2020九年级数学下册 第2章 直线与圆的位置关系 2 6页

2.2 切线长定理 ‎(见A本63页)‎ A　练就好基础　基础达标 ‎1．如图所示，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(　C　)‎ A．130°　　 B．120°　　 C．110°　　 D．100°‎ 第1题图 ‎　　　　　第2题图 ‎2．如图所示，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(　C　)‎ A．1 B．‎4 ‎ C．2 D．3‎ ‎3．如图所示，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是(　D　)‎ A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO 第3题图 ‎　　　第4题图 6‎ ‎4．如图所示，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为(　D　)‎ A．35° B．45° C．60° D．70°‎ ‎5．如图所示，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝120°.连结AC，则∠A的度数是__30°__．‎ 第5题图 ‎　　　　　第6题图 ‎6．如图所示，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为__2__．‎ 第7题图 ‎7．如图所示，已知PA，PB分别切圆O于点A，B，连结PO与圆O相交于点C，连结AC，BC，求证：AC＝BC.‎ 证明：连结OA，OB，∵PA，PB分别切圆O于A，B，‎ ‎∴∠PAO＝∠PBO＝90°.‎ ‎∵AO＝BO，PO＝PO，‎ ‎∴△APO≌△BPO (HL)，‎ ‎∴∠APO＝∠BPO，PA＝PB.‎ ‎∵PC＝PC，‎ ‎∴△APC≌△BPC (SAS)，‎ ‎∴AC＝BC.‎ 第8题图 ‎8．如图所示，直尺、三角尺都和⊙O相切，点B，C是切点，且AB＝‎8 cm.求⊙O的直径．‎ 解：连结AO，BO，‎ ‎∵AB是⊙O的切线，AC是⊙O的切线，‎ 6‎ ‎∴∠ABO＝90°，∠BAO＝∠BAC＝60°，‎ 在Rt△AOB中，OB＝AB·tan∠BAO＝8×tan 60°＝8(cm)，‎ ‎∴⊙O的直径为16 cm.‎ B　更上一层楼　能力提升 ‎9．如图所示，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线(切点为F)交CD边于点E，则sin∠DAE等于(　D　)‎ A. B. C. D. ‎　　第9题图 ‎　　　　第10题图 ‎10．如图所示，一圆外切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为__52__．‎ ‎11．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为点A，B，直线EF也是⊙O的切线，点Q是切点，交PA，PB于点E，F.若PA＝10，则△PEF的周长为__20__；若∠APB＝50°，则∠EOF的度数为__65°__．‎ 第11题图 ‎　　　第12题图 ‎12．如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，BE切⊙O于点B，交CD于点E，⊙O 的半径为a，BC＝na，则DE∶EC＝__1∶(n＋1)__．当n＝__1__时，∠C＝30°.‎ 第13题图 ‎13．如图所示，AB，AC的延长线与BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O半径是__2__.‎ 6‎ 第14题图 ‎14．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.‎ ‎(1)求证：BC＝FC.‎ ‎(2)若AD∶AE＝2∶1，求tan F的值．‎ 解： (1)证明：连结BD.∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，‎ ‎∴∠EBD＝90°－∠BED.∵∠EBF＝90°，‎ ‎∴∠F＝90°－∠BEF.∴∠F＝∠EBD.‎ ‎∵AC切⊙O于点D，∴∠EBD＝∠ADE＝∠CDF.‎ ‎∴∠F＝∠CDF，∴DC＝FC.‎ ‎∵OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线，‎ ‎∴DC＝BC，∴BC＝FC.‎ ‎(2)在△ADE和△ABD中，‎ ‎∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD，‎ ‎∴△ADE∽△ABD，＝＝.‎ 又∵∠F＝∠EBD，‎ ‎∴tan F＝tan∠EBD＝＝.‎ C　开拓新思路　拓展创新 第15题图 ‎15．如图所示，在ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝‎15 cm.已知⊙O的半径等于‎3 cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F.⊙O在ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．‎ 第15题答图 解：连结OE，OA.‎ ‎∵AB，AD分别与⊙O相切于点E，F.‎ ‎∴OE⊥AB，OE＝3 cm.‎ ‎∵∠DAB＝60°，∴∠OAE＝30°.‎ 6‎ 在Rt△AOE中，AE＝＝＝3(cm)．‎ ‎∵AD∥BC，∠DAB＝60°，∴∠ABC＝120°.‎ 设当运动停止时，⊙O′与BC，AB分别相切于点M，N，连结O′N，O′B.同理可得BN＝ cm.‎ ‎∴EN＝AB－AE－BN＝15－3－＝(15－4) cm.‎ ‎∴ ⊙O滚过的路程为(15－4) cm.‎ 第16题图 ‎16．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连结OD，OC，BE.‎ ‎(1)求证：OD∥BE.‎ ‎(2)若四边形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x＋y＝14，求CD的长．‎ 第16题答图 解：(1)证明：如图，连结OE，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，‎ 在Rt△OAD和Rt△OED中，‎ ‎∴Rt△OAD≌Rt△OED(HL)．‎ ‎∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，‎ 在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，‎ ‎∴∠AOD＝∠ABE，‎ ‎∴OD∥BE.‎ ‎(2)与(1)同理可证Rt△COE≌Rt△COB，‎ ‎∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，‎ ‎∵∠DOE＋∠COE＝90°，‎ ‎∴△COD是直角三角形，‎ ‎∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，‎ ‎ ∴S梯形ABCD＝2(S△DOE＋S△COE)＝2S△COD＝OC·OD＝48，‎ 即xy＝48，又∵x＋y＝14，‎ 6‎ ‎∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝142－2×48＝100，‎ 在Rt△COD中，‎ CD＝＝＝＝10，∴CD＝10.‎ 6‎