五年级下册数学教案 包装中的数学的数学问题 北京版 (2) 9页

教学背景分析 ‎1、学习内容分析 本课教学内容是在学生掌握了长方体特征及表面积计算等相关知识的基础上安排的，主要内容是探究几个相同长方体叠放的多种方案以及使其表面积最小的优化策略。教材把《包装中的数学问题》这一数学实践活动安排在第一单《长方体和正方体》后，主要意图是使学生综合运用表面积等知识解决生活中的实际问题，加强数与代数、空间与图形两个领域之间的联系。‎ 包装问题在日常生活中经常遇到，让学生综合运用长方体表面积等知识来讨论如何节约包装纸的问题，有助于培养学生的空间观念，提高学生解决实际问题的能力，同时体现了数学的优化思想，培养了学生的节约意识。‎ ‎2、学情分析 ‎（1）学生已有的知识基础 在本课学习之前，学生已熟练掌握了长方体、正方体的特征，能准确地计算出单一物体的棱长、表面积、体积，能把几个相同的正方体组合成新的正方体。初步接触了由两个相同的正方体拼成一个长方体后表面积发生的变化。针对学生已有知识的掌握情况，我们进行了前测，前测内容及情况如下：‎ 参加前测的人数：32人 ‎             前测题目 正确率 ‎1、一个长6厘米、宽4厘米、高10厘米的长方体牛奶盒。它最大那个面的面积是(     )平方厘米，最小的那个面的面积是(    )平方厘米。‎ ‎ 93.75%  ‎ ‎2、把两个棱长都是5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了(     )平方厘米，减少了（    ）个面。‎ ‎ 87.5%‎ ‎3、一个棱长是4厘米的正方体木块，把它切成两个完全一样的长方体，求每个长方体的表面积。‎ ‎ 70.1%‎ 8‎ 分析以上前测情况，我们看到学生已熟练掌握长方体各个面的面积计算，对于由两个相同的正方体拼成长方体，其表面积发生的变化掌握较好。但是，对于组合立体图形的逆向思维，特别是由文字呈现时，有30%左右的学生接受有困难，这提示我们：①在帮助学生建立空间观念时，要借助实物操作。②在操作的过程中调动学生的多种感官，理解由几个相同长方体组合成新的长方体后发生的一系列变化。‎ ‎（2）学生已有的生活经验 学生大都接触过物品的包装，知道用包装纸包装物品就是求物体的表面积，但实际所需的包装纸又比物体的表面积大，因而教师要和学生理清本课研究的是接口处不计的包装方式，这样的活动才能和生活进行有效沟通。‎ ‎（3）学生的学习方式分析 通过测试及平时的一些观察分析，大多数学生喜欢借助直观形象的操作来完成学习任务，偏向于动觉学习型。优等生的观察、思考、空间想象等能力较强，中等生稍弱一些，学困生有一定的困难。大部分具有一定的独立的思维能力，小部分学生思维较为有序、缜密。‎ ‎ 三、教学目标与重点、难点设计 教学目标：1、利用表面积等有关知识，探索多个相同长方体叠放的方法及使其表面积最小的最优策略，渗透优化思想，发展空间观念。‎ ‎2、经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，在活动过程中培养学生解决问题的能力，积累数学活动经验。‎ ‎3、了解包装的学问在生活中的应用，培养学生的创新和实践能力，增强学生应用数学的意识。‎ 教学重点：探索多个相同长方体叠放的方法，探索最节约的包装策略。‎ 教学难点：分析解决问题的策略，发现规律，找到最优方案。‎ 四、教学过程与教学资源设计 8‎ 一、创设解决问题的情境，感悟优化思想 教师利用多媒体课件创设情境，为6盒牛奶设计包装箱。我们现在都倡导节约和环保，6盒牛奶有许多种叠放方案，怎样叠放更节省包装纸呢？ ‎ 为了便于研究，包装箱的接口处忽略不计。每盒牛奶的长、宽、高取整厘米数，长7厘米，宽4厘米，高10厘米。‎ ‎【设计意图：创设问题情景，引出课题，激发学生学习的兴趣和探究欲望。】‎ 二、探究解决问题的策略，凸显优化思想 ‎（一）解决1盒牛奶的包装 如果不考虑包装纸的厚度，包装纸的大小可以用牛奶盒的表面积表示。