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- 2021-11-12 发布
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一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)
1、(2010•盐城)20100的值是( )
A、2010 B、0
C、1 D、﹣1
考点:零指数幂。
专题:计算题。
分析:根据任何非0数的0次幂都是1,即可求解.
解答:解:20100=1,
故选C.
点评:任何非0的数的0次幂是1,而0的0次幂无意义.
2、(2010•盐城)﹣12的相反数是( )
A、﹣12 B、12
C、﹣2 D、2
考点:相反数。
分析:根据相反数的性质,互为相反数的两个数和为0,采用逐一检验法求解即可.
解答:解:根据概念(﹣12的相反数)+(﹣12)=0,则﹣12的相反数是12.
故选B.
点评:本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆.
3、(2010•盐城)下列四个几何体中,主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )
A、圆锥 B、圆柱
C、球 D、三棱柱
考点:简单几何体的三视图。
分析:根据各个几何体的三视图的图形易求解.
解答:解:圆锥的主视图和左视图是相同的,都为一个三角形,但是俯视图是一个圆形;圆柱的主视图和左视图都是矩形,但俯视图也是一个圆形;三棱柱的主视图和左视图是一个矩形,俯视图是一个三角形,故排除A、B、D.球体的三视图是完全相同的,故选C.
点评:本题只要清楚了解各个几何体的三视图即可求解.
4、(2010•盐城)既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A、等边三角形 B、等腰梯形
C、平行四边形 D、正六边形
考点:中心对称图形;轴对称图形。
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答:解:A、B是轴对称图形,不是中心对称图形;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形;
D、既是轴对称图形,又是中心对称图形;
故选D.
点评:掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
5、(2010•盐城)下列说法或运算正确的是( )
A、1.00×102有2个有效数字 B、(a﹣b)2=a2﹣b2
C、a2+a3=a5 D、a10÷a4=a6
考点:同底数幂的除法;近似数和有效数字;合并同类项;完全平方公式。
分析:根据有效数字的定义、完全平方公式和同底数幂的除法的性质计算后利用排除法求解.
解答:解:A、1.00×102=100,应该是有3个有效数字,故本选项错误;
B、应为(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项错误;
C、不是同类项不能合并,故本选项错误;
D、a10÷a4=a6,正确.
故选D.
点评:本题主要考查科学记数法的有效数字、完全平方公式、同底数幂的除法的运算性质,需要熟练掌握.
6、(2010•盐城)如图:在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则菱形的边长为( )
A、5 B、10
C、6 D、8
考点:菱形的性质;勾股定理。
分析:根据菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角,可知每个直角三角形的直角边,根据勾股定理可将菱形的边长求出.
解答:解:设AC与BD相交与点O,由菱形的性质知:AC⊥BD,OA=12AC=3,OB=12BD=4
在Rt△OAB中,AB=OA2+OB2=32+42=5
所以菱形的边长为5.
故选A.
点评:本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决.
7、(2010•盐城)给出下列四个函数:①y=﹣x;②y=x;③y=1x;④y=x2.x<0时,y随x
的增大而减小的函数有( )
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点:二次函数的性质;一次函数的性质;反比例函数的性质。
分析:根据自变量的取值范围,结合已知函数的性质,逐一判断.
解答:解:当x<0时,①y=﹣x,③y=1x,④y=x2,y随x的增大而减小;
②y=x,y随x的增大而增大.
故选C.
点评:本题考查了一次函数,反比例函数,二次函数的增减性.判断函数性质时,要注意自变量的取值范围.
8、(2010•盐城)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m的值是( )
A、38 B、52
C、66 D、74
考点:规律型:数字的变化类。
专题:规律型。
分析:分析前三个正方形可知,规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数,且左上,左下,右上三个数是相邻的偶数.因此,图中阴影部分的两个数分别是左下是8,右上是10.
解答:解:8×10﹣6=74,故选D.
点评:本题是一道找规律的题目,要求学生的通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于找出阴影部分的数.
二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)
9、(2010•盐城)4的算术平方根是 .
考点:算术平方根。
分析:如果一个非负数x的平方等于a,那么x是a的算术平方根,由此即可求出结果.
