北师大版九年级数学上册期中测试卷（共3套含解析） 55页

北师九年级（上）期中数学试卷1‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）‎ A．四条边都相等 B．对角线一定相等 ‎ C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 ‎2．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）‎ A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC ‎3．解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（　　）‎ A．（x+4）2=11 B．（x﹣4）2=11 C．（x+4）2=21 D．（x﹣4）2=21‎ ‎4．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）‎ A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定 ‎5．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（　　）‎ A．10 B．14 C．16 D．40‎ ‎6．已知=，那么下列等式中一定正确的是（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0‎ ‎11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（　　）‎ A．2 B．4 C．4 D．8‎ ‎12．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2‎ 个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　　．‎ ‎14．下列各组的两个图形：‎ ‎①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．‎ 其中一定相似的是　　（只填序号）‎ ‎15．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为　　米．‎ ‎16．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是　　．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．‎ ‎（1）若此方程的一个根为1，求m的值；‎ ‎（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．‎ ‎18．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．‎ ‎19．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．‎ ‎（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？‎ ‎（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是　　；‎ ‎（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．‎ ‎20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．‎ ‎（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．‎ ‎（2）连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．‎ ‎【考点】矩形的性质． ‎ ‎【专题】矩形 菱形 正方形．‎ ‎【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；‎ ‎（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．‎ ‎（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；‎ ‎（2）求∠ABD的度数．‎ ‎22．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．‎ ‎（1）求该种商品每次降价的百分率；‎ ‎（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？‎ ‎　‎ 参考答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）‎ A．四条边都相等 B．对角线一定相等 ‎ C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 ‎【考点】菱形的性质． ‎ ‎【分析】根据菱形的性质即可判断；‎ ‎【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．‎ ‎2．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）‎ A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC ‎【考点】L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定．菁优网版权所有 ‎【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．‎ ‎【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；‎ B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；‎ C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；‎ D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．‎ ‎3．（2017•郑州一模）解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（　　）‎ A．（x+4）2=11 B．（x﹣4）2=11 C．（x+4）2=21 D．（x﹣4）2=21‎ ‎【考点】配方法． ‎ ‎【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣8x=5，‎ ‎∴x2﹣8x+16=5+16，即（x﹣4）2=21，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）‎ A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定 ‎【考点】一元二次方程的解． ‎ ‎【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．‎ ‎【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，‎ ‎∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，‎ 则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）‎ ‎=a2x02+2ax0+1﹣1+ac ‎=a（ax02+2x0）+ac ‎=﹣ac+ac ‎=0，‎ ‎∴M=N，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（　　）‎ A．10 B．14 C．16 D．40‎ ‎【考点】利用频率估计概率． ‎ ‎【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．‎ ‎【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，‎ ‎∴=0.4，‎ 解得：n=10．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．已知=，那么下列等式中一定正确的是（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎【考点】比例的性质． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用比例的性质由=得2x=3y，然后再根据比例的性质变形四个比例式，若结果为2x=3y可判断其正确；否则判断其错误．‎ ‎【解答】解：A、3x•2=9y，则2x=3y，所以A选项正确；‎ B、5（x+3）=6（y+3），则5x﹣6y=3，所以B选项错误；‎ C、2y（x﹣3）=3x（y﹣2），则xy﹣6x+6y=0，所以C选项错误；‎ D、2（x+y）=5x，则3x=2y，所以D选项错误．