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四川省成都市 2013 年中考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.每小题均有四个选项.其中只有一
项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1.(3 分)(2013•成都)2 的相反数是( )
A.2 B.﹣2 C. D.
考点:相反数
分析:根据相反数的定义求解即可.
解答:解:2 的相反数为:﹣2.
故选 B.
点评:本题考查了相反数的知识,属于基础题,掌握相反数的定义是解题的关键.
2.(3 分)(2013•成都)如图所示的几何体的俯视图可能是( )
A. B. C. D.
考点:简单几何体的三视图
分析:俯视图是从上往下看得到的视图,由此可得出答案.
解答:解:所给图形的俯视图是一个带有圆心的圆.
故选 C.
点评:本题考查了俯视图的知识,属于基础题,关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视
图.
3.(3 分)(2013•成都)要使分式 有意义,则 x 的取值范围是( )
A.x≠1 B.x>1 C.x<1 D.x≠﹣1
考点:分式有意义的条件
分析:根据分式有意义的条件是分母不等于零,可得出 x 的取值范围.
解答:解:∵分式 有意义,
∴x﹣1≠0,
解得:x≠1.
故选 A.
点评:本题考查了分式有意义的条件,属于基础题,注意掌握分式有意义分母不为零.
4.(3 分)(2013•成都)如图,在△ABC 中,∠B=∠C,AB=5,则 AC 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
考点:等腰三角形的性质
分析:根据等腰三角形的性质可得 AB=AC,继而得出 AC 的长.
解答:解:∵∠B=∠C,
∴AB=AC=5.
故选 D.
点评:本题考查了等腰三角形的性质,解答本题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等,底边
上的两底角相等.
5.(3 分)(2013•成都)下列运算正确的是( )
A. ×(﹣3)=1 B.5﹣8=﹣3 C.2﹣3=6 D.(﹣2013)0=0
考点:负整数指数幂;有理数的减法;有理数的乘法;零指数幂
分析:根据有理数的乘法、减法及负整数指数幂、零指数幂的运算法则,结合各选项进行判
断即可.
解答:解:A、 ×(﹣3)=﹣1,运算错误,故本选项错误;
B、5﹣8=﹣3,运算正确,故本选项正确;
C、2﹣3= ,运算错误,故本选项错误;
D、(﹣2013)0=1,运算错误,故本选项错误;
故选 B.
点评:本题考查了负整数指数幂、零指数幂及有理数的运算,属于基础题,掌握各部分的运
算法则是关键.
6.(3 分)(2013•成都)参加成都市今年初三毕业会考的学生约有 13 万人,将 13 万用科学
记数法表示应为( )
A.1.3×105 B.13×104 C.0.13×105 D.0.13×106
考点:科学记数法—表示较大的数
分析:科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,
要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当
原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.
解答:解:将 13 万用科学记数法表示为 1.3×105.
故选 A.
点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|
<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
7.(3 分)(2013•成都)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使点 C 和点 C′重合,若
AB=2,则 C′D 的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
考点:矩形的性质;翻折变换(折叠问题)
分析:根据矩形的对边相等可得 CD=AB,再根据翻折变换的性质可得 C′D=CD,代入数据
即可得解.
解答:解:在矩形 ABCD 中,CD=AB,
∵矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠后点 C 和点 C′重合,
∴C′D=CD,
∴C′D=AB,
∵AB=2,
∴C′D=2.
故选 B.
点评:本题考查了矩形的对边相等的性质,翻折变换的性质,是基础题,熟记性质是解题的
关键.
8.(3 分)(2013•成都)在平面直角坐标系中,下列函数的图象经过原点的是( )
A.y=﹣x+3 B.y= C.y=2x D.y=﹣2x2+x﹣7
考点:二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点
的坐标特征
分析:将(0,0)代入各选项进行判断即可.
解答:解:A、当 x=0 时,y=3,不经过原点,故本选项错误;
B、反比例函数,不经过原点,故本选项错误;
C、当 x=0 时,y=0,经过原点,故本选项正确;
D、当 x=0 时,y=﹣7,不经过原点,故本选项错误;
故选 C.
点评:本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征,注意代
入判断,难度一般.