解答:解:∵22=4,
∴4算术平方根为2.
故答案为:2.
点评:此题主要考查了算术平方根的概念,算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误.
10、(2010•盐城)使x﹣2有意义的x的取值范围是 .
考点:二次根式有意义的条件。
分析:当被开方数x﹣2为非负数时,二次根式才有意义,列不等式求解.
解答:解:根据二次根式的意义,得
x﹣2≥0,解得x≥2.
点评:主要考查了二次根式的意义和性质.概念:式子a(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
11、(2010•盐城)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则a b.
考点:实数大小比较;实数与数轴。
专题:图表型。
分析:根据数轴左边的数小于右边的数即可直接解答.
解答:解:根据数轴的特点,因为a在b的右边,
所以a>b.
点评:此题主要考查了利用数轴比较实数的大小,解答此题的关键是熟知:数轴上的任意两个数,右边的数总比左边的数大.
12、(2010•盐城)因式分解:2a2﹣4a= .
考点:因式分解-提公因式法。
分析:观察原式,找到公因式2a,提出即可得出答案.
解答:解:2a2﹣4a=2a(a﹣2).
点评:本题考查了因式分解的基本方法一﹣﹣﹣提公因式法.本题只要将原式的公因式2a提出即可.
13、(2010•盐城)不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球,每个球除颜色不同外其它都相同,从中任意摸出一个球,则摸出 球的可能性最大.
考点:可能性的大小。
分析:分别求出摸出各种颜色球的概率,即可比较出摸出何种颜色球的可能性大.
解答:解:因为袋子中有4个红球、3个黄球和5个蓝球,从中任意摸出一个球,
①为红球的概率是412=13;
②为黄球的概率是312=14;
③为蓝球的概率是512.
可见摸出蓝球的概率大.
点评:要求可能性的大小,只需求出各自所占的比例大小即可,求比例时,应注意记清各自的数目.
14、(2010•盐城)12名学生参加江苏省初中英语听力口语自动化考试成绩如下:28,21,26,30,28,27,30,30,18,28,30,25.这组数据的众数为 .
考点:众数。
分析:根据众数的概念直接求解即可.
解答:解:在这组数据中,数据30出现了4次,次数最多,为众数.
∴这组数据的众数为30.
故填30.
点评:考查了众数的概念.众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.
15、(2010•盐城)写出图象经过点(1,﹣1)的一个函数关系式 .
考点:函数关系式。
专题:开放型。
分析:根据题意,所写函数可以是正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等,只要是函数,且点(1,﹣1)满足函数关系式即可.
解答:解:根据题意,可得出函数关系式,例如y=﹣x(答案不唯一).
点评:本题是开放型题目,只要符合题意的答案即可.
16、(2010•盐城)已知圆锥的底面半径为3,侧面积为15π,则这个圆锥的高为 .
考点:圆锥的计算;勾股定理。
分析:圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求得母线长,利用勾股定理即可求得圆锥的高.
解答:解:设圆锥的母线长为R,则15π=2π×3×R÷2,解得R=5,
∴圆锥的高=52﹣32=4.
点评:用到的知识点为:圆锥侧面积的求法;圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形.
17、(2010•盐城)小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图②);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图③).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD长与宽的比值为 .
考点:翻折变换(折叠问题)。
分析:设长为b,宽为a,由翻折的性质知,MG=GM,MN=CE=AN,而M点正好在∠NDG的平分线上,则有MN=MG,故有MN=MG=GE=CE=AN=b﹣a,由于∠NAM=45°,有AM=2AN=2
(b﹣a),则有AE=AM+MG+GE=2a,代入各线段的值,代入即可得到长与宽的关系.
解答:解:设长为b,宽为a,
由题意知,MG=GM,MN=CE=AN,
∵M点正好在∠NDG的平分线上,
∴MN=MG,
∴MN=MG=GE=CE=AN=b﹣a,
∵∠NAM=45°,
∴AM=2AN=2(b﹣a),
∴AE=AM+MG+GE,即2(b﹣a)+2×(b﹣a)=2a,
化简得b:a=2,即长与宽的比为2.
