中考数学复习：圆中的有关计算与证明课件-49张 49页

圆中的有关计算与证明 类型一　圆中求弧长、面积 ( 2017,22/2014,20/2013,24 ) 例 1 [2019· 邵阳改编 ] 在等腰三角形 ABC 中 , ∠ BAC =120°, AD 是∠ BAC 的平分线 , 且 AD =6 . (1) 求 BC 的长 ; (2) 如图 Z5-1, 以点 D 为圆心的半圆与两腰 AB , AC 分别切于 M , N 两点 , 求弧 MN 的长 ; 图 Z5-1 (3) 变式 1: 以点 A 为圆心 , AD 长为半径画弧 EF , 交 AB 于点 E , 交 AC 于点 F. 求由弧 EF 及线段 FC , CB , BE 围成图形 ( 图中阴影部分 ) 的面积 ; (4) 变式 2: 将变式 1 中阴影部分剪掉 , 余下扇形 AEF , 将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面 , AE 与 AF 正好重合 , 圆锥侧面无重叠 , 求这个圆锥的高 h. 图 Z5-3 图 Z5-2 例 1 [2019· 邵阳改编 ] 在等腰三角形 ABC 中 , ∠ BAC =120°, AD 是∠ BAC 的平分线 , 且 AD =6 . (2) 如图 Z5-1, 以点 D 为圆心的半圆与两腰 AB , AC 分别切于 M , N 两点 , 求弧 MN 的长 ; 图 Z5-1 例 1 [2019· 邵阳改编 ] 在等腰三角形 ABC 中 , ∠ BAC =120°, AD 是∠ BAC 的平分线 , 且 AD =6 . (3) 变式 1: 以点 A 为圆心 , AD 长为半径画弧 EF , 交 AB 于点 E , 交 AC 于点 F. 求由弧 EF 及线段 FC , CB , BE 围成图形 ( 图中阴影部分 ) 的面积 ; 图 Z5-2 例 1 [2019· 邵阳改编 ] 在等腰三角形 ABC 中 , ∠ BAC =120°, AD 是∠ BAC 的平分线 , 且 AD =6 . (4) 变式 2: 将变式 1 中阴影部分剪掉 , 余下扇形 AEF , 将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面 , AE 与 AF 正好重合 , 圆锥侧面无重叠 , 求这个圆锥的高 h. 图 Z5-3 | 题型精练 | 图 Z5-4 解 :(1) 证明 : 如图 , 连接 OP , 则 OD = OP , ∴∠ OPD = ∠ ODP. ∵∠ APC = ∠ AOD , ∴∠ OPD + ∠ APC = ∠ ODP + ∠ AOD. 又∵ PD ⊥ BE , ∴∠ ODP + ∠ AOD =90°, ∴∠ OPD + ∠ APC =90°, 即∠ APO =90°, ∴ OP ⊥ AP , ∴ AP 是☉ O 的切线 . 图 Z5-4 图 Z5-5 图 Z5-5 例 2 如图 Z5-6,△ ABC 内接于☉ O , CD 平分∠ ACB , 与 AB , ☉ O 分别交于点 G , D , 过点 D 作 EF ∥ AB , 分别交 CA , CB 的延长线于点 E , F , 连接 BD. (1) 求证 : EF 是☉ O 的切线 ; (2) 如图 Z5-7, 若 AC = BC , 求证 : BD 2 = AC · BF ; 类型二　圆中证线段关系 图 Z5-7 图 Z5-6 (3) 变式 1: 如图 Z5-8, 若 AC ≠ BC , CG =3 GD , 求证 : CE =2 ED ; (4) 变式 2: 如图 Z5-9, ∠ ABC 的平分线交 CD 于点 I , 求证 : DI 2 = DG · DC. 图 Z5-8 图 Z5-9 图 Z5-6 证明 :(1) 连接 OD , ∵ CD 平分∠ ACB , ∴∠ ACD = ∠ BCD , ∴弧 AD = 弧 BD , ∴ OD ⊥ AB ( 垂径定理推论 ), ∵ EF ∥ AB , ∴半径 OD ⊥ EF , ∴ EF 是☉ O 的切线 . 