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．‎ ‎7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平行线分线段成比例． ‎ ‎【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．‎ ‎　‎ ‎8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相似三角形的性质． ‎ ‎【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．‎ ‎【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，‎ ‎∴△ABC与△DEF对应中线的比为，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．‎ ‎　‎ ‎9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式． ‎ ‎【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=4﹣4（kb+1）＞0，‎ 解得kb＜0，‎ A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；‎ B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；‎ C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；‎ D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎10．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式． ‎ ‎【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程 ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，‎ ‎∴ac＜0．‎ 在方程ax2+bx+c=0中，‎ ‎△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，‎ ‎∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．‎ ‎11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（　　）‎ A．2 B．4 C．4 D．8‎ ‎【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质． ‎ ‎【专题】计算题；矩形 菱形 正方形．‎ ‎【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．‎ ‎【解答】解：连接OE，与DC交于点F，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，‎ ‎∵OD∥CE，OC∥DE，‎ ‎∴四边形ODEC为平行四边形，‎ ‎∵OD=OC，‎ ‎∴四边形ODEC为菱形，‎ ‎∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，‎ ‎∵DE∥OA，且DE=OA，‎ ‎∴四边形ADEO为平行四边形，‎ ‎∵AD=2，DE=2，‎ ‎∴OE=2，即OF=EF=，‎ 在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，‎ 则S菱形ODEC=OE•DC=×2×2=2．‎ 故选A ‎【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．‎ ‎12．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列表法与树状图法． ‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，‎ ‎∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的 知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　　．‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式． ‎ ‎【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，‎ 解得：k=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．‎ ‎14．下列各组的两个图形：‎ ‎①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．‎ 其中一定相似的是　③④　（只填序号）‎ ‎【考点】相似多边形的判定． ‎ ‎【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．‎ ‎【解答】解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；‎ ‎②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；‎ ‎③两个等边三角形一定相似；‎ ‎④两个正方形一定相似；‎ ‎⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误，‎ 故答案为：③④．‎ ‎【点评】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要 是判断对应的角和对应的边．‎ ‎15．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为　8　米．‎ ‎【考点】相似三角形的性质． ‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．‎ ‎【解答】解：如图：‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴CD：AB=CE：BE，‎ ‎∴1.6：AB=2：10，‎ ‎∴AB=8米，‎ ‎∴灯杆的高度为8米．‎ 答：灯杆的高度为8米．‎ ‎【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想．‎ ‎16．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是　　．‎ ‎【考点】正方形的性质． ‎ ‎【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，‎ ‎∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，‎ 根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，‎ ‎∴DE=DE′，AE=AE′，‎ ‎∴AD垂直平分EE′，‎ ‎∴EN=NE′，‎ ‎∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，‎ ‎∴AM=EM=EN=AN=1，‎ ‎∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，‎ ‎∴EN=EO=1，AO=+1，‎ ‎∴AB=AO=2+，‎ ‎∴S△AEB=S△AED=S△ADE′=×1×（2+）=1+，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+，‎ ‎∵DF=EF，‎ ‎∴S△EFB=，‎ ‎∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△AEE′=+1，S△DFE′=S△DEE′=，‎ ‎∴S四边形AEFE′=2S△ADE﹣S△DFE′=，‎ ‎∴S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．‎ ‎（1）若此方程的一个根为1，求m的值；‎ ‎（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解． ‎ ‎【分析】（1）直接把x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0求出m的值；‎ ‎（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，‎ 得：1+m+m﹣2=0，‎ 解得：m=；‎ ‎（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，‎ ‎∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎18．