故本题答案为:2.
点评:本题考查了翻折的性质,角的平分线的性质,等腰直角三角形的性质.
18、(2010•盐城)如图,A、B是双曲线y=kx(k>0)上的点,A、B两点的横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=6.则k= .
考点:反比例函数系数k的几何意义;全等三角形的判定与性质。
分析:分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,再过点A作AF⊥BE于F,那么由AD∥BE,AD=2BE,可知B、E分别是AC、DC的中点,易证△ABF≌△CBE,则S△AOC=S梯形AOEF=6,根据梯形的面积公式即可求出k的值.
解答:解:分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,再过点A作AF⊥BE于F.
则AD∥BE,AD=2BE=ka,
∴B、E分别是AC、DC的中点.
在△ABF与△CBE中,∠ABF=∠CBE,∠F=∠BEC=90°,AB=CB,
∴△ABF≌△CBE.
∴S△AOC=S梯形AOEF=6.
又∵A(a,ka),B(2a,k2a),
∴S梯形AOEF=12(AF+OE)×EF=12(a+2a)×ka=3k2=6,
解得:k=4.
故答案为:4.
点评:本题主要考查了反比例函数的性质、三角形的中位线的判定及梯形的面积公式,体现了数形结合的思想,同学们要好好掌握.
三、解答题(共10小题,满分96分)
19、(2010•盐城)(1)|﹣3|+(13)﹣1﹣cos30°
(2)(a2﹣1)÷(1﹣1a)
考点:分式的混合运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值。
分析:(1)首先计算乘方,特殊三角函数值,去掉绝对值符号,然后利用实数的运算法则计算;
(2)把(a2﹣1)分解因式,再把(1﹣1a)变为a﹣1a,约分即可求解.
解答:解:(1)原式=3+3﹣32
=6﹣32;
(2)原式=(a+1)(a﹣1)÷a﹣1a
=a2+a.
点评:对于实数的运算,一般首先去括号,绝对值符号,然后按照实数运算计算;对于分式的计算,首先把分式的分子,分母能够分解因式先分解因式,然后约分.
20、(2010•盐城)如图,A、B两个转盘分别被平均分成三个、四个扇形,分别转动A盘、B盘各一次.转动过程中,指针保持不动,如果指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字所在的区域为止.请用列表或画树状图的方法,求两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的概率.
考点:列表法与树状图法。
分析:
用树状图或列表法列举出所有情况,看两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的情况占总情况的多少即可.
解答:解:解法一:画树状图
P和小于6=612=12;
解法二:用列表法:
P和小于6=612=12.
点评:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=mn.注意本题是放回实验.
21、(2010•盐城)上海世博园开放后,前往参观的人非常多.5月中旬的一天某一时段,随机调查了部分入园游客,统计了他们进园前等候检票的时间,并绘制成如下图表.表中“10~20”表示等候检票的时间大于或等于10min而小于20min,其它类同.
(1)这里采用的调查方式是 ;
(2)求表中a、b、c的值,并请补全频数分布直方图;
(3)在调查人数里,等候时间少于40min的有 人;
(4)此次调查中,中位数所在的时间段是 ~ min.
考点:频数(率)分布直方图;频数(率)分布表;中位数。
专题:图表型。
分析:(1)由于前往参观的人非常多,5月中旬的一天某一时段,随机调查了部分入园游客,统计了他们进园前等候检票的时间,由此即可判断调查方式;
(2)首先根据已知的一组数据可以求出接受调查的总人数c,然后乘以频率即可求出b,利用所有频率之和为1即可求出a,然后就可以补全频率分布直方图;
(3)根据表格知道被调查人数里,等候时间少于40min的有第一、二、三小组,利用表格数据即可求出等候时间少于40min的人数;
(4)由于知道总人数为40人,根据中位数的定义就可以知道中位数落在哪个小组;
解答:解:(1)填抽样调查或抽查;
(2)∵a=1﹣0.200﹣0.250﹣0.125﹣0.075=0.350;
b=8÷0.200×0.125=5;
c=8÷0.200=40;
频数分布直方图如图所示.
