2013年潍坊市初中学业水平考试数学试题（解析版） 10页

‎2013年潍坊市初中学业水平考试数学试题 一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分.）‎ ‎1.实数0.5的算术平方根等于（ ）.‎ A.2 B. C. D.‎ 答案：C．‎ 考点：算术平方根。‎ 点评：理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.‎ ‎2.下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ 答案：A．‎ 考点：轴对称图形与中心对称图形的特征。‎ 点评：此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，二者既有联系又有区别。．‎ ‎3.2012年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标.其中在促进义务教育均衡发展方面，安排义务教育教育经费保障教育机制改革资金达865.4亿元.数据“865.4亿元”用科学记数法可表示为（ ）元.‎ A. B. C. D.‎ 答案：C．‎ 考点: 科学记数法的表示。‎ 点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎4.如图是常用的一种圆顶螺杆，它的俯视图正确的是（ ）.‎ 答案：B. ‎ 考点:根据实物原型画出三视图。‎ 点评:本题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图．‎ ‎5.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）.‎ A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数 答案：D．‎ 考点:统计量数的含义.‎ 点评:本题要求学生结合具体情境辨析不同的集中量数各自的意义和作用,从而选择恰当的统计量为给定的题意提供所需的集中量数,进而为现实问题的解决提供理论支撑.与单纯考查统计量数的计算相比较,这样更能考查出学生对统计量数的意义的认识程度.‎ ‎6.设点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜时，＜，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）.‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：A．‎ 考点:反比例函数的性质与一次函数的位置.‎ 点评：由反比例函数y随x增大而增大，可知k＜0，而一次函数在k＜0，b＜0时，经过二三四象限，从而可得答案.‎ ‎7.用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（ ）.‎ 答案：C．‎ 考点:变量间的关系，函数及其图象.‎ 点评：容器上粗下细，杯子里水面的高度上升应是先快后慢。‎ ‎8.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 答案：D．‎ 考点:垂径定理与勾股定理.‎ 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.‎ ‎9.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）.‎ A.海里/小时 B. 30海里/小时 ‎ C.海里/小时 D.海里/小时 答案：D．‎ 考点:方向角，直角三角形的判定和勾股定理.‎ 点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键.‎ ‎10.已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）.‎ A.当时，方程无解 B.当时，方程有一个实数解 C.当时，方程有两个相等的实数解 D.当时，方程总有两个不相等的实数解 答案：C．‎ 考点:分类思想，一元一次方程与一元二次方程根的情况.‎ 点评：对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯一解，而一元二次方程根的情况由根的判别式确定.‎ ‎11.为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析.结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为，不吸烟者患肺癌的人数为，根据题意，下面列出的方程组正确的是（ ）.‎ A. B.‎ C. D.21世纪教育网 答案B．‎ 考点:二元一次方程组的应用.‎ 点评：弄清题意，找出相等关系是解决本题的关键.‎ ‎12.对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值可以是（ ）.‎ A.40 B‎.45 C.51 D.56‎ 答案：C．‎ 考点:新定义问题.‎ 点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力.‎ 二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）‎ ‎13.方程的根是_________________. [来源:21世纪教育网]‎ 答案：x=0‎ 考点:分式方程与一元二次方程的解法.‎ 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎14.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）‎ 答案：OA=OC或AD=BC或AD//BC或AB=BC等 考点：菱形的判别方法.‎ 点评：此题属于开放题型，答案不唯一.主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．‎ ‎15.分解因式：_________________.‎ 答案：(a-1)(a+4)‎ 考点：因式分解-十字相乘法等．‎ 点评：本题主要考查了整式的因式分解，在解题时要注意因式分解的方法和公式的应用是本题的关键．‎ ‎16.一次函数中，当时，＜1；当时，＞0则的取值范围是____.‎ 答案：-2﹤b﹤3‎ 考点：一次函数与不等式的关系和不等式组的解法.‎ 点评：把和代入，然后根据题意再列出不等式组是解决问题的关键.‎ ‎17.当白色小正方形个数等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用表示，是正整数）‎ 答案：n2+4n 考点：本题是一道规律探索题，考查了学生分析探索规律的能力．‎ 点评：解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律，最后含有的代数式进行表示．‎ ‎18.如图，直角三角形中，，， ，在线段上取一点，作交于点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若∽，则=__________.‎ 答案：3.2‎ 解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC= AB2-BC2 = 102-62 =8，设AD=2x，‎ ‎∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，‎ ‎∴AE=DE=DE1=A1E1=x，‎ ‎∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC =DF：BC ，‎ 即2x：8 =DF：6 ，解得DF=1.5x，‎ 在Rt△DE1F中，E1F2= DF2+DE12 = 3.25 x 2 ，‎ 又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F:A1E1 =BE1 :E1F ，∴E1F2=A1E1•BE1，‎ 即3.25x2=x（10-3x），解得x=1.6 ，∴AD的长为2×1.6 =3.2．‎ 考点：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换，折叠 ‎，勾股定理，相似三角形的对应边成比例.‎ 点评：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19.（本题满分10分）‎ 如图，四边形是平行四边形，以对角线为直径作⊙，分别于、相交于点、.‎ ‎（1）求证四边形为矩形.