9.(3 分)(2013•成都)一元二次方程 x2+x﹣2=0 的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
考点:根的判别式
分析:先计算出根的判别式△的值,根据△的值就可以判断根的情况.
解答:解:△=b2﹣4ac=12﹣4×1×(﹣2)=9,
∵9>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
故选 A.
点评:本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值.△>0,有两
个不相等的实数根;△=0,有两个不相等的实数根;△<0,没有实数根.
10.(3 分)(2013•成都)如图,点 A,B,C 在⊙O 上,∠A=50°,则∠BOC 的度数为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
考点:圆周角定理
分析:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,
由此可得出答案.
解答:解:由题意得,∠BOC=2∠A=100°.
故选 D.
点评:本题考查了圆周角定理,属于基础题,掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键.
二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,答案写在答题卡上)
11.(4 分)(2013•成都)不等式 2x﹣1>3 的解集是 x>2 .
考点:解一元一次不等式;不等式的性质
专题:计算题.
分析:移项后合并同类项得出 2x>4,不等式的两边都除以 2 即可求出答案.
解答:解:2x﹣1>3,
移项得:2x>3+1,
合并同类项得:2x>4,
不等式的两边都除以 2 得:x>2,
故答案为:x>2.
点评:本题主要考查对不等式的性质,解一元一次不等式等知识点的理解和掌握,能根据不
等式的性质正确解不等式是解此题的关键.
12.(4 分)(2013•成都)今年 4 月 20 日在雅安市芦山县发生了 7.0 级的大地震,全川人民
众志成城,抗震救灾.某班组织“捐零花钱,献爱心”活动,全班 50 名学生的捐款情况如图
所示,则本次捐款金额的众数是 10 元.
考点:众数;条形统计图
分析:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,结合条形统计图即可作出判断.
解答:解:捐款 10 元的人数最多,
故本次捐款金额的众数是 10 元.
故答案为:10.
点评:本题考查了众数及条形统计图的知识,解答本题的关键是掌握众数的定义.
13.(4 分)(2013•成都)如图,∠B=30°,若 AB∥CD,CB 平分∠ACD,则∠ACD= 60
度.
考点:平行线的性质
分析:根据 AB∥CD,可得∠BCD=∠B=30°,然后根据 CB 平分∠ACD,可得
∠ACD=2∠BCD=60°.
解答:解:∵AB∥CD,∠B=30°,
∴∠BCD=∠B=30°,
∵CB 平分∠ACD,
∴∠ACD=2∠BCD=60°.
故答案为:60.
点评:本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,掌握平行线的性质:两直线平行,内错
角相等是解题的关键.
14.(4 分)(2013•成都)如图,某山坡的坡面 AB=200 米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高
BC 的长为 100 米.
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题
分析:在 Rt△ABC 中,由∠BAC=30°,AB=200 米,即可得出 BC 的长度.
解答:解:由题意得,∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=200 米,
故可得 BC= AB=100 米.
故答案为:100.
点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是掌握含 30°角的直角三角形的性
质.
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分)
15.(12 分)(2013•成都)(1)计算:
(2)解方程组: .
考点:解二元一次方程组;实数的运算;特殊角的三角函数值
专题:计算题.
分析:(1)分别进行平方、绝对值、二次根式的化简,然后代入特殊角的三角函数值,继
而合并可得出答案.
(2)①+②可得出 x 的值,将 x 的值代入①可得 y 的值,继而得出方程组的解.
解答:解:(1)原式=4+ +2× ﹣2 =4;
(2) ,
①+②可得:3x=6,
解得:x=2,
将 x=2 代入①可得:y=﹣1,
故方程组的解为 .
点评:本题考查了实数的运算及特殊角的三角函数值,解答本题的关键是熟练各部分的运算
法则,注意细心运算,避免出错.
16.(6 分)(2013•成都)化简 .
考点:分式的混合运算
分析:除以一个分式等于乘以这个分式的倒数,由此计算即可.
解答:
解:原式=a(a﹣1)× =a.
点评:本题考查了分式的混合运算,注意除以一个分式等于乘以这个分式的倒数.
17.(8 分)(2013•成都)如图,在边长为 1 的小正方形组成的方格纸上,将△ABC 绕着点 A
顺时针旋转 90°
(1)画出旋转之后的△AB′C′;
(2)求线段 AC 旋转过程中扫过的扇形的面积.