例 2 如图 Z5-6,△ ABC 内接于☉ O , CD 平分∠ ACB , 与 AB , ☉ O 分别交于点 G , D , 过点 D 作 EF ∥ AB , 分别交 CA , CB 的延长线于点 E , F , 连接 BD. (2) 如图 Z5-7, 若 AC = BC , 求证 : BD 2 = AC · BF ; 图 Z5-7 图 Z5-6 例 2 如图 Z5-6,△ ABC 内接于☉ O , CD 平分∠ ACB , 与 AB , ☉ O 分别交于点 G , D , 过点 D 作 EF ∥ AB , 分别交 CA , CB 的延长线于点 E , F , 连接 BD. (3) 变式 1: 如图 Z5-8, 若 AC ≠ BC , CG =3 GD , 求证 : CE =2 ED ; 图 Z5-8 图 Z5-6 例 2 如图 Z5-6,△ ABC 内接于☉ O , CD 平分∠ ACB , 与 AB , ☉ O 分别交于点 G , D , 过点 D 作 EF ∥ AB , 分别交 CA , CB 的延长线于点 E , F , 连接 BD. (4) 变式 2: 如图 Z5-9, ∠ ABC 的平分线交 CD 于点 I , 求证 : DI 2 = DG · DC. 图 Z5-9 图 Z5-6 1 . [2019· 娄底 ] 如图 Z5-10, 点 D 在以 AB 为直径的☉ O 上 , AD 平分∠ BAC , DC ⊥ AC , 过点 B 作☉ O 的切线交 AD 的延长线于点 E. (1) 求证 : 直线 CD 是☉ O 的切线 ; (2) 求证 : CD · BE = AD · DE. 图 Z5-10 | 题型精练 | 证明 :(1) 如图 , 连接 OD , ∵在☉ O 中 , OA = OD , ∴∠ OAD = ∠ ODA. 又∵ AD 平分∠ BAC , ∴∠ OAD = ∠ CAD , ∴∠ ODA = ∠ CAD. ∵ DC ⊥ AC , ∴∠ ADC + ∠ CAD =90°, ∴∠ ADC + ∠ ADO =90°, ∴∠ ODC =90°, 即 OD ⊥ CD , ∴直线 CD 是☉ O 的切线 . 1 . [2019· 娄底 ] 如图 Z5-10, 点 D 在以 AB 为直径的☉ O 上 , AD 平分∠ BAC , DC ⊥ AC , 过点 B 作☉ O 的切线交 AD 的延长线于点 E. (2) 求证 : CD · BE = AD · DE. 图 Z5-10 2 . [2019· 怀化 ] 如图 Z5-11, A , B , C , D , E 是☉ O 上的 5 等分点 , 连接 AC , CE , EB , BD , DA , 得到一个五角星图形和五边形 MNFGH. (1) 计算∠ CAD 的度数 ; (2) 连接 AE , 证明 : AE = ME ; (3) 求证 : ME 2 = BM · BE. 图 Z5-11 2 . [2019· 怀化 ] 如图 Z5-11, A , B , C , D , E 是☉ O 上的 5 等分点 , 连接 AC , CE , EB , BD , DA , 得到一个五角星图形和五边形 MNFGH. (2) 连接 AE , 证明 : AE = ME ; 图 Z5-11 解 :(2) 证明 : 由 (1) 知∠ CAD = ∠ EBD = ∠ ACE = ∠ BDA = ∠ CEB =36°, ∵∠ AEB = ∠ BDA , ∠ DAE = ∠ EBD , ∴∠ MAE = ∠ CAD + ∠ DAE =72°, ∠ AEB =36°, ∴∠ MAE = ∠ AME =72°, ∴ AE = ME. 2 . [2019· 怀化 ] 如图 Z5-11, A , B , C , D , E 是☉ O 上的 5 等分点 , 连接 AC , CE , EB , BD , DA , 得到一个五角星图形和五边形 MNFGH. (3) 求证 : ME 2 = BM · BE. 图 Z5-11 例 3 [2018· 湘潭改编 ] 已知 AB 是☉ O 的直径 , 半径 CO ⊥ AO , 点 M 是☉ O 上的动点 , 且不与点 A , C , B 重合 . (1) 如图 Z5-12, 点 M 在弧 AC 上时 , 直线 AM 交 OC 延长线于点 D , 连接 OM , 若☉ O 的半径为 10, ∠ AOM =60°, 求 DM 的长 . 