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．‎ ‎【考点】相似三角形的性质． ‎ ‎【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵△OBD∽△OAC，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=，解得OA=6，‎ ‎∴AB=OA+OB=4+6=10．‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．‎ ‎（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？‎ ‎（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是　2　；‎ ‎（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．‎ ‎【考点】利用频率估计概率． ‎ ‎【分析】（1）当n=1时，利用概率公式可得到摸到红球和摸到白球的概率都为；‎ ‎（2）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.25，根据概率公式得到=0.25，然后解方程即可；‎ ‎（3）先画树状图展示所有12‎ 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同；‎ ‎（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，‎ 则=0.25，解得n=2，‎ 故答案为2；‎ ‎（3）解：画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的结白色的结果共有2 种，‎ 所以两次摸出的球颜色不同的概率==．‎ ‎【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．‎ ‎20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．‎ ‎（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．‎ ‎（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．‎ ‎【考点】矩形的性质． ‎ ‎【专题】矩形 菱形 正方形．‎ ‎【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；‎ ‎（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；‎ ‎（2）四边形BEDF为菱形，理由为：‎ 证明：∵EF垂直平分BD，‎ ‎∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DEF=∠BFE，‎ ‎∴∠BEF=∠BFE，‎ ‎∴BE=BF，‎ ‎∵BF=DF，‎ ‎∴BE=ED=DF=BF，‎ ‎∴四边形BEDF为菱形．‎ ‎【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．‎ ‎（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；‎ ‎（2）求∠ABD的度数．‎ ‎【考点】相似三角形的判定． ‎ ‎【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD 的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；‎ ‎（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．‎ ‎【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，‎ ‎∴AD=，DC=1﹣=．‎ ‎∴AD2==，AC•CD=1×=．‎ ‎∴AD2=AC•CD．‎ ‎（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，‎ ‎∴BC2=AC•CD，即．‎ 又∵∠C=∠C，‎ ‎∴△BCD∽△ACB．‎ ‎∴，∠DBC=∠A．‎ ‎∴DB=CB=AD．‎ ‎∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．‎ 设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．‎ ‎∵∠A+∠ABC+∠C=180°，‎ ‎∴x+2x+2x=180°．‎ 解得：x=36°．‎ ‎∴∠ABD=36°．‎ ‎【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．‎ ‎22．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．‎ ‎（1）求该种商品每次降价的百分率；‎ ‎（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？‎ ‎【考点】平均增长(降低)率问题(一元二次方程)． ‎ ‎【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；‎ ‎（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，‎ 依题意得：400×（1﹣x%）2=324，‎ 解得：x=10，或x=190（舍去）．‎ 答：该种商品每次降价的百分率为10%．‎ ‎（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，‎ 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；‎ 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．‎ 依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，‎ 解得：m≥22.5．‎ ‎∴m≥23．‎ 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．‎ 北师九年级（上）期中数学试卷2‎ 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.‎ ‎ 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置.考试结束后，只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题（本题共15个小题，每题只有一个正确答案，每小题4分，共60分）‎ ‎1.下列各点在反比例函数y=图象上的是（ ）‎ A(2,-3) B(2,4) C(-2,3) D(2,3)‎ ‎2．右图所示的几何体的俯视图是( )‎ ‎ A B C D ‎3．下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )‎ ‎4.连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是 ( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎6.在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）‎ A．12 B．9 C．4 D．3‎ ‎7.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（ ）‎ A.1 B .2 C.3 D. 4‎ ‎ 第7题 图 第8题 图 第9题图 第10题图 ‎8.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）‎ ‎ A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC B．AB2＝AD•AC D．‎ ‎9．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（　　）‎ A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1‎ ‎10.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）‎ A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)‎ ‎11.已知点A（-2，y1），B（-3，y2）是反比例函y=图象上的两点，则有（ ） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝ y2 D.不能确定 ‎12.函数（）与（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）‎ ‎13.