考点:作图-旋转变换;扇形面积的计算
专题:作图题.
分析:(1)根据网格结构找出点 B、C 旋转后的对应点 B′、C′的位置,然后顺次连接即可;
(2)先求出 AC 的长,再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解.
解答:解:(1)△AB′C′如图所示;
(2)由图可知,AC=2,
所以,线段 AC 旋转过程中扫过的扇形的面积= =π.
点评:本题考查了利用旋转变换作图,扇形面积的计算,是基础题,熟练掌握网格结构,准
确找出对应点的位置是解题的关键.
18.(8 分)(2013•成都)“中国梦”关乎每个人的幸福生活,为进一步感知我们身边的幸福,
展现成都人追梦的风采,我市某校开展了以“梦想中国,逐梦成都”为主题的摄影大赛,要求
参赛学生每人交一件作品.现将参赛的 50 件作品的成绩(单位:分)进行统计如下:
等级 成绩(用 s 表示) 频数 频率
A 90≤s≤100 x 0.08
B 80≤s<90 35 y
C s<80 11 0.22
合 计 50 1
请根据上表提供的信息,解答下列问题:
(1)表中的 x 的值为 4 ,y 的值为 0.7
(2)将本次参赛作品获得 A 等级的学生一次用 A1,A2,A3,…表示,现该校决定从本次参
赛作品中获得 A 等级学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,请用树状图或列表
法求恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率.
考点:频数(率)分布表;列表法与树状图法
分析:(1)用 50 减去 B 等级与 C 等级的学生人数,即可求出 A 等级的学生人数 x 的值,
用 35 除以 50 即可得出 B 等级的频率即 y 的值;
(2)由(1)可知获得 A 等级的学生有 4 人,用 A1,A2,A3,A4 表示,画出树状图,
通过图确定恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率.
解答:解:(1)∵x+35+11=50,∴x=4,或 x=50×0.08=4;
y= =0.7,或 y=1﹣0.08﹣0.22=0.7;
(2)依题得获得 A 等级的学生有 4 人,用 A1,A2,A3,A4 表示,画树状图如下:
由上图可知共有 12 种结果,且每一种结果可能性都相同,其中抽到学生 A1 和 A2 的
有两种结果,
所以从本次参赛作品中获得 A 等级学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,
恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率为:P= .
点评:本题考查读频数(率)分布表的能力和利用图表获取信息的能力.利用统计图表获取
信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.用到
的知识点为:各小组频数之和等于数据总数;各小组频率之和等于 1;频率=频数÷数
据总数;概率=所求情况数与总情况数之比.
19.(10 分)(2013•成都)如图,一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 (k 为常数,
且 k≠0)的图象都经过点
A(m,2)
(1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式;
(2)结合图象直接比较:当 x>0 时,y1 和 y2 的大小.
考点:反比例函数与一次函数的交点问题
分析:(1)将 A 点代入一次函数解析式求出 m 的值,然后将 A 点坐标代入反比例函数解析
式,求出 k 的值即可得出反比例函数的表达式;
(2)结合函数图象即可判断 y1 和 y2 的大小.
解答:解:(1)将 A 的坐标代入 y1=x+1,
得:m+1=2,
解得:m=1,
故点 A 坐标为(1,2),
将点 A 的坐标代入: ,
得:2= ,
解得:k=2,
则反比例函数的表达式 y2= ;
(2)结合函数图象可得:
当 0<x<1 时,y1<y2;
当 x=1 时,y1=y2;
当 x>1 时,y1>y2.
点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题注意数形结合思想的运用,
数形结合是数学解题中经常用到的,同学们注意熟练掌握.
20.(10 分)(2013•成都)如图,点 B 在线段 AC 上,点 D,E 在 AC 同侧,∠A=∠C=90°,
BD⊥BE,AD=BC.
(1)求证:AC=AD+CE;
(2)若 AD=3,CE=5,点 P 为线段 AB 上的动点,连接 DP,作 PQ⊥DP,交直线 BE 于点
Q;
(i)当点 P 与 A,B 两点不重合时,求 的值;
(ii)当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时,求线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)长.(直
接写出结果,不必写出解答过程)
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质
专题:几何综合题.
