初三数学上册基础知识讲解练习 因式分解法求解一元二次方程 2页

因式分解法求解一元二次方程 【知识点总结】 一、分解因式法 对于一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)来说，若其左端能够分解因式，得(a1x+b1)(a2x+b2)=0，必 有 a1x+b1=0 或 a2x+b2=0，进而求得方程的解，这种方法就是分解因式法． 1．分解因式法是解一元二次方程经常选用的一种方法，其基本思想是转化(将一元二次方程转化为两个一 元一次方程)．其基本方法是降次(将二次式转化为两个一次因式的积)． 2．分解因式法的理论依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个等于 0，反过来，如果 两个因式有一个等于 0，那么它们的积就等于 0． 3．其一般步骤为：(1)将方程化为右边为 0 的形式；(2)将方程的左边分解成两个一次因式的乘积；(3)令每 个因式分别为 0，得到两个一元一次方程；(4)分别解一元一次方程可得原方程的解． 规律方法小结 [来源:学科网 ZXXK] (1)一元二次方程的解法的选择顺序：先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和分解因式法，不能 用这两种方法时，再用公式法，没有特殊要求时，一般不用配方法，因为用配方法解方程比较烦琐． (2)对形如(x+a)2=b(b≥0)的关于 x 的方程，应选用直接开平方法． (3)对于右边是 0 且左边易于分解因式的方程，应选用分解因式法． (4)用公式法解一元二次方程时，要先求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0 时，方程有实数根；当 b2－4ac＜0 时，方程没有实数根． 【例题精讲】 1、用分解因式法解下列方程． (1)x2+x－2=0； (2)49(x－3)2=16(x+6)2； (3)(x－1)2－2(x2－1)=0； ( 4)(x－3)(x+1)=5． 分析 本题主要考查应用分解因式法解方程． 解：(1)原方程变形为(x+2)(x－1)=0， 所以 x+2=0 或 x－1=0，所以 x1=－2，x2=1． (2)原方程变形为 49(x－3)2－16(x+6)2=0，即[7(x－3)]2－[4(x+6)]2=0， 所以(7x－21+4x+24)(7x－21－4x－24)=0， 所以 11x+3=0 或 3x－45=0，所以 x1= 11 3 ，x2=15． (3)原方程变形为(x－1)2－2(x+1)(x－1)=0，(x－1)(x－1－2x－2)=0， 所以 x－1=0或－x－3=0，所以 x1=1，x2=－3． (4)原方程变形为(x－3)(x+1)－5=0， 即 x2－2x－8=0，所以(x－4)(x+2)=0，[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 所以 x－4=0 或 x+2=0，所以 x1=4，x2=－2． 【解题策略】 用分解因式法解一元二次方程，必须先将方程的右边化成 0(如(4)就不能直接求解)，然后将 左边用分解因式的几种方法(如提公因式法、十字相乘法、公式法等)分解为两个一次因式积的形式． 2、已知最简二次根式 xx 2 与 82 x 是同类二次根式，求 x 的值． 分析 若几个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相同． 解：∵ 与 是同类二次根式， ∴x2－x=x+8，即 x2－2x－8=0．∴(x－4)(x+2)=0． ∴x1=4，x2=－2． 当 x=4 时， 122  xx 不是最简二次根式；当 x=－2 时，符合题意， ∴x=－2． 3、一元二次方程 5x2－2x=0 的解是 ( ) A．x1=0, x2= 5 2 B．x1=0, x2= 2 5 C．x1=0，x2= 2 5 D．x1=0，x2= 5 2 [来源:学_科_网 Z_X_X_K][来源:Z.xx.k.Com] 分析 由 5x2－2x=0，得 x(5x－2)=0，所以 x=0 或 x= ，即 x1=0，x2= ．故选 A． 解法 1：(x－3)2+4x(x－3)=0，(x－3)(x－3+4x)=0， (x－3)(5x－3)=0，∴x－3=0 或 5x－3=0． ∴x1=3，x2= 5 3 ． 4、解方程(x－3)2+4x(x－3)=0． 分析 方程(x－3)2+4x(x－3)=0 的右边是 0，左边含有公因式(x－3)，可用分解因式法解这个一元二次方程． 解法 2：x2－6x+9+4x2－12x=0，5x2－18x+9=0， ∴ 10 1218 52 954)18(18 2  x ， 即 x1=3，x2= 5 3 ． 【解题策略】 解方程时，应根据方程的特点，选择适当的方法，缺少一次项或常数项，及含有相同一次 因式时，常用分解因式法．[来源:学§科§网]