 QE∥y 轴,则 PE=m﹣(m﹣2)=2,QE=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2. ∴PQ= =AP0. 若△MPQ 为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况: ①当 PQ 为直角边时:点 M 到 PQ 的距离为 (即为 PQ 的长). 由 A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知, △ABP0 为等腰直角三角形,且 BP0⊥AC,BP0= . 如答图 1,过点 B 作直线 l1∥AC,交抛物线 y= x2+2x﹣1 于点 M,则 M 为符合条 件的点. ∴可设直线 l1 的解析式为:y=x+b1, ∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得 b1=﹣5, ∴直线 l1 的解析式为:y=x﹣5. 解方程组 ,得: , ∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7). ②当 PQ 为斜边时:MP=MQ=2,可求得点 M 到 PQ 的距离为 . 如答图 1,取 AB 的中点 F,则点 F 的坐标为(2,﹣1). 由 A(0,﹣1),F(2,﹣1),P0(2,1)可知: △AFP0 为等腰直角三角形,且点 F 到直线 AC 的距离为 . 过点 F 作直线 l2∥AC,交抛物线 y= x2+2x﹣1 于点 M,则 M 为符合条件的点. ∴可设直线 l2 的解析式为:y=x+b2, ∵F(2,﹣1),∴﹣1=2+b2,解得 b1=﹣3, ∴直线 l2 的解析式为:y=x﹣3. 解方程组 ,得: , ∴M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,﹣2﹣ ). 综上所述,所有符合条件的点 M 的坐标为: M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ , ﹣2﹣ ). ii) 存在最大值.理由如下: 由 i)知 PQ= 为定值,则当 NP+BQ 取最小值时, 有最大值. 如答图 2,取点 B 关于 AC 的对称点 B′,易得点 B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q. 连接 QF,FN,QB′,易得 FN∥PQ,且 FN=PQ, ∴四边形 PQFN 为平行四边形. ∴NP=FQ. ∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′= = . ∴当 B′、Q、F 三点共线时,NP+BQ 最小,最小值为 . ∴ 的最大值为 = . 点评:本题为二次函数中考压轴题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、 几何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等 知识点,考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,试题难度较大.