分析:(1)根据同角的余角相等求出∠1=∠E,再利用“角角边”证明△ABD 和△CEB 全等,
根据全等三角形对应边相等可得 AB=CE,然后根据 AC=AB+BC 整理即可得证;
(2)(i)过点 Q 作 QF⊥BC 于 F,根据△BFQ 和△BCE 相似可得 = ,然后求出
QF= BF,再根据△ADP 和△FBQ 相似可得 = ,然后整理得到(AP﹣BF)
(5﹣AP)=0,从而求出 AP=BF,最后利用相似三角形对应边成比例可得 = ,
从而得解;
(ii)判断出 DQ 的中点的路径为△BDQ 的中位线 MN.求出 QF、BF 的长度,利用
勾股定理求出 BQ 的长度,再根据中位线性质求出 MN 的长度,即所求之路径长.
解答:(1)证明:∵BD⊥BE,
∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°,
∵∠C=90°,
∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°,
∴∠1=∠E,
∵在△ABD 和△CEB 中,
,
∴△ABD≌△CEB(AAS),
∴AB=CE,
∴AC=AB+BC=AD+CE;
(2)(i)如图,过点 Q 作 QF⊥BC 于 F,
则△BFQ∽△BCE,
∴ = ,
即 = ,
∴QF= BF,
∵BD⊥BE,
∴∠ADP+∠FPQ=180°﹣90°=90°,
∵∠FPQ+∠PQF=180°﹣90°=90°,
∴∠ADP=∠FPQ,
又∵∠A=∠PFQ=90°,
∴△ADP∽△FBQ,
∴ = ,
即 = ,
∴5AP﹣AP2+AP•BF=3• BF,
整理得,(AP﹣BF)(AP﹣5)=0,
∵点 P 与 A,B 两点不重合,
∴AP≠5,
∴AP=BF,
由△ADP∽△FBQ 得, = ,
∴ = ;
(ii)线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)就是△BDQ 的中位线 MN.
由(2)(i)可知,QF= AP.
当点 P 运动至 AC 中点时,AP=4,∴QF= .
∴BF=QF× =4.
在 Rt△BFQ 中,根据勾股定理得:BQ= = = .
∴MN= BQ= .
∴线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)长为 .
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,(1)求出三角形全
等的条件∠1=∠E 是解题的关键,(2)(i)根据两次三角形相似求出 AP=BF 是解题的
关键,(ii)判断出路径为三角形的中位线是解题的关键.
四、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,)
21.(4 分)(2013•成都)已知点(3,5)在直线 y=ax+b(a,b 为常数,且 a≠0)上,则
的值为 ﹣ .
考点:一次函数图象上点的坐标特征
分析:将点(3,5)代入直线解析式,可得出 b﹣5 的值,继而代入可得出答案.
解答:解:∵点(3,5)在直线 y=ax+b 上,
∴5=3a+b,
∴b﹣5=﹣3a,
则 = = .
故答案为:﹣ .
点评:本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,注意直线上点的坐标满足直线解析式.
22.(4 分)(2013•成都)若正整数 n 使得在计算 n+(n+1)+(n+2)的过程中,各数位均
不产生进位现象,则称 n 为“本位数”.例如 2 和 30 是“本位数”,而 5 和 91 不是“本位数”.现
从所有大于 0 且小于 100 的“本位数”中,随机抽取一个数,抽到偶数的概率为 .
考点:概率公式
专题:新定义.
分析:先确定出所有大于 0 且小于 100 的“本位数”,再根据概率公式计算即可得解.
解答:解:所有大于 0 且小于 100 的“本位数”有:1、2、10、11、12、20、21、22、30、
31、32,
共有 11 个,7 个偶数,4 个奇数,
所以,P(抽到偶数)= .
故答案为: .
点评:本题考查了概率公式,根据定义确定出所有的本位数是解题的关键.
23.(4 分)(2013•成都)若关于 t 的不等式组 ,恰有三个整数解,则关于 x 的一
次函数 的图象与反比例函数 的图象的公共点的个数为 1 或 0 .
考点:反比例函数与一次函数的交点问题;一元一次不等式组的整数解.3718684
分析:根据不等式组 恰有三个整数解,可得出 a 的取值范围;联立一次函数及反
比例函数解析式,利用二次函数的性质判断其判别式的值的情况,从而确定交点的个
数.