类型三　圆中求线段长或线段比 ( 2019,21/2018,21/2016,21/2015,22 ) 图 Z5-12 (2) 如图 Z5-13, 点 M 在弧 BC 上时 , 线段 AM 交 OC 于点 D , 连接 OM , 若☉ O 的半径为 10, AM =15, 求 DM 的长 . (3) 变式 1: 如图 Z5-14, 点 M 在 AB 下方的圆弧上运动 , 连接 CM 交 OB 于点 F , 连接 AM , BM , 若 OF ∶ OB =1 ∶ 3, 求 cos ∠ MCB 的值 . 图 Z5-13 图 Z5-14 图 Z5-15 解 :(1) 当∠ AOM =60° 时 , ∵ OM = OA , ∴ △ AMO 是等边三角形 , ∴∠ A = ∠ MOA =60°, ∴∠ MOD =30°, ∠ D =30°, ∴ DM = OM =10 . 例 3 [2018· 湘潭改编 ] 已知 AB 是☉ O 的直径 , 半径 CO ⊥ AO , 点 M 是☉ O 上的动点 , 且不与点 A , C , B 重合 . (2) 如图 Z5-13, 点 M 在弧 BC 上时 , 线段 AM 交 OC 于点 D , 连接 OM , 若☉ O 的半径为 10, AM =15, 求 DM 的长 . 图 Z5-13 例 3 [2018· 湘潭改编 ] 已知 AB 是☉ O 的直径 , 半径 CO ⊥ AO , 点 M 是☉ O 上的动点 , 且不与点 A , C , B 重合 . (3) 变式 1: 如图 Z5-14, 点 M 在 AB 下方的圆弧上运动 , 连接 CM 交 OB 于点 F , 连接 AM , BM , 若 OF ∶ OB =1 ∶ 3, 求 cos ∠ MCB 的值 . 图 Z5-14 图 Z5-15 | 题型精练 | 图 Z5-16 解 :(1) 证明 : ∵ PA 是☉ O 的切线 , AB 是直径 , ∴∠ PAO =90°, ∠ C =90°, ∴∠ PAC + ∠ BAC =90°, 且∠ B + ∠ BAC =90°, ∴∠ PAC = ∠ B. 又∵ OP ⊥ AC , ∴∠ ADP = ∠ C =90°, ∴ △ PAD ∽△ ABC , ∴ AP ∶ AB = AD ∶ BC. 在☉ O 中 , ∵ AC ⊥ OD , ∴ AD = CD , ∴ AP ∶ AB = CD ∶ BC , ∴ AP · BC = AB · CD. 图 Z5-16 2 . [2019· 广东 ] 如图 Z5-17 ① , 在 △ ABC 中 , AB = AC , ☉ O 是 △ ABC 的外接圆 , 过点 C 作∠ BCD = ∠ ACB 交☉ O 于点 D , 连接 AD 交 BC 于点 E , 延长 DC 至点 F , 使 CF = AC , 连接 AF. (1) 求证 : ED = EC ; (2) 求证 : AF 是☉ O 的切线 ; (3) 如图② , 若点 G 是 △ ACD 的内心 , BC · BE =25, 求 BG 的长 . ① ② 图 Z5-17 解 :(1) 证明 : ∵ AB = AC , ∴∠ ABC = ∠ ACB. 又∵∠ ACB = ∠ BCD , ∠ ABC = ∠ ADC , ∴∠ BCD = ∠ ADC. ∴ ED = EC. 2 . [2019· 广东 ] 如图 Z5-17 ① , 在 △ ABC 中 , AB = AC , ☉ O 是 △ ABC 的外接圆 , 过点 C 作∠ BCD = ∠ ACB 交☉ O 于点 D , 连接 AD 交 BC 于点 E , 延长 DC 至点 F , 使 CF = AC , 连接 AF. (2) 求证 : AF 是☉ O 的切线 ; ① ② 图 Z5-17 2 . [2019· 广东 ] 如图 Z5-17 ① , 在 △ ABC 中 , AB = AC , ☉ O 是 △ ABC 的外接圆 , 过点 C 作∠ BCD = ∠ ACB 交☉ O 于点 D , 连接 AD 交 BC 于点 E , 延长 DC 至点 F , 使 CF = AC , 连接 AF. (3) 如图② , 若点 G 是 △ ACD 的内心 , BC · BE =25, 求 BG 的长 . ① ② 图 Z5-17