‎ ‎(7×4＋7×10＋4×10)×2＝ 276（平方厘米）‎ ‎【设计意图：复习和巩固长方体表面积的计算方法，也为后面进一步计算多个盒子叠放后的表面积做铺垫。】‎ ‎（二）解决2盒牛奶的包装 师：2盒牛奶，你能设计出几种叠放方案？‎ 学生动手叠放，汇报包装方案和计算方法：‎ ‎ ‎ 图① 图② 图③‎ 图①重合小面，新的长方体表面积：(7×4+7×20+4×20)×2=496(平方厘米)‎ 图②重合中面，新的长方体表面积：(14×4+14×10+4×10)×2=472(平方厘米)‎ 图③重合大面，新的长方体表面积：(7×8+7×10+8×10)×2=412(平方厘米)‎ 8‎ 师：观察这些数据，你有什么发现？‎ 生：叠放2盒牛奶，重合大面，新的长方体表面积最小。‎ 师：这么看来，我们只需要计算重合的面积，就可以很容易比较新的长方体表面积的大小，即重合的面积越大，表面积越小。‎ ‎2个小面的面积：7×4×2=56(平方厘米)‎ ‎2个中面的面积：4×10×2=80(平方厘米)‎ ‎2个大面的面积：7×10×2=140(平方厘米) ‎ 当2个大面重合时，重合的面积最大，新的长方体表面积最小。通过交流，学生不难发现，要最节省包装纸，就要使最大面重合。‎ ‎【设计意图：组织学生动手操作、计算、猜测和验证，寻求合理简洁的运算途径解决问题，逐渐总结出最节约的包装方案，培养学生用多种的方法解决问题的能力。】‎ ‎（三）解决四盒牛奶的包装 ‎4盒牛奶，怎样叠放表面积最小呢？‎ 根据前面的发现，猜测大面重合，表面积最小，即把6个大面重合，如图④。‎ ‎ ‎ 图④ 图⑤‎ 图④减少6个大面，减少的面积：7×10×6=420(平方厘米)‎ 师：还有没有更节省包装纸的方案呢？‎ 有学生提出，重合4个大面4个中面，更节省包装纸，如图⑤。‎ 图⑤减少的面积：7×10×4+4×10×4=440(平方厘米)‎ 8‎ 师：图⑤重合4个大面4个中面，减少的面积更大，为什么不是重合6个大面，减少的面积最大？‎ 生：6个大面重合，减少了6个面的面积。4个大面4个中面重合，减少了8个面的面积。‎ 师：除了考虑重合面的大小，还要考虑重合面的数量。‎ 其实这与重合大面，减少的面积最大并不矛盾。‎ 让学生叠放手中的盒子，讨论交流。两个盒子的大面重合后，会产生新的大面，即两个中面是新的大面，如图⑥。再次叠放，要挑选新的大面重合，才最省包装材料。所以4个盒子先重合4个大面，再重合4个中面，减少的面积最大。‎ 图⑥‎ ‎【设计意图：通过猜想，验证，学生发现了规律，学会运用优化思想，对复杂的问题进行有序思考，逐步找到了四个盒子叠放的最优策略，培养了学生的创新和实践能力。】‎ ‎（四）解决6盒牛奶的包装 把6盒牛奶叠放在一起，哪种方案最省包装材料？‎ ‎4人一组，每组6个相同的牛奶盒。两人负责设计叠放方案，两人计算。‎ 汇报交流，为了保证尽可能重合大面、重合更多的面，有以下几种叠放方案。‎ 8‎ ‎ ‎ 图⑦ 图⑧ 图⑨‎ 图⑦重合8个大面6个小面，减少的面积：7×10×8+4×7×6=728(平方厘米)‎ 图⑧重合8个大面6个中面，减少的面积：7×10×8+4×10×6=800(平方厘米)‎ 图⑨重合6个大面8个中面，减少的面积：7×10×6+4×10×8=740(平方厘米)‎ 通过比较减少面的面积，发现图⑧的表面积最小。‎ 计算叠放后新的长方体表面积、验证结论。‎ 长（cm）‎ 宽（cm） ‎ 高（cm）‎ 表面积（ cm2 ）‎ 图⑦‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎928‎ 图⑧‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎856‎ 图⑨‎ ‎21‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎916‎ 所以6个盒子叠放，重合8个大面6个中面，如图⑧，最节省包装纸。‎ 观察长、宽、高和表面积，你有什么发现？