解答:解:不等式组的解为:a≤t≤ ,
∵不等式组恰有 3 个整数解,
∴﹣2<a≤﹣1.
联立方程组 ,
得: x2﹣ax﹣3a﹣2=0,
△=a2+3a+2=(a+ )2﹣ =(a+1)(a+2)
这是一个二次函数,开口向上,与 x 轴交点为(﹣2,0)和(﹣1,0),对称轴为直
线 a=﹣ ,
其图象如下图所示:
由图象可见:
当 a=﹣1 时,△=0,此时一元二次方程有两个相等的根,即一次函数与反比例函数有
一个交点;
当﹣2<a<﹣1 时,△=0,此时一元二次方程无实数根,即一次函数与反比例函数没
有交点.
∴交点的个数为:1 或 0.
故答案为:1 或 0.
点评:本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数、解不等式、一元二次方程等知识点,
有一定的难度.多个知识点的综合运用,是解决本题的关键.
24.(4 分)(2013•成都)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx(k 为常数)与抛物线 y=
x2﹣2 交于 A,B 两点,且 A 点在 y 轴左侧,P 点的坐标为(0,﹣4),连接 PA,PB.有以
下说法:
①PO2=PA•PB;
②当 k>0 时,(PA+AO)(PB﹣BO)的值随 k 的增大而增大;
③当 k= 时,BP2=BO•BA;
④△PAB 面积的最小值为 .
其中正确的是 ③④ .(写出所有正确说法的序号)
考点:二次函数综合题
分析:首先得到两个基本结论:
(I)设 A(m,km),B(n,kn),联立两个解析式,由根与系数关系得到:
m+n=3k,mn=﹣6;
(II)直线 PA、PB 关于 y 轴对称.
利用以上结论,解决本题:
(1)说法①错误.如答图 1,设点 A 关于 y 轴的对称点为 A′,若结论①成立,则
可以证明△POA′∽△PBO,得到∠AOP=∠PBO.而∠AOP 是△PBO 的外角,∠AOP>∠PBO,
由此产生矛盾,故说法①错误;
(2)说法②错误.如答图 2,可求得(PA+AO)(PB﹣BO)=16 为定值,故错误;
(3)说法③正确.联立方程组,求得点 A、B 坐标,进而求得 BP、BO、BA,验证
等式 BP2=BO•BA 成立,故正确;
(4)说法④正确.由根与系数关系得到:S△PAB=2 ,当 k=0 时,取得最小
值为 ,故正确.
解答:解:设 A(m,km),B(n,kn),其中 m<0,n>0.
联立 y= x2﹣2 与 y=kx 得: x2﹣2=kx,即 x2﹣3kx﹣6=0,
∴m+n=3k,mn=﹣6.
设直线 PA 的解析式为 y=ax+b,将 P(0,﹣4),A(m,km)代入得:
,解得 a= ,b=﹣4,
∴y=( )x﹣4.
令 y=0,得 x= ,
∴直线 PA 与 x 轴的交点坐标为( ,0).
同理可得,直线 PB 的解析式为 y=( )x﹣4,直线 PB 与 x 轴交点坐标为
( ,0).
∵ + = = =0,
∴直线 PA、PA 与 x 轴的交点关于 y 轴对称,即直线 PA、PA 关于 y 轴对称.
(1)说法①错误.理由如下:
如答图 1 所示,∵PA、PB 关于 y 轴对称,
∴点 A 关于 y 轴的对称点 A′落在 PB 上.
连接 OA′,则 OA=OA′,∠POA=∠POA′.
假设结论:PO2=PA•PB 成立,即 PO2=PA′•PB,
∴ ,
又∵∠BOP=∠BOP,
∴△POA′∽△PBO,
∴∠POA′=∠PBO,
∴∠AOP=∠PBO.
而∠AOP 是△PBO 的外角,
∴∠AOP>∠PBO,矛盾,
∴说法①错误.
(2)说法②错误.理由如下:
易知: =﹣ ,
∴OB=﹣ OA.
由对称可知,PO 为△APB 的角平分线,
∴ ,
∴PB=﹣ PA.