某村耕地总面积为 50 公顷，且该村人均耕地面积 （单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 ‎ B．该村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例 C．若该村人均耕地面积为 2 公顷，则总人口有 100 人 D．当该村总人口为 50 人时，人均耕地面积为 1 公顷 ‎14.（2018·重庆）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C.D，若点C的横坐标为5，BE=3DE.则的值为( ) ‎ ‎ A. B.3 C. D.5‎ A B C D P O M N E F ‎15.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点.其中正确的结论有（ ）‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分）‎ ‎16.若3x=5y，则= ；已知，则= .‎ ‎17.（2018•新疆）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 .‎ ‎18.把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是________cm．（结果保留根号）‎ ‎19.如图所示，一个底面为等边三角形的三棱柱，底面边长为2，高为4，如图放置，则其左视图的面积是 .‎ ‎ 主视图 俯视图 左视图 ‎20.如下图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，实验学校“玩转数学”社团做了如下的探索：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）9米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）的高度为____________米.‎ A B 太 阳 光 线 C D E ‎ ‎ ‎ ‎ 第20题图 第21题图 ‎21．如图，点A为函数y= （x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．‎ ‎22.如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．当t= 秒时△APQ与△ABC相似.‎ 三.解答题 ‎23.（8分）同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为多少米？‎ ‎24.（8分）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖.‎ ‎（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；‎ ‎（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率.‎ ‎25.（8分）如图，在△ABC中, 点D,E分别是AB,AC边上的两点，且AB=8,AC=6,AD=3,AE=4,DE=6,求BC的长.‎ ‎ ‎ ‎26.（12分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．‎ ‎（1）求证：△AEH∽△ABC；‎ ‎（2）求这个正方形的边长与面积.‎ ‎27.（12分）如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点A（1，）.‎ A B O x y C ‎（1）试确定这两个函数的表达式； ‎ ‎（2）求出这两个函数的另一个交点B的坐标，并求出△AOB的面积.‎ ‎（3）直接写出当反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围.‎ ‎28（14分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图象上.‎ (1) 求反比例函数y=的表达式；‎ (2) 在x轴上是否存在一点P，使得SΔAOP=SΔAOB，若存在求点P的坐标；若不存在请说明理由.‎ ‎（3）若将ΔBOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到ΔBDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由.‎ ‎ 备用图 数学试题答案 一选择题 ‎1~5 DBABC 6~10 ABDBA 11~15 AADCB 二填空题 16. ‎ 2 ‎ 17. ‎【解析】用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯； 用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb．所以颜色搭配正确的概率是．‎ 18. ‎（10—10） 注：无括号也不再扣分 19. ‎4‎ 20. ‎6 ‎ 21. ‎6‎ 22. 三解答题 ‎23.解设电线杆高x米，由题意得：‎ ‎= ---------------------------------------------------5分 ‎ X=12 ---------------------------------------------------7分 答：电线高为12米 --------------------------------------------------8分 ‎24.解：（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，‎ 刚好是男生的概率==；---------------------------------------------2分 （2） 画树状图为： ‎ ‎ 开始 ‎---------------5分 共有12种等可能的结果数，------------------------6分 其中刚好是一男生一女生的结果数为6，----------------------------7分 ‎ 所以刚好是一男生一女生的概率==．----------------------8分 ‎25解：∵，-------------------------------1分 ‎， -----------------------------------2分 ‎∴=-------------------------------------3分 ‎∵∠A=∠A，---------------------------------4分 ‎∴△ADE∽△ACB.----------------------------------5分 ‎∴‎ 即--------------------------------------7分 ‎∴BC=12---------------------------------------------8分 ‎26解：（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，‎ ‎∴EH∥BC，-----------------------1分 ‎∴∠AEH=∠B，----------------------2分 ‎∠AHE=∠C，-----------------------3分 ‎∴△AEH∽△ABC．-------------------4分 ‎（2）解：如图设AD与EH交于点M．-----------------------5分 ‎∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，‎ ‎∴四边形EFDM是矩形，‎ ‎∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，-------------------6分 ‎∵△AEH∽△ABC，‎ ‎∴=，-------------------------------------------8分 ‎∴=，-------------------------------------10分 ‎∴x=，-----------------------------------------11分 ‎∴正方形EFGH的边长为cm，‎ 面积为cm2．------------------------12分 ‎27题（1）∵点A（1，）在反比例函数的图象上 ‎∴‎ 解得----------------------------------------------------1分 ‎∴A（1，2）‎ ‎∵点A（1，2）在一次函数的图象上 ‎∴解得-----------------------------------------2分 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为-------4分 ‎（2）解方程组得或 ‎∵点B在第三象限 ∴点B坐标为（，）-----------------6分 ‎∵，当时∴点C坐标为（，）------------7分 ‎ ‎∴S△AOB=-----------------------------10分 ‎（3）x<- 2或0