‎ ‎（2）若试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由.‎ 答案：‎ 考点：平行四边形的性质，矩形的判定，，相似三角形的判定，直径对的圆周角是直角，圆的切线的判定等知识的综合运用.‎ 点评：关键是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圆的切线的判定方法.‎ ‎20.（本题满分10分）‎ 为增强市民的节能意识，我市试行阶梯电价.从2013年开始，按照每户每年的用电量分三个档次计费，具体规定见右图.小明统计了自己2013年前5个月的实际用电量为1300度，请帮助小明分析下面问题.‎ ‎（1）若小明家计划2013年全年的用电量不超过2520 度，则6至12月份小明家平均每月用电量最多为多少度？（保留整数）‎ ‎（2）若小明家2013年6月至12月份平均每月用电量等于前5个月的平均每月用电量，则小明家2013年应交总电费多少元？[来源:21世纪教育网]‎ 答案：（1）设小明家6月至12月份平均每月用电量为x度，根据题意的：‎ ‎1300+7x≤2520,解得x≤≈174.3‎ 所以小明家6至12月份平均每月用电量最多为174度.‎ ‎（2）小明家前5个月平均每月用电量为1300÷5=260（度）.‎ 全年用电量为260×12=3120（度）.‎ 因为2520﹤3120﹤4800.‎ 所以总电费为2520×0.55+（3120-2520）×0.6=1386+360=1746（元）.‎ 所以小明家2013年应交总电费为1746元.‎ 考点：不等式的应用与分段计费问题 点评：根据题意弄清关系，列出不等式，求出整数解是解第一小题的关键．解决第二小题则需要找出正确的计量电费的档位，分段算出全年应缴总电费.‎ ‎21.（本题满分10分）‎ 随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻.某部门对15个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所示：‎ ‎（1）根据上班花费时间，将下面的频数分布直方图补充完整；‎ ‎（2）求15个城市的平均上班堵车时间（计算结果保留一位小数）；‎ ‎（3）规定： ，比如：北京的堵车率==36.8%；沈阳的堵车率==54.5%.某人欲从北京、沈阳、上海、温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率.‎ 答案：（1）补全的统计图如图所示 ‎（2）平均上班堵车时间=（14+12×4+11×2+7×2+6×2+5×3+0）÷15≈8.3（分钟）.‎ ‎（3）上海的堵车率=11÷（47-11）=30.6％，温州的堵车率=5÷（25-5）=25％，‎ 堵车率超过30%的城市有北京、沈阳和上海.‎ 从四个城市中选两个的方法共有6种（北京，沈阳），（北京，上海），（北京，温州），（沈阳，上海），（沈阳，温州），（上海，温州）. ‎ 其中两个城市堵车率均超过30%的情况有3种：（北京，沈阳），（北京，上海），（沈阳，上海）‎ 所以选取的两个城市堵车率都超过30%的概率.‎ 考点：频数分布表、频数分布直方图、平均数、概率.‎ 点评：从统计图表得到正确信息是解题关键，第三问先确定堵车率超过30﹪的城市，再根据概率的意义，用列表或树形图表示出所有可能出现的结果，找出关注的结果，从而求出它的概率．‎ ‎22.（本题满分11分）‎ 如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为.‎ ‎（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；‎ ‎（2）如图2，为的中点，且0°＜＜90°，求证：；‎ ‎（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.‎ 答案：(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα=,∴α=30‎ ‎°‎ ‎(2) ∵G为BC中点，∴GC=CE′=CE=1，‎ ‎∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,‎ ‎∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D ‎(3) 能. α=135°或α=315°‎ 考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定 点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力．‎ ‎23.（本题满分12分）‎ 为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△内修建矩形水池，使顶点在斜边上，分别在直角边上；又分别以为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中，.设米，米.‎ ‎（1）求与之间的函数解析式；‎ ‎（2）当为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当为何值时，矩形的面积等于两弯新月面积的？‎ 答案：（1）在Rt△ABC中，由题意得AC=米，BC=36米，∠ABC=30°,‎ 所以 又AD+DE+BE=AB,‎ 所以（0＜x＜8）.‎ ‎(2)矩形DEFG的面积 所以当x=9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为平方米.‎ ‎（3）记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则 由AC2+BC2=AB2可知S1+S2=S3，∴S1+S2-S=S3-S△ABC ,故S=S△ABC ‎ 所以两弯新月的面积S=(平方米)‎ 由， 即,解得，符合题意，‎ 所以当米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的.‎ 考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。‎ 点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答．‎ ‎24.（本题满分13分）‎ 如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线平分四边形的面积，求的值.‎ ‎（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.‎ 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),‎ 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,‎ 又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.‎ ‎（2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,‎ 令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()，‎ 令kx-2=0，得l与x轴的交点E()，‎ 根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,‎ 即：‎ ‎（3）由（1）知 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,‎ 所以,………………(1)‎ 不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，‎ 则（1）式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, ‎ 所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2)‎ 把y=kx-2(k≠0)代入中，整理得x2+2kx-4=0,‎ 所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，‎ 故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.‎ 考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.‎ 点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。‎