‎ 得出结论：拼成的长方体长、宽、高越接近，形状越接近正方体，表面积越小。‎ ‎【设计意图：通过分析、比较得出规律，找到六个盒子叠放的最优策略，在动手操作和动脑思考的过程中积累了数学活动经验。进一步体会运用优化思想，把复杂的问题变得简单。】‎ 8‎ 三、反思解决问题的过程，内化优化思想 我们一起研究了怎样设计包装，最节省包装纸。6个盒子有很多种叠放方案，我们并没有把每种方案都列出来，再去计算、比较，我们是怎么研究的呢？‎ 生：我们先研究1个盒子、2个盒子、4个盒子，发现计算重合的面积最简单，每一次都要重合最大的面，才能保证表面积最小。‎ 师：通过计算、比较，我们找到了最优的计算方法和最优的解决问题策略。‎ 今天我们一起研究了怎样设计包装，最节省包装纸，6盒“好多鱼”的叠放有讲究，长、宽、高越接近，或者说形状越接近正方体，表面积就越小。其实生活中也有许多例子体现了包装的学问，比如，透明皂，抽纸盒等，都是这样打包销售的。‎ 最后我想告诉大家一个秘密，其实超市里的“好多鱼”是并不是像我们今天这样包装的，而是把六个中面重叠，这样包装的目的又是什么呢？‎ 生：便于看清每一盒的口味，让顾客觉得“量很多”的感觉。‎ 小结：这节课你印象最深的是什么？你的收获是什么？‎ ‎【设计意图：让学生进一步体会到数学来源于生活，又应用于生活；使学生体会数学在日常生活和生产中的作用和价值，增强学生应用数学的意识。】 ‎ 五、学习效果评价设计 评价方式 效果检测题目：‎ ‎（1）尝试解决更加复杂的问题，比如研究12盒，24盒最节省包装纸的方案。‎ ‎（2）以小组为单位选择合适的物品，如牛奶盒，香皂，字典等，设计不同的包装方案，看看如何制作出最节省材料的包装盒。‎ 把研究的过程和结论写成研究报告，与同学们分享。‎ 8‎ ‎【设计意图：让学生自定主题展开研究，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略，进一步发展空间观念，同时感受数学与生活的密切联系，提高学生的数学素养。】‎ 六、教学设计特色说明与教学反思 一、经历问题解决过程，积累数学活动经验 本节课以问题为载体，创设了解决问题的情境，让学生小组合作，探究解决问题的策略，最后反思解决问题的过程，在动手操作和动脑思考的过程中，帮助学生积累数学活动经验。为了解决6个盒子叠放后使其表面积最小的问题，先从求一个盒子的表面积入手，感受包装箱用料与长方体表面积之间的关系；再解决2个盒子的叠放问题，比较不同的叠放方案会使长方体的表面积大小不同，寻找表面积最小的叠放方案；再到4个盒子的叠放，通过操作、计算、比较，寻找最优策略；最后放手让学生独立探究6个盒子的叠放问题，在活动中总结规律，叠放后的长方体长、宽、高越接近，表面积最小。‎ 通过层层递进的问题引领，让学生全程参与实践活动的过程。在解决问题过程中，让学生学会合作探究，交流收获体会，积累数学活动经验。‎ 二、感悟数学优化思想，提高学生数学素养 本节课围绕最节省包装纸这一问题，使学生掌握多个相同长方体叠放后，使其表面积最小的最优策略，让学生充分感受方法的多样化和策略的最优化，渗透了优化思想。‎ 多样化是优化的基础。包装六盒牛奶，有很多种方案，学生思维会无序，因此从简单入手，找到最优的计算方法——计算减少面的面积，这样简单、快捷，不容易出错；找到最优的解决问题策略——重合大面，使减少的面积最大，最节省包装纸。有了这些方法和策略，4个盒子叠放时，并不需要考虑每一种方案，而是对比了两种可能最节省包装纸的方案：6个大面重合，4个大面和4个中面重合。通过计算、讨论，进一步修正了解决问题的策略，即不仅要重合大面，还要重合尽可能多的面，才能使减少的面积最大。有了这种优化的思想，学生自主探究6盒牛奶的包装问题，就变得简单多了。‎ 让学生经历方法多样化和优化的过程，体验到了优化思想在解决问题中的应用价值。今后学生再遇到类似的、更复杂的问题也会运用优化思想有序地思考，简单地解决，培养了学生应用数学的意识，提高了学生的数学素养。‎ 8‎ 8‎