∴(PA+AO)(PB﹣BO)=(PA+AO)[﹣ PA﹣(﹣ OA)]=﹣ (PA+AO)
(PA﹣OA)=﹣ (PA2﹣AO2).
如答图 2 所示,过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D,则 OD=﹣km,PD=4+km.
∴PA2﹣AO2=(PD2+AD2)﹣(OD2+AD2)=PD2﹣OD2=(4+km)2﹣(﹣km)
2=8km+16,
∵m+n=3k,∴k= (m+n),
∴PA2﹣AO2=8• (m+n)•m+16= m2+ mn+16= m2+ ×(﹣6)+16= m2.
∴(PA+AO)(PB﹣BO)=﹣ (PA2﹣AO2)=﹣ • m2=﹣ mn=﹣ ×(﹣6)=16.
即:(PA+AO)(PB﹣BO)为定值,所以说法②错误.
(3)说法③正确.理由如下:
当 k= 时,联立方程组: ,得 A( ,2),B( ,﹣1),
∴BP2=12,BO•BA=2×6=12,
∴BP2=BO•BA,故说法③正确.
(4)说法④正确.理由如下:
S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP•(﹣m)+ OP•n= OP•(n﹣m)=2(n﹣m)=2
=2 ,
∴当 k=0 时,△PAB 面积有最小值,最小值为 = .
故说法④正确.
综上所述,正确的说法是:③④.
故答案为:③④.
点评:本题是代数几何综合题,难度很大.解答中首先得到两个基本结论,其中 PA、PB 的
对称性是判定说法①的基本依据,根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依
据.正确解决本题的关键是打好数学基础,将平时所学知识融会贯通、灵活运用.
25.(4 分)(2013•成都)如图,A,B,C 为⊙O 上相邻的三个 n 等分点, = ,点 E 在
上,EF 为⊙O 的直径,将⊙O 沿 EF 折叠,使点 A 与 A′重合,点 B 与 B′重合,连接
EB′,EC,EA′.设 EB′=b,EC=c,EA′=p.现探究 b,c,p 三者的数量关系:发现当 n=3
时,p=b+c.请继续探究 b,c,p 三者的数量关系:当 n=4 时,p= c+ b ;当 n=12 时,
p= c+ b .
(参考数据: , )
考点:圆的综合题
分析:如解答图所示,作辅助线,构造相似三角形.首先,在 AE 上取一点 D,使 ED=EC,
连接 CD,则△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形,所以△ABC∽△CED,得
到 ;其次,证明△ACD∽△BCE,得到 ;由 EA=ED+DA,整理得到 p
的通项公式为:p=c+2cos •b.将 n=4,n=12 代入,即可求得答案.
解答:解:如解答图所示,连接 AB、AC、BC.
由题意,点 A、B、C 为圆上的 n 等分点,
∴AB=BC,∠ACB= × = (度).
在等腰△ABC 中,过顶点 B 作 BN⊥AC 于点 N,
则 AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos •BC,
∴ =2cos .
连接 AE、BE,在 AE 上取一点 D,使 ED=EC,连接 CD.
∵∠ABC=∠CED,
∴△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形,
∴△ABC∽△CED.
∴ ,∠ACB=∠DCE.
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD,∠DCE=∠BCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD 与△BCE 中,
∵ ,∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE.
∴ ,
∴DA= •EB=2cos •EB.
∴EA=ED+DA=EC+2cos •EB.
由折叠性质可知,p=EA′=EA,b=EB′=EB,c=EC.
∴p=c+2cos •b.
当 n=4 时,p=c+2cos45°•b=c+ b;
当 n=12 时,p=c+2cos15°•b=c+ b.
故答案为:c+ b,c+ b.
点评:本题是几何综合题,难度很大.解决本题,需要综合运用圆、相似三角形、等腰三角
形、三角函数、折叠性质等多个知识点,对几何综合能力要求很高.本题解答过程中,
求得 p 的通项公式:p=c+2cos •b,这样的结果更具普遍性;也可以按照题中要求,
对于 4 等分或 12 等分的情况分别求解.
四、解答题(本小题共三个小题,共 30 分.答案写在答题卡上)
26.(8 分)(2013•成都)某物体从 P 点运动到 Q 点所用时间为 7 秒,其运动速度 v(米每
秒)关于时间 t(秒)的函数关系如图所示.某学习小组经过探究发现:该物体前进 3 秒运
动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积.由物理学知识还可知:该物体前 n(3<n≤7)
秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和.