(3)依题意得
在调查人数里,等候时间少于40min的有8+14+10=32人;
故填32.
(4)∵总人数为40人,
∴中位数所在的时间段是20~30.
故填20,30.
点评:本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.同时考查了中位数、频率和频数的定义.
22、(2010•盐城)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD.
(1)求sin∠DBC的值;
(2)若BC长度为4cm,求梯形ABCD的面积.
考点:解直角三角形;梯形。
专题:计算题。
分析:(1)根据题目已知条件可知,在Rt△CDB中∠C=2∠DBC,则即可求得∠DBC=30°,从而确定sin∠DBC的值;
(2)要求梯形ABCD的面积需要求得梯形的高,则需过D点向BC边作垂线DF
,则根据三角函数可以求得BD的长,继而求得DF的长,即可求梯形的面积.
解答:解:(1)∵AD=AB,
∴∠ADB=∠ABD.
∵AD∥CB,
∴∠DBC=∠ADB=∠ABD.
∵在梯形ABCD中,AB=CD,
∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC.
∵BD⊥CD,
∴3∠DBC=90°,
∴∠DBC=30°.
∴sin∠DBC=12.
(2)过D作DF⊥BC于F,
在Rt△CDB中,BD=BC×cos∠DBC=23(cm),
在Rt△BDF中,DF=BD×sin∠DBC=3(cm),
∴S梯=12(2+4)•3=33(cm2).
点评:本题考查了解直角三角形中三角函数的应用以及梯形的性质,熟练掌握好边角之间的关系是解决本题的关键.
23、(2010•盐城)某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元.已知2班比1班人均捐款多4元,2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.
考点:分式方程的应用。
专题:应用题。
分析:以人均捐款数为问题,等量关系为:1班人数×90%=2班人数;
以人数为问题,等量关系为:1班人均捐款数+4=2班人均捐款数.
解答:解法一:求两个班人均捐款各多少元?
设1班人均捐款x元,则2班人均捐款(x+4)元.
根据题意得:1800x×90%=1800x+4,
解得:x=36,
经检验x=36是原方程的根.
∴x+4=40,
答:1班人均捐36元,2班人均捐40元.
解法二:求两个班人数各多少人?
设1班有x人.
则根据题意得:1800x+4=180090x%.
解得:x=50,
经检验x=50是原方程的根,
∴90x%=45,
答:1班有50人,2班有45人.
点评:找到合适的等量关系是解决问题的关键,本题主要抓住2班比1班人均捐款多4元,2班的人数比1班的人数少10%等语句进行列式.
24、(2010•盐城)图中的小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上.
(1)以点O为位似中心,在方格图中将△ABC放大为原来的2倍,得到△A′B′C′;
(2)△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△A″B′C″,并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积.
考点:扇形面积的计算;作图-旋转变换;作图-位似变换。
专题:网格型。
分析:(1)连接AO、BO、CO并延长到2AO、2BO、2CO长度找到各点的对应点,顺次连接即可.
(2)△A′B′C′的A′、C′绕点B′顺时针旋转90°得到对应点,顺次连接即可.A′B′在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇形,根据扇形的面积公式计算即可.
解答:解:(1)见图中△A′B′C′(4分)
(直接画出图形,不画辅助线不扣分)
(2)见图中△A″B′C″(8分)
(直接画出图形,不画辅助线不扣分)
S=90360π(22+42)=14π•20=5π(平方单位).(10分)
点评:本题主要考查了位似图形及旋转变换作图的方法及扇形的面积公式.
25、(2010•盐城)如图所示,小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕,测得屏幕下端D处的仰角为30°,然后他正对大楼方向前进5m到达B处,又测得该屏幕上端C处的仰角为45°.若该楼高为26.65m,小杨的眼睛离地面1.65m,广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐.求广告屏幕上端与下端之间的距离.(3≈1.732,结果精确到0.1m)
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析:易得CE=BE,利用30°的正切值即可求得CE长,进而可求得DE长.CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离.
解答:解:设AB、CD的延长线相交于点E.
∵∠CBE=45°,CE⊥AE,
∴CE=BE.
∵CE=26.65﹣1.65=25,
∴BE=25.