根据以上信息,完成下列问题:
(1)当 3<n≤7 时,用含 t 的式子表示 v;
(2)分别求该物体在 0≤t≤3 和 3<n≤7 时,运动的路程 s(米)关于时间 t(秒)的函数关系
式;并求该物体从 P 点运动到 Q 总路程的 时所用的时间.
考点:一次函数的应用
分析:(1)设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,运用待定系数法就可以求出 t 与 v 的关系式;
(2)由路程=速度×时间,就可以表示出物体在 0≤t≤3 和 3<n≤7 时,运动的路程 s(米)
关于时间 t(秒)的函数关系式,根据物体前 n(3<n≤7)秒运动的路程在数值上等于
矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和求出总路程,然后将其 代入解析式就
可以求出 t 值.
解答:解:(1)设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,由题意,得
,
解得:
∴v=2t﹣4;
(2)由题意,得
S= ,
∴P 点运动到 Q 点的路程为:2×3+(2+10)×(7﹣3)× =30,
∴30× =21,
∴3×2+(t﹣3)(2+2t﹣4)÷2=21,
解得:t1=﹣2(舍去),t2=6.
∴该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 时所用的时间为 6 秒.
点评:本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用,分段函数的求法的运用,路程与
速度时间之间的关系的运用,解答时求出 P 点运动到 Q 点的路程是解答本题的关
键.
27.(10 分)(2013•成都)如图,⊙O 的半径 r=25,四边形 ABCD 内接圆⊙O,AC⊥BD 于
点 H,P 为 CA 延长线上的一点,且∠PDA=∠ABD.
(1)试判断 PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 tan∠ADB= ,PA= AH,求 BD 的长;
(3)在(2)的条件下,求四边形 ABCD 的面积.
考点:圆的综合题
分析:(1)首先连接 DO 并延长交圆于点 E,连接 AE,由 DE 是直径,可得∠DAE 的度数,
又由∠PDA=∠ABD=∠E,可证得 PD⊥DO,即可得 PD 与圆 O 相切于点 D;
(2)首先由 tan∠ADB= ,可设 AH=3k,则 DH=4k,又由 PA= AH,易求得
∠P=30°,∠PDH=60°,连接 BE,则∠DBE=90°,DE=2r=50,可得
BD=DE•cos30°= ;
(3)由(2)易得 HC= ( ﹣4k),又由 PD2=PA×PC,可得方程:(8k)2=(4
﹣3)k×[4 k+ (25 ﹣4k)],解此方程即可求得 AC 的长,继而求得四边形
ABCD 的面积.
解答:解:(1)PD 与圆 O 相切.
理由:如图,连接 DO 并延长交圆于点 E,连接 AE,
∵DE 是直径,
∴∠DAE=90°,
∴∠E+∠ADE=90°,
∵∠PDA=∠ABD=∠E,
∴∠PDA+∠ADE=90°,
即 PD⊥DO,
∴PD 与圆 O 相切于点 D;
(2)∵tan∠ADB=
∴可设 AH=3k,则 DH=4k,
∵PA= AH,
∴PA=(4 ﹣3)k,
∴PH=4 k,
∴在 Rt△PDH 中,tan∠P= = ,
∴∠P=30°,∠PDH=60°,
∵PD⊥DO,
∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°,
连接 BE,则∠DBE=90°,DE=2r=50,
∴BD=DE•cos30°= ;
(3)由(2)知,BH= ﹣4k,
∴HC= ( ﹣4k),
又∵PD2=PA×PC,
∴(8k)2=(4 ﹣3)k×[4 k+ (25 ﹣4k)],
解得:k=4 ﹣3,
∴AC=3k+ (25 ﹣4k)=24 +7,
∴S 四边形 ABCD= BD•AC= ×25 ×(24 +7)=900+ .
点评:此题考查了切线的性质与判定、三角函数的性质以及切割线定理等知识.此题难度较
大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
28.(12 分)(2013•成都)在平面直角坐标系中,已知抛物线 y= x2+bx+c(b,c 为常数)
的顶点为 P,等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0,﹣1),C 的坐标为(4,3),直
角顶点 B 在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过 A,B 两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点 P 在直线 AC 上滑动,且与 AC 交于另一点 Q.