∴AE=AB+BE=30.
在Rt△ADE中,∠DAE=30°,
∴DE=AE×tan30°=30×33=103,
∴CD=CE﹣DE=25﹣103≈25﹣10×1.732=7.68≈7.7(m).
答:广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m.
点评:考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形;难点是充分找到并运用题中相等的线段.
26、(2010•盐城)整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一.根据国家《药品政府定价办法》,某省有关部门规定:市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%.根据相关信息解决下列问题:
(1)降价前,甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元.经过若干中间环节,甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元,乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍,两种药品每盒的零售价格之和为33.8元.那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元?
(2)降价后,某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院,医院根据实际情况决定:对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者.实际进药时,这两种药品均以每10盒为1箱进行包装.近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱,其中乙种药品不少于40箱,销售这批药品的总利润不低于900元.请问购进时有哪几种搭配方案?
考点:一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。
专题:应用题;方案型。
分析:(1)等量关系为:甲出厂价+乙出厂价=5.5;甲零售价+乙零售价=33.8;
(2)关系式为:总售价﹣总进价≥900;乙种药品箱数≥40.
解答:解:(1)设甲种药品的出厂价格为每盒x元,乙种药品的出厂价格为每盒y元.
则根据题意列方程组得:&x+y=6.6&5x﹣2.2+6y=33.8,
解之得:&x=3.6&y=3,
∴5×3.6﹣2.2=18﹣2.2=15.8(元)6×3=18(元),
答:降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元;
(2)设购进甲药品x箱(x为非负整数),购进乙药品(100﹣x)箱.
则根据题意列不等式组得:&8×15%×10x+5×10%×10(100﹣x)≥900&100﹣x≥40,
解之得:5717≤x≤60,
则x可取:58,59,60,此时100﹣x的值分别是:42,41,40;
有3种方案供选择:第一种方案,甲药品购买58箱,乙药品购买42箱;
第二种方案,甲药品购买59箱,乙药品购买41箱;
第三种方案,甲药品购买60箱,乙药品购买40箱.
点评:
找到相应的关系式是解决本题的关键,注意不低于意思是大于或等于;不超过意思是小于或等于.
27、(2010•盐城)如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.
(1)求∠AED的度数;
(2)求证:AB=BC;
(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°,求DFFC的值.
考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。
专题:计算题;证明题。
分析:(1)根据平行线的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的两个锐角互余进行求解;
(2)方法一:连接AC,根据等腰直角三角形的判定方法进行证明;
方法二:过D点作DF⊥BC,交BC于点F.构造全等三角形,结合矩形的性质进行证明;
(3)连接AF,BF、AD的延长线相交于点G.根据三角形的内角和定理以及(2)的结论发现等边三角形ABF,进一步发现全等三角形,即△BCF≌△GDF,从而求解.
解答:解:(1)∵∠BCD=75°,AD∥BC,
∴∠ADC=105°.
由等边△DCE可知∠CDE=60°,
故∠ADE=45°.
由AB⊥BC,AD∥BC,可得∠DAB=90°,
∴∠AED=45°.
(2)方法一:由(1)知∠AED=45°,
∴AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.
由△DCE是等边三角形得CD=CE,故点C也在线段DE的垂直平分线上.
∴AC就是线段DE的垂直平分线,即AC⊥DE.
连接AC,∵∠AED=45°,
∴∠BAC=45°,
又AB⊥BC,
∴BA=BC.
方法二:过D点作DF⊥BC,交BC于点F.
可证得:△DFC≌△CBE,则DF=BC.
从而AB=CB.
(3)∵∠FBC=30°,∴∠ABF=60°.
连接AF,BF、AD的延长线相交于点G,
∵∠FBC=30°,∠DCB=75°,
∴∠BFC=75°,故BC=BF.
由(2)知:BA=BC,故BA=BF,
∵∠ABF=60°,
∴AB=BF=FA,
又∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠FAG=∠G=30°.
∴FG=FA=FB.
∵∠G=∠FBC=30°,∠DFG=∠CFB,FB=FG,
∴△BCF≌△GDF.
∴DF=CF,即点F是线段CD的中点.
∴DFFC=1.
点评:此题主要是考查了等腰直角三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定.
28、(2010•盐城)已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.
(1)求这个函数关系式;
(2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.
考点:二次函数综合题。
专题:压轴题。
分析:(1)此题应分两种情况:①a=0,此函数是一次函数,与x轴只有一个交点;
②a≠0,此函数是二次函数,可由根的判别式求出a的值,以此确定其解析式;
(2)设圆与x轴的另一个交点为C,连接PC,由圆周角定理知PC⊥BC;由于PB是圆的直径,且AB切圆于B,得PB⊥AB,由此可证得△PBC∽△BAO,根据两个相似三角形的对应直角边成比例,即可得到PC、BC的比例关系,可根据这个比例关系来设P点的坐标,联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标;
(3)连接CM,设CM与PB的交点为Q,由于C、M关于直线PB对称,那么PB垂直平分CM,即CQ=QM;过M作MD⊥x轴于D,取CD的中点E,连接QE,则QE是Rt△CMD的中位线;在Rt△PCB中,CQ⊥OB,QE⊥BC,易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等,因此它们的正切值都等于12(在(2)题已经求得);由此可得到CE=2QE=4BE,(2)中已经求出了CB的长,根据CE、BE的比例关系,即可求出BE、CE、QE的长,由此可得到Q点坐标,也就得到M点的坐标,然后将点M代入抛物线的解析式中进行判断即可.
解答:解:(1)当a=0时,y=x+1,图象与x轴只有一个公共点(1分)
当a≠0时,△=1﹣4a=0,a=14,此时,图象与x轴只有一个公共点.
∴函数的解析式为:y=x+1或y=14x2+x+1;(3分)
(2)设P为二次函数图象上的一点,过点P作PC⊥x轴于点C;
∵y=ax2+x+1是二次函数,由(1)知该函数关系式为:
y=14x2+x+1,
∴顶点为B(﹣2,0),图象与y轴的交点
坐标为A(0,1)(4分)
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B
∴PB⊥AB则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴PCOB=BCAO,故PC=2BC,(5分)
设P点的坐标为(x,y),
∵∠ABO是锐角,∠PBA是直角,
∴∠PBO是钝角,
∴x<﹣2
∴BC=﹣2﹣x,PC=﹣4﹣2x,
即y=﹣4﹣2x,P点的坐标为(x,﹣4﹣2x)
∵点P在二次函数y=14x2+x+1的图象上,
∴﹣4﹣2x=14x2+x+1(6分)
解之得:x1=﹣2,x2=﹣10
∵x<﹣2,
∴x=﹣10,
∴P点的坐标为:(﹣10,16)(7分)
(3)点M不在抛物线y=ax2+x+1上(8分)
由(2)知:C为圆与x轴的另一交点,连接CM,CM与直线PB的交点为Q,过点M作x轴的垂线,垂足为D,取CD的中点E,连接QE,则CM⊥PB,且CQ=MQ
∴QE∥MD,QE=12MD,QE⊥CE
∵CM⊥PB,QE⊥CE,PC⊥x轴
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=12
CE=2QE=2×2BE=4BE,又CB=8,
故BE=85,QE=165
∴Q点的坐标为(﹣185,165)
可求得M点的坐标为(145,325)(11分)
∵14(145)2+145+1=14425≠325
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1上.(12分)
(其它解法,仿此得分)
点评:此题是二次函数的综合题,涉及到一次函数、二次函数解析式的确定,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,轴对称的性质,三角形中位线定理,解直角三角形的应用等重要知识,需要特别注意的是(1)题所求的是函数y=ax2+x+1,而没有明确是一次函数还是二次函数,所以要把两种情况都考虑到,以免漏解.
参与本试卷答题和审题的老师有:
csiya;张伟东;MMCH;CJX;lanchong;shenzigang;mama258;Linaliu;zhjh;xinruozai;lihongfang;zhehe;zhangCF;如来佛;ln_86;ljj;huangling;lanyuemeng;智波;haoyujun;py168;zzz0929;137-hui。(排名不分先后)
2011年2月17日
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