(i)若点 M 在直线 AC 下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以 M、P、Q 三点为
顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点 M 的坐标;
(ii)取 BC 的中点 N,连接 NP,BQ.试探究 是否存在最大值?若存在,求出该最
大值;若不存在,请说明理由.
考点:二次函数综合题
分析:(1)先求出点 B 的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式;
(2)i)首先求出直线 AC 的解析式和线段 PQ 的长度,作为后续计算的基础.
若△MPQ 为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况:
①当 PQ 为直角边时:点 M 到 PQ 的距离为 .此时,将直线 AC 向右平移 4 个
单位后所得直线(y=x﹣5)与抛物线的交点,即为所求之 M 点;
②当 PQ 为斜边时:点 M 到 PQ 的距离为 .此时,将直线 AC 向右平移 2 个单位
后所得直线(y=x﹣3)与抛物线的交点,即为所求之 M 点.
ii)由(i)可知,PQ= 为定值,因此当 NP+BQ 取最小值时, 有最大值.
如答图 2 所示,作点 B 关于直线 AC 的对称点 B′,由分析可知,当 B′、Q、F(AB 中
点)三点共线时,NP+BQ 最小,最小值为线段 B′F 的长度.
解答:解:(1)由题意,得点 B 的坐标为(4,﹣1).
∵抛物线过 A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点,
∴ ,解得:b=2,c=﹣1,
∴抛物线的函数表达式为:y= x2+2x﹣1.
(2)i)∵A(0,﹣1),C(4,3),
∴直线 AC 的解析式为:y=x﹣1.
设平移前抛物线的顶点为 P0,则由(1)可得 P0 的坐标为(2,1),且 P0 在直线 AC
上.
∵点 P 在直线 AC 上滑动,∴可设 P 的坐标为(m,m﹣1),
则平移后抛物线的函数表达式为:y= (x﹣m)2+m﹣1.
解方程组: ,
解得 ,
∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3).
过点 P 作 PE∥x 轴,过点 Q 作 QE∥y 轴,则
PE=m﹣(m﹣2)=2,QE=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2.
∴PQ= =AP0.
若△MPQ 为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况:
①当 PQ 为直角边时:点 M 到 PQ 的距离为 (即为 PQ 的长).
由 A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知,
△ABP0 为等腰直角三角形,且 BP0⊥AC,BP0= .
如答图 1,过点 B 作直线 l1∥AC,交抛物线 y= x2+2x﹣1 于点 M,则 M 为符合条
件的点.
∴可设直线 l1 的解析式为:y=x+b1,
∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得 b1=﹣5,
∴直线 l1 的解析式为:y=x﹣5.
解方程组 ,得: ,
∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7).
②当 PQ 为斜边时:MP=MQ=2,可求得点 M 到 PQ 的距离为 .
如答图 1,取 AB 的中点 F,则点 F 的坐标为(2,﹣1).
由 A(0,﹣1),F(2,﹣1),P0(2,1)可知:
△AFP0 为等腰直角三角形,且点 F 到直线 AC 的距离为 .
过点 F 作直线 l2∥AC,交抛物线 y= x2+2x﹣1 于点 M,则 M 为符合条件的点.
∴可设直线 l2 的解析式为:y=x+b2,
∵F(2,﹣1),∴﹣1=2+b2,解得 b1=﹣3,
∴直线 l2 的解析式为:y=x﹣3.
解方程组 ,得: ,
∴M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,﹣2﹣ ).
综上所述,所有符合条件的点 M 的坐标为:
M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,
﹣2﹣ ).
ii) 存在最大值.理由如下:
由 i)知 PQ= 为定值,则当 NP+BQ 取最小值时, 有最大值.
如答图 2,取点 B 关于 AC 的对称点 B′,易得点 B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q.
连接 QF,FN,QB′,易得 FN∥PQ,且 FN=PQ,
∴四边形 PQFN 为平行四边形.
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′= = .
∴当 B′、Q、F 三点共线时,NP+BQ 最小,最小值为 .
∴ 的最大值为 = .
点评:本题为二次函数中考压轴题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、
几何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等
知识点,